THÔNG TIN TÀI LIỆU
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRẦN PHONG ĐỘ ỔN ĐỊNH TIỆM CẬN CỦA MỘT SỐ TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT VÀ TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ GẮN KẾT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định - Năm 2020 download by : skknchat@gmail.com BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRẦN PHONG ĐỘ ỔN ĐỊNH TIỆM CẬN CỦA MỘT SỐ TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT VÀ TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ GẮN KẾT Chuyên ngành: Đại số lí thuyết số Mã số: 46 01 04 Người hướng dẫn: TS PHẠM HỮU KHÁNH download by : skknchat@gmail.com i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết đề tài " Ổn định tiệm cận số tập iđêan nguyên tố liên kết tập iđêan nguyên tố gắn kết" cơng trình nghiên cứu tơi hướng dẫn TS Phạm Hữu Khánh chưa cơng bố cơng trình khoa học khác thời điểm Các nội dung kết sử dụng luận văn có trích dẫn thích nguồn gốc Nếu có điều gian lận, tơi xin chịu trách nhiệm luận văn Bình Định, ngày 20 tháng 07 năm 2020 Học viên thực Trần Phong Độ download by : skknchat@gmail.com ii LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành sau hai năm học tập rèn luyện Trường Đại học Quy Nhơn Cùng với hướng dẫn tận tình, chu đáo thầy Tiến sĩ Phạm Hữu Khánh Nhân dịp xin bày tỏ lịng biết ơn đến thầy Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến q thầy, khoa Tốn trường Đại học Quy Nhơn tạo điều kiện tốt cho tơi q trình học tập nghiên cứu Cuối cùng, tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè giúp đỡ, động viên ủng hộ để hồn thành tốt khóa học luận văn download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ket iii Mục lục DANH MỤC KÝ HIỆU v MỞ ĐẦU 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Tập iđêan nguyên tố liên kết 1.2 Tập iđêan nguyên tố gắn kết 11 1.3 Dãy quy dãy lọc quy 16 1.4 Môđun đối đồng điều địa phương 21 ỔN ĐỊNH TIỆM CẬN CỦA MỘT SỐ TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT VÀ TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ GẮN KẾT 2.1 31 Tập iđêan nguyên tố liên kết môđun đối đồng điều địa phương 32 2.2 Tập iđêan nguyên tố gắn kết môđun đối đồng điều địa phương 40 KẾT LUẬN luan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ket download by : skknchat@gmail.com 46 luan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ket iv TÀI LIỆU THAM KHẢO QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN luan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ket download by : skknchat@gmail.com 47 50 luan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ket v Danh mục ký hiệu AssR (M ) : Tập iđêan nguyên tố liên kết môđun M AttR (A) : Tập iđêan nguyên tố gắn kết môđun A SuppR (M ) : Giá môđun M Spec(R) : Tập iđêan nguyên tố vành R ZDR (M ) : Tập ước của môđun M AnnR (x) : Linh tử hóa phần tử x AnnR (M ) : Linh tử hóa mơđun M depth(I, M ) : Độ sâu M I fdepth(I, M ) : Độ sâu lọc M I luan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ket download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ket MỞ ĐẦU Cho (R, m) vành giao hoán, Noether, địa phương với iđêan cực đại m; I, J hai iđêan R, M môđun hữu hạn sinh A R-môđun Artin Dáng điệu tiệm cận tập iđêan nguyên tố liên kết AssR (R/I n ) giới thiệu L J Ratliff [16] vào năm 1976 Năm 1979, M Brodmann [1,2] chứng minh tập AssR (J n M/J n+1 M ) AssR (M/J n M ) ổn định n đủ lớn Một cách đối ngẫu, năm 1986, R Y Sharp [17] chứng minh tập iđêan nguyên tố gắn kết AttR (0 :A I n ), AttR ((0 :A I n+1 )/(0 :A I n )) ổn định n đủ lớn Tiếp theo, L Melkersson P Schenzel [15] chứng minh tính ổn định cho tập nguyên tố liên kết môđun Tor nguyên tố gắn kết môđun Ext Năm 1990, C Huneke [9, Problem 4] đưa giả thuyết:Tập iđêan nguyên tố liên kết môđun đối đồng điều địa phương HIi (M ) tập hữu hạn với R-môđun hữu hạn sinh M , với iđêan I số nguyên i Mặc dù A Singh [18] M Katzman [10] đưa ví dụ mơđun hữu hạn sinh mà có số mơđun đối đồng điều địạ phương với vô hạn iđêan nguyên tố liên kết, giả thuyết cho nhiều trường hợp Từ đây, toán quan trọng lý thuyết đối đồng điều địa phương AssR HIi (M ) tập hữu hạn luan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ket download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ket Năm 2001, T Marley [12] chứng minh SuppR (HIdimR−1 (M )) tập hợp hữu hạn (xem [12, Corollary 2.5]) Từ Marley trả lời câu hỏi Huneke [9, Problem 4] trường hợp chiều vành không Bằng cách thay vành R R/AnnR (M ), SuppR (HIdimM −1 (M )) tập hữu hạn (cf [4, Lemma 2.6]), AssR (HIdimM −1 (M )) tập hữu hạn Suy AssR (HId−1 (Nn )) tập hữu hạn n đủ lớn, Nn R-mơđun J n M/J n+1 M R-môđun M/J n M d giá trị ổn định dimNn Vì vậy, cần nghiên cứu tính ổn định tập AssR (HId−1 (Nn )) n đủ lớn Chúng ta biết môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại mơđun Artin tập ngun tố gắn kết chúng tập hữu hạn Chúng ta xét x1 , , xr dãy phần tử R Khi AttR (Hmi (M/(xn1 , , xnr )M )) tập hữu hạn với n i Vì vấn đề cần nghiên cứu tính ổn định tập AttR (Hmi (M/(xn1 , , xnr )M )) n đủ lớn Mục đích luận văn trình bày cách chi tiết, có hệ thống kết tính ổn định tập iđêan nguyên tố liên kết môđun đối luan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ket download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ket đồng điều địa phương d − và tính ổn định tập iđêan nguyên tố gắn kết môđun đối đồng điều địa phương giá cực đại Luận văn gồm có hai chương Chương trình bày kiến thức tập iđêan nguyên tố liên kết, tập iđêan nguyên tố gắn kết, dãy quy, dãy lọc quy mơđun đối đồng điều địa phương Chương trình bày kết tính ổn định tập nguyên tố liên kết môđun đối đồng điều địa phương HI1 (Nn ) HId−1 (Nn ) tính ổn định tập nguyên tố gắn kết môđun đối đồng điều địa phương Hmi (M/(xn1 , , xnr )M ) Hmi (Nn ) luan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ket download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ket 36 Nhận xét 2.1.11 Chúng ta biết nhiều tính chất cho mơđun J n M/J n+1 M cho môđun M/J n M Tuy nhiên, tính ổn định tập iđêan nguyên tố liên kết, Mệnh đề 2.1.10 tập AssR (HI1 (J n M/J n+1 M )) ổn định n đủ lớn tập AssR (HI1 (M/J n M )) nói chung khơng ổn định Tiếp theo, chúng tơi trình bày kết thứ hai mục Mệnh đề 2.1.12 ([9], Mệnh đề 2.3) Giả sử Nn định nghĩa S Với số nguyên không âm l, tập j≥l SuppR (HIj (Nn )) ổn định với n đủ lớn Đặc biệt, tập AssR (HId−1 (Nn )) ∪ {m} ổn định với n đủ lớn, d giá trị ổn định dimNn Để chứng minh Mệnh đề 2.1.12, ta cần bổ đề sau Bổ đề 2.1.13 ([9], Bổ đề 2.4) Giả sử M, N môđun hữu hạn sinh I iđêan R Nếu SuppR (M ) ⊆ SuppR (N ) với số ngun khơng âm l ta có SuppR (HIl (M )) ⊆ [ SuppR (HIj (N )) j≥l Chứng minh Ta chứng minh bổ đề quy nạp lùi theo l Từ Định lý triệt tiêu Grothendieck ta dễ dàng suy bổ đề với l > dimM Giả sử l ≤ dimM bổ đề với l + Vì SuppR (M ) ⊆ SuppR (N ) nên theo Định lý Gruson [22, Mệnh đề 4.1] tồn dãy = L0 ⊆ L1 ⊆ · · · ⊆ Lt = M (2.1) mơđun M , Li /Li−1 ảnh đồng cấu tổng trực tiếp hữu hạn lần môđun N Với i = 1, , t, từ dãy khớp → Li−1 → Li → Li /Li−1 → luan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ket download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ket 37 ta có dãy khớp HIl (Li−1 ) → HIl (Li ) → HIl (Li /Li−1 ) Do SuppR (HIl (Li )) ⊆ SuppR (HIl (Li−1 )) ∪ SuppR (HIl (Li /Li−1 )) Từ ta suy SuppR (HIl (M )) ⊆ SuppR (HIl (Lt−1 )) ∪ SuppR (HIl (Lt /Lt−1 )) ⊆ SuppR (HIl (Lt−2 )) ∪ SuppR (HIl (Lt−1 /Lt−2 )) ∪ SuppR (HIl (Lt /Lt−1 )) [ ⊆ SuppR (HIl (Li /Li−1 )) 1≤i≤t Bởi tính chất dãy (2.1), với i ∈ {1, , t}, ta có dãy khớp ngắn → Ki → si M N → Li /Li−1 → k=1 Ki R-mơđun hữu hạn sinh Từ ta có dãy khớp si M HIl ( N ) → HIl (Li /Li−1 ) → HIl+1 (Ki ) k=1 Do SuppR (HIl (Li /Li−1 )) ⊆ SuppR (H l+1 (Ki )) ∪ si M SuppR (HIl ( N )) k=1 = SuppR (HIl+1 (Ki )) ∪ SuppR (HIl (N )) Ta cịn có si M SuppR (Ki ) ⊆ SuppR ( N ) = SuppR (N ) k=1 luan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ket download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ket 38 Vì vậy, theo giả thiết quy nạp ta có SuppR (HIl+1 (Ki )) ⊆ [ SuppR (HIj (N )) j≥l+1 Do SuppR (HIi (Li /Li−1 )) ⊆ [ SuppR (HIj (N )) j≥l hay SuppR (HIl (M )) ⊆ [ SuppR (HIj (N )) j≥l Bổ đề 2.1.14 ([9], Bổ đề 2.5) Giả sử dimM = d Khi SuppR (HId−1 (M )) ∪ {m} = AssR (HId−1 (M )) ∪ {m} Chứng minh Dễ thấy SuppR (HId−1 (M )) ∪ {m} ⊇ AssR (HId−1 (M )) ∪ {m} Theo [5, Bổ đề 2.6], tập SuppR (HId−1 (M )) hữu hạn Vì theo [15, Định lý 31.2] dim(R/p) ≤ với p ∈ SuppR (HId−1 (M )) Do với p ∈ SuppR (HId−1 (M )) ta có p phần tử cực tiểu SuppR (HId−1 (M )) p = m Cho nên SuppR (HId−1 (M )) = AssR (HId−1 (M )) ∪ {m} Bây ta chứng minh Mệnh đề 2.1.12 Chứng minh Mệnh đề 2.1.12 Chứng minh Theo Bổ đề 2.1.4, tồn số nguyên n0 cho SuppR (Nn ) = SuppR (Nn0 ) luan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ket download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ket 39 với n ≥ n0 Vì theo Bổ đề 2.1.13 ta có [ SuppR (HIj (Nn )) = j≥0 [ SuppR (HIj (Nn0 )) j≥0 với n ≥ n0 Do điều kiện thứ mệnh đề thỏa mãn Đối với điều kiện thứ hai, theo Bổ đề 2.1.14 ta có {m} ∪ AssR (HId−1 (Nn )) = {m} ∪ SuppR (HId−1 (Nn )) [ SuppR (HIj (Nn ))) = {m} ∪ ( j≥d−1 Vì {m} ∪ ( [ SuppR (HIj (Nn ))) ổn định với n lớn nên j≥d−1 {m} ∪ AssR (HId−1 (Nn )) ổn định với n lớn Tiếp theo nhắc lại khái niệm chiều đối đồng điều sau Định nghĩa 2.1.15 Chiều đối đồng điều môđun M iđêan I n o i cd(I, M ) = sup i ∈ Z | HI (M ) 6= Ta dễ dàng thấy cd(I, M ) ≤ dimM Trong [8, Mệnh đề 1.4], T Dibaei S Yassemi chứng minh M N R-môđun hữu hạn sinh cho SuppR (M ) ⊆ SuppR (N ) cd(I, M ) ≤ cd(I, N ) Từ theo Bổ đề 2.1.4, ta có bổ đề sau Bổ đề 2.1.16 ([9], Bổ đề 2.6) cd(I, Mn ) số với n lớn Giả sử d giá trị ổn định dimMn Ta dễ dàng thấy AssR (HIi (Mn )) ổn định với n lớn, với i = i > d Theo Mệnh đề 2.1.10, luan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ket download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ket 40 AssR (HI1 (Mn )) ổn định với n lớn Chú ý HId (Mn ) Artin Kết hợp với Bổ đề 2.1.16 tập AssR (HId (Mn )) ổn định với n lớn Hơn nữa, AssR (HId−1 (Mn )) ∪ {m} ổn định với n lớn theo Mệnh đề 2.1.12 Đặc biệt trường hợp R vành có số chiều thấp có kết sau Hệ 2.1.17 Nếu dimR ≤ tập AssR (HIi (Mn )) ổn định n lớn với i Hệ 2.1.18 Nếu dimR ≤ tập AssR (HIi (Mn )) ∪ {m} ổn định n lớn với i 2.2 Tập iđêan nguyên tố gắn kết môđun đối đồng điều địa phương Ta sử dụng Nn để ký hiệu ba R-môđun I n M, I n M/I n+1 M M/I n M Dễ dàng thấy Hmi (Nn ) R-mơđun Artin với i Vì tập AttR (Hmi (Nn )) hữu hạn Hơn nữa, tập AttR (Hmi (Nn )) ổn định với n lớn, với i = i = d, d = dim(Nn ) Tuy nhiên, trường hợp tổng quát với i số nguyên tùy ý, tính chất khơng cịn Chúng ta có mệnh đề sau Mệnh đề 2.2.1 ([7], Mệnh đề 3.5) Các phát biểu sau (i) Giả sử (T, m) vành địa phương Bổ đề 2.1.9 I = (u, v)T Khi tập AttT (Hm3 (T /I n )) AttT (Hm4 (I n )) không ổn định n đủ lớn luan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ket download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ket 41 (ii) Tồn môđun hữu hạn sinh M vành địa phương (R, m) iđêan J R cho AttR (Hmi (J n M/J n+1 M )) không ổn định với số i Để chứng minh mệnh đề, ta cần bổ đề sau Bổ đề 2.2.2 ([17], Mệnh đề 4.1) Giả sử f : R → R0 đồng cấu vành A R0 -mơđun Artin Khi ta có AttR (A) = p ∩ R | p ∈ AttR0 (A) Bây ta chứng minh Mệnh đề 2.2.1 Chứng minh Mệnh đề 2.2.1 Chứng minh (i) Ta xét vành địa phương (T, m) I = (u, v)T Bổ đề 2.1.9 Vì (T, m) vành địa phương Gorenstein có số chiều 5, nên theo Định lý đối ngẫu địa phương, ta có Hm3 (T /I n ) ∼ = HomT (Ext2T (T /I n , T ), E) Do đó, AttT (Hm3 (T /I n )) = AssT (Ext2T (T /I n , T )) Từ [ n≥0 AttT (Hm3 (T /I n )) = [ AssT (Ext2T (T /I n , T )) n≥0 n ⊇ AssT (lim −→ ExtT (T /I , T )) n = AssT (HI2 (T )) luan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ket download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ket 42 Theo Bổ đề 2.1.9, AssT (HI2 (T )) tập vô hạn nên [ AttT (Hm3 (T /I n )) n≤0 tập vơ hạn Do đó, tập Att(Hm3 (T /I n )) khơng ổn định n đủ lớn Ta có dãy khớp ngắn → I n → T → T /I n → Từ suy Ext1T (I n , T ) ∼ = Ext2T (T /I n , T ) Do đó, [ AttT (Hm4 (I n )) = n≥0 [ AssT (Ext1T (I n , T )) n≥0 = [ AssT (Ext2T (T /I n , T )) n≥0 tập vô hạn Vậy tập AttT (Hm4 (I n )) không ổn định với n đủ lớn (ii) Với (T, m) I = (u, v)T chứng minh (i), ta xét vành Rees L L R = n≥0 I n Giả sử R+ = n>0 I n M = mR + R+ iđêan cực đại R Ta xét vành địa phương R = RM , J = (R+ )R R-môđun hữu hạn sinh M = R Để thuận lợi ta ký hiệu M iđêan cực đại R+ iđêan (R+ )R R Khi ta chứng minh tập AttR (HM (J n M/J n+1 M )) khơng ổn định Vì Rn+ /Rn+1 linh tử hóa + R+ nên theo Định lý độc lập đối đồng điều địa phương cho ta đẳng cấu tự nhiên 4 n n+1 HM (Rn+ /Rn+1 + ) = HmR+R+ (R+ /R+ ) ∼ (Rn+ /Rn+1 = HM + ) ∼ = Hm4 (I n ) luan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ket download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ket 43 Theo Bổ đề 2.2.2 ta có AttT (Hm4 (I n )) = AttT (Hm4 R (Rn+ /Rn+1 + )) n o n n+1 = P ∩ T | P ∈ AttR (HM (R+ /R+ )) Do [ n≥0 [ AttT (Hm4 (I n )) = P ∩ T | P ∈ AttR (HM (Rn+ /Rn+1 )) + n≥0 Theo chứng minh (i), ta có [ S n n≥0 AttT (Hm (I )) tập vô hạn, AttR (HM (Rn+ /Rn+1 + )) n≥0 tập vô hạn Suy AttR (Hm4 (Rn+ /Rn+1 + )) không ổn định n đủ lớn Mệnh đề 2.2.3 ([9], Mệnh đề 3.2) Giả sử (T, m) vành địa phương Bổ đề 2.1.9 I = (u, v)T Khi phát biểu sau (i) Tập AssT (Ext2T (T /I n , T )) không ổn định với n lớn (ii) Tồn i ∈ {1, 2, 3} để tập AttT (Hmi (T /(un , v n )T )) không ổn định với n lớn Chứng minh (i) Ta có đẳng cấu n HI2 (T ) ∼ = lim −→ ExtT (T /I , T ) n Do AssT (HI2 (T )) = AssT (lim Ext2T (T /I n , T )) −→ n [ ⊆ AssT (Ext2T (T /I n , T )) n≥0 luan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ket download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ket 44 Theo Bổ đề 2.1.9, AssT (HI2 (T )) tập vơ hạn, [ AssT (Ext2T (T /I n , T )) n≥0 tập vô hạn Suy tập AssT (Ext2T (T /I n , T )) không ổn định (ii) Theo [3, Mệnh đề 5.2.9] ta có đẳng cấu n n HI2 (T ) ∼ = lim −→(T /(u , v )T ) n Do AssT (HI2 (T )) = AssT (lim(T /(un , v n )T )) −→ n [ ⊆ AssT (T /(un , v n )T ) n≥0 Dễ thấy dim(T /(un , v n )T ) = Khi theo Brodmann and Sharp [3, 11.3.9] ta có n n AssT (T /(u , v )T )) ⊆ [ AttT (Hmi (T /(un , v n )T )) i=0 Suy AssT (HI2 (T )) ⊆ [ AssT (T /(un , v n )T ) n≥0 ⊆ = [[ n≥0 i=0 [ [ AttT (Hmi (T /(un , v n )T )) AttT (Hmi (T /(un , v n )T )) i=0 n≥0 Theo Bổ đề 2.1.9 tập AssT (HI2 (T )) vơ hạn, tập [ [ AttT (Hmi (T /(un , v n )T )) i=0 n≥0 luan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ket download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ket 45 tập vơ hạn Từ tồn i ∈ {1, 2, 3} cho tập [ AttT (Hmi (T /(un , v n )T )) n≥0 vô hạn Khi AttT (Hmi (T /(un , v n )T )) không ổn định n đủ lớn luan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ket download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ket 46 KẾT LUẬN Trong luận văn này, nghiên cứu kết ổn định số tập iđêan nguyên tố liên kết tập iđêan nguyên tố gắn kết Luận văn thu số kết sau: Chương 1, trình bày số kiến thức tập iđêan nguyên tố liên kết, tập iđêan nguyên tố gắn kết, dãy quy, dãy lọc quy mơđun đối đồng điều địa phương Chương 2, trình bày kết tính ổn định tập iđêan nguyên tố liên kết môđun đối đồng điều địa phương HI1 (Nn ) HId−1 (Nn ) tính ổn định tập iđêan nguyên tố gắn kết môđun đối đồng điều địa phương Hmi (M/(xn1 , , xnr )M ) Hmi (Nn ) luan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ket download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ket 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] M Brodmann (1979), Asymptotic stability of AssR (M/I n M ), Proc Amer Math Soc., 16-18 [2] M Brodmann (1979), The asymptotic nature of the analytic spread, Math Proc Camb Phil Soc., 35-39 [3] M Brodmann and R Y Sharp (1998), “Local cohomology: an algebraic introduction with geometric applications", Cambridge University Press [4] W Bruns and H J Herzog (1993), Cohen-Macaulay Ring, Cambridge University Press [5] N T Cuong and N.V Hoang (2008), On the vanishing and the finiteness of supports of generalized local cohomology modules, Manuscripta Math., 59-72 [6] N T Cuong, N.V Hoang and P H Khanh (2010), Asymptotic stability of certain sets of associated prime ideals of local cohomology modules, Comm Algebra, 4416-4429 [7] N T Cuong and P H Khanh (2011), Some asymptotic properties of graded module, Acta Math Vietnamica, 183-192 luan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ket download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ket 48 [8] M T Dibaei and S Yassemi (2004), Cohomological Dimension of Complexes, Comm Algebra, 4375-4386 [9] N V Hoang and P H Khanh (2012), On the asymptotic stability of certain sets of prime ideals, East-West J of Mathematics, 20-27 [10] C Huneke (1992), Problems on local cohomology, Free resolutions in commutative algebra and algebraic geometry (Sundance, Utah, 1990), Res Notes Math., 93-108 [11] M Katzman (2002), An example of an infinite set of associated primes of a local cohomology module, J Algebra, 161-166 [12] R Lu and Z Tang (2001), The f-depth of an ideal on a module, Proc Amer Math Soc., 1905 - 1912 [13] I G Macdonald (1973), Secondary representation of modules over a commu-tative ring, Symp Math., 23-43 [14] T Marley (2001), The associated primes of local cohomology modules over rings of small dimension, Manuscripta Math 519-525 [15] H Matsumura (1986), "Commutative ring theory", Cambridge Univ Press, Cambridge [16] L Melkersson (1990), On asymptotic stability for sets of prime ideals connected with the powers of an ideal, Math Proc Camb Phil Soc., 267-271 [17] L Melkersson and P Schenzel (1993), Asymptotic prime ideals related to derived functions, Proc Amer Math Soc., 935-938 luan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ket download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ket 49 [18] L J Ratliff (1976), On prime divisors of I n , n large, Michigan Math J., 337-352 [19] R Y Sharp (1986), Asymptotic behaviour of certain sets of attached prime ideals, J London Math Soc., 212-218 [20] R Y Sharp (2001), Steps in Commutative Algebra by Rodney, Cambridge University Press [21] A Singh (2000), p-torsion elements in local cohomology modules, Math Res Lett., 165-176 [22] W V Vasconcelos (1974), Divisor theory in module categories, in: North-Holland Mathematics Studies, Vol 14 luan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ket download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ket luan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ketluan.van.thac.si.on.dinh.tiem.can.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.lien.ket.va.tap.idean.nguyen.to.gan.ket
Ngày đăng: 03/01/2024, 06:48
Xem thêm: