BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Vilavong Vanthong BÀI TOÁN BIÊN NHIỀU ĐIỂM CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 Luan v[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Vilavong Vanthong BÀI TỐN BIÊN NHIỀU ĐIỂM CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 Luan van BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Vilavong Vanthong BÀI TỐN BIÊN NHIỀU ĐIỂM CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG Chun ngành: Tốn Giải Tích Mã số:60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS NGUYỄN ANH TUẤN Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 Luan van MỤC LỤC Trang LỜI CẢM ƠN LỜI NÓI ĐẦU CÁC KÝ HIỆU Chương I BÀI TỐN CAUCHY CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH 1.1 Bài toán Cauchy, bổ đề bất đẳng thức vi phân tích phân 1.1.1 Bài toán Cauchy cho hệ phương trình vi phân tuyến tính 1.1.2 Bổ đề bất đẳng thức tích phân vi phân 1.2 Định lý tồn nghiệm 11 1.3 Khơng gian nghiệm hệ phương trình tuyến tính tuần 15 1.4 Phương pháp biến thiên số, công thức Cauchy 24 1.5 Đinh lý tính xấp xỉ tốn ( 1.1 ), ( 1.2 ) 26 Chương II.BÀI TOÁN BIÊN TỔNG QUÁT CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH 32 2.1 Định lý tồn nghiệm cho toán biên tổng quát 32 2.2 Định lý xấp xỉ nghiệm toán biên tổng quát 46 Chương III BÀI TOÁN BIÊN NHIỀU ĐIỂM CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH 51 3.1 Định lý tồn nghiệm 51 3.2 Tập hợp U ( t1 , t ,…, t n ) , bổ đề đánh giá tiệm cận 54 3.3 Các định lý tồn nghiệm toán biên (3.1), (3.3) (3.1), (3.4) 58 KẾT LUẬN 60 TÀI LIỆU THAM KHẢO 61 Luan van LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tơi kính gửi đến Thầy PGS.TS Nguyễn Anh Tuấn lời cảm ơn chân thành tận tình giúp đỡ bảo suốt thời gian làm luận văn tốt nghiệp hỗ trợ nhiều suốt thời gian thực đề tài Tôi xin chân thành cảm ơn Quý Thầy Cô trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, trường Đại học Khoa học tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy hướng dẫn tơi suốt khóa học Xin cảm ơn Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin, Phòng Sau đại học trường Đại học Sư phạm TP.Hồ Chí Minh giúp đỡ tạo điều kiện cho thời gian học trường Xin gửi lời cảm ơn đến Quý Thầy Hội đồng chấm luận văn dành thời gian quý báu để đọc, chỉnh sửa, góp ý phản biện cho tơi hồn thành luận văn cách hoàn chỉnh Xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tình thân đến người thân gia đình bạn bè đồng nghiệp, người động viên,luôn tạo điều kiện tốt tinh thần vật chất, giúp đỡ thời gian học tập làm luận văn Một lần nữa, xin gửi đến tất người lòng biết ơn chân thành sâu sắc TP Hồ Chí Minh, tháng 12 năm 2015 Học viên Cao học khóa 24 Vilavong Vanthong Luan van LỜI NÓI ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết toán biên cho hệ phương trình vi phân thường xây dựng vào năm cuối kỉ 20, gắn liền với tên tuổi nhà toán học cổ điển Cauchy, Bernoulli, D’Alembert,… Trong năm gần đây, với phát triển phương pháp đánh giá tiên nghiệm, cho phép thiết lập dấu hiệu giải xấp xỉ nghiệm toán biên với điều kiện biên khác như: điều kiện dạng tuần hoàn, điều kiện biên nhiều điểm, điều kiện biên dạng tích phân,… Mục đích luận văn xem xét tồn tại, tính xấp xỉ nghiệm tốn biên nhiều điểm cho hệ phương trình vi phân thường Tơi chọn đề tài: “Bài tốn biên nhiều điểm cho hệ phương trình vi phân thường” để thực nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ Ý nghĩa luận văn Luận văn tài liệu tham khảo cho sinh viên học viên cao học nghiên cứu toán biên nhiều điểm cho hệ phương trình vi phân thường Mục tiêu nghiên cứu Đề tài nghiên cứu “ Bài toán biên nhiều điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính ” Nội dung luận văn Chương I: Bài tốn Cauchy cho hệ phương trình vi phân tuyến tính Trong chương ta xây dựng điều kiện đủ cho việc tồn nghiệm toán Cauchy cho hệ phương trình vi phân tuyến tính nghiên cứu tính xấp xỉ nghiệm tốn Chương II: Bài toán biên tổng quát cho hệ phương trình vi phân tuyến tính Trong chương này, xây dựng điều kiện đủ cho việc tồn