THÔNG TIN TÀI LIỆU
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ———————————— NGUYỄN THỊ HIÊN TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ TÍNH CO CỦA CÁC PHƯƠNG PHÁP RUNGE-KUTTA Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS VŨ HOÀNG LINH Hà Nội-2014 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung luận văn, tơi xin cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán - Cơ - Tin học tồn thể thầy giáo, giáo khoa Tốn - Cơ - Tin học, phòng Sau đại học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, giảng dạy tận tình tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành tốt luận văn Đặc biệt, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo PGS.TS Vũ Hoàng Linh, người trực tiếp hướng dẫn tận tình bảo tơi suốt q trình tơi học tập thực luận văn Nhân dịp này, xin cảm ơn gia đình ln ủng hộ động viên suốt thời gian học tập Cuối cùng, xin cảm ơn tất bạn, anh, chị lớp cao học Tốn khóa 2011 - 2013, đặc biệt anh chị chuyên ngành Toán ứng dụng khóa 2010 - 2012 khóa 2011 - 2013 tận tình giúp đỡ động viên tơi trình học tập Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 16 tháng 01 năm 2014 Học viên Nguyễn Thị Hiên TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mục lục Mở đầu Bảng ký hiệu Các khái niệm 1.1 Các phương pháp Runge-Kutta 1.2 Xây dựng phương pháp Runge-Kutta ẩn 11 1.3 Áp dụng phương pháp Runge-Kutta giải toán cương 18 1.4 Các loại chuẩn 21 Tính co cho tốn tuyến tính 2.1 Chuẩn Euclid (Định lý von Neumann) 2.2 Hàm tăng trưởng sai số với tốn tuyến tính 2.3 Bài tốn với nhiễu phi tuyến nhỏ 2.4 Tính co k.k∞ k.k1 2.5 Hệ số ngưỡng Tính ổn định B tính co 3.1 Điều kiện Lipschitz phía 3.2 Ổn định B ổn định đại số 3.3 Một vài phương pháp Runge-Kutta ẩn ổn định đại số 3.4 Ổn định AN 3.5 Các phương pháp Runge-Kutta khả quy 3.6 Định lý tương đương ổn định B ổn định số với phương pháp S-bất khả quy 3.7 Hàm tăng trưởng sai số 3.8 Tính tốn ϕB (x) Kết luận Tài liệu tham khảo đại 26 29 30 33 37 39 42 42 43 46 48 51 53 56 58 63 64 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mở đầu Trong khoa học kĩ thuật ta thường gặp nhiều toán liên quan tới việc giải phương trình vi phân Có nhiều trường hợp nghiệm giải tích tốn khơng thể tìm Chính nhà tốn học tìm kiếm nhiều phương pháp số khác để giải toán Trong phương pháp số, phương pháp Runge-Kutta có nhiều tính chất ưu việt sử dụng rộng rãi Luận văn trình bày tính ổn định tính co phương pháp Runge-Kutta Xuất phát từ điều kiện ổn định tuyệt đối |yn | ≤ |yn−1 | toán y = λy , ta mở rộng đến khái niệm "tính co" xét tốn tuyến tính y = Ay , tiếp đến khái niệm tính ổn định B ổn định đại số xét toán phi tuyến Trên sở ta lựa chọn phương pháp hữu hiệu phù hợp để giải toán nảy sinh thực tế Nội dung luận văn tham khảo từ tài liệu [2] [3] Bố cục luận văn bao gồm chương: • Chương 1: Các khái niệm Luận văn trình bày khái niệm phương pháp Runge-Kutta, cách xây dựng phương pháp Runge-Kutta ẩn, với kiến thức bổ trợ cho Chương Chương • Chương 2: Tính co tốn tuyến tính Luận văn trình bày khái niệm định lý liên quan đến tính co xét tốn tuyến tính • Chương 3: Tính ổn định B tính co Luận văn trình bày khái niệm ổn định B, ổn định đại số, ổn định AN mối quan hệ khái niệm ổn định phương pháp Runge-Kutta xét toán phi tuyến Do thời gian thực luận văn không nhiều nên luận văn không tránh khỏi hạn chế sai sót Tác giả mong nhận góp ý ý kiến phản biện quý thầy cô bạn đọc TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta Bảng ký hiệu A⊗I Tích tensor B (p), C (η), D (ζ) Bộ điều kiện cấp xác C Tập số phức Cn Không gian vectơ phức n chiều I Ma trận đơn vị K (Z) Hàm ổn định với toán y = λ (x) y Pk (x) Đa thức trực giao Legendre Pkj (z) Xấp xỉ Padé R (z) Hàm ổn định phương pháp R Tập số thực Rn Không gian vectơ thực n chiều S Miền ổn định µ (A) Chuẩn logarit ma trận A ν Hằng số Lipschitz phía ϕB (x) Hàm tăng trưởng sai số xét toán phi tuyến ϕR (x) Hàm tăng trưởng sai số xét tốn tuyến tính % Hệ số ngưỡng T b = (b1 , , bs ) Chuyển vị vectơ b = b1 bs T = (1, , 1) Vectơ cột với tất thành phần (LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta Chương Các khái niệm Chương trình bày khái niệm phương pháp RungeKutta, tồn lời giải số phương pháp, cách xây dựng phương pháp Runge-Kutta ẩn với kiến thức bổ trợ cho Chương Chương Nội dung chương phát biểu khái niệm kết phục vụ cho chương sau Chứng minh chi tiết kết chương tham khảo [2], [3] [5] 1.1 Các phương pháp Runge-Kutta Phương pháp Runge-Kutta tổng quát Phương pháp Runge-Kutta thuộc lớp phương pháp số bước, đưa hai nhà toán học người Đức Carl Runge (1856 - 1927) Wilhelm Kutta (1867 - 1944) Trước hết ta xét toán Cauchy phương trình vi phân cấp có dạng y = f (t, y) , y ∈ Rn , f : R × Rn → Rn , y (t0 ) = y0 (1.1) Định nghĩa 1.1 (xem [5]) Phương pháp Runge-Kutta s nấc cho hệ phương trình vi phân (1.1) viết dạng: Yi = yn−1 + h yn = yn−1 + h s P j=1 s P aij f (tn−1 + cj h, Yj ) i = 1, , s (1.2) bi f (tn−1 + ci h, Yi ) i=1 Trong Y1 , , Ys giá trị nấc xấp xỉ y ti = tn−1 + ci h (ti điểm s P nấc) Bộ hệ số: {ci }si=1 ; {aij }si,j=1 ; {bi }si=1 thỏa mãn bi = Thông thường, ta chọn để có ci = s P i=1 aij (i = 1, , s) j=1 (LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta • Nếu aij = với i ≤ j phương pháp phương pháp Runge-Kutta hiển (ERK) • Nếu aij = với i < j có aii 6= phương pháp phương pháp Runge-Kutta ẩn đường chéo (DIRK) • Nếu aij = với i < j aii = γ với i = 1, , s phương pháp phương pháp ẩn đường chéo đơn (SDIRK) • Các trường hợp cịn lại gọi phương pháp Runge-Kutta ẩn (IRK) Để dễ dàng hình dung phương pháp Runge-Kutta, Butcher đưa hệ số phương pháp vào bảng sau: c1 c2 a11 a21 a12 a22 ··· ··· a1s a2s cs as1 b1 as2 b2 ··· ··· ass bs Bảng 1.1: Bảng Butcher Ví dụ 1.1 Một số cơng thức ERK (a) Euler hiển 0 (b) Hình thang hiển 1 (c) Trung điểm hiển 0 2 0 Bảng 1.2: Một số cơng thức ERK Ví dụ 1.2 Một số cơng thức IRK (a) Euler ẩn 1 (b) Hình thang ẩn 1 2 2 (c) Trung điểm ẩn 2 Bảng 1.3: Một số công thức IRK (LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta Sự tồn lời giải số phương pháp Xét công thức (1.2) trường hợp n = 1, ta đặt ki = f (t0 + ci h, Yi ) với i = 1, 2, , s ta thu s P ki = f (t0 + ci h, y0 + h aij kj ) j=1 y1 = y0 + s P (1.3) bi k i i=1 Để xác định lời giải số y1 phương pháp, trước hết ta cần xác định giá trị ki từ hệ phương trình chứa ki cho (1.3) Nói chung, hệ phương trình phi tuyến nên nhiều trường hợp ki tồn khơng Do đó, khơng tồn lời giải số phương pháp Định lý sau cho ta điều kiện để tồn lời giải số phương pháp Runge-Kutta ẩn (1.3) Định lý 1.1 (xem [2]) Cho hàm f : R × Rn → Rn hàm liên tục thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến y với số L Nếu h< P , L max ti |aij | j lời giải số phương pháp (1.3) tồn với giá trị ki xác định từ hệ phương trình cho (1.3), giá trị thu phương pháp lặp Newton Hơn nữa, f (t, y) hàm khả vi, liên tục tới cấp p ki (là hàm theo biến h) khả vi, liên tục cấp p Ổn định tuyệt đối ổn định A Bằng phương pháp khác ta tìm nghiệm số phương trình vi phân Tuy nhiên, nghiệm số ta tìm liệu có tốt khơng, làm để đánh giá nghiệm Để giải vấn đề này, ta cần nghiệm số phải có tính chất tốt cho lớp tốn Xét phương trình vi phân thử y = λy, λ số, λ ∈ C, y(t0 ) = y0 (1.4) Ở phần sau, xét phương trình thử (1.4) ta ln giả sử Re (λ) ≤ Trong trường hợp Re (λ) ≤ ta điều kiện ổn định tuyệt đối |yn | ≤ |yn−1 | , n = 1, 2, (1.5) Giả sử y(t), ye(t) hai lời giải (1.1) Từ ta có định nghĩa ổn định ổn định tiệm cận với nghiệm phương trình vi phân( 1.1) (LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta Định nghĩa 1.2 Nghiệm y (t) phương trình vi phân( 1.1) gọi ổn định với ε > 0, ∃δ > cho |y (to ) − ye (to )| ≤ δ |y (t) − ye (t)| < ε với t ≥ t0 Định nghĩa 1.3 Nghiệm y (t) phương trình vi phân( 1.1) gọi ổn định tiệm cận ổn định thỏa mãn điều kiện lim |y (t) − ye (t)| = t→+∞ Nhận xét 1.1 Đối với hệ tuyến tính, nghiệm tầm thường ổn định (ổn định tiệm cận) nghiệm ổn định (ổn định tiệm cận) Trong trường hợp này, nói hệ ổn định (ổn định tiệm cận) Xét tốn tuyến tính y = Ay , A ∈ Cm×m (1.6) Định lý 1.2 (xem [5]) Nếu giá trị riêng λ ma trận A thỏa mãn Re (λ) ≤ giá trị riêng có phần thực giá trị riêng đơn hệ y = Ay ổn định Định lý 1.3 (Điều kiện cần đủ (xem [5])) Nếu Re (λ) < với giá trị riêng λ A hệ ổn định tiệm cận Để đến khái niệm hàm ổn định phương pháp Runge-Kutta, ta áp dụng phương pháp