Trang 7 7 Chương I Bài toán về góc và khoảng cách trong không gian 1.1 Bài tốn về góc trong khơng gian 1.1.1 Góc giữa hai đường thẳng trong không gian Định nghĩa: Góc giữa hai đường th
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN sĩ Kh oa họ c ĐÀO VĂN PHÚC Lu ận vă n th ạc “BÀI TỐN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN” LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC s HÀ NỘI – 2016 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - họ c ĐÀO VĂN PHÚC ạc sĩ Kh oa “BÀI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN” th Chun ngành : Phương pháp toán sơ cấp vă n Mã số : 60460113 Lu ận Người hướng dẫn: PGS.TS Vũ Đỗ Long LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2016 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành bảo hướng dẫn PGS TS Vũ Đỗ Long Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc suốt q trình làm luận văn Từ tận đáy lịng em xin bày tỏ biết ơn sâu sắc đến thầy Mặc dù nghiêm túc trình tìm tòi, nghiên cứu chắcchắn họ c nội dung trình bày luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót oa Em mong nhận đóng góp quý thầy cô bạn để luận văn sĩ Kh em hoàn thiện Tác giả Lu ận vă n th ạc Hà Nội, tháng 10 năm 2016 Đào Văn Phúc Mục lục Mở đầu Chương I: Bài tốn góc khoảng cách khơng gian 1.1.Bài tốn góc khơng gian……………………………………… 1.1.1.Góc hai đường thẳng khơng gian……………… ………….6 họ c 1.1.2 Góc đường thẳng mặt phẳng…………………….…………… oa 1.1.3 Góc hai mặt phẳng……………………………… …………… 11 Kh 1.2 Bài tốn khoảng cách khơng gian………………….………… 15 ạc sĩ 1.2.1 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng……….…………… 15 th 1.2.2 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng……………….…… 17 vă n 1.2.3 Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, khoảng ận cách hai mặt phẳng song song…………………………………… ………………21 Lu 1.2.4 Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau……….………………24 Chương II – Bài tốn thể tích 2.1 Thể tích hình chóp……………………… ……… ………………… 34 2.1.1.Phương pháp tính trực tiếp thể tích…… ……….……………………34 2.1.2 Phương pháp sử dụng tỉ số thể tích………….……………………… 40 2.2 Thể tích lăng trụ……………………………………………… ……….47 2.2.1 Khối lăng trụ đứng lăng trụ đều………………………………… 47 2.2.2 Lăng trụ xiên…… ………………………………………………… 55 2.3 Thể tích khối trịn xoay…………………………………………….… 60 Chương III – Bài toán phương pháp tọa độ khơng gian 3.1 Bài tốn đường thẳng mặt phẳng………………… …………….68 3.1.1 Bài toán đường thẳng………………….………………………….68 3.1.2 Bài toán mặt phẳng………………….……………………… ….77 Lu ận vă n th ạc sĩ Kh oa họ c 3.2 Bài toán mặt cầu………….………………………………… …… 97 Mở đầu Hình học phần khó chương trình tốn, đa số học sinh sợ học hình học không gian họ c Trong đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng trước đây, phần Hình học khơng gian dạng mà học sinh giải phương Kh oa pháp hình học túy phương pháp tọa độ Để giúp em học sinh thầy cô giáo có thêm tư liệu để dạy Lu ận vă n th ạc sĩ trường phổ thông, xin trình bày tốn hình học khơng gian Chương I Bài tốn góc khoảng cách Bài tốn góc khơng gian Kh 1.1 oa họ c khơng gian sĩ 1.1.1 Góc hai đường thẳng không gian th ạc Định nghĩa: n Góc hai đường thẳng m n góc hai đường thẳng m1 n1 cắt vă nhau, song song (hoặc trùng) với m n Lu ận Kí hiệu: (m,n) m, n 00 m, n 900 Hai đường thẳng vng góc với góc chúng 900 Nếu hai đường thẳng song song góc chúng 00 Phương pháp: Để tính góc hai đường thẳng a b chéo khơng gian ta áp dụng hai cách sau: a Cách 1: Tìm góc hai đường thẳng cắt c d b song song với hai đường thẳng a b, đưa c α P d vào tam giác, sử dụng hệ thức tam giác A Đặc biệt định lý hàm số cosin: b c b2 c2 a cos A 2bc B C a c a Cách 2: Lấy hai vecto 𝑢 𝑣 phương với a b Tính góc họ b oa 𝑢 𝑣 góc a b u Kh u.v cos u v v sĩ P ạc Ví dụ 1: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cạnh a, n th = 600, BAA ’ DAA ’ = 1200 Gọi O O’ tâm hai đáy hình hộp BAD Lu Lời giải: ận vă Tính A’B’, AC ; A’C , AC ; B’O, DC ; DO’, AC Ta có A’B’ // AB A’B’, AC = AB, AO Mà 𝐴𝐵 = 𝐴𝐷 = 𝑎 (gt) 𝐷𝐴𝐵 = 600 ∆ABD OAB 300 Vậy (A’B’,AC) = 300 Vì D' 𝐴′ 𝐵 ′ = 𝐴𝐴′ = 𝑎 ' = 1200 (gt) A’B a , BAA C' A' O' B' D C A O B Ta có AO a , mặt khác ta có: A ' D A ' B a (∆A’BD cân), BD = a Suy A’O A ' B BO 2 a 3 2 a 11 a 2 2 oa họ c a 3 a 11 a AO A ' A2 A ' O cos A ' AO , suy AO A ' A a a ạc sĩ Kh 3 A’C2 = A’A2+AC2– 2A’A.AC.cos A ' AO a 3a 2a a 8a n th A ' C AC A ' A2 8a 3a a cos A ' CA A ' C AC 12 2.2 2a.a vă Từ O ta kẻ đường thẳng song song với DC cắt ận AD BC trung điểm đường K L, D' Lu C' B’O, DC B’O, OL , A' O' B' A’K2=A’A2+AK2– 2A’A.AK.cos A ' AK D K a 7a a , a 2a 2 2 2 A C O L B a a 9a A ' K KO A ' O 4 cos A ' KO A ' K KO a a 2 2 ' LO (Vì ' LO bù nhau), cos B A ' KO B B’O2 = B’L2+OL2– 7a a a a 3a 2 2B’L.OL.cos B ' LO 4 2 3a a 7a 2 2 ' OL B ' O LO B ' L cos B 2.B ' O.LO a a 2 2 c họ Vậy cos B’O, DC = C' O' A' Kh oa O ' B ' // DO Xét tứ giác DO’B’O có a O ' B ' DO D' sĩ B' D DO’B’O hình bình hành DO // B’O, ạc C th A O n B ận vă Suy DO’, AC B’O, AC ; Lu 3a 3a a2 2 OA B ' O B ' A ' OA cos B , 2OA.B ' O 3a 2 cos DO ', AC 1.1.2 Góc đường thẳng mặt phẳng a Định nghĩa:Góc đường thẳng a mặt phẳng (P) góc đường thẳng a hình chiếu vng A P 10 a' Khoảng cách từ đường thẳng a với mặt phẳng (P) song song với a khoảng cách từ điểm a đến mặt phẳng (P) Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng Phương pháp: Cho đường thẳng d // (P), để tính khoảng cách d (P) ta thực sau: Bước 1: Chọn điểm A d, cho khoảng cách từ A đến (P) họ c xác định dễ Bước 2: d(d,(P)) = d(A,(P)) oa Cho hai mặt phẳng (P) (Q), để tính khỏng cách (P) (Q) ta thực Kh bước sau: sĩ Bước 1: Chọn điểm A (P) cho khoảng cách từ A đến (Q) xác ạc định dễ th Bước 2: d((P),(Q)) = d(A,(Q)) vă n Ví dụ 9: Cho hình chóp S.ABCD có SA a vng góc với mặt phẳng ận (ABCD), đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đường trịn đường kínhAD Lu = 2a a) Tính khoảng cách từ A B đến (SCD) b) Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến (SBC) c) Tính diện tích thiết diện tạo hình chóp S.ABCD với mặt phẳng song song với mặt phẳng (SAD) khoảng a Lời giải: 23 cách chúng a) Ta thấy : S CD AC CD SCD SCD SAC CD SA HạAH⊥SC AH⊥ (SCD) H Q P Vậy AH khoảng cách từ điểm A tới (SCD) Trong ∆SAB vng A, ta có : G A I D E a K B sĩ Kh oa AH a Vậy d(A,(SCD)) a Gọi I trung điểm AD, suy ra: N M 2a c họ 1 1 2 2 AH SA AC a ạc BI // CD BI // (SCD) d(B,(SCD)) =d(I,(SCD)) n th Mặt khác, Ta lại có AI SCD D nên: ận vă d ( I ,( SCD)) ID 1 a d ( I ,( SCD)) d ( A,( SCD)) AH d ( A,( SCD)) AD 2 2 Lu b) Ta thấy AD // CB AD // (SCB) d(AD,(SCB)) d(A,(SCB)) Hạ AK⊥BC, ta được: BC AK BC SAK SBC SAK SBC SAK SK BC SA Hạ AG⊥SK, ta có AG⊥ (SBC) Vậy AG khoảng cách từ điểm A đến (SBC) Trong ∆SAK vuông A, ta có : 24 C 1 1 AG SA2 AK a a 3 a AG 2a AK AD c) Ta thấy : AK SAD AK SA Giả sử mặt phẳng song song với (SAD) cắt AK tạ E, : a AK E trung điểm AK họ c d , SAD AE oa Ta xác định thiết diện hình chóp mặt phẳng sau : Kh Kẻ đường thẳng qua E song song với AD cắt AB , CD theo thứ tự M , N sĩ trung điểm đoạn th ạc Trong (SAB) dựng MQ // SA cắt SB Q n Trong (SCD) dựng NP // SD cắt SC P ận vă PQ // AD // MN Vậy thiết diện tạo hình chóp MNPQ, MQ MN Lu MNPQ hình thang vng Ta có SMNPQ Mà MN MN PQ MQ 3a AD BC MN đường trung bình hình thang cân 2 MNPQ PQ a BC PQ đường trung bình ∆SBC 2 25 MQ a SA MQ đường trung bình ∆SAB 2 Vậy S MNPQ 3a a a 2 2 1.2.4 Khoảng cách hai đường thẳng chéo Phương pháp : Để dựng đoạn thẳng vng góc chung hai đường thẳng chéo a họ c b, ta lựa chọn cách sau : oa Cách 1: Ta thực theo bước : Bước : Dựng mặt phẳng (P) chứa b song song với a Kh A Bước : Chọn M a, dựng MH⊥(P) H M a ạc sĩ Bước : Từ H, dựng đường thẳng a’// a cắt b B a' th Bước : Từ B dựng đường thẳng song song với MH cắt P b H n atại A AB đoạn vng góc chung a b B ận vă Cách 2: Ta thực theo bước : Bước : Dựng mặt phẳng (P) ⊥a O B A Lu Bước : Dựng hình chiếu vng góc b’ b (P) Dựng hình chiếu vng góc H O b’ b' Bước : Từ H dựng đường thẳng song song với a, cắt b O H P B a b Bước : Từ B, dựng đường thẳng song song với OH, cắt a A Đoạn AB đoạn vng góc chung a b Cách 3: Trong trường hợp a ⊥ b ta thực bước sau: a Bước : Dựng mặt phẳng (P) chứa b, vng góc với a A A 26 B b Bước : Dựng AB ⊥ b B, AB đoạn vng góc chung a b Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau, ta lựa chọn hai cách sau : Cách : Tính độ dài đoạn vng góc chung (nếu có) Cách : Tính d(a,(P)) với (P) mặt phẳng chứa b song song với a Cách 3: Tính khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa c hai đường thẳng họ Ví dụ 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O, cạnh a, Kh oa góc DAB 600 có đường cao SO = a a) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC) ạc sĩ b) Tính khoảng cách hai đường thẳng AD SB th Lời giải: vă n a) HạIJ ⊥ BC I, IJ ⊥ AD J S Lu ận BC OI Ta có BC SOI SBC SOI BC SO SBC SOI SI H D Hạ OH SI OH (SBC ) Vậy OH khoảng cách O A từ O tới (SBC) Với hình thoi ABCD, ta có AD = a (∆ABD đều) a a OB , AC AO a 2 Trong ∆SOI vuông O, ta có: 27 C J I B 1 1 2 2 OI OB OC a a 2 13 a 39 OI 3a 13 Trong ∆SAE vng A, ta có: 1 1 16 a 2 OH 2 OH OS OI a a 39 3a 13 c a oa b) Ta thấy rằng: AD // BC AD // (SBC) họ Vậy d(O,(SBC)) IJ a d ( J ,( SBC )) 2d O, SBC 2OH OI th d O, SBC ạc d J , SBC sĩ Kh d(AD,SB) = d(AD,(SBC)) = d(J,(SBC)) Mặt khác ta có JO SBC I nên: vă n a ận Vậy d AD, SB Lu Ví dụ 11: Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’cạnh a a) Chứng minh BC’ (A’B’CD) b) Xác định tính độ dài đoạn vng góc chung AB’ BC’ Lời giải: BC ' B ' C BC ' A ' B ' CD a) Ta có BC ' CD CD BCC ' B ' 28 b) Ta có BC ' A ' B ' CD O C Ta có AD’ // BC’ d ( AB ', BC ') d (C ',( AB ' D ')) d ( A',( AB ' D ')) B Q D A N Kẻ A ' H B ' D ' , K C' A ' K AH d ( A ',( AB ' D ')) A ' K B' H Xét tam giác vng ∆ AA ' H có: D' P A' oa họ c 1 1 a OK A ' K A ' A2 A ' H a a a Kh Ta có: AB ' D ' AA ' C ' Lại có AB ' D ' AA ' C ' AH ạc sĩ Vậy để xác định đường vng góc chung, ta xác định sau: th + Kẻ C’P AH vă n + Kẻ đường thẳng qua P song song với BC’ cắt AB’ N ận + Kẻ đường thẳng qua N vng góc với BC’ Q Lu + Đoạn thẳng QN đường vng góc chung AB’ BC’ Ví dụ 12:(Đề thi Đại học khối A năm 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi M N trung điểm cạnh AB AD; H giao điểm CN với DM Biết SH vng góc với mặt phẳng (ABCD) SH a Tính khoảng cách hai đường thẳng DM SC theo a Lời giải Ta có: MAD NCD ADM DCN 29 MD NC Do SH ABCD MD SH MD SHC S Kẻ HK SC K SC Suy HK đoạn vng góc chung DM SC nên d DM , SC HK c họ CD 2a CN 3a 19 sĩ 3a 19 vă n Vậy d DM , SC ạc SH HC C Kh oa D SH HC H th HK K N Ta có: HC M A ận Bài toán tổng hợp Lu Bài tập Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vuông C, CA b, CB a, cạnh SA h vng góc với đáy Gọi D trung điểm AB Tính a) Góc AC SD b) Khoảng cách AC SD Lời giải a) Từ D kẻ DE / / AC (E nằm BC) 30 B SDE Suy SD; AC SD; DE SDE Ta có DE S b AC 2 h H SD SA2 AD h a b 4h a b 2 A E b 2 sĩ DE DS SE 2 DE.DS ạc cos SDE Kh oa a SE SC EC b a 4b 2 họ c BC AC Lại có BC SC hay SBC vng C BC SA ận vă n th b 1 1 4h a b a 4b 2h b 2 2 b b 4h a b 2 4h a b 2 Lu 2h b arccos b 4h a b Vậy SD; AC 2h b arccos b 4h a b b) Ta có d AC; SD d AC; SDE d A; SDE AH Với H hình chiếu vng góc A lên DE Suy AH BC a 2 31 B D a C Bài tập Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông A, AC BC 2a Mặt phẳng SAC tạo với mặt phẳng ABC góc 600 Hình chiếu S lên mặt phẳng ABC trung điểm H cạnh BC Tính khoảng cách hai đường thẳng AH SB S Lời giải: Ta có Từ H kẻ HE AC Lại có AC HE AC SE AC AH họ c K Suy SAC cân S 2a C 60° sĩ AB 3a 3 2 Kh N E a A ạc SH HE tan 600 H oa B Từ B kẻ đường thẳng qua B song song với AH, hạ HN vng góc với đường vă n th thẳng đó, hạ HK SN (1) Ta có d AH ; SB d AH ; SBN d H ; SBN ận BN HN BN SHN BN HK (2) Từ (1) (2) suy BN SH Lu d H ; SBN HK a Xét tam giác vng BHN có NBH AHC 600 Suy BN BH 2 Nên HN a Vậy a2 a 1 SH HN 3a HK HK SH HN SH HN 32 Bài tập 3.(Đề thi tuyển sinh đại học cao, đẳng khối B 2002) Cho hình lập phương ABCD A1B1C1D1 có cạnh a a) Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng A1B B1D b) Gọi M , N , P trung điểm cạnh BB1 , CD, A1D1 Tính góc hai đường thẳng MP C1 N Lời giải: H B C F a) Ta có N A c D M I G B1 Kh Tương tự AC B1D B1D A1BC1 Do oa họ A1B AB1 A1B AB1C1D A1B B1D A1B AD C1 sĩ B1 A1 B1B B1C1 a nên GA1 GB GC1 G A1 P D1 th ạc trọng tâm tam giác A1BC1 có cạnh a n Gọi I trung điểm A1B IG đường vng góc chung A1B B1D ận vă nên Lu 1 a d A1B, B1D IG C1I A1B 3 b) Dễ thấy C1 N / / B1F mà B1F / / MH MP, C1 N MP, MH 1 a a Xét HMP có HM B1F a 2 2 2 a a MP B1P B1M a a 2 2 2 33 2 29 3a a HP HA AP a a 2 2 3a 5a 29a MP HM PH 16 16 Suy cos PMH 2MP.HM a 2.a 2 Vậy MP, C1N MP, MH 900 Bài tập 4.(Đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng khối A 2008) Cho hình lăng họ c trụ ABC A ' B ' C ' có độ dài cạnh bên 2a , đáy ABC tam giác vuông A, BC Tính theo a thể tích khối chóp A ' ACB tính Kh ABC trung điểm oa AB a , AC a hình chiếu vng góc đỉnh A ' mặt phẳng sĩ cosin góc hai đường thẳng AA ', B ' C ' th ạc Lời giải: Gọi H trung điểm BC Suy Do n C' 1 BC a 3a a 2 ận B' Lu AH vă A ' H ABC A' A ' H A ' A2 AH 3a A ' H a Vậy VA ' ABC a3 A ' H SABC đvtt A C H B Trong tam giác vng A’B’H có : HB ' A ' B '2 A ' H 2a Nên tam giác B’BH cân B’ 34 ' BH Đặt góc hai đường thẳng AA’ B’C’ B Vậy cos a 2.2a Bài tập (Đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng khối A 2013) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng A, ABC 300 , ∆SBC tam giác cạnh a, SBC ABC Tính d C, SAB họ c Lời giải: oa Gọi H trung điểm BC, suy SH BC mà SBC ABC theo giao Kh tuyến BC, nên SH ABC Ta có SH ABC , suy sĩ a a a ; AC BC sin 300 ; AB BC cos300 2 th ạc SH vă n a3 Do VS ABC SH AB AC 16 Tam giác ABC vuông A H trung ận S Lu điểm BC nên HA HB Mà SH ABC Suy SA SB a Gọi I trung điểm AB suy SI AB AB a 13 Do SI SB 4 B H Suy d C , SAB A I C VS ABC 6VS ABC a 39 SSAB SI AH 13 35 c họ oa Kh sĩ ạc th Lu Tiếng Việt ận vă n Tài liệu tham khảo Trần Thị Vân Anh, Lê Thị Hồng Liên (2010), “Phân dạng phương pháp giải tốn hình học lớp 12” Lê Đức (2011), “Các dạng tốn điển hình hình học 12” Nguyễn Bạo Phương, Phan Huy Khải (1999), "Các phương pháp giải tốn hình học khơng gian 11" Lê Bích Ngọc, Lê Hồng Đức (2005), “Học ơn tập tốn hình học 11” Nguyễn Văn Lộc, Hàn Minh Toàn, Nguyễn Văn Hồng, Bùi Hiếu Đức (2010), “Các chun đề tốn THPT hình học tự luận trắc nghiệm” 36 Lu ận vă n th ạc sĩ Kh oa họ c Lê Hồng Phị (2009), “Bồi dưỡng học sinh giỏi tốn hình học 11” 37