PHẦN 1 ĐẠI SỐ Lý thuyết Hàm số lượng giác 1 Hàm số sin và hàm số cosin a) Hàm số sin Định nghĩa Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x đối với số thực sin x sin R → R x → y = sin x được gọi là hàm số sin[.]
PHẦN 1: ĐẠI SỐ Lý thuyết Hàm số lượng giác Hàm số sin hàm số cosin a) Hàm số sin - Định nghĩa: Quy tắc đặt tương ứng số thực x số thực sin x sin: R → R x → y = sin x gọi hàm số sin, kí hiệu là: y = sinx - Tập xác định hàm số sin R - Là hàm số lẻ b) Hàm số côsin - Định nghĩa: Quy tắc đặt tương ứng số thực x số thực cos x cos: R → R x → y = cos x gọi hàm số cosin, kí hiệu là: y = cos x - Tập xác định hàm số cosin R - Là hàm số chẵn Hàm số tang hàm số cotang a) Hàm số tang - Định nghĩa: Hàm số tang hàm số xác định bới cơng thức: (cos x ≠ 0) - Kí hiệu là: y = tan x - Tập xác định hàm số y = tan x D = R\{π/2 + kπ, k π/2 + kπ, k ∈ Z} - Là hàm số lẻ b) Hàm số cotang - Định nghĩa: Hàm số cotang hàm số xác định bới cơng thức: (sin x ≠ 0) - Kí hiệu y = cot x - Tập xác định hàm số y = cot x D = R\{π/2 + kπ, k kπ, k ∈ Z} - Là hàm số lẻ Tính tuần hồn hàm lượng giác - Các hàm số y = sin x y = cos x hàm số tuần hoàn với chu kì 2π - Các hàm số y = tan x y = cot x hàm số tuần hồn với chu kì π Sự biến thiên đồ thị hàm số lượng giác a) Hàm số y = sin x - Sự biến thiên đồ thị hàm số y = sin x đoạn [0; π]: Hàm số y = sin x đồng biến [0; π/2] nghịch biến [π/2; π] - Lưu ý: Vì y = sin x hàm số lẻ nên lấy đối xứng đồ thị hàm số đoạn [0; π] qua gốc tọa độ O, ta đồ thị hàm số đoạn [–π; 0]π; 0] - Đồ thị hàm số y = sin x R: Tịnh tiến liên tiếp đồ thị hàm số đoạn [–π; 0]π; π] theo vecto v→ = (2π; 0) –π; 0]v→ = (–π; 0]2π; 0) - Tập giá trị hàm số y = sin x [–π; 0]1; 1] b) Hàm số y = cos x - Bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y = sin x theo vectơ u→ = (-π/2; 0), ta đồ thị hàm số y = cos x - Hàm số y = cos x đồng biến [–π; 0]π; 0] nghịch biến [0; π] - Tập giá trị hàm số y = cos x [–π; 0]1; 1] c) Hàm số y = tan x - Hàm số y = tan x đồng biến [0; π/2 ) - Đồ thị hàm số có tâm đối xứng gốc tọa độ O => Lấy đối xứng qua tâm O đồ thị hàm số y = tan x [0; π/2 ), ta đồ thị hàm số y = tan x (–π; 0]π/2; 0] - Tịnh tiến đồ thị hàm số khoảng (–π; 0]π/2 ; π/2) songsong với trục hoành đoạn có độ dài π, ta đồ thị hàm số y = tan x D Tập giá trị hàm số y = tan x khoảng (–π; 0]∞; +∞) d) Hàm số y = cot x - Hàm số y = cot x nghịch biến khoảng (0; π) - Tịnh tiến đồ thị hàm số khoảng (0; π) song song với trục hồnh đoạn có độ dài π, ta đồ thị hàm số y = cot x D - Tập giá trị hàm số y = cot x khoảng (–π; 0]∞; +∞) ‘ Lý thuyết Phương trình lượng giác bản Phương trình sin x = a (1) - Trường hợp |a| > 1: Phương trình (1) vơ nghiệm - Trường hợp |a| ≤ 1: Phương trình (1) có nghiệm + Nếu số thực α thoả mãn điều kiện - Lưu ý: + Phương trình sin x = sin α, với α số cho trước, có nghiệm là: x = α + k2π k ∈ Z x = π –π; 0] α + k2π k∈Z Tổng quát: sin f(x) = sin g(x) + sin x = sin β° + Các trường hợp đặc biệt: a = 1: Phương trình sin x = có nghiệm là: x = π/2 + k2π k ∈ Z a = –π; 0]1: Phương trình sin x = –π; 0]1 có nghiệm là: x = -π/2 + k2π Z a = 0: Phương trình sin x = có nghiệm là: x = x = kπ Phương trình cos x = a (2) - Trường hợp |a| > 1: Phương trình (2) vơ nghiệm - Trường hợp |a| ≤ 1: Phương trình (2) có nghiệm x = ±α + k2π, k α + k2π, k ∈ Z k ∈ Z k∈ + Nếu số thực α thoả mãn điều kiện: - Lưu ý: + Phương trình cos x = cosα, với α số cho trước, có nghiệm là: x = ±α + k2π, k α + k2π, k ∈ Z Tổng quát: cos f(x) = cos g(x) ⇔ f(x) = x = ±α + k2π, k g(x) + k2π, k ∈ Z + cos x = cos β° ⇔ x = ±α + k2π, k β° + 360°, k ∈ Z + Các trường hợp đặc biệt: a = 1: Phương trình cos x = có nghiệm là: x = k2π, k ∈ Z a = –π; 0]1: Phương trình cos x = –π; 0]1 có nghiệm là: x = π + k2π, k ∈ Z a = 0: Phương trình cos x = có nghiệm là: x = π/2 + kπ, k ∈ Z Phương trình tan x = a (3) - Điều kiện phương trình x ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z - Nghiệm phương trình tan x = a là: x = arctan α + kπ, k ∈ Z - Lưu ý: + Phương trình tan x = tan α, với α số cho trước, có nghiệm là: x = α + kπ, k ∈ Z Tổng quát: tan f(x) = tan g(x) ⇒ f(x) = g(x) + kπ, k ∈ Z + tan x = tan β° ⇔ x = β° + k180°, k ∈ Z Phương trình cot x = a (4) - Điều kiện phương trình x ≠ kπ, k ∈ Z - Nghiệm phương trình cot x = a là: x = arccot α + kπ, k ∈ Z - Lưu ý: + Phương trình cot x = cot α, với α số cho trước, có nghiệm là: x = α + kπ, k ∈ Z Tổng quát: cot f(x) = cot g(x) ⇒ f(x) = g(x) + kπ, k ∈ Z + Phương trình cot x = cot β° có nghiệm x = β° + k180° , k ∈ Z Lý thuyết Một số phương trình lượng giác thường gặp Phương trình bậc với một hàm số lượng giác: - Định nghĩa: Phương trình bậc hàm số lượng giác phương trình có dạng: at + b = 0, a, b số (a ≠ 0) t hàm số lượng giác - Ví dụ: 2sin x + = phương trình bậc sin x,… Phương trình bậc hai một hàm số lượng giác - Định nghĩa: Phương trình bậc hai hàm số lượng giác phương trình có dạng: at + bt + c = 0, a, b, c số (a ≠ 0) t hàm số lượng giác - Ví dụ: 3tan2 x 2tan x = phương trình bậc hai tan x Phương trình bậc sin x cos x - Công thức biến đổi biểu thức asin x + bcos x : asin x + bcos x = (1) với - Xét phương trình: asin x + bcos x = c (a2 + b2 ≠ 0) (2) với a, b, c ∈ R; a, b không đồng thời (a2 + b2 ≠ 0) + Nếu a = 0, b ≠ a ≠ 0, b = 0, phương trình (2) đưa phương trình lượng giác + Nếu a ≠ 0, b ≠ 0, ta áp dụng công thức (1) II PHƯƠNG PHÁP GIẢI Phương trình bậc với một hàm số lượng giác: - Cách giải: + Bước 1: Chuyển vế + Bước 2: Chia hai vế phương trình cho cho a + Bước 3: Giải phương trình lượng - Ví dụ: Giải phương trình: 2sin x –π; 0] √3 = Ta có: 2sin x –π; 0] √3 = ⇔ 2sin x = √3 Phương trình bậc hai một hàm số lượng giác: - Cách giải: + Bước 1: Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có) + Bước 2: Giải phương trình bậc hai theo ẩn phụ + Bước 3: Ta đưa việc giải phương trình lượng giác - Ví dụ: Giải phương trình: 3cos2x –π; 0] 2cos x –π; 0] = Đặt cos x = t với điều kiện –π; 0]1 ≤ t ≤ (*) Khi phương trình cho có dạng: 3t –π; 0] 2t –π; 0] = (**) Giải phương trình (**) ta hai nghiệm t = t2 = -1/3 thoả mãn điều kiện (*) Vậy ta có: TH1: cos x = ⇔ x = k2π (k ∈ Z) TH2: cos x = -1/3 ⇔ x = ±α + k2π, k arccos (-1/3) + k2π (k ∈ Z) Lý thuyết Quy tắc đếm Quy tắc cộng - Quy tắc: Một công việc hoàn thành hai hành động Nếu hành động có m cách thực hiện, hành động có n cách thực khơng trùng với cách hành động thứ cơng việc có m+n cách thực - Quy tắc cộng mở rộng cho nhiều hành động 2 Quy tắc nhân - Quy tắc: Một cơng việc hồn thành hai hành động liên tiếp Nếu có m cách thực hành động thứ ứng với cách có n cách thực hành động thứ hai có m.n cách hồn thành cơng việc - Quy tắc nhân mở rộng cho nhiều hành động Lý thuyết Hoán vị - Chỉnh hợp - Tở hợp Hốn vị a) Định nghĩa: - Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1) Mỗi kết xếp thứ tự n phần tử tập hợp A gọi hoán vị n phần tử - Lưu ý: Hai hoán vị n phần tử khác thứ tự xếp b) Số hoán vị: - Kí hiệu Pn số hốn vị n phần tử - Định lý: Pn = n(n –π; 0] 1)…2.1 = n! Chỉnh hợp a) Định nghĩa: - Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1) Kết việc lấy k phần tử khác từ n phần tử tập hợp A xếp chúng theo thứ tự gọi chỉnh hợp chập k n phần tử cho b) Số chỉnh hợp: - Kí hiệu: Ank số chỉnh hợp chập k n phần tử (1 ≤ k ≤ n) - Định lý: - Lưu ý: Mỗi hoán vị n phần tử chỉnh hợp chập n n phần tử Vì vậy, ta có: Pn = Ann Tổ hợp a) Định nghĩa: - Giả sử A có n phần tử (n ≥ 1) Mỗi tập hợp gồm k phần tử A gọi tổ hợp chập k n phần tử cho (1 ≤ k ≤ n) - Quy ước: Tổ hợp chập n phần tử tập rỗng b) Số tổ hợp: - Kí hiệu Cnk số tổ hợp chập k n phần tử (0 ≤ k ≤ n) - Định lý: c) Tính chất số Cnk - Tính chất 1: Cnk = Cnn - k (0 ≤ k ≤ n) - Tính chất 2: PHẦN 2: HÌNH HỌC Lý thuyết Phép biến hình, Phép tịnh tiến Định nghĩa Trong mặt phẳng cho vectơ v→ Phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ cho MM'→ = v→ gọi phép tịnh tiến theo vectơ v→ Phép tịnh tiến theo vectơ v→ thường lí hiệu Tv→, v→ gọi vectơ tịnh tiến Như Tv→(M) = M’ ⇔ MM'→ = v→ Phép tịnh tiến theo vectơ –π; 0] khơng phép đồng Tính chất Tính chất Nếu Tv→(M) = M’, Tv→(N) = N’ M'N'→ = MN→ từ suy M’N = MN Tính chất Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng nó, biến tam giác thành tam giác nó, biến đường trịn thành đường trịn bán kính 3 Biểu thức toạ độ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ v→ = (a; b) Với điểm M(x; y) ta có M’(x’, y’) ảnh M qua phép tịnh tiến theo v→ Khi Biểu thức gọi biểu thức tọa độ phép tịnh tiến Tv Lý thuyết Phép quay Định nghĩa Cho điểm O góc lượng giác α Phép biến hình biến điểm O thành nó, biến điểm M khác O thành điểm M’ cho OM’ = OM góc lượng giác (OM; ON’) α gọi phép quay tâm O góc α - Điểm O gọi tâm quay, α gọi góc quay phép quay - Phép quay tâm O góc α thường kí hiệu Q (O, α) Nhận xét - Chiều dương phép quay chiều dương đường tròn lượng giác nghĩa chiều ngược với chiều quay kim đồng hồ - Với k số ngun ta ln có: + Phép quay Q(O, 2kπ) phép đồng + Phép quay Q(O, (2k + 1)π) phép đối xứng tâm O Tính chất Tính chất Phép quay bảo toàn khoảng cách hai điểm Tính chất Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng nó, biến tam giác thành tam giác nó, biến đường trịn thành đường trịn bán kính Lý thuyết Khái niệm về phép dời hình hai hình bằng Định nghĩa Phép dời hình phép biến hình bảo tồn khoảng cách hai điểm Nhận xét Các phép đồng nhất, tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm phép quay phép dời hình Phép biến hình có cách thực liên tiếp hai phép dời hình phép dời hình Tính chất Phép dời hình: Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng bảo toàn thứ tự điểm; Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đọan thẳng nó; Biến tam giác thành tam giác nó, biến góc thành góc nó; Biến đường trịn thành đường trịn có bán kính 3 Khái niệm hai hình bằng Định nghĩa Hai hình gọi có phép dời hình biến hình thành hình Lý thuyết Phép vị tự Định nghĩa Cho điểm O số k ≠ Phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ cho OM'→ = kOM→ gọi phép vị tự tâm O tỉ số k Phép vị tự tâm O tỉ số k thường kí hiệu V (O;k) Nhận xét Phép vị tự biến tâm vị tự thành Khi k = 1, phép vị tự đồng Khi k = –π; 0]1, phép vị tự phép đối xứng tâm M’ = V(O; k)(M) ⇔ M = V(O; 1/k)(M’) Tính chất Tính chất Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M, N tùy ý theo thứ tự thành M’, N’ M'N'→ = kMN→ M’N’ = |k|.MN Tính chất Phép vị tự tỉ số k: Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng bảo toàn thứ tự điểm ấy; Biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với nó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng; Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc nó; Biến đường trịn bán kính R thành đường trịn bán kính |k| R Lý thuyết Phép đồng dạng Định nghĩa Phép biến hình F gọi phép đồng dạng tỉ số k (k > 0) với hai điểm M, N ảnh M’, N’ tương ứng ln có M’N’ = k.MN Nhận xét Phép dời hình phép đồng dạng tỉ số Phép vị tự tỉ số k phép đồng dạng tỉ số |k| Tính chất Phép đồng dạng tỉ số k: Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng bảo toàn thứ tự điểm ấy; Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đọan thẳng; Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc nó; Biến đường trịn bán kính R thành đường trịn bán kính kR Hình đồng dạng Định nghĩa Hai hình gọi đồng dạng với có phép đồng dạng biến hình thành hình Lý thuyết Đại cương về đường thẳng mặt phẳng Mở đầu về hình học không gian