Runge-Kutta với công thức (1.2) cho phương trình thử (1.4) lời giải số yn = R (z) yn−1 với z = λh (1.7) Khi đó, để điều kiện ổn định tuyệt đối (1.5) thỏa mãn |R (z)| ≤ (1.8) Định nghĩa 1.4 Hàm R (z) xác định (1.7) gọi hàm ổn định phương pháp Runge-Kutta Tập S = {z ∈ C : |R (z)| ≤ 1} gọi miền ổn định tuyệt đối phương pháp Runge-Kutta Ví dụ 1.3 • Phương pháp Euler hiển có hàm ổn định R (z) = + z • Phương pháp Euler hiển có miền ổn định tuyệt đối hình trịn có bán kính 1, tâm −1 (LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta Mệnh đề 1.1 (xem [3]) Phương pháp Runge-Kutta ẩn s nấc với s X gi = y + h aij f (t0 + cj h, gj ), j=1 s X y1 = y0 + h i = 1, 2, , s, (1.9a) (1.9b) bj f (t0 + cj h, gj ), j=1 áp dụng cho phương trình thử y = λy có y1 = R (hλ) y0 với R (z) = + zbT (I − zA)−11, bT = (b1 , , bs ) , A = (aij )si,j=1 , (1.10) = (1, 1, , 1)T Mệnh đề 1.2 (xem [3]) Hàm ổn định (1.9) thỏa mãn T R (z) = STT Phương pháp Euler ẩn Phương pháp θ Trung điểm ẩn Hình thang ẩn det I − zA + z11b det (I − zA) SDIRK cấp (1.11) R (z) 1−z + z (1 − θ) − zθ + z/2 − z/2 + z (1 − 2γ) + z 1/2 − 2γ + γ 2 (1 − γz) Bảng 1.4: Hàm ổn định số phương pháp Runge-Kutta ẩn Miền ổn định tuyệt đối phương pháp cho Bảng 1.4 xem [3] Từ kết ta thấy phương pháp Runge-Kutta ẩn có hàm ổn định R (z) hàm hữu tỉ với tử số mẫu số có bậc ≤ s R (z) = P (z) , Q (z) deg P = k, deg Q = j (1.12) Định nghĩa 1.5 Một phương pháp mà miền ổn định tuyệt đối thỏa mãn S ⊃ C− = {z ∈ C : Re (z) ≤ 0} , phương pháp gọi phương pháp ổn định A (hay A-ổn định) Phương pháp Runge-Kutta với hàm ổn định (1.12) ổn định A |R (iy)| ≤ với y ∈ R (1.13) R (z) giải tích với Re (z) < (1.14) (LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com j≥0 j≥0 có nghĩa R(j) (−λ) ≥ với j ≥ Theo khai triển Taylor R(j) (x) = X R(k) (−λ) k≥j (x + λ)k−j (k − j)! bao gồm x ≥ −λ không âm, từ ta có (2.39) Định lý điều kiện (2.39) đủ cho tính co với chuẩn tùy ý Nó dễ dàng áp dụng cho hệ (2.9) ma trận thỏa mãn kA + λIk∞ = λ Định lý 2.7 Xét chuẩn tùy ý cho A với λ ≥ thỏa mãn kA + λIk ≤ λ (2.42) Nếu hàm ổn định phương pháp thỏa mãn R (0) = R(j) (x) ≥ với x ∈ [−%, 0] j = 0, 1, 2, (2.43) lời giải số có tính co (tức kR (hA)k ≤ 1) hλ ≤ % 38 (LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta Chứng minh Đặt h = Do ≤ λ ≤ % ta có R(j) (−λ) ≥ với j Hàm R (z) = X R (j) j≥0 (λ + z)j (−λ) j! (2.44) thỏa mãn |R (z)| ≤ R (−λ + r) với tất số phức z nằm hình trịn |z + λ| ≤ r Tính chất (2.43) có nghĩa khơng có cực trị R (z) nằm |z + λ| ≤ λ Do đó, bán kính hội tụ (2.44) lớn hẳn λ Do đó, từ (2.42) ta có X (A + λI)j R (A) = R(j) (−λ) (2.45) j! j≥0 Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho (2.45) ta điều cần phải chứng minh 2.5 Hệ số ngưỡng Số % lớn thỏa mãn (2.43) gọi hệ số ngưỡng R (z) Ví dụ 2.3 Phương