luận văn thạc sĩ tính ổn định của một số tập iđêan nguyên tố gắn kết liên quan đến dãy đối chính quy chiều k

BË GIO DƯC V€ €O T„O TR×ÍNG „I HÅC QUY NHÌN Và THÀ TH SINH TNH ÊN ÀNH CÕA MËT SÈ TŠP I–AN NGUY–N TÈ GN K˜T LI–N QUAN ˜N D‚Y ÈI CHNH QUY CHI—U >k LUŠN V‹N TH„C Sž TON HC Bẳnh nh - Nôm 2019 download by : skknchat@gmail.com BË GIO DƯC V€ €O T„O TR×ÍNG „I HÅC QUY NHÌN Và THÀ TH SINH TNH ÊN ÀNH CÕA MËT SÈ TŠP I–AN NGUY–N TÈ GN K˜T LI–N QUAN ˜N D‚Y ÈI CHNH QUY CHI—U >k Chuy¶n ng nh : M số : Ôi số v lẵ thuyát số 46 01 04 Ngữới hữợng dăn: TS PHM HU KHNH download by : skknchat@gmail.com i Mưc lưc MËT SÈ KÞ HI›U DÒNG TRONG LUŠN V‹N MÐ †U 1 KI˜N THÙC CHU‰N BÀ 1.1 1.2 1.3 1.4 Têp iảan nguyản tố liản kát Têp iảan nguyản tố gưn kát DÂy chẵnh quy v dÂy lồc chẵnh quy DÂy ối chẵnh quy chiÃu lợn hỡn k 13 18 TNH ÊN ÀNH CÕA MËT SÈ TŠP I–AN NGUY–N TÈ GN K˜T LI–N QUAN ˜N D‚Y ÈI CHNH QUY CHI—U LỴN HÌN k 26 2.1 Kát quÊ ờn nh cừa têp iảan nguyản tố gưn kát t [ AttR (0:A (x1 n1 , , xi ni ) R) i=0 27 2.2 Kát quÊ ờn nh cho têp nguyản tố gưn kát t [ n AttR (TorR i (R/I, (0:A J ))) i=0 31 K˜T LUŠN download by : skknchat@gmail.com 39 luan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.k ii T€I LI›U THAM KHƒO 40 QUY˜T ÀNH GIAO — T€I LUŠN V‹N 42 luan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.k download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.k DANH MệC CC Kị HIU R : Têp hủp cĂc số thỹc Ass : Têp iảan nguyản tố liản kát Ann : Linh hõa tỷ Spec : Têp cĂc iảan nguyản tố ZD : Têp cĂc ữợc cừa Att : Têp iảan nguyản tố gưn kát D(M) : ối ngău Matlis cừa M depth(I, M ) : ở sƠu cõa M I f-depth(I, M ) : ë s¥u låc cõa M I Ext : H m tû mð rëng Tor : H m tû xo­n Width>k (I, A) : ë rëng chi·u >k cõa A I luan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.k download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.k Líi cam oan Tỉi xin cam oan mồi kát quÊ cừa à ti Tẵnh ờn nh cừa mởt số têp iảan nguyản tố gưn kát liản quan án dÂy ối chẵnh quy l cổng trẳnh nghiản cựu cừa tổi dữợi sỹ hữợng dăn cừa TS PhÔm Hỳu KhĂnh v chữa tứng ữủc cổng bố bĐt cự cổng trẳnh khoa hồc no khĂc cho tợi thíi iºm n y C¡c nëi dung v  k¸t qu£ sû dửng luên vôn Ãu cõ trẵch dăn v thẵch nguỗn gốc Náu cõ iÃu gẳ gian lên, tổi xin chu trĂch nhiằm và luên vôn cừa mẳnh chiÃu >k Bẳnh nh, ngy 24 thĂng nôm 2019 Hồc vi¶n thüc hi»n Và THÀ TH SINH luan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.k download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.k Mé U Trong suốt luên vôn n y ta luæn cho (R, m) l  v nh giao ho¡n, Noether, a phữỡng vợi iảan cỹc Ôi m I , J l  hai i¶an cõa R, M l  R−mỉun húu hÔn sinh v A l Rmổun Artin Lỵ thuyát biu diạn thự cĐp cừa mổun Artin ữủc I G Macdonald ữa vo nôm 1973 ữủc xem nhữ mởt ối ngău vợi lỵ thuyát phƠn tẵch nguyản sỡ cừa mổun hỳu hÔn sinh trản vnh Noether Mởt Rmổun N ữủc gồi l thự cĐp náu N 6= v vợi mồi r R, php nhƠn bi r trản N l p ton cĐu hoc lụy linh Trong trữớng hủp ny AnnR(N ) = p l  mët i¶an nguy¶n tè Khi õ, ta nõi N l pthự cĐp Mởt biạu diạn thự cĐp cừa mổun K l mởt phƠn tẵch thnh tờng hỳu hÔn cừa cĂc mổun K = K1 + + Kn, â Ki l  pithự cĐp Mồi biu diạn thự cĐp cừa K Ãu cõ th ữa ữủc và dÔng tối thiu tực l c¡c pi ỉi mët kh¡c vỵi måi i = 1, , n v  khæng câ Ki n o thøa Khi â tªp {p1, , pn} ữủc gồi l têp nguyản tố gưn kát cừa mổun K , kỵ hiằu l AttR(K) Theo Macdonald, mồi mổun Artin Ãu cõ biu diạn thự cĐp Nôm 1979, M Brodmann [5] chựng minh têp iảan nguyản tố liản k¸t AssR (M/J n M ) ên ành n ừ lợn Nhữ mởt kát quÊ ối ngău, R Y Sharp [15] chựng minh rơng têp cĂc iảan nguyản tố g­n k¸t AttR (0:AJ n) ên ành n õ lợn Tứ Ơy, mởt cƠu họi ữủc t l vợi mội dÂy (x1, , xr ) cĂc phƯn tỷ cừa vnh R, têp cĂc iảan nguyản tố gưn kát AttR(0 :A (xn1 , , xnr )) câ ên ành n ừ lợn khổng? Tuy nhiản, Katzman [5] xƠy dỹng mởt vẵ dử và mởt vnh a phữỡng (R, m) cõ chiÃu bơng v hai phƯn tỷ x, y ∈ m S cho AssR(H(x,y)R (R)) l  têp vổ hÔn Do õ, AssR (R/(xn , y n )R) l têp vổ nN hÔn Suy S AttR(0 :A (xn, yn)R) l têp vổ hÔn, õ A = E(R/m) l nN bao nởi xÔ cừa R/m l mët R−mỉun Artin Do â, tªp AttR(0 :A (xn, yn)R) khổng ờn nh n ừ lợn Vẳ vêy, cƯn tẳm iÃu kiằn cừa A v luan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.k download by : skknchat@gmail.com r luan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.k º S AttR(0 :A (xn1 , , xnr )R) l têp hỳu hÔn n , ,n ∈N Nh n v  Ho ng [13] ÷a kh¡i niằm Aối dÂy chiÃu > k nhữ sau: Mởt dÂy (x1, , xr ) c¡c ph¦n tû cừa m ữủc gồi l Aối dÂy chiÃu > k náu xi p vợi mồi p (AttR (0 :A (x1 , , xi−1 )R))>k vỵi måi i = 1, , r Ti¸p theo, Nh n v  Ho ng [13] chùng minh r¬ng ( S AttR(0 :A (xn1 , , xnr )R))≥k n , ,n N l têp hỳu hÔn, õ (x1, , xr ) l  mët A−èi d¢y chi·u > k Dung va Nhn [12] chựng minh rơng náu dimR(0 :A I) > k thẳ mồi Aối dÂy chiÃu > k I cõ th ko di án cỹc Ôi v mồi Aối dÂy chiÃu > k cỹc Ôi I Ãu cõ cịng ë d i ë d i chung n y ÷đc gåi l  ë rëng chi·u > k cõa A I , kỵ hiằu l Width>k (I, A) Náu dimR(0 :A I) k thẳ vợi mồi số nguyản dữỡng r Ãu cõ th tẳm ữủc mởt Aối dÂy chiÃu > k I câ ë d i r Trong tr÷íng hđp n y ta quy ữợc Width>k (I, A) = + Bơng cĂch sû dưng t½nh ên ành cõa AttR(0 :A J n) ta câ thº ch¿ r¬ng Width>k (I, (0 :A J n )) ờn nh n ừ lợn Luên vôn ny gỗm cõ chữỡng Chữỡng chúng tổi trẳnh by cĂc kián thực cỡ bÊn và têp iảan nguyản tố liản kát, têp iảan nguyản tố gưn kát, dÂy chẵnh quy v dÂy lồc chẵnh quy, dÂy ối ch½nh quy chi·u > k v  ë rëng chi·u > k Chữỡng trẳnh by và kát quÊ ờn nh cừa têp nguyản tố t gưn kát S AttR(0 :A (xn1 , , xni )R) v  k¸t qu£ ên ành cho têp nguyản tố (x1 , , xr ) 1 r r 1 g­n k¸t i=0 t S i=0 r i n AttR (TorR i (R/I, (0 :A J ))) luan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.k download by : skknchat@gmail.com r luan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.k Ch÷ìng KI˜N THÙC CHU‰N BÀ Trong ch÷ìng ny chúng tổi trẳnh by lÔi mởt số kián thực cì b£n º l m cì sð cho Ch÷ìng nh÷ têp nguyản tố liản kát, têp nguyản tố gưn kát, dÂy chẵnh quy, dÂy lồc chẵnh quy v dÂy ối chẵnh quy chiÃu > k Trong ton bở luên vôn ny chúng tổi luổn giÊ thiát rơng R l mởt v nh giao ho¡n v  câ ìn 6= 1.1 Têp iảan nguyản tố liản kát Trong mửc ny chúng tổi trẳnh by lÔi nh nghắa và têp nguyản tố liản kát v mởt số tẵnh chĐt cừa têp nguyản tố liản kát Cho M l mởt Rmổun Mởt iảan nguyản tố p cừa R ữủc gồi l iảan nguyản tố liản kát cừa M náu tỗn tÔi mởt ph¦n tû x ∈ M , x 6= cho AnnR (x) = p Têp cĂc iảan nguyản tố liản kát cừa M kỵ hiằu l AssR(M ) hoc Ass(M ) Nhữ vêy, nh nghắa 1.1.1 AssR (M ) = {p ∈ SpecR | ∃x ∈ M, x 6= 0, p = AnnR (x)} Ph¦n tû a cõa v nh R ữủc gồi l mởt ữợc cừa khổng cừa Rmổun M náu tỗn tÔi x M, x 6= cho ax = ành ngh¾a 1.1.2 luan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.k download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.k Têp cĂc ữợc cừa khổng cừa M ữủc kỵ hiằu l ZDR(M ) Nhữ vêy, ZDR (M ) = {a ∈ R | ∃x, 6= x M, ax = 0} Chú ỵ 1.1.3 bĐt kẳ cừa R Ta luổn cõ AssR(R/p) = {p} , vợi p l mởt iảan nguyản tố ([9], nh lỵ 6.1) Cho R l vnh Noether v M l Rmổun khĂc khổng Khi õ nh lỵ 1.1.4 (i) PhƯn tỷ cỹc Ôi hồ cĂc iảan F = {AnnR(x) | 6= x ∈ M } l  mët iảan nguyản tố liản kát cừa M c biằt, Ass (M ) 6= ∅ v  ch¿ M 6= (ii) Têp cĂc ữợc cừa cừa M l hủp cừa tĐt cÊ cĂc iảan nguyản tố liản k¸t cõa M , tùc l  ZDR (M ) = [ p p∈AssR (M ) Chùng minh (i) Ta s³ chựng minh rơng náu p = Ann(x) l mởt phƯn tỷ cỹc Ôi cừa F thẳ p l mổt iảan nguyản tố Thêt vêy, vợi mồi a, b R m  ab ∈ p, b ∈/ p ta câ abx = 0, bx 6= Do 6= bx ∈ M nản Ann(bx) F Vẳ Ann(x) l phƯn tỷ cỹc Ôi cừa F v Ann(x) Ann(bx) â Ann(bx) = Ann(x) Hìn núa, ta câ abx = n¶n a ∈ Ann(bx) Do â a ∈ Ann(x) Suy p l iảan nguyản tố Vêy p l iảan nguyản tố liản kát cừa M Tiáp theo ta s³ chùng minh r¬ng AssR (M ) 6= ∅ v  ch¿ M 6= Gi£ sû M 6= õ tỗn tÔi 6= x M v  â F 6= ∅ V¼ R l  vnh Noether nản tỗn tÔi mởt phƯn tỷ cỹc Ôi p ∈ F Theo chùng minh tr¶n p ∈ AssR(M ) nản AssR(M ) 6= Ngữủc lÔi, náu AssR(M ) 6= thẳ tỗn tÔi 6= x M cho AssR(x) = p, vợi p nguyản tè Do â M 6= (ii) Gi£ sû α ∈ ZDR(M ), ta chùng minh α ∈ S p Thêt vêy, vẳ pAss (M ) ZDR (M ) nản tỗn tÔi x 6= cho x = Suy Ann(x) Vẳ thá R luan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.k download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.k 28 Do â, AttRb (0 :A I) = AssRb (D(A)/ID(A)) ([6], Bê · 2.5) Cho k ≥ l  mët sè nguy¶n Gi£ sỷ (x1, , xr ) l mởt AdÂy ối chẵnh quy chi·u > k Khi â (x1, , xr ) l mởt D(A)bpdÂy lồc chẵnh quy yáu vợi mồi bp ∈ Var(AnnRb A) thäa m¢n dim(R/(bp ∩ R)) ≥ k é Ơy xi l Ênh cừa xi Rbbp vợi i = 1, , r Bê · 2.1.4 Chùng minh Gi£ sû r¬ng (x1, , xr ) l AdÂy ối chẵnh quy vợi chiÃu > k v tỗn tÔi bp Var(AnnRb A) thọa mÂn dim(R/(bp R)) ≥ k cho (x1, , xr ) khổng l D(A)bpdÂy lồc chẵnh quy Khi õ tỗn tÔi i {1, , r} cho
bbp ∈ Ass b D (A)bp / (x1 , , xi−1 ) D (A)bp , b bbp * b bbp Vẳ bbp vợi b qR pR xi ∈ b qR qR R b p D (A)bp / (x1 , , xi−1 ) D (A)bp ∼ = (D(A)/(x1 , , xi−1 )D(A))bp ∼ = (D(0 :A (x1 , , xi−1 )R))bp l Rbbpmổun hỳu hÔn sinh, nản bq AssRb (D(0 :A bq ∈ AttRb (0 :A (x1, , xi−1)R) Khi â, ta câ xi Suy (x1 , , xi−1 )R)) ∈ b q ∩ R ∈ AttR (0 :A (x1 , , xi−1 )R) V  v¼ bq * bp n¶n dim(R/bq ∩ R) > dim(R/bp ∩ R) ≥ k iÃu ny mƠu thuăn vợi giÊ thiát (x1, , xr ) l AdÂy ối chẵnh quy Vêy bờ à  ữủc chựng minh Kát quÊ chẵnh Ưu tiản luên vôn ny l nh lỵ sau ([7], nh lỵ 1.1) Cho (R, m) l vnh a phữỡng v  A l  mët R−mæun Artin Cho k ≥ l  mët sè nguy¶n v  (x1, , xr ) l  mởt AdÂy ối chẵnh quy chiÃu > k Khi õ, vợi mội số nguyản t r ta cõ nh lỵ 2.1.5 t [ ! AttR (0:A (x1 n1 , , xi ni ) R) i=0 = ≥k t [ ! AttR (0:A (x1 , , xi ) R) i=0 vỵi måi n1, , nt ∈ N luan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.k download by : skknchat@gmail.com ≥k luan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.k 29  Chùng minh Cho p ∈ i=0 nguy¶n ≤ i0 ≤ t cho i < i0 Khi â, t S  AttR (0:A (x1 n1 , , xi ni )R) p ∈ Ta lĐy mởt số vợi mồi k (AttR (0:A (x1 n1 , , xi0 ni0 )R))≥k AttR (0 :A (x1 n1 , , xi0 ni0 )R) = b p∩R | b p ∈ AttRb (0 :A (x1 n1 , , xi0 ni0 )R)  Do õ, tỗn tÔi bp ∈ AttRb (0 :A (x1n , , xi n ỵ 2.1.3 ta cõ i0 , cho bp ∩ R = p Tø Chó )R) AttRb (0 :A (x1 n1 , , xi0 ni0 )R) = AssRb (D(A)/(x1 n1 , , xi0 ni0 )D(A)) Suy bp ∈ AssRb (D(A)/(x1n , , xi n i0 Do â, )D(A)) bbp ∈ Ass b (D(A)bp /(x1 n1 , , xi0 ni0 )D(A)bp ) b pR Rb p V¼ (x1, , xr ) l mởt AdÂy ối chẵnh quy chiÃu > k n¶n theo Bê · 2.1.4 ta câ (x1, , xi ) l D(A)bpdÂy lồc chẵnh quy, vợi xi l  £nh cõa xi bbp R N¸u p ∈ AttR(0 :A (x1, , xi)R) vợi mồi i < i0, thẳ ró rng ta câ p∈ t [ ! AttR (0:A (x1 , , xi ) R) i=0 k Ngữủc lÔi, tỗn tÔi i < i0 cho p ∈/ AttR(0 :A (x1, , xi)R) Trong tr÷íng hđp n y bbp ∈ b pR / AssRb (D(A)bp /(x1 , , xi )D(A)bp ) b p Do â, (x1, , xi ) l D(A)bpdÂy chẵnh quy Vẳ thá, AssRb (D(A)bp /(x1 n1 , , xi0 ni0 )D(A)bp ) = AssRb (D(A)bp /(x1 , , xi0 )D(A)bp ) b p b p v  bbp ∈ Ass b (D(A)bp /(x1 , , xi0 )D(A)bp ) b pR Rb p Tø â, suy b p ∈ AssRb (D(A)/(x1 , , xi0 )D(A)) = AttRb (0 :A (x1 , x2 , , xi0 )R) luan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.k download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.k 30 Ta câ p = bp ∩ R ∈ (AttR (0:A (x1, , xi )R))≥k Do â, ta câ ÷đc bao h m thùc sau t [ ! AttR (0:A (x1 n1 , , xi ni ) R) ⊆ i=0 t [ ! AttR (0:A (x1 , , xi ) R) i=0 ≥k ≥k T÷ìng tỹ nhữ trản bao hm thực ngữủc lÔi cụng úng t [ ! AttR (0:A (x1 n1 , , xi ni ) R) ⊇ i=0 t [ ! AttR (0:A (x1 , , xi ) R) i=0 ≥k ≥k Do â, t [ ! AttR (0:A (x1 n1 , , xi ni ) R) i=0 = ≥k t [ ! AttR (0:A (x1 , , xi ) R) i=0 ≥k Vªy ành lỵ  ữủc chựng minh xong Tứ kát quÊ cừa nh lỵ trản ta cõ mởt số hằ quÊ sau ([13], nh lỵ 1.1(ii)) Cho k l mởt sè nguy¶n v  (x1 , , xr ) l  mët AdÂy ối chẵnh quy chiÃu > k Khi õ, H» qu£ 2.1.6 ! [ AttR (0:A (x1 n1 , , xr nr ) R) n1 , ,nr k l mởt têp hỳu hÔn nh lỵ 2.1.5 cõ th ữủc phĂt biu lÔi nhữ sau Cho k ≥ l  mët sè nguy¶n v  (x1, , xr ) l mởt AdÂy ối chẵnh quy chiÃu > k Khi õ, vợi mội số nguyản t r thẳ têp Chú ỵ 2.1.7 t [ ! AttR (0:A (x1 n1 , , xi ni )) i=0 ≥k l  khỉng phư thc v o vi»c chån n1, , nt Trong ỵ trản náu cho k = 0, thẳ ta cõ ữỡc hằ quÊ sau luan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.k download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.k 31 Cho (x1, , xr ) l mởt AdÂy ối chẵnh quy chiÃu > Khi õ, vợi mội số nguyản t r thẳ têp Hằ quÊ 2.1.8 t [ AttR (0:A (x1 n1 , , xi ni )) i=0 l  khỉng phư thc v o vi»c chån n1, , nt 2.2 K¸t qu£ ên ành cho têp nguyản tố gưn kát t [ n AttR (TorR i (R/I, (0:A J ))) i=0 Nëi dung ch½nh cõa phƯn ny l trẳnh by kát quÊ ờn nh cừa têp iảan t nguyản tố gưn kát S AttR(TorRi (R/I, (0:AJ n))) Trữợc hát cƯn mởt i=0 số bê · º bê trñ sau Bê · 2.2.1 ([15], nh lỵ 3.1) Têp AttR (0:AJ n) l ờn nh vỵi n lỵn ([7], Bê · 4.2) Cho k ≥ l  mët sè nguy¶n Khi â Width>k (I, (0 :A J n )) nhên giĂ tr l mởt hơng sè n õ lỵn Bê · 2.2.2 Chùng minh Theo Bờ à 2.2.1 tỗn tÔi mởt số nguyản n0 cho AttR :(0: J
l  ên ành vợi mồi n n0 Vẳ thá, dim :(0: J ) I nhên giĂ tr l mởt hơng số d, vỵi måi n ≥ n0 Chóng ta x²t hai trữớng hủp sau cừa d +) Trữớng hủp 1: Náu d ≤ k th¼ Width>k (I, (0 :A J n)) = +∞, vỵi måi n ≥ n0 Khi â kát luên trản l úng +) Trữớng hủp 2: GiÊ sû d > k Trong tr÷íng hđp n y, ta x²t r = lim infWidth>k (I, (0:A J n )), chó ỵ rơng r l mởt số nguyản Ta i chựng n→∞ minh r = Width>k (I, (0 :A J n)) bơng quy nÔp theo r Bi Bờ à 2.2.1 tỗn tÔi mởt số nguyản a n0 cho AttR (0 :A J n) l  ên ành vỵi måi n ≥ a A A n luan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.k download by : skknchat@gmail.com n) I
luan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.k 32 Náu r = thẳ ta câ I ⊆ ! S p p∈AttR (0:A J n ) n≥a I⊆ ! S p∈AttR (0:A J n ) vợi vổ hÔn n GiÊ sỷ I p >k vợi mởt n a no õ thẳ I 6⊆ >k ! S vỵi måi p p∈AttR (0:A J n ) >k Trong tr÷íng! hđp n y câ tèi a hỳu hÔn số n {1, 2, , a − 1} thäa ! S S p i·u n y l  khæng thº Do â, I ⊆ p p∈AttR (0:A J n ) p∈AttR (0:A J n ) >k >k vợi mồi n a v vẳ thá Width>k (I, (0 :A J n)) = 0, vợi mồi n a Vêy kát quÊ trản úng vợi r = Náu r > 0, vẳ Width>k (I, (0 :A J n)) = r ≥ vỵi vỉ hÔn n v AttR (0! :A J n) S l ờn nh vợi mồi n a nản tỗn tÔi x1 ∈ I v  x1 ∈/ p vỵi måi n ≥ a B¥y gií ta x²t r = n→∞ lim infWidth>k r¬ng p∈AttR (0:A J n ) >k
I, (0 :(0:A J n ) x1 R) Chú ỵ Width>k I, (0 :(0:A J n ) x1 R) = Width>k (I, (0 :A J n )) −
v  r = r − Bði gi£ thi¸t quy nÔp, ta cõ Width>k I, (0 :(0: J ) x1R) = r vỵi n õ lỵn Do â, Width>k (I, (0 :A J n)) = r vợi n lợn Vêy ta ÷đc i·u ph£i chùng minh A n
([7], Bê · 4.3) Cho k ≥ l  mët sè nguy¶n v  r l  gi¡ trà ên ành cõa Width>k (I, (0 :A J n)) Gi£ sû ≤ r < , õ tỗn tÔi mởt dÂy x1, , xr I l  (0 :A J n)dÂy ối chẵnh quy chiÃu lợn hỡn k, vợi mồi n õ lỵn Bê · 2.2.3 Chùng minh Chóng ta s chựng minh bơng quy nÔp theo r rơng tỗn tÔi mởt dÂy r phƯn tỷ I thọa mÂn i·u ki»n cõa bê · Bði Bê · 2.2.1 v  Bê · 2.2.2 chóng ta câ thº gi£ sû r¬ng AttR(0 :A J n) l  ên ành v  r = Width>k (I, (0 :A J n )), vỵi måi n a vợi a l mởt số! nguyản S Náu r = thẳ tỗn tÔi x1 I v x1 ∈/ p vỵi måi n ≥ a, p∈AttR (0:A J n ) â x1 l  mët ph¦n tû thuëc I thäa m¢n bê · >k luan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.k download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.k 33 Gi£ sû r > 1, bði chùng minh ð tr¶n, chóng ta câ thº chån mët ph¦n tû x1 ∈ I cho x1 l  (0 :A J n )phƯn tỷ ối chẵnh quy chiÃu lợn hỡn k , vợi mồi n a Lữu ỵ r¬ng Width>k I, (0 :(0:A J n ) x1 R) = Width>k (I, (0 :A J n )) − = r − 1,
vỵi måi n ≥ a Theo giÊ thiát quy nÔp, tỗn tÔi dÂy x2, , xr I l  mët
I, (0 :(0: J ) x1 R) dÂy ối chẵnh quy chiÃu lợn hỡn k n ừ lợn Vẳ thá, x1 , , xr l  (0 :A J n )dÂy ối chẵnh quy vợi chiÃu lợn hỡn k n ừ lợn Bờ Ã Â ữủc chựng minh A n M»nh · 2.2.4 ch½nh quy Khi â, ([6]) Cho r = depth(I, M ) v  x1, , xr l  mët M −d¢y AssR (ExtrR (R/I, M )) = AssR (HIr (M )) = AssR (M/(x1 , , xr )M ) ∩ Var(I) [5] Cho M l mởt Rmổun hỳu hÔn sinh Khi â, tªp AssR (M/J n M ) l  ên ành n lỵn Bê · 2.2.5 ([15], Bê · 4.5) Cho M l mởt Rmổun hỳu hÔn sinh v I, J l  hai i¶an cõa R °t Mn = M/J n M N¸u dim (Mn /IMn ) ≤ k, thẳ vợi mội t têp ! Bờ Ã 2.2.6 t [ AssR Exti R (R/I, Mn )
