Skkn ứng dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức, giải các bài toán cực trị, bài toán điều kiện về nghiệm của phương trình, bất phương trình

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: “ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC, GIẢI CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ, BÀI TỐN ĐIỀU KIỆN VỀ NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH” skkn CỘNG HÕA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc MẪU BÁO CÁO YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN CẤP TỈNH HOẶC CƠ SỞ I THÔNG TIN CHUNG: Họ tên tác giả sáng kiến: Tô Minh Hải Ngày, tháng, năm sinh: 26 tháng 08 năm 1961 Đơn vị công tác: Trường THPT Trưng Vương Trình độ chun mơn nghiệp vụ: Đại học Sư phạm Toán Quyền hạn, nhiệm vụ giao đảm nhiệm: Phó hiệu trưởng Đề nghị xét, công nhận sáng kiến: Cấp ngành Tên đề tài SKKN: "Ứng dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức, giải toán cực trị, toán điều kiện nghiệm phương trình, bất phương trình" II BÁO CÁO MƠ TẢ SÁNG KIẾN BAO GỒM: Tình trạng sáng kiến biết: Qua thực tiễn học tập giảng dạy, nhận thấy ứng dụng đạo hàm giải toán cấp THPT lớn học sinh thường không mạnh dạn, tự tin sử dụng cơng cụ đắc lực giải tốn vì: Đạo hàm phần kiến thức với học sinh, gắn liền với toán học đại, học sinh bắt đầu làm quen cuối chương trình lớp 11 Trong từ cấp Trung học sở đến cấp THPT học sinh tiếp xúc với nhiều tốn giải PT, HPT, BPT, HBPT; tìm GTLN, GTNN hàm số; chứng minh bất đẳng thức; toán chứa tham số quen sử dụng phương pháp giải toán đại số kinh điển để giải Sách giáo khoa viết ứng dụng đạo hàm khơng nhiều đa số theo chương trình cũ học sinh khơng nhận diện dạng toán chưa hướng dẫn cách hệ thống phương pháp để giải toán trọn vẹn skkn Số lượng tốn có thuộc dạng tốn nêu xuất ngày nhiều đề thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng học sinh giỏi năm gần phương pháp sử dụng để giải chủ yếu sử dụng phương pháp ứng dụng đạo hàm Nội dung sáng kiến đề nghị cơng nhận: + Mục đích sáng kiến : giúp cho học sinh biết phương pháp sử dụng đạo hàm để giải toán : chứng minh bất đẳng thức, giải toán cực trị, tốn điều kiện nghiệm phương trình, bất phương trình + Nội dung sáng kiến chia thành ba chuyên đề : ứng dụng đạo hàm để tìm GTLN, GTNN hàm số, ứng dụng đạo hàm để chứng minh BĐT, ứng dụng đạo hàm để giải PT, HPT, BPT, HBPT Khả áp dụng sáng kiến: - Đối tượng nghiên cứu: Một số toán chứng minh bất đẳng thức, cực trị hàm số, tốn giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình - Phạm vi nghiên cứu: Các tốn sơ cấp chương trình THPT - Thực đề tài tập học sinh lớp 12 - Các biện pháp thực hiện: Bước 1: Hệ thống hóa kiến thức Bước 2: Đưa số ví dụ điển hình Bước 3: Rèn luyện kỹ giải tập ứng dụng cho học sinh thông qua số tập bổ sung nâng cao Gợi mở cho học sinh hướng phát triển, mở rộng - Kết thực : Trong thực tiễn giảng dạy, giúp học sinh hệ thống dạng toán phương pháp giải theo chuyên đề Phạm vi áp dụng sáng kiến : Tổ toán trường THPT học sinh THPT Hiệu quả, lợi ích thu đƣợc áp dụng sáng kiến : - Chương trình giáo dục phổ thơng phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo học sinh; phù hợp với đặc trưng môn học, đặc điểm đối tượng học sinh, điều kiện lớp học; bồi dưỡng học sinh phương pháp tự học, khả hợp tác; rèn kỹ vận dụng kiến thức vào thực tễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú trách nhiệm học tập cho học sinh - Quá trình dạy học với nhiệm vụ hình thành tri thức, rèn luyện kỹ hoạt động nhận thức, hình thành thái độ tích cực… xây dựng q trình skkn Skkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinh hoạt động thống thầy trị, trị trị, tính tự giác, tích cực tổ chức, tự điều khiển hoạt động học nhằm thực tốt nhiệm vụ đề - Sau học xong chuyên đề ứng dụng chung đạo hàm, học sinh tự tin có thêm kỹ làm toán cực trị hàm số, giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình Tơi cam đoan nội dung báo cáo Nếu có gian dối khơng thật báo cáo, xin chịu hoàn toàn trách nhiệm theo quy định pháp luật./ Thủ trƣởng đơn vị xác nhận, đề nghị Văn Lâm, ngày 24 tháng năm 2014 Ngƣời báo cáo yêu cầu công nhận sáng kiến TÔ MINH HẢI skkn Skkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinh Skkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinh B NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa Cho hàm số y = f (x) có TXĐ D f (x)  M  x  D Số M gọi GTLN hàm số  x0  D: f (x0) = M Kí hiệu M = Maxf (x) xD f (x)  m  x  D Số m gọi GTNN hàm số  x0  D: f (x0) = m Kí hiệu m = Minf (x) xD Nhận xét: Theo GTLN, GTNN hàm số khơng tồn Để tìm GTLN, GTNN hàm số học sinh thường làm quen với số phương pháp như: - Phương pháp sử dụng BĐT - Phương pháp tam thức bậc hai - Phương pháp sử dụng tập giá trị hàm số Đó phương pháp đại số thơng thường, nhiên ta sử dụng phương pháp hiệu sử dụng đạo hàm skkn Skkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinh Skkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinh Tìm GTLN, GTNN hàm số đoạn Để tìm GTLN, GTNN hàm số y = f (x) đoạn [a, b] với y = f (x) hàm số liên tục đoạn [a, b] có đạo hàm khoảng (a, b) ta thực theo bước sau: Bƣớc 1: Tính đạo hàm y’ tìm giá trị biến số khoảng (a,b) làm cho y’ = Giả sử ta tìm nghiệm x1, x2… Bƣớc 2: Tính giá trị f(a), f(b), f(x1), f(x2)… Bƣớc 3: Kết Miny = Min {f(a), f(b), f(x1), f(x2), …} x  [a, b] Maxy = Max {f(a), f(b), f(x1), f(x2), …} x  [a, b] Tìm GTLN, GTNN hàm số khoảng Để tìm GTLN, GTNN hàm số y = f(x) khoảng ta thực theo bước sau: Bước 1: Tìm miền xác định Bước 2: Tính đạo hàm y’, sau giải phương trình y’ = Bước 3: Lập bảng biến thiên hàm số (thông thường trường hợp hàm số không đơn điệu tập cần tìm) Bước 4: Từ bảng biến thiên hàm số ta kết luận GTLN, GTNN B VÍ DỤ MINH HỌA I Hàm biến Ví dụ 1: Tìm GTLN, GTNN hàm số y = sin20x + cos20x Lời giải: Nhận xét sin   20  x    20  + 20 20  cos  x    sin x  cos x 2  Nên hàm số cho tuần hoàn với chu kỳ T =  Do ta cần tìm GTLN, GTNN hàm số chu kỳ đoạn skkn Skkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinh   0,    Skkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinh Ta có y’ = 20 sinx cosx (sin18 x– cos18x) x=  cos x = Do y’ =   sin x = x=0 x=  sin x = cos x Tính giá trị y(0) = 1; y  = Từ suy Maxy = 1, miny = 29 ; y  =1 29 Ví dụ 2: Tìm GTLN, GTNN hàm số y = y(x) = sin x  cos x với x [0, ] Lời giải: Xét hàm số cho đoạn [0, ] ta có y’ = cos x(2  cos x)  sin x  cos x  (2  cos x) (2  cos x) y’ =   cos x 2   cos x    x (2  cos x) Ta có: 2  , f ( )     f(0) = 0, f  Vậy Maxy = đạt x = 2 x [0, ] Miny = đạt x = x =  x [0, ] Ví dụ 3: Tìm GTLN, GTNN hàm số y = f(x) = x +  x2 Lời giải: Điều kiện – x2     x  Suy tập xác định hàm số cho D = [  2; ] skkn Skkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinh Skkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinh x0 Ta có y’ =  x2  x 2 x x=1  y'    x  x  – x2 = x2 Tính f (- ) = - ; f (1) = ; f( ) = Vậy Maxy = x = x D Min y = - x = - x D Ví dụ 4: Tìm GTNN f(x) = x  (a  1) x  a x với < x  a2  a 1 (a > 0) Lời giải: Ta có f’(x) = - a2 1 a  2 x a  a 1 *Nếu a   f’(x)   < x   f(x)  f ( Với x = a2  a 1) = a2  a 1 2a  a  a2  a 1 a2  a 1  f(x) nghịch biến - (a – 1) (a  1) Min f (x) = – a + 2a  a  a2  a 1 Nếu < a <  f (x) = có nghiệm x = a Bảng biến thiên x f’ a2  a 1 - a + f skkn Skkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinh Skkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinh a+1 Từ bảng biến thiên suy ra: f (x)  f (a) = a + với x = a  (0 ; 1) Minf (x) = a + II Hàm hai biến Biến đổi giả thiết biểu thức cần tìm GTLN, GTNN để tìm mối quan hệ chúng tìm cách đặt ẩn phụ hợp lý, đưa biểu thức cho hàm biến để khảo sát Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho số thực khơng âm x, y thay đổi thỏa