pháp Euler ẩn với R(j) (x) = j! (1 − x)j+1 , j = 0, 1, 2, , thỏa mãn (2.43) với % > Nó có hệ số ngưỡng % = ∞ Ví dụ 2.4 (Hệ số ngưỡng với xấp xỉ Padé) Các đạo hàm hàm đa thức Rk0 (z) = + z + z2 zk + + k! tính tốn cách dễ dàng Khi xét điều kiện (2.43) cho Rk0 (z), ta cần quan tâm đến thành phần + z , % = với k Với xấp xỉ Padé Rk1 (z) có điểm kì dị đơn, viết dạng a Rk1 (z) = + đa thức z, − bz có đạo hàm hữu hạn đổi dấu (xem Ví dụ 2.3) Các giá trị số thu thể Bảng 2.1 Hàm Rk2 khơng có điểm kì dị thực (xem Phần IV.4 [2]) Nhưng tính chất |R (z)| ≤ R (−% + r) với |z + %| ≤ r (xem chứng minh Định lý 2.6) có nghĩa max |R (z)| nằm đường trịn tâm −% bán kính r nằm trục thực Do đó, r tăng, điểm kì dị gặp đường tròn phải thực 39 (LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta bên phải −% Ở đây, điều khơng thể xấp xỉ Rk2 (z) khơng thỏa mãn tính chất (2.43) Điều thể dấu * Bảng 2.1 Tất giá trị Bảng 2.1 tính tốn sử dụng phân tích R (z) trích dẫn từ Kraaijevanger (1986) van de Griend Kraaijevanger (1986) Xem xét kĩ Bảng 2.1, phương pháp với hệ số ngưỡng lớn k j=0 1 1 1 j=1 ∞ 2.196 2.35 2.477 2.586 2.682 j=2 * * * * * * * j=3 0.584 1.195 1.703 2.208 2.710 3.212 3.713 j=4 * * * * * * * j=5 0.353 0.770 1.081 1.424 1.794 2.185 2.590 Bảng 2.1: Hệ số ngưỡng xấp xỉ Padé không ổn định A Một ngoại lệ phương pháp Euler ẩn (k = 0, j = 1) có hệ số ngưỡng % = ∞ Một nghiên cứu chi tiết hàm thỏa mãn (2.43) đưa S.Bernstein (1914) nối tiếp F.Hausdorff (1921) Những hàm thỏa mãn (2.43) gọi hàm đơn điệu tuyệt đối [−%, 0] Sau đó, S.Bernstein (1928) đưa đặc điểm hàm đơn điệu tuyệt đối (−∞, 0] Định lý 2.8 (Bernstein 1928) Điều kiện cần đủ để R (x) hàm đơn điệu tuyệt đối (−∞, 0] Z∞ R (x) = ext dα (t) , (2.46) α (t) hàm bị chặn, khơng giảm tích phân hội tụ với −∞ < x ≤ Đây kết chìa khóa đến hai định lý Về định lý không dễ chứng minh Ta tham khảo chứng minh S.Bernstein (1928) Từ kết ta có "trường hợp giới hạn λ → ∞" Định lý 2.7 với chuẩn tùy ý Định lý 2.9 Cho hàm R (x) đơn điệu tuyệt đối (−∞, 0], R (0) = A ma trận với chuẩn logarit không dương µ (A) ≤ kR (A)k ≤ 40 (LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta Chứng minh Từ Định lý 1.15 ta có lời giải y (x) = eAx y0 y = Ay thỏa mãn ky (x)k ≤ ky0 k, có eAx ≤ với x ≥ Từ ∞ Z∞ Z Z∞ At At e dα (t) ≤ dα (t) = R (0) = kR (A)k = e dα (t) ≤ 0 α (t) hàm không giảm Kết sau chứng tỏ khơng có phương pháp Runge-Kutta cấp p > có hàm ổn định R (x) đơn điệu tuyệt đối (−∞, 0] Định lý 2.10 Nếu hàm R (x) đơn điệu tuyệt đối (−∞, 0] R (x) = + x + x2 + O x3 với x → 0, R (x) = ex Chứng minh (Bolley Crouzeix 1978) Theo (2.46) có R (x) = R∞ ext dα (t), từ R(j) (0) = Z∞ tj dα (t) Vì R (0) = R0 (0) = R00 (0) = nên Z∞ (1 − t)2 dα (t) = 0 Do đó, hàm α (t) phải hàm Heaviside (α (t) = với t ≤ α (t) = với t > 1) Thay vào (2.46) ta R (x) = ex Kết luận Chương trình bày tính co xét tốn tuyến tính Trong suốt chương này, ta xét toán đặc biệt (2.9) Ban đầu, xét với chuẩn Euclid ta có điều kiện liên quan đến tính co cơng thức (2.13), Định lý 2.1, Hệ 2.1, Hệ 2.2 Tiếp theo, ta điều kiện cần tính co cho toán (2.9) với hai chuẩn k.k∞ k.k1 Định lý 2.6 Với chuẩn tổng quát ta có Định lý 2.7 Ngoài ra, ta mở rộng điều kiện co cho toán với nhiễu phi tuyến nhỏ Hơn nữa, ta đưa định nghĩa hàm tăng trưởng sai số với tốn tuyến tính ϕR (x) Bên cạnh đó, ta thử nghiệm số giải toán (2.9) toán bán phi tuyến 41 (LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta Chương Tính ổn định B tính co Trong chương này, ta nghiên cứu ổn định phương pháp RungeKutta cho hệ phi tuyến tổng quát Nội dung chương tham khảo tài liệu [3] Phần lớn ý tưởng lấy từ báo Dahlquist (1963) với tổng quát nghiên cứu tính ổn định A tốn phi tuyến Nghiên cứu đầy đủ Dahlquist lớp hệ phi tuyến cuối thành công sau 12 năm Trong buổi nói chuyện Dahlquist hội nghị Dundee vào tháng năm 1975, ông xét phương trình vi phân thỏa mãn điều kiện Lipschitz phía, trình bày vài kết phương pháp đa bước J.C Butcher (1975) sau tham dự hội nghị phát triển ý tưởng với phương pháp Runge-Kutta ẩn cho đời khái niệm ổn định B 3.1 Điều kiện Lipschitz phía Xét phương trình vi phân phi tuyến y = f (x, y) (3.1) với chuẩn Euclid điều kiện Lipschitz phía hf (x, y) − f (x, z) , y − zi ≤ νky − zk2 , (3.2) số ν số Lipschitz phía f Giả sử (3.1) có nghiệm, ta có kết sau đây: Bổ đề 3.1 Cho hàm f (x, y) liên tục thỏa mãn (3.2) Khi đó, với hai lời giải y (x) z (x) (3.1) ta có ky (x) − z (x)k ≤ ky (x0 ) − z (x0 )k eν(x−x0 ) với x ≥ x0 42 (LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta Chứng minh Lấy đạo hàm m (x) = ky (x) − z (x)k2 ta m0 (x) = hf (x, y (x)) − f (x, z (x)) , y (x) − z (x)i ≤ 2νm (x) Bất đẳng thức đạo hàm dẫn đến (xem Định lý 1.13) m (x) ≤ m (x0 ) e2ν(x−x0 ) với x ≥ x0 , từ suy m (x) ≤ ky (x0 ) − z (x0 )k2 e2ν(x−x0 ) với x ≥ x0 Nhận xét 3.1. a) Trong tập lồi mở, điều kiện (3.2) tương đương với điều ∂f kiện µ ≤ ν (Mệnh đề 1.3) Nếu f hàm khả vi liên tục, Bổ đề ∂y 3.1 trở thành trường hợp đặc biệt Định lý 1.15 b) Nếu y f nhận giá trị phức điều kiện (3.2) thay điều kiện Re hf (x, y) − f (x, z) , y − zi ≤ νky − zk2 , y, z ∈ Cn , (3.3) Bổ đề 3.1 3.2 Ổn định B ổn định đại số Bất ν ≤ (3.2), khoảng cách hai lời giải (3.1) hàm khơng tăng x Tính chất tương tự mong đợi từ lời giải số Ở đây, ta xét phương pháp Runge-Kutta ẩn y1 = y0 + h gi = y0 + h s X i=1 s X (3.4a) bi f (x0 + ci h, gi ) aij f (x0 + cj h, gj ) i = 1, 2, , s (3.4b) j=1 Định nghĩa 3.1 (Butcher 1975) Giả sử phương pháp Runge-Kutta thỏa mãn điều kiện co hf (x, y) − f (x, z) , y − zi ≤ , (3.5) lời giải số thỏa mãn ky1 − yb1 k ≤ ky0 − yb0 k với h ≥ đủ nhỏ Khi đó, phương pháp gọi ổn định B (B-ổn định) Ở đây, y1 yb1 xấp xỉ số sau bước xuất phát với giá trị ban đầu y0 yb0 tương ứng 43 (LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta Rõ ràng, ổn định B kéo theo ổn định A Điều thấy cách áp dụng Định nghĩa 3.1 cho y = λy với λ ∈ C, xác áp dụng cho y1 α −β y1 = (3.6) β y2 α y2 Định nghĩa 3.2 Với số nguyên dương s c1 , , cs số thực khác (thường < ci < 1), đa thức trùng khớp u (x) bậc s định nghĩa (3.7a) u (x0 ) = y0 u0 (x0 + ci h) = f (x0 + ci h, u (x0 + ci h)) (3.7b) i = 1, 2, , s Lời giải số xác định công thức y1 = u (x0 + h) Ví dụ 3.1 Với phương pháp dựa sở phép cầu phương Gauss, việc chứng minh tính ổn định B (Wanner 1976) Ta ký hiệu u (x) u b (x) đa thức trùng khớp với giá trị ban đầu y0 yb0 hàm khả vi m (x) = ku (x) − u b (x)k2 Tại điểm trùng khớp ξi = x0 + ci h ta có m0 (ξi ) = hf (ξi , u (ξi )) − f (ξi , u b (ξi )) , u (ξi ) − u b (ξi )i ≤ Do phép cầu phương Gauss tính xác tích phân đa thức m0 (x) (m0 (x) đa thức bậc 2s − 1) trọng số bi > 0, ta có ky1 − yb1 k = m (x0 + h) = m (x0 ) + = m (x0 ) + h s P i=1 x0R+h m0 (x) dx x0 bi m0 (x0 + ci h) ≤ m (x0 ) = ky0 − yb0 k Một "tiêu chuẩn đại số" cho tính ổn định B cách độc lập Burrage Butcher (1979) Crouzeix (1979) Kết sau: Định lý 3.1 Nếu hệ số phương pháp Runge-Kutta (3.4) thỏa mãn i) bi ≥ với i = 1, 2, ii) M = (mij ) = (bi aij + bj aji − bi bj )si,j=1 xác định khơng âm, phương pháp ổn định B Định nghĩa 3.3 Một phương pháp Runge-Kutta thỏa mãn (i) (ii) Định lý 3.1 gọi ổn định đại số Chứng minh Chứng minh Định lý 3.1 Chúng ta đưa vào ký hiệu sau ∆y0 = y0 − yb0 , ∆y1 = y1 − yb1 , ∆gi = gi − b gi , ∆fi = h (f (x0 + ci h, gi ) − f (x0 + ci h, b gi )) ; 44 (LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta Trừ hai công thức Runge-Kutta (3.4) tương ứng với y yb ta ∆y1 = ∆y0 + s X bi ∆fi (3.8a) aij ∆fj (3.8b) i=1 s X ∆gi = ∆y0 + j=1 Bình phương cơng thức (3.8a) k∆y1 k2 = k∆y0 k2 + s X bi h∆fi , ∆y0 i + i=1 Từ (3.8b) ta có ∆y0 = ∆gi − s P s X s X bi bj h∆fi , ∆fj i (3.9) i=1 j=1 aij ∆fj , thay vào (3.9) ta có j=1 2 k∆y1 k = k∆y0 k + s X bi h∆fi , ∆gi i − s X s X i=1 mij h∆fi , ∆fj i (3.10) i=1 j=1 s P s P Từ (3.5) ta có h∆fi , ∆gi i ≤ 0, mặt khác mij h∆fi , ∆fj i ≥ nên ta suy i=1 j=1 phương pháp ổn định B Ví dụ 3.2 Xét phương pháp SDIRK cho Bảng 3.1 γ γ 1−γ − 2γ γ √ ! 3± γ= Bảng 3.1: Phương pháp SDIRK cấp i) b1 = b2 = > ii) Ta xác định ma trận M theo Định lý 3.1 1 1 m11 = γ + γ − = γ − 2 4 1 11 m12 = (1 − 2γ) + − = − γ − 2 22 1 m21 = + (1 − 2γ) − 2 1 1 m22 = γ + γ − = γ − 2 4 Từ M= γ− −1 −1 45 (LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta(LUAN.van.THAC.si).tinh.on.dinh.va.tinh.CO.cua.cac.phuong.phap.runge.kutta Xét đa thức đặc trưng γ− −λ − γ−
Ngày đăng: 20/12/2023, 19:58
Xem thêm: