Kỹ thuật “chia để trị” là vấn đề quan trọng trong phân tích và thiết kế giải thuật, nó đã được nghiên cứu từ lâu và có nhiều ứng dụng trong nhiều ngành khoa học nói Chung và khoa học máy tính nói riêng. Nhiều giải thuật đã được phát triển để giải được rất nhiều bài toán, có thể nói rằng “chia để trị” là kỹ thuật quan trọng nhất và được áp dụng rộng rãi nhất để thiết kế các giải thuật có hiệu quả hiện nay.. Trong đó bài toán sắp xếp lịch thi đấu là một chủ đề khá thú vị, là chủ đề mang tính chất thực tế trong cuộc sống và được ứng dụng rất rộng rãi.
Trang 1KHOA TIN HỌC
-ĐỒ ÁN MÔN HỌC
ĐỀ TÀI
SẮP XẾP LỊCH THI ĐẤU TENNIS BẰNG THUẬT
TOÁN CHIA ĐỂ TRỊ
Sinh viên thực hiện: Khổng Thanh Dũng Lớp: 11CNTT2
Giảng viên hướng dẫn: TH.S.Lê Thị Bích Hồng
Trang 2MỤC LỤC
MỞ ĐẦU 3
CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT 4
1.1 KỸ THUẬT CHIA ĐỂ TRỊ 4
1.1.1 Khái niệm 4
1.1.2 Chiến thuật 4
1.1.3 Phương pháp 4
1.1.4 Mô tả giải thuật chung 5
1.2 CÁC BÀI TOÁN ÁP DỤNG KỸ THUẬT CHIA ĐỂ TRỊ 5
1.2.1 Tìm max, min trong dãy 5
1.2.2 Sắp xếp nhanh 5
1.2.3 Sắp xếp trộn 6
1.2.4 Tìm kiếm nhị phân 6
1.2.5 Bài toán tháp Hà Nội (Brahma) 7
1.3 ĐÁNH GIÁ ĐỘ PHỨC TẠP CỦA THUẬT TOÁN 8
1.3.1 Định nghĩa 8
1.3.2 các tính chất của O, Ω, ⱺ 8
1.3.3 Phân tích tiệm cận 8
1.3.4 Các cách đánh giá thuật toán 9
1.3.5 Các kiểu phân tích 9
1.3.6 Độ phức tạp thời gian 9
CHƯƠNG 2 BÀI TOÁN SẮP XẾP LỊCH THI ĐẤU THỂ THAO TENNIS 10
2.1 ĐẶT VẤN ĐỀ 10
2.2 GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 10
2.3 GIẢI THUẬT 10
2.4 THIẾT KẾ DỮ LIỆU CHO BÀI TOÁN 12
2.5 LẬP LỊCH THI ĐẤU 12
2.6 ĐỘ PHỨC TẠP CỦA GIẢI THUẬT 13
2.7 NHẬN XÉT 13
KẾT LUẬN 14
TÀI LIỆU THAM KHẢO 14
PHỤ LỤC 15
Chương trình sắp xếp lịch thi đấu thể thao Tennis 15
Trang 3MỞ ĐẦU
1 Lý do, mục đích chọn đề tài
Kỹ thuật “chia để trị” là vấn đề quan trọng trong phân tích và thiết kế giải thuật, nó đã được nghiên cứu từ lâu và có nhiều ứng dụng trong nhiều ngành khoa học nói Chung và khoa học máy tính nói riêng Nhiều giải thuật đã được phát triển
để giải được rất nhiều bài toán, có thể nói rằng “chia để trị” là kỹ thuật quan trọng nhất và được áp dụng rộng rãi nhất để thiết kế các giải thuật có hiệu quả hiện nay Trong đó bài toán sắp xếp lịch thi đấu là một chủ đề khá thú vị, là chủ đề mang tính chất thực tế trong cuộc sống và được ứng dụng rất rộng rãi
2 Mục tiêu cần đạt được của đề tài
Đề tài này được thực hiện nhằm đạt được mục tiêu là hiểu rõ, sâu sắc hơn về thuật toán chia để trị, ứng dụng của thuật toán vào một số bài toán Tìm hiểu ứng dụng quan trọng của nó trong chia lịch thi đấu thể thao trong Tennis
3 Cơ sở lý thuyết
- Toán học
- Mảng
- Danh sách liên kết
4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Ngôn ngữ lập trình C++
- Thuật toán chia để trị và bài toán chia lịch thi đấu Tennis
5 Phương pháp nghiên cứu
- Tìm hiểu thông tin trên mạng internet, sách, báo, tạp chí…
- Thông qua sự hướng dẫn của thầy cô giáo và nghiên cứu những tài liệu tham khảo liên quan
6 Cấu trúc đề tài
- Mở đầu
- Chương I: Cơ sở lý thuyết
- Chương II: Bài toán sắp xếp lịch thi đấu thể thao
- Kết luận
- Tài liệu tham khảo
- Phụ lục
Trang 4CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1.1 KỸ THUẬT CHIA ĐỂ TRỊ
1.1.1 Khái niệm
- Chia để trị ( Divide and conquer) là phương pháp thiết kế được sử dụng rộng rãi
và quan trọng Có lẽ thuật toán được sử dụng nhiều nhất, quan trọng nhất là kỹ thuật chia để trị Kỹ thuật này sẽ chia bài toán hiện thời thành N bài toán nhỏ hơn, thực hiện lời giải cho từng bài toán nhỏ này và từ đó xây dựng thuật toán cho bài toán lớn tổng hợp Ví dụ cho thuật toán này là Sắp xếp trộn hoặc Tìm kiếm nhị phân Chia để trị là chìa khóa để thiết kế nhiều giải thuật quan trọng, là cơ sở của quy hoạch động
1.1.2 Chiến thuật
Chiến thuật của thuật toán chia để trị gồm các bước sau:
a Chia bài toán thành nhiều bài toán nhỏ hơn.
b Trị (giải) mỗi bài toán nhỏ, trừ khi bài toán đủ nhỏ để có lời giải Dùng đệ
quy để thực hiện điều này
c Nếu cần thì tổ hợp các lời giải của các bài toán nhỏ để nhận được lời giải của bài toán gốc
Nói là “nếu cần” ở bước 3 vì như bài toán tìm kiếm nhị phân bằng đệ quy chẳng
hạn thì bài toán lớn được thu gọn thành đúng một bài toán nhỏ, vì vậy không cần phải tổ hợp các lời giải
1.1.3 Phương pháp
a) Quá trình
Kỹ thuật chia để trị gồm 2 quá trình:
- Phân tích bài toán đã cho thành bài toán cơ sở
- Tổng hợp kết quả từ bài toán cơ sở để có lời giải của bài toán ban đầu Tuy nhiên đối với một số bài toán, thì quá trình phân tích đã chứa đựng việc tổng hợp kết quả do đó nếu chúng ta đã giải xong các bài toán cơ sở thì bài toán ban đầu cũng đã được giải quyết Ngược lại, có những bài toán mà quá trình phân tích thì đơn giản nhưng việc tổng hợp kết quả lại rất phức tạp
b) Ý tưởng
Ta có thể tóm tắt ý tưởng chính của phương pháp này như sau:
- Chia bài toán đã cho thành một số bài toán con có kích thước nhỏ hơn
- Giải các bài toán con (kích thước giảm đến trường hợp tầm thường hay còn gọi là bài toán cơ sở)
- Tổng hợp kết quả để được bài toán ban đầu
Thông thường ta nhận được các bài toán con trong quá trình phân chia có cùng dạng với bài toán ban đầu, chỉ có cỡ là nhỏ hơn Trong trường hợp như thế thuật toán tìm được có thể biểu diễn một cách tự nhiên bởi thủ tục đệ quy Vì vậy để hiểu
rõ hơn về kỹ thuật chia để trị ta cũng sẽ có một số tìm hiểu về đệ quy ở phần sau
Trang 51.1.4 Mô tả giải thuật chung
Nếu gọi D & C(R) với R là miền dữ liệu là hàm thể hiện cách giải bài toán theo phương pháp chia để trị ta có thể viết:
Void D&C (R){
If (R đủ nhỏ)
giải bài toán;
Else{
Chia r thành R1,… Rn ;
For (i=1 ; I <=m ; i++)
D&C(Ri) ;
Tổng hợp kết quả ;
}
}
1.2 CÁC BÀI TOÁN ÁP DỤNG KỸ THUẬT CHIA ĐỂ TRỊ
1.2.1 Tìm max, min trong dãy
Chia mảng A gồm hai nửa, tìm giá trị lớn nhất của mỗi nửa bằng đệ quy Trả về giá trị lớn nhất trong hai giá trị lớn nhất của mỗi nửa
max(i,j)
{
if (j-i≤1) return A[i]>A[j]?A[i]:A[j];
else {
m1=max(i,(i+j)/2) m2=max((i+j)/2+1,j);
return m1>m2? m1:m2;
}
}
1.2.2 Sắp xếp nhanh
Thuật toán QuickSort sắp xếp hai danh sách con bằng đệ quy để kết quả là toàn bộ danh sách được sắp xếp
qsort (low, high)
{
i=low; j=high;
x=A[(low+high)/2];
do{
while (A[i]<x) i++;
while (A[j]>x) j ;
if (i<=j){
swap(A[i],A[j]);
i++;
j ;
}
} while (i<=j);
if (low<j) qsort(low,j);
if (i<high) qsort(i,high);
Trang 61.2.3 Sắp xếp trộn
Sắp xếp trộn bằng cách trộn hai mảng con đã sắp xếp thành mảng kết quả
Ví dụ, để sắp xếp một mảng gồm 16 phần tử, có thể chia mảng này thành hai mảng con, mỗi mảng gồm 8 phần tử, sắp xếp hai mảng con rồi trộn chúng lại thì có được mảng kết quả Cùng cách này, mỗi mảng con kích thước 8 được chia thành hai mảng con kích thước 4, sắp xếp chúng và trộn lại Cuối cùng, kích thước các mảng con là 1 thì đã sắp xếp tầm thường Thủ tục này gọi là “sắp xếp trộn” Cho mảng kích thước n, để đơn giản giả sử n là số mũ của 2, sắp xếp trộn bao gồm các bước sau:
1 Chia mảng thành hai mảng con kích thước n/2
2 Trị (giải) mỗi mảng con bằng cách sắp xếp chúng Trừ khi kích thước mảng con đủ nhỏ, dùng đệ quy để thực hiện điều này
3 Tổ hợp các lời giải của các mảng con bằng cách trộn chúng vào một mảng
mergesort (n, A[ ])
{
if (n>1) {
h=[n/2], m = n - h;
chép A[1 h] vào U[1 h];
chép A[h+1 n] vào V[1 m];
mergesort(h, U);
mergesort(m, V);
merge (h, m, U, V, A); }
}
1.2.4 Tìm kiếm nhị phân
Cho mảng n phần tử đã được sắp xếp tăng dần và một phần tử x Tìm x có trong mảng hay không? Nếu có x trong mảng thì cho biết vị trí đầu tiên của x trong mảng, ngược lại cho kết quả trả về bằng 0
int RecBinarySearch(int a[max],int First,int Last,int x)
{
if(First>Last)
return (0);
int Mid=(First+Last)/2;
if(x==a[Mid])
return (Mid);
if(x<a[Mid])
return RecBinarySearch(a,First,Mid-1,x);
else
return RecBinarySearch(a,Mid+1,Last,x);
}
//======================================================= int BinarySearch(int a[max],int n,int x)
{
return(RecBinarySearch(a,0,n-1,x));
Trang 71.2.5 Bài toán tháp Hà Nội (Brahma)
Có n đĩa kích thước nhỏ dần xếp chồng lên nhau trên một cọc (được gọi là
cọc nguồn, cọc A), đĩa lớn ở dưới, đĩa nhỏ ở trên Ngoài cọc nguồn còn có 2 cọc trống khác, được gọi là cọc đích và cọc trung gian (cọc B và cọc C) Hãy chuyển các đĩa này từ cọc nguồn sang cọc đích (một trong 2 cột B hoặc C) tuân theo 2 quy tắc sau:
Quy tắc 1: Mỗi lần chỉ được chuyển mỗi đĩa từ cọc này sang cọc khác và được
dùng cọc thứ 3 làm cọc trung chuyển
Quy tắc 2: Không được xếp đĩa lớn trên đĩa nhỏ.
void main()
{
Int n,i,j,s,t,d,os,ot,nc[3]={0},c[3][MAX]={0},cmin=0,temp;long cn=0;
printf("n= "); scanf("%d",&n);
nc[0]=n; c[0][nc[0]]=1; for (j=0; j<=n; j++) c[0][j]=n+1-j;
c[0][n]=1; c[1][0]=n+1; c[2][0]=n+1;
if (n%2==0) d=1; else d=2;
//chuyen dia nho nhat
cn++;
s=cmin; t=(s+d)%3;
printf("%10ld - chuyen dia 1: %d >%d\n",cn,s,t);
nc[t]++; c[t][nc[t]]=1; cmin=t;
nc[s] ;
// tim os & ot hop le
os=0; while (os==t) os++;
ot=3-os-t;
if (c[os][nc[os]]>c[ot][nc[ot]]){
temp=os; os=ot; ot=temp;
}
while (nc[2]<n){
//chuyen dia khac hop le
cn++
printf("%10ld-chuyendia%d:%d >%d\n",cn,c[os][nc[os]],os,ot);
nc[ot]++; c[ot][nc[ot]]=c[os][nc[os]];
nc[os] ;
//chuyen dia nho nhat
cn++;
s=cmin; t=(s+d)%3;
printf("%10ld - chuyen dia 1: %d >%d\n",cn,s,t);
nc[t]++; c[t][nc[t]]=1; cmin=t;
nc[s] ;
// tim os & ot hop le
os=0; while (os==t) os++;
ot=3-os-t;
if (c[os][nc[os]]>c[ot][nc[ot]]){
Trang 8temp=os; os=ot; ot=temp;
}
}
printf("cn = %ld", cn);
getch();
}
1.3 ĐÁNH GIÁ ĐỘ PHỨC TẠP CỦA THUẬT TOÁN
1.3.1 Định nghĩa
Một chương trình máy tính thường được cài đặt dựa trên một thuật toán để giải bài toán hay vấn đề đặt ra Một đòi hỏi đương nhiên là thuật toán phải đúng
Thuật ngữ phân tích thuật toán đề cập đến một quá trình tìm ra một đánh giá về
thời gian và không gian cần thiết để thực hiện thuật toán Ðộ phức tạp của thuật
toán được thể hiện qua khối lượng thời gian và không gian để thực hiện thuật toán.