i=0 ≥k l  ên ành n lỵn ([7], Bê · 4.6) Cho chi·u > k I Khi â, Bê · 2.2.7 ( t [ AttR (TorR i (R/I, A)))≥k i=0 =( t [ (x1 , , xr ) l AdÂy ối chẵnh quy AssR (D(A)/(x1 , , xi )D(A)))≥k ∩ Var(I), i=0 vỵi måi t ≤ r luan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.k download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.k 34 Chùng minh Cho i0 ≤ t cho p ∈ ( t [ AttR (TorR i (R/I, A)))≥k Ta lĐy mởt số nguyản i=0 p AttR (TorR i0 (R/I, A)) v  p ∈/ AttR(TorRi(R/I, A)), vỵi måi i < i0 Do p ∈ AttR(TorRi (R/I, A)), nản tỗn tÔi b p AttRb (TorR i0 (R/I, A)) cho bp ∩ R = p Suy AnnRb (A) ⊆ bp v  I Rb ⊆ bp Do dimR/(bp∩R) = dimR/p ≥ k, n¶n ¡p dưng Bê · 2.1.4 ta câ (x1, , xi ) l D(A)bpdÂy lồc chẵnh quy Náu p / AssR(D(A)/(x1, , xi)D(A)) vợi mồi i < i0 thẳ bbp ∈ b pR / AssRb (D(A)bp /(x1 , , xi )D(A)bp ), b p vỵi måi i < i0 Tø â suy (x1, , xi ) l mởt D(A)bpdÂy chẵnh quy v cõ ở sƠu depth(I Rbbp, D(A)bp) i0 Mt khĂc, vẳ bp AttRb (TorRi (R/I, A)) nản ta ữủc 0 b p ∈ Var(AnnRb TorR i0 (R/I, A)) b R, b D(A)))) = Var(AnnRb (Extib0 (R/I R = b R, b D(A))) SuppRb (Extib0 (R/I R Vẳ thá, ExtiRb (Rbbp/I Rbbp, D(A)bp) 6= Suy ë s¥u depth(I Rbbp, D(A)bp) ≤ i0 Do â i0 = depth(I Rbbp, D(A)bp) b R, b D(A))) Tø M»nh V¼ bp ∈ AttRb (TorRi (R/I, A)) n¶n bp ∈ AssRb (ExtiRb (R/I · 2.2.4 ta câ b p 0 bbp ∈ Ass b (Exti0 (R bbp /I R bbp , D(A)bp )) b pR b Rb p Rbp bbp ) = AssRb (D(A)bp /(x1 , , xi0 )D(A)bp ) ∩ Var(I R b p luan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.k download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.k 35 b Theo Bê · 2.1.1 vỵi Vẳ thá, bp AssRb (D(A)/(x1, , xi )D(A)) Var(I R) ỗng cĐu tỹ nhiản R → Rb, ta ÷đc p ∈ AssR (D(A)/(x1 , , xi0 )D(A)) ∩ Var(I) Vªy ta câ bao h m thùc ( t [ AttR (TorR i (R/I, A)))≥k ⊆( t [ AssR (D(A)/(x1 , , xi )D(A)))k Var(I) i=0 i=0 Ngữủc lÔi, vợi b§t ký p ∈ ( t [ AssR (D(A)/(x1 , , xi )D(A)))≥k ∩ Var(I) , i=0 luổn tỗn tÔi mởt số nguyản i0 t cho p ∈ AssR (D(A)/(x1 , , xi0 )D(A))≥k ∩ Var(I) v  p∈ / AssR (D(A)/(x1 , , xi )D(A)), vỵi måi i < i0 Vẳ thá, pRp / AssR (D(A)p/(x1, , xi)D(A)p) vỵi måi i < i0 Do â p AssRp (D(A)p /(x1 , , xi )D(A)p ) = (AssRp (D(A)p /(x1 , , xi )D(A)p ))≥1 , vợi mồi i < i0 Khi õ ta ữủc AssRb (D(A)bp /(x1 , , xi )D(A)bp ) = (AssRb (D(A)bp /(x1 , , xi )D(A)bp ))≥1 b p b p Theo Bê · 2.1.4, x1, , xi l  mët D(A)bpdÂy lồc chẵnh quy õ x1, , xi l mởt D(A)bpdÂy chẵnh quy Vẳ p AssR(D(A)/(x1, , xi )D(A)) ∩ Var(I), n¶n 0 bbp ∈ Ass b (D(A)bp /(x1 , , xi0 )D(A)bp ) ∩ Var(I R bbp ) b pR Rb p Do â bbp , D(A)bp ) − i0 bbp , D(A)bp /(x1 , , xi0 )D(A)bp ) = depth(I R = depth(I R luan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.k download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.k 36 Suy depth(I Rbbp, D(A)bp) = i0 Theo M»nh · 2.2.4, ta câ bbp ) AssRb (D(A)bp /(x1 , , xi0 )D(A)bp ) ∩ Var(I R b p bbp , D(A)bp )) bbp /I R =AssRb (Extib0 (R Rbp b p Do â bpRbbp ∈ AssRb (ExtiRb (Rbbp/I Rbbp, D(A)bp)) Vẳ thá b p b p b R, b D(A))) b p ∈ AssRb (Extib0 (R/I R Tø â ta câ bp ∈ AttRb (TorRi (R/I, A)) Suy p ∈ AttR(TorRi (R/I, A)) v  ta nhên ữủc bao hm ( t [ AssR (D(A)/(x1 , , xi )D(A)))≥k ∩ Var(I) ⊆ (∪ti=0 AttR (TorR i (R/I, A)))≥k i=0 Vªy, ( t [ AssR (D(A)/(x1 , , xi )D(A)))≥k ∩ Var(I) = (∪ti=0 AttR (TorR i (R/I, A)))k i=0 Bờ à  ữủc chựng minh Sau Ơy l nh lỵ chẵnh thự hai cừa luên vôn ny ([7], nh lỵ 1.2) Cho k l mët sè nguy¶n v  r l  gi¡ trà ên ành cõa Width>k (I, (0 :A J n)) Khi â, vợi mội số nguyản t r, têp nh lỵ 2.2.8 ( t [ n AttR (TorR i (R/I, (0 :A J ))))≥k i=0 l  ên ành n õ lợn Chựng minh Chúng ta cõ ba trữớng hủp dữợi Ơy
+) Trữớng hủp Náu r = , thẳ dimR :(0: J ) I k vợi n ừ lợn Vẳ A
dimR :(0:A J n ) I = dimR D :(0:A J n ) I n
= dimR (D(0 :A J n )/ID(0 :A J n )) = dimR ((D(A)/J n D(A)) /I(D(A)/J n D(A))) , luan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.k download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.k 37 chóng ta thu ÷đc dimR ((D(A)/J nD(A)) /I(D(A)/J nD(A))) k vợi n ừ lợn Theo Chú ỵ 2.1.3 ta câ, t [ AttRb  b TorR i   b R, b (0:A J n ) R/I i=0 t [ = ! ≥k     b R, b D (0:A J n ) AssRb ExtiRb R/I !  i=0 t [ = ≥k  ! b R, b D(A)/J n D (A) AssRb ExtiRb R/I i=0 ≥k  b R, b (0:A Do â theo Bê · 2.2.6, AttRb R/I i=0 n õ lỵn Hìn núa, bði Bê · 2.2.1 ta câ t [ t S  b TorR i  J n)  l  ên ành ≥k ! n AttR TorR i (R/I, (0:A J ))
i=0   p∩R | b p∈ = b  ≥k t [    b R, b (0:A J n ) AttRb TorR R/I i b i=0 !   ≥k ,  l  ờn nh n ừ lợn +) Trữớng hủp Náu r = 0, thẳ    n b b AttRb TorR R/IR, (0:A J ) b      b R, b D (0:A J n ) = AssRb Ext0Rb R/I  b R, b D(A)/J n D (A) = AssRb Ext0Rb R/I b = AssRb (D(A)/J n D(A)) ∩ V (I R) n D(A)) l ờn nh n ừ lợn nản Theo Bờ à 2.2.5 thẳ têp AssRb (D(A)/J   b R, b (0:A J n ) suy AttRb TorR0b R/I l  ên ành n õ lỵn Do â, ta thu ÷đc TorR0 (R/I, (0:AJ n)) l  ên ành n ừ lợn +) Trữớng hủp Náu r < ∞ Bði Bê · 2.2.2 v  Bê · 2.2.3, tỗn tÔi mởt số nguyản dữỡng a cho vỵi måi n ≥ a ta câ c¡c i·u sau ¥y l  óng luan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.k download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.k 38 (i) r = Width>k (I, (0 :A J n )) (ii) Tỗn tÔi mởt dÂy (x1, , xr ) I l mởt dÂy ối chẵnh quy chi·u lỵn hìn k cõa (0 :A J n) Khi â, D (0 :A J n ) /(x1 , , xi )D (0 :A J n ) =(D(A)/J n D(A))/(x1 , , xi )(D(A)/J n D(A)) =(D(A)/(x1 , , xi )D(A))/J n (D(A)/(x1 , , xi )D(A)) vỵi måi i = 1, , r v  vỵi måi n ≥ a Theo â v  Bê · 2.2.7 ta ÷đc ¯ng thùc sau l  óng t [ ! n AttR TorR i (R/I, (0:A J ))
i=0 = t [ ≥k ! AssR (D (0:A J n ) / (x1 , , xi ) D (0:A J n )) i=0 = t [ ∩ Var (I) ≥k ! AssR ((D (A) / (x1 , , xi ) D (A)) /J n (D (A) / (x1 , , xi ) D (A))) i=0 ∩ Var (I) ≥k vỵi måi t ≤ r v  vỵi måi n a Do õ, theo Bờ Ã 2.2.5 thẳ têp t [ ! n AttR TorR i (R/I, (0:A J )) i=0
≥k l  ên ành n õ lợn Vêy nh lỵ Â ữủc chúng minh Cho r l  gi¡ trà ên ành cõa Width>0 (I, (0 :A J n)) Khi â, t
vỵi méi t ≤ r, tªp S AttR TorRi (R/I, (0:AJ n)) l  ên ành n õ lỵn H» qu£ 2.2.9 i=0 luan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.k download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.k 39 K˜T LUŠN Trong luªn vôn ny chúng tổi nghiản cựu và kát quÊ ờn nh cừa mởt số têp iảan nguyản tố gưn kát liản quan án dÂy ối chẵnh quy chiÃu lợn hỡn k Luên vôn thu ữủc mởt số kát quÊ chẵnh nhữ sau: Chữỡng 1, trẳnh by mởt số kián thực cỡ bÊn và têp iảan nguyản tố liản kát, têp iảan nguyản tố gưn kát, dÂy chẵnh quy v dÂy lồc chẵnh quy, dÂy ối chẵnh quy chiÃu > k v  ë rëng chi·u > k Trong ch÷ìng 2, trẳnh by và kát quÊ ờn nh cừa têp nguyản tố gưn t kát S AttR(0 :A (xn1 , , xni )R) v kát quÊ ờn nh cho têp nguyản tố gưn kát i=0 t S i=0 i n AttR (TorR i (R/I, (0 :A J ))) luan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.k download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.k 40 T i li»u tham kh£o [1] M Brodmann, Asymptotic stability of Math Soc., (1) 74 (1979), 16-18 , Proc Amer AssR (M/I n M ) [2] M Brodmann and L T Nhan, A finiteness result for associated primes of certain Ext-modunles,Comm Algebra, (4) 36 (2008), 1527-1536 [3] M Brodmann and R Y Sharp, "Local cohomology: an algebraic introduction with geometric applications", Cambridge University Press, 1988 [4] N T Cuong, P Schenzel and N V Trung, Verallgemeinerte CohenMacaulay Mod-uln, Math Nachr., 85 (1978), 57-73 [5] M Katzman, An example of an infinite set of associated pries of a local cohomology module, J Algebra, 252 (2002), 161-166 [6] P H Khanh, An independent result for attached primes of certain Tor-modules, Bull Korean Math Soc 52 (2015), 531-540 [7] P H Kh¡nh, the stability of certain sets of attached prime ideals related to cosequence in dimension >k, Bull Korean Math Soc 53 (2016), 1385-1394 [8] I G Macdonald, Secondary representation of modules over a commutative ring, Symp Math 11 (1973), 23-43 luan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.k download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.k 41 [9] H Matsumura (1989),Commutative ring theory, Cambridge University Press [10] L Melkersson and P Schenzel, Asymptotic prime ideals related to derived functions, Proc Amer Math Soc., (4) 117 (1993), 935-938 [11] W Bruns and H.J Herzog (1993), Cohen-Macaulay Rings, Cambridge Uni-versity Press [12] L T Nhan and N T Dung, A Finiteness Result for Attached Primes of Certain Tor-Modules, Algebra Colloquium, 19 (2012), 787-796 [13] L T Nhan and N V Hoang, A Finiteness Result for Attach Primes of Artinian local cohomology, J of Algebra and its Applications (1) 13 (2014), 14 pages [14] L J Ratliff, On Prime divisors of I n, n large, Michigan Math J., 23 (1976), 337-352 [15] R Y Sharp, Asymptotic behaviour of certain sets of attched prime ideals, J London Math Soc., (2) 34 (1986), 212-218 [16] R Y Sharp, Steps in Commutative Algebra by Rodney, Cambridge University Press, 2001 [17] J Strooker, Homological question in local algebra, Cambridge University Press, 1990 [18] A Ooishi, Matlis duallity and the width of a module, Hiroshima Math J (1976), 573-587 luan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.k download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.k luan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.kluan.van.thac.si.tinh.on.dinh.cua.mot.so.tap.idean.nguyen.to.gan.ket.lien.quan.den.day.doi.chinh.quy.chieu.k