nghiệm toán biên tổng quát cho hệ phương trình vi phân tuyến tính Luan van Hơn nữa, cịn xem xét tính xấp xỉ nghiệm cho toán Chương III: Bài toán biên nhiều điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính Mục đích chương xây dựng điều kiện đủ cho việc tồn nghiệm toán biên nhiều điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính Hơn nữa, từ điều kiện đủ này, xây dựng tiêu chuẩn hiệu cho việc tồn nghiệm toán biên nhiều điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính Tuy nhiên, luận văn chưa thể xem xét tính xấp xỉ nghiệm tốn thời gian cịn hạn chế Luan van CÁC KÝ HIỆU • R = (−∞, +∞); R + = x+ x • x ∈ R, [ x= ]+ [0, +∞ ) ; R − = ( −∞,0] , [ x= ]− x− x • δik – Kronecker tức là: 1 i = k δik = 0 i ≠ k • x = ( x i )i =1 vectơ cột n-chiều n { } R n = x =( x i )i =1 x i ∈ R,i =1, n n x = ( xi ) n i =1 Trên R n ta trang bị chuẩn = x n x , x ∑= i =1 i max x i i =1, ,n • Ký hiệu X = ( x ik )m×n – ma trận cấp m × n { } Đặt R m×n = X = ( x ik )m×n x ik ∈ R,i =1, m, k =1, n Trên R m×n ta có chuẩn sau tương đương Nếu= X m n x = ∑∑ x ik x = max x ik i =1,m =i = k X = • Cho k =1,n , Y ( yik )m×n ∈ R m×n Ta nói: ( x ik )= m× n X ≤ Y ⇔ x ik ≤ yik ,i = 1, n, = k 1, m • X = x ik )m×n , X ( x ik )m×n (= • Cho I ⊂ R Ta gọi ánh xạ Luan van ( x ik ) ∈ R m×n X : I → R m× n t X ( t ) = ( x ik ( t ) )m×n ma trận hàm cấp m × n • Ma trận hàm X ( t ) = ( x ik ( t ) )m×n gọi liên tục, bị chặn, liên tục tuyệt đối, khả = x ik ( t ) ,i 1,= 2, , m k 1, 2, , n có tích, khả vi I tất hàm tính chất I • Cho ma trận hàm X ( t ) = ( x ik ( t ) )m×n t) Đặt X′ (= ( x′ ( t )) dX = dt ki m× n τ = τ τ τ X d x d ( ) ( ) ik I I mì n ã C ( I, R m×n ) khơng gian ma trận hàm cấp m × n liên tục bị chặn I với chuẩn { } = X C sup X ( t ) : t ∈ I • Nếu I = [ a, b ] , C ([ a, b ] , R m×n ) khơng gian ma trận hàm X ( t ) = ( x ik ( t ) ) liên tục [ a, b ] với chuẩn { } = X C max X ( t ) : t ∈ [ a, b ] { } = X C max x ik (= t ) C ,i 1,= m, k 1, n ([ a, b ] , R m×n ) không gian ma trận hàm cấp m × n X:[ a, b ] → R m×n • C liên tục tuyệt đối [ a, b ] với chuẩn= X C b X ( a ) + ∫ X′ ( t ) dt a ( I, R m×n ) tập ma trận hàm cấp m × n liên tục tuyệt đối tập • C loc compắc I Luan van • Lα ( I, R m×n ) khơng gian ma trận hàm cấp m × n khả tích bậc α I với chuẩn X Lα α α = ∫ X ( t ) dt với1 ≤ α < +∞ I • Lαloc ( I, R m×n ) khơng gian ma trận hàm cấp m × n khả tích bậc α tập compắc I • E – ma trận đơn vị • θ – ma trận khơng Luan van Chương I BÀI TỐN CAUCHY CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH 1.1 Bài tốn Cauchy, bổ đề bất đẳng thức vi phân tích phân 1.1.1 Bài tốn Cauchy cho hệ phương trình vi phân tuyến tính Giả sử I ⊂ R khoảng (đoạn, bán đoạn, khoảng hữu hạn hay vơ hạn) P ∈ Lloc ( I, R n×n ) ,q ∈ Lloc ( I, R n ) Xét hệ phương trình vi phân thường tuyến tính: dx = P ( t ) x + q ( t ) (1.1) dt Véctơ hàm x : I → R n gọi nghiệm hệ (1.1) hầu khắp nơi I có: dx ( t ) = P ( t ) x ( t ) + q ( t ) , x ∈ C loc ( I, R n ) dt với t ∈ I,C0 ∈ R n cố định Bài tốn tìm nghiệm x(t) hệ (1.1) thỏa điều kiện đầu: x ( t ) = C0 (1.2) gọi toán Cauchy cho hệ phương trình vi phân tuyến tính Với n = hiển nhiên ta có kết sau: Mệnh đề 1.1 Nếu q ∈ Lloc ( I, R ) phương trình vi phân dx ( t ) = q ( t ) có dt nghiệm thỏa điều kiện đầu (1.2) nghiệm có dạng : t x ( t= ) C0 + ∫q ( s ) ds t0 Mệnh đề 1.2 Giả sử P,q ∈ Lloc ( I,R ) ,C0 ∈ R Khi tốn Cauchy (1.1), (1.2) có nghiệm dạng: Luan van ... tích phân, … Mục đích luận văn xem xét tồn tại, tính xấp xỉ nghiệm toán biên nhiều điểm cho hệ phương trình vi phân thường Tơi chọn đề tài: ? ?Bài tốn biên nhiều điểm cho hệ phương trình vi phân thường? ??... cho vi? ??c tồn nghiệm toán biên nhiều điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính Hơn nữa, từ điều kiện đủ này, xây dựng tiêu chuẩn hiệu cho vi? ??c tồn nghiệm toán biên nhiều điểm cho hệ phương trình. .. cho vi? ??c tồn nghiệm toán biên tổng qt cho hệ phương trình vi phân tuyến tính Luan van Hơn nữa, xem xét tính xấp xỉ nghiệm cho tốn Chương III: Bài tốn biên nhiều điểm cho hệ phương trình vi phân