Không gian ở đây được hiểu là các yêu cầu về bộ nhớ, thiết bị lưu trữ, … của máy tính để thuật toán có thể làm việc được Việc xem xét độ phức tạp về không gian của thuật toán phụ thuộc phần lớn vào cấu trúc dữ liệu được sử dụng trong cài đặt thuật toán
1.3.2 các tính chất của O, Ω, ⱺ
Với tất cả các tính chất luôn giả sử f, g, h: N R *
1. Tính bắt cầu: Nếu f € O(g) và g € O(h) thì f € O(h)
2. f € O(g) nếu và chỉ nếu g € Ω(f)
3. Nếu f € ⱺ(g) thì g € ⱺ (f)
4 ⱺ xác định một quan hệ tương đương trên các hàm; mỗi tập ⱺ(f) là một lớp tương đương, gọi là lớp phức tạp
5. O(f+g) = O(max(f,g))
1.3.3 Phân tích tiệm cận
Các công thức để tính thời gian chạy của chương trình thường phức tạp Khi thiết kế thuật toán, mục đích chính của việc phân tích là nhận được một giác quan
về xu hướng trong thời gian chạy của thuật toán Chúng ta muốn biểu diễn các hàm phức tạp một cách đơn giản – lấy đặc tính tốc độ tăng cơ bản Đây là mục đích của tiệm cân
Phân tích tiệm cận dựa vào hai giả thiết đơn giản, thỏa mãn hầu hết các trường hợp, nhưng không phải tất cả Nhưng là quan trọng để hiểu các giả thiết này và các giới hạn của phân tích tiệm cận
Kích thước dữ liệu nhập lớn Chúng ta quan tâm hầu hết trong cách tăng
thời gian chạy với giá trị n lớn
Bỏ qua nhân tử bằng Thời gian chạy của chương trình phụ thuộc vào các
nhân tử hằng khác nhau trong cài đặt (mã lệnh, trình biên dịch, phần cứng…) Do đó sẽ bỏ qua các nhân tử hằng
Trang 9Kích thước nhập thường ký hiệu là n Gía trị n có thể là kích thước mảng như thuật toán sắp xếp mảng, cũng có thể là một số như thuật toán tính n! , và cũng có thể nhiều kích thước nhập như thuật toán trên đồ thị (số đỉnh, số cạnh)
1.3.4 Các cách đánh giá thuật toán
Phân tích các thuật toán nhằm cải tiến chúng nếu có thể, và chọn ra một số thuật toán tốt cho một bài toán Chúng ta sẽ dùng các tiêu chuẩn sau:
1 Tính đúng đắn
2 Tống số việc thực hiện
3 Tổng không gian sử dụng
4 Đơn giản, rõ ràng
5 Tối ưu
1.3.5 Các kiểu phân tích
Trường hợp xấu nhất: Lấy thời gian ứng với khả năng xấu nhất xảy ra T(n) là thời
gian lớn nhất với tất cả các dữ liệu nhập kích thước n
Trường hợp trung bình: Thời gian chạy với phân bố nào đó trên dữ liệu nhập,
thường là phân bố đồng bộ T(n) là thời gian trung bình của tất cả các dữ liệu nhập với kích thước n
Xác xuất: thời gian chạy với dữ liệu nhập ngẫu nhiên Lập biểu thức thời gian chạy
và tính xác xuất nhận được nó
1.3.6 Độ phức tạp thời gian
Việc tính độ phức tạp dựa vào các quy tắc sau:
Phép gán O(1)
Vào/ra hàm O(1)
Lệnh if thời gian kiểm tra cộng O( max{ hai nhánh } )
Lệnh lặp Tổng tất cả thời gian của tất cả các bước lặp
Tổng hợp chúng bằng cách dùng các quy tắc tính tổng và nhân Trừ các thuật toán
đệ quy
Quy tắc tổng: Nếu g1(n)=O(f1(n)) và g2(n)=O(f2(n)) thì:
a) g1(n)+g2(n)=O(f1(n)+f2(n))
b) g1(n)+g2(n)=O(max{f1(n),f2(n)})
Quy tắc nhân: Nếu g1(n)=O(f1(n)) và g2(n)=O(f2(n)) thì g1(n).g2(n)=O(f1(n).f2(n))
* Một số lớp độ phức tạp
- Độ phức tạp hằng số: O(1)
- Độ phức tạp logarit: O(log n)
- Độ phức tạp tuyến tính: O(n)
- Độ phức tạp n log n: O(n log n)
- Độ phức tạp đa thức: O(nb)
- Độ phức tạp mũ: O(bn), trong đó b > 1
- Độ phức tạp giai thừa: O(n!) = O(nn)
Trang 10CHƯƠNG 2 BÀI TOÁN SẮP XẾP LỊCH THI ĐẤU THỂ
THAO TENNIS
Kỹ thuật chia để trị không những chỉ có ứng dụng trong thiết kế giải thuật
mà còn trong nhiều lĩnh vực khác của cuộc sống Chúng ta sẽ xét ví dụ sau để thấy
rõ hơn về sức mạnh của kỹ thuật “chia để trị”.
2.1 ĐẶT VẤN ĐỀ
Bài toán: Sắp xếp lịch thi đấu vòng tròn một lượt cho n đối thủ Mỗi đối thủ phải thi đấu với n-1 đối thủ khác và mỗi đối thủ chỉ đấu nhiều nhất một trận mỗi ngày Yêu cầu là xếp một lịch thi đấu sao cho số ngày thi đấu là ít nhất
2.2 GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
Nếu n chẵn, ta có thể xếp n/2 cặp đấu với nhau mỗi ngày và số ngày thi đấu
ít nhất sẽ là n-1 ngày Ngược lại nếu n lẻ, thì n-1 chẵn, ta có thể xếp (n-1)/2 trận
mỗi ngày và vì vậy chúng ta cần n ngày Giả sử n = 2 k thì n chẵn do đó ta cần ít nhất n - 1 ngày
Giả sử cần lập một lịch thi đấu Tennis cho n =2k vận động viên (VĐV) Mỗi VĐV phải thi đấu với lần lượt n-1 VĐV khác, mỗi ngày thi đấu 1 trận Như vậy n-1 là số ngày thi đấu tối thiểu phải có Chúng ta cần lập lịch thi đấu bằng cách thiết lập ma trận có n hàng, n-1 cột Giá trị số tại vị trí (i,j) (hàng i, cột j) chỉ ra VĐV cần thi đấu với VĐV i trong ngày thứ j
2.3 GIẢI THUẬT
Lập lịch thi đấu cho hai VĐV thì dễ sắp xếp Khó khăn chính là ở chỗ từ các lịch thi đấu cho hai VĐV, ta tổng hợp lại để được lịch thi đấu của 4 VĐV, đây
chính là điều mà chúng ta đã nói ở chương I “có những bài toán mà quá trình phân
tích thì đơn giản nhưng việc tổng hợp kết quả lại rất phức tạp”
Chiến lược chia để trị như sau: thay vì xếp cho n VĐV, ta sẽ xếp cho n/2 VĐV sau đó dựa trên kết quả lịch thi đấu của n/2 VĐV ta xếp cho n VĐV Quá trình phân chia sẽ dừng lại khi ta phải xếp lịch cho 2 VĐV Việc xếp lịch cho 2 VĐV rất dễ dàng: ta cho 2 VĐV này thi đấu 1 trận trong 1 ngày Bước khó khăn nhất chính là bước xây dựng lịch cho 4, 8, 16, … VĐV từ lịch thi đấu của 2 VĐV
* Lịch thi đấu của hai VĐV 1 và 2 trong ngày thứ nhất
Ô(1,1) =2;
Ô(1,2) =1;
* Lịch thi đấu cho 4 VĐV
Xuất phát từ lịch thi đấu cho hai VĐV ta có thể xây dựng lịch thi đấu cho 4 VĐV
là một bảng gồm 4 dòng 3 cột như sau:
- Lịch thi đấu cho hai VĐV 3 và 4 trong ngày thứ nhất
Ô(3,1)= 4 = Ô(1,1) +2; Ô(4,1) = 3 = Ô(1,2) +2;