mãn x + y = Tìm GTLN GTNN biểu thức S = (4x2 + 3y) (4y2 + 3x) + 25 xy Phân tích: Từ giả thiết x + y = đưa tốn ẩn khơng? Khai triển biểu thức S cố gắng làm xuất x + y để sử dụng giả thiết Chú ý đẳng thức: x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy x3 + y3 = (x + y) (x2 – xy + y2) Sau khai triển vào x + y = 1, ta có S = 16x 2y2 – 2xy + 12 Vậy đến ta nghĩ đến việc đưa S hàm biến số ta đặt t = xy Cần chặn biến t cách sử dụng bất đẳng thức:  xy  ( x  y) Lời giải: Do x + y = nên ta có: S = 16x2y2 + 12(x3 + y3) + 9xy + 25 xy = 16x2y2 + 12[(x+y)3 – 3xy (x + y)] + 34xy = 16(xy)2 – 2xy + 12 Đặt t = xy, ta S = 16t2 – 2t + 12;  xy  ( x  y) =  1  t  0;   4 skkn Skkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinh Skkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinh Xét hàm số f (t) = = 16t2 – 2t + 12 đoạn max f (t) = f   25 4  ;    1 0;    f (t) = f   191  16  16 1  0;    1  0;    x+y=1 Giá trị lớn S 25  (x : y) = xy =   (x; y) =   ;   x+y=1 Giá trị nhỏ S 191 16 1 1  ;  2 2  4   xy = 16   (x;y) =   ;    4  Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức: A = 3(x4 + y4 + x2y2) – 2(x2 + y2) + Với x, y số thỏa mãn điều kiện: (x+y)3 + 4xy  Phân tích: Vì giả thiết biểu thức phức tạp nên ta khai thác trước cho gọn để sử dụng dễ dàng Chú ý đẳng thức: x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy x3 + y3 = (x + y) (x2 – xy + y2) Và (x+y)2  4xy Khi điều kiện tốn trở thành: x + y  Ta biến đổi A sau: A = 3(x4 + y4 + x2y2) – 2(x2 + y2) + = (x + y2)2 + (x4 + y4) – 2(x2+y2) + skkn Skkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinh Skkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinh Giải: Không tính tổng quát, ta giả thiết x  y  z   z < Khi đó: xy + yz + zx – 2xyz = xy(1-2z) + (x+y)z  ( x  y)  ( (1  z ) = 2 (1  z )  ( x  y) z (1  z )  (1  z ) z (1  z  z )  f ( z ) f’(z) = z (1  3z )   z  Bảng biến thiên: Z f’(z) f (z) + 27 Từ bảng biến thiên suy f(z) =  xy + 27 yz + zx – 2xyz  27 CHUYÊN ĐỀ III ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI PT, HPT, BPT, HBPT Để giải PT, HPT, BPT, HBPT phương pháp ứng dụng đạo hàm ta cần nắm vững mệnh đề (MĐ) sau: Cho hàm số y = f(x) liên tục tập D MĐ 1: Phương trình f(x) = m có nghiệm xD  minf(x)  m  max f(x) skkn Skkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinh Skkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinh xD xD MĐ 2: BPT f(x)  m, có nghiệm xD  f(x)  m xD MĐ 3: BPT f(x)  m, nghiệm với xD  max f(x)  m xD MĐ 4: BPT f(x)  m, có nghiệm xD  max f(x)  m xD MĐ 5: BPT f(x)  m, có nghiệm với xD  f(x)  m xD MĐ : Cho hàm số y = f(x) đơn điệu tập D F(u) = f(v)  u = v (với u, v D) Dạng 1: Bài toán PT, HPT, BPT, HBPT không chứa tham số I Phương pháp Để giải phương trình f(x) = g(x) phương pháp ứng dụng đạo hàm ta thường chứng minh hai miền giá trị hai hàm f(x) g(x) có chung phần tử x Từ kết luận x0 nghiệm *Cụ thể: - Ta chứng minh f(x)  g(x) f(x)  g(x) f(x)  A g(x)  A ngược lại - Sau ta xét dấu đẳng thức xảy Bên cạnh ta sử dụng kết + Nếu hàm f(x) đồng biến hàm g(x) nghịch biến (hoặc ngược lại) miền xác định đồ thị hàm y = f(x) y = g(x) cắt cắt điểm Từ phương trình f(x) = g(x) có nghiệm vô nghiệm + Nếu f(t) hàm đơn điệu D f(x) = f(y)  x = y II Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Giải phương trình skkn Skkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinh Skkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinh a) x + xlog23 = xlog25 x  15  3x   x  b) c) 2x+1 – 4x = x – Lời giải: a) x + xlog23 = xlog25 (1) Điều kiện: x > Phương trình (1)  xlog22 + xlog25  2log2x + 3log2x = 5log2x Đặt t = log2x ta phương trình 2t + t = 5t  t Đặt f(t) =  2 3     5 5 f’(t) = Ta có: t t  2 3     1  5 5 t (2) ; t R t t 3 2   ln    ln  ; 5 5  t R Suy ra: f(t) hàm nghịch biến R Lại có f(1) = nên đồ thị hàm y = f(t) cắt đồ thị hàm y = điểm t = Do đó, phương trình (2) có nghