Đ�I H�C THÁI NGUYÊN ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ THANH MAI CHIỀU, SỐ BỘI VÀ TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ GẮN KẾT CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG VỚI GIÁ CỰC ĐẠI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁ[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ THANH MAI CHIỀU, SỐ BỘI VÀ TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ GẮN KẾT CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG VỚI GIÁ CỰC ĐẠI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ THANH MAI CHIỀU, SỐ BỘI VÀ TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ GẮN KẾT CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG VỚI GIÁ CỰC ĐẠI Ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 8.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TS Lê Thị Thanh Nhàn THÁI NGUYÊN - 2019 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng hướng dẫn GS TS Lê Thị Thanh Nhàn, kết nghiên cứu trung thực chưa công bố cơng trình khác Thái Ngun, tháng năm 2019 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Thanh Mai Xác nhận khoa chuyên môn Xác nhận người hướng dẫn khoa học GS TS Lê Thị Thanh Nhàn i LỜI CẢM ƠN Luận văn "Chiều, số bội iđêan nguyên tố gắn kết môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại" thực Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hồn thành hướng dẫn nhiệt tình, tận tụy GS TS Lê Thị Thanh Nhàn Tác giả xin bảy tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học Đồng thời, tác giả xin trân trọng cảm ơn tới TS Trần Đỗ Minh Châu với giúp đỡ cô suốt trình thực luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái nguyên, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn thầy khoa Tốn tham gia giảng dạy tạo điều kiện tốt để tác giả học tập nghiên cứu Nhân dịp này, tơi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình bạn bè động viên giúp đỡ nhiều trình học tập ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Mở đầu Chương Iđêan nguyên tố gắn kết, chiều, số bội cho môđun Artin 1.1 Tập iđêan nguyên tố gắn kết 1.2 Chiều môđun Artin 1.3 Số bội cho môđun Artin 14 Chương Môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại 16 2.1 Tính Artin 16 2.2 Chiều 21 2.3 Tập iđêan nguyên tố gắn kết 26 2.4 Công thức bội liên kết 38 KẾT LUẬN 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO 46 iii MỞ ĐẦU Cho (R, m) vành Noether địa phương M R-môđun hữu hạn sinh Chiều Krull, tập iđêan nguyên tố liên kết, đa thức Hilbert-Samuel số bội bất biến quan trọng M nghiên cứu mơđun Chúng có mối liên hệ chặt chẽ với Nếu kí hiệu chiều M d từ kết quen thuộc SuppR (M ) = Var(AnnR M ) Var(AnnR M ) = AssR (M ) ta tính d thông qua tập iđêan nguyên tố liên kết M Hơn nữa, d bậc đa thức Hilbert-Samuel Số bội M tương ứng với iđêan m-nguyên sơ q R tích d! với hệ số cao đa thức Hilbert-Samuel Số bội cịn tính thơng qua tập iđêan ngun tố liên kết nhờ công thức liên kết cho số bội Đối với R-mơđun Artin A, nhìn chung cơng thức SuppR (A) = Var(AnnR A) khơng cịn Thêm vào SuppR (A), khác rỗng gồm iđêan cực đại Vì chiều Krull tập iđêan nguyên tố liên kết khơng có ý nghĩa nghiên cứu cấu trúc môđun Artin A Năm 1971, D Kirby [11] I iđêan R cho ℓ(0 :A I) hữu hạn ℓ(0 :A I n ) đa thức n đủ lớn Ông gọi đa thức đa thức Hilbert mơđun Artin A vai trị A tương tự vai trò đa thức Hilbert-Samuel mơđun hữu hạn sinh Sau đó, R N Roberts [21] đưa khái niệm chiều Noether (lúc đầu ơng gọi chiều Krull kí hiệu Kdim, chiều Noether thuật ngữ D Kirby đổi lại để tránh nhầm lẫn với chiều Krull) Trong [21], ông chứng minh chiều Noether mơđun Artin A bậc đa thức Hilbert A Chính thế, chiều Noether thích hợp để đến định nghĩa hệ bội, hệ tham số cho môđun Artin xây dựng công thức liên kết cho số bội môđun Artin Năm 1973, I G Macdonald [12] giới thiệu lý thuyết biểu diễn thứ cấp đưa khái niệm iđêan nguyên tố gắn kết môđun Đối với môđun Artin A, vai trò tập tất