Đang tải... (xem toàn văn)
Bài tập lớn Giải tích 2 kham khảo, nghiên cứu một số bài toán được lấy từ số liệu thực tế, một số bài toán được dịch từ những cuốn sách calculus phổ biến tại các nước phương Tây. Tác dụng cho sinh viên có thể hiểu được ứng dụng của các doạn toán tích phân có trong giải tích 2, ứng dụng của tích phân từng phần, cách tính diện tích của một hồ nước dùng theo phương pháp chia nhỏ thành từng hình vuông và công lại mà không cần phải đo đạc chính xác
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP.HCM - BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH Giảng viên hướng dẫn: Ths X LỚP: L06 TÊN NHÓM: BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP.HCM - BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH Giảng viên hướng dẫn: Ths X LỚP: L09 TÊN NHÓM: Danh sách thành viên: A B C D E TP HỒ CHÍ MINH, ngày 01 tháng năm 2022 MỤC LỤC 1.VẤN ĐỀ 1: ĐO THỂ TÍCH CỦA NƯỚC TRONG HỒ HÌNH DẠNG BẤT KÌ 2.VẤN ĐỀ 2: TÍNH GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỦA MỘT ĐẠI LƯỢNG .6 VẤN ĐỀ 3: TÍNH THỂ TÍCH HÌNH XUYẾN VẤN ĐỀ 4: DIỆN TÍCH MẶT TRỤ 10 VẤN ĐỀ 5: KHẢO SÁT HÀM HAI BIẾN 15 VẤN ĐỀ 6: TÌM VÀ GIẢI CÁC BÀI TỐN ỨNG DỤNG 17 VẤN ĐỀ ĐO THỂ TÍCH CỦA NƯỚC TRONG HỒ HÌNH DẠNG BẤT KÌ Ta có hố đất sau: Ta chọn hố đất nằm miền đóng D, xét mặt phẳng nằm ngang Oxy, ta chia miền D thành hình chữ nhật nhỏ có kích thước ∆ x , ∆ y Tại hình chữ nhật miền D, ta đo độ sâu hố f(x,y) Từ ta tính thể tích hố tổng z = f(x,y) hình chữ nhật có chứa hố Ta mơ hình hố đất với chia miền D thành ô nhỏ sau: Với ∆ x=∆ y=1( cm) Dựa vào hình ta, ta đo đạc độ sâu hố z (đơn vị cm) ô từ A1 đến H10 ghi vào bảng sau: A B C D E F G H 0.3 0.5 0.2 0.1 0.1 0.1 0.0 0.0 0.5 0.9 0.8 0.6 0.6 0.5 0.3 0.0 0.3 1.3 2.0 2.1 2.0 1.2 0.5 0.2 0.3 1.2 2.9 3.3 3.2 1.9 0.8 0.2 0.4 1.1 3.3 4.3 3.8 2.1 0.9 0.3 0.5 1.3 3.5 4.1 3.6 1.8 1.1 0.3 0.4 1.4 2.7 3.2 3.3 1.7 1.0 0.2 0.3 1.2 1.3 1.3 1.5 1.0 0.6 0.1 0.0 0.6 0.7 0.9 0.7 0.5 0.3 0.0 10 0.0 0.1 0.3 0.4 0.3 0.0 0.0 0.0 Bảng số liệu độ sâu ô tương ứng miền hố đất Thể tích hố diện tích vị trí cho z z ij xi , y j ∆ Sij nhân (đối với số biên ta lấy theo diện tích hình tam giác, hình thang (hoặc nửa diện tích ơ) Ta tích hố đất: 10 i j V ≈ ∑ ∑ z ij ∆ Sij =85,5(cm3) Ta dùng phương pháp khác để tính thể tích hố đất cách ước lượng thể tích cát đồ vào để lấp đầy hố Ước lượng thể tích lượng cát đồ vào ta có kết quả: V =86,1 ( cm3 ) Vậy thể tích hố 86,1 cm3 Cách đo độ sâu hồ nước lớn tự nhiên: Trong thực tế, để đo độ sâu hồ nước tự nhiên lớn, người ta thường sử dụng sóng âm Các tàu sử dụng công nghệ gọi sonar, viết tắt điều hướng âm phạm vi, lập đồ địa hình đáy đại dương Thiết bị gửi sóng âm xuống đáy đại dương đo thời gian để tiếng vọng trở lại t (“tiếng vọng” sóng âm phản xạ từ đáy biển quay trở lại thiết bị sonar) Dựa vào thời gian đó, người ta tính độ sâu h hồ biết vận tốc sóng âm nước v công thức: h= vt VẤN ĐỀ TÍNH GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỦA MỘT ĐẠI LƯỢNG Nhiệt độ tỉnh Đông Nam ngày 30/4 Nhiệt độ trung Tỉnh Tây Ninh Bình Phước Bình Dương TP Hồ Chí Minh Nhiệt độ (℃ ) 29 28 29 28 27 28 Diện Tích (km2) 140 6872 2694 2095 5907 1987 bình Đồng Nai Bà RịaVũng Tàu tỉnh Đông Nam ngày 30/4 là: Ttb = 29× 140+28 ×6872+29 ×2694 +28 ×2095+27 ×5907 +28 ×1987 =27.84 (℃ ) 140+6872+2694 +2095+5907+1987 VẤN ĐỀ TÍNH THỂ TÍCH HÌNH XUYẾN Định nghĩa: Hình xuyến khối hình học tạo nên quay hình trịn xung quanh trục nằm mặt phẳng mà khơng cắt Xây dựng cơng thức tính thể tích hình xuyến: Khi ta “mở” hình xuyến ra, hình xuyến trở thành hình trụ với bán kính đáy r, chiều cao π R, từ ta dễ dàng tính thể tích hình xuyến thơng qua hình trụ: V =2 π r R Với: - R : Khoảng cách từ trục xoay đến bán kính hình trịn - r : Bán kính hình trịn xoay Tìm vật thể có dạng hình xuyến, ghi kích thước cần thiết Với số liệu có được, tính thể tích vật thể theo cơng thức vừa tìm So sánh với kết đo thực nghiệm Một vật thể có dạng hình xuyến : Kích thước: Đường kính ngồi: 24cm, đường kính trong: 15,5cm Ta tính được: r= 24−15,5 =4,25 cm R= 4,25 + 15,5 = 19,75 cm Theo công thức ta có: V =2 π r R=2 π x 4,252 x 19,75=7041,65 cm3 Kích thước gần với thực tế đo được, sai chút có sai số Giả sử bạn muốn phủ lên vật thể lớp sơn dày 0.3 mm Dùng vi phân để ước tính lượng sơn cần thiết Dùng cách khác để tính lượng sơn so sánh kết Khi phủ lên lớp sơn 0,3mm, tốn trở thành: Kích thước: Đường kính ngồi: 24,3cm, đường kính trong: 15,2 cm Ta tính đươc r = 4,55 cm, R = 19,75 cm Theo công thức, ta có: V =2 π r R=2 π x 4,552 x 19,75=8070,85 cm3 Lượng sơn cần thiết là: V = 8070,85 - 7041,65 = 1029,2cm3 Theo vi phân : Xét hàm: f (r , R)=2 π r R Ta có : f ' (r , R)r =4 π rR f ' (r , R) R=2 π r Tại r = 4,25 , R= 19,75: f(4,25 ; 19,75) = 7041,65 f ' ( 4,25 ; 19,75 )r =3313,72 f ' ( 4,25 ; 19,75 ) R=356,54 f(4,55; 19,75) ≈ f(4,25 ; 19,75) + 0,3x f ' (4,25 ; 19,75)r + 0x f ' (4,25 ; 19,75)R = 8035,766 cm3 Lượng sơn cần thiết : V = f(4,55; 19,75)−¿f(4,25 ; 19,75) = 994,116 cm3 ≈ 1029,2 cm3 Vậy lượng sơn cần thiết dùng vi phân để ước tính tính cơng thức khác tương đương 10 { Suy ra: Ta có: −sin (t) cos (t) y'= −sin (t) z' = x' = √ Với t :0 → π dl= ( x ' ) +( y ' )2 dt 2π Ta có cost + 6,5)dl S =∫ ( 2π cost −sint cost =∫ ( + 6,5) ( ) +( ) dt √ 2π =∫ ( cost + 6,5) dt √ = 20,42 cm2 Tích phân mặt: Mặt trụ có phương tình x 2+ y 2= giới hạn mặt z = mặt z=x +6,5 Tính diện tích S mặt trụ dS S=∬ S Diện tích mặt cong: Giải Ta có x2 + y2 = ⇔ y= √ −x Đạo hàm y theo x z ta được: Ta có { −x −x ' y z =0 y 'x = √ dS=√ 1+( y'x )2 +( y 'z )2= √ −x Chiếu lên Oxz: D xz={(x , z )∨−0,5≤ x ≤ 0,5 ; ≤ z ≤ x +6,5 } 14 Do S đối xứng qua Oxz nên: S=2|∬ dS| | | | ¿2 0,5 x+6,5 ∫ ∫ −0,5 ¿2 ¿2 √ 0,5 ∫ ( x +6,5 ) −0,5 0,5 ∫ −0,5 | dzdx 2 −x | dx 2 −x √ | x 6,5 + dx 1 2 −x −x 4 √ √ 0,5 ¿ 0+3,25 arcsin (2 x)∨ −0,5 | | = 20,42cm2 Cơng thức tính nhanh áp dụng công thức phiến trụ: S xq=R π (h1 +h2 ) = 0,5 π (7 +6 ) ¿ 13 π cm2 =20,42 cm2 15 VẤN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM HAI BIẾN - BMI (tiếng Anh: Body Mass Index) số khối thể số thể trọng Ta xem BMI hàm số phụ thuộc vào hai biến trọng lượng thể W (kg) chiều cao H (m) cho BMI = f(W,H) Biểu đồ BMI m kg 41 45 50 54 59 64 68 72 77 82 86 91 95 100 1.60 16 18 19 21 23 25 27 28 30 32 34 35 37 39 15 17 19 21 22 24 26 27 29 31 33 34 36 38 15 17 18 20 22 23 25 27 28 30 32 33 35 37 15 16 18 19 21 23 24 26 27 29 31 32 34 36 14 16 17 19 20 22 24 25 27 28 30 31 33 34 14 15 17 18 20 21 23 24 26 27 29 30 32 33 13 15 16 18 19 21 22 24 25 27 28 30 31 33 13 14 16 17 19 20 22 23 24 26 27 29 30 32 13 14 15 17 18 20 21 22 24 25 27 28 28 31 1.62 1.65 1.67 1.70 1.72 1.75 1.77 1.80 16 fW 59;1,676 f H 59;1,676 Ước tính A.Đặt g (W ) = f W ;1,676 Ta có: 23 21 g (59) ≈ 64 59 = 19 21 g (59) ≈ 54 59 = Suy g (59) g (59) fW 59;1,676 = g (59) = =5 B Đặt g (H ) = f 59; H Ta có:SS 20 21 g (1.676) ≈ 1.701 1.676 = 40 22 21 g (1.676) ≈ 1.651 1.676 = 40 Suy g (1.676) g (1.676) f H 59;1,676 = g (1.676) = = 40 Ta cảm nhận số BMI chiều cao 1.68 m cân nặng 60 kg fW 59;1,676 * (60 59) f H 59;1,676 Chỉ số BMI = f 59;1,676 + * (1.68 1.676) = 21 + 0.4*1 + (-40)*0.004 = 21,24 Trích nguồn:https://ipreg.vn/chi-so-bmi.html 17 VẤN ĐỀ TÌM VÀ GIẢI CÁC BÀI TỐN ỨNG DỤNG Ứng dụng tích phân kép *Bài tốn Population distribution In order to study the population distribution of a certain species of insect, a biologist has constructed an artificial habitat in the shape of a rectangle 16 feet long and 12 feet wide The only food available to the insects in this habitat is located at its center The biologist has determined that the concentration C of insects per square foot at a point d units from the food supply (see the figure) is given approximately by C = 10 - d 10 18 What is the average concentration of insects throughout the habitat? Express C as a function of x and y, set up a dobule integral and evaluate it *Tạm dịch Sự phân bố dân cư Để nghiên cứu phân bố quần thể lồi trùng định, nhà sinh vật học xây dựng môi trường sống nhân tạo theo hình chữ nhật dài 16 feet rộng 12 feet Thức ăn dành cho côn trùng môi trường sống nằm trung tâm hình chữ nhật Các nhà sinh vật học xác định mật độ C côn trùng foot vuông điểm có khoản cách d tính từ nguồn cung cấp thực phẩm (xem hình vẽ) đưa xấp xỉ C = 10 - d 10 Mật độ trung bình trùng tồn môi trường sống bao nhiêu? Biểu thị C dạng hàm số x y, thiết lập tích phân kép đánh giá 19 Ghi chú: foot = 30,48 cm (Trích 41, Exercises 8-6 mục Application, tr.504, Calculus for Business, Economics, Life Sciences and Social Sciences, tác giả: Barneet, Ziegler, Byleen, XB 2011) Bài giải Đặt d = f (x,y) (ft) , d khoản cách từ gốc tọa độ O (đặt tâm hình chữ nhật) đến tọa độ (x,y) xét Ta có d = √ x 2+ y (cm) Suy mật độ trung bình lồi trùng điểm (x,y) là: C = 10 - ¿ 10 = 10 - ¿x2 10 + y2) (con/ft2) Mật độ trung bình lồi trùng tồn hình chữ nhật là: 20 1 C dydx 10− (x 2+ y 2)dydx = ∬ = (con/ft2) ∫ ∫ S ( D) 12.16 −8 −6 10 Ứng dụng tích phân bội ba *Bài toán When studying the formation of mountain ranges, geologists estimate the amount of work required to lift a mountain from sea level Consider a mountain that is essentially in the shape of a right circular cone Suppose that the weight density of the material in the vicinity of a point P is g(P) and the height is h(P) (a) Find a definite integral that represents the total work done in forming the mountain (b) Assume that Mount Fuji in Japan is in the shape of a right circular cone with radius 62,000 ft, height 12,400 ft, and density a constant 20