iđêan ngun tố gắn kết hồn tồn tương tự vai trị tập iđêan nguyên tố liên kết môđun hữu hạn sinh Chú ý rằng, môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại Hmi (M ) Artin cấp Vì chiều Noether tập iđêan nguyên tố gắn kết số bội có vai trị quan trọng nghiên cứu mơđun đối đồng điều địa phương Mục tiêu luận văn trình bày lại kết gần tác giả M Brodmann, N T Cường, L T Nhàn, T N An, P H Quý, T Đ M Châu, báo [3], [7], [8], [17], [18], [19], chiều, tập iđêan nguyên tố gắn kết số bội môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luận văn trình bày thành hai chương: Chương trình bày kết tập iđêan nguyên tố gắn kết, chiều số bội cho môđun Artin Chương 2, chương luận văn trình bày số kết chiều, tập iđêan nguyên tố gắn kết công thức liên kết cho số bội môđun đối đồng địa phương Artin với giá cực đại Hmi (M ) Thái Nguyên, tháng năm 2019 Chương Iđêan nguyên tố gắn kết, chiều, số bội cho mơđun Artin Trong tồn luận văn này, ln giả thiết (R, m) vành giao hốn Noether địa phương; M R-môđun hữu hạn sinh chiều d, A R-môđun Artin, N R-môđun hữu hạn sinh tuỳ ý L R-mơđun Với iđêan I R ta kí hiệu Var(I) tập iđêan nguyên tố R chứa I Mục tiêu chương trình bày số kết tập iđêan nguyên tố gắn kết, chiều, số bội cho môđun Artin 1.1 Tập iđêan nguyên tố gắn kết Tiết dành để trình bày tính chất tập iđêan nguyên tố gắn kết môđun Artin dựa tài liệu tham khảo I G Macdonald [12], M P Brodmann R Y Sharp [2] Theo nghĩa đó, tập iđêan nguyên tố gắn kết mơđun Artin có vai trị tương tự tập iđêan nguyên tố liên kết môđun hữu hạn sinh Vì thế, cơng cụ hữu hiệu nghiên cứu cấu trúc môđun Artin Cơ sở để đến định nghĩa tập iđêan nguyên tố gắn kết biểu diễn thứ cấp Định nghĩa 1.1.1 (i) Cho x ∈ R Nếu tồn số tự nhiên n cho xn L = ta nói phép nhân x L luỹ linh Nếu xL = L ta nói phép nhân x L tồn cấu (ii) Ta nói L mơđun thứ cấp L 6= với x ∈ R, phép nhân x L toàn cấu luỹ linh Trong trường hợp này, tập tất phần tử x ∈ R cho phép nhân x L luỹ linh √ iđêan nguyên tố R, kí hiệu p Hơn nữa, AnnR L = p Ta gọi L p-thứ cấp (iii) Mỗi cách viết L dạng L = L1 + L2 + + Ln , Li pi -thứ cấp, gọi biểu diễn thứ cấp L Biểu diễn thứ cấp gọi tối tiểu pi đôi khác Li không thừa, tức Li 6= L1 + + Li−1 + Li+1 + + Ln với i = 1, , n Ta nói L R-mơđun biểu diễn có biểu diễn thứ cấp Vì tổng hữu hạn mơđun p-thứ cấp L p-thứ cấp nên biểu diễn thứ cấp quy tối tiểu Định lý 1.1.2 (Định lý thứ nhất) Giả sử L = L1 + + Lr = L′1 + + L′s hai biểu diễn thứ cấp tối tiểu L, Li pi -thứ cấp với i = 1, , r L′i qi -thứ cấp với i = 1, , s Khi r = s {p1 , , pr } = {q1 , , qs } Định nghĩa 1.1.3 Giả sử L biểu diễn Theo Định lý thứ nhất, tập {p1 , , pn } phụ thuộc vào L mà không phụ thuộc vào biểu diễn thứ cấp tối tiểu L Ta gọi tập iđêan nguyên tố gắn kết L kí hiệu AttR (L) Mỗi phần tử AttR (L) iđêan nguyên tố gắn kết L Nếu p tối tiểu tập AttR (L) thành phần thứ cấp tương ứng gọi thành phần thứ cấp cô lập L Nhận xét 1.1.4 Rõ ràng L R-mơđun biểu diễn AttR (L) hữu hạn Hơn nữa, AttR (L) = ∅ L = Định lý thành phần thứ cấp cô lập Định lý 1.1.5 (Định lý thứ hai) Giả sử L biểu diễn Khi thành phần thứ cấp cô lập L không phụ thuộc vào biểu diễn thứ cấp tối tiểu L f g Định lý 1.1.6 Cho → L′ → − L→ − L′′ → dãy khớp R-môđun biểu diễn R-đồng cấu Khi AttR (L′′ ) ⊆ AttR (L) ⊆ AttR (L′ ) ∪ AttR (L′′ ) Định lý sau cho thấy ứng dụng biểu diễn thứ cấp nghiên cứu môđun Artin Định lý 1.1.7 Mọi môđun Artin biểu diễn Sau số kết tập iđêan nguyên tố gắn kết môđun Artin tương tự với kết biết tập iđêan nguyên tố liên kết môđun hữu hạn sinh Mệnh đề 1.1.8 Cho A R-môđun Artin r ∈ R Khi S (i) rA = A r ∈ R \ p∈AttR (A) p √ T (ii) AnnR A = p∈AttR (A) p Chứng minh Nếu A = AttR (A) = ∅ theo Nhận xét 1.1.4 Vì khẳng định (i) (ii) Giả sử A 6= A = L1 + + Ln biểu diễn thứ cấp tối tiểu A, Li mơđun pi -thứ cấp A Khi AttR (A) = {p1 , , pn } (i) Giả sử r ∈ R \ S p∈AttR (A) p Suy rLi = Li với i = 1, , n Do rA = A Ngược lại, r ∈ pj , với j (1 ≤ j ≤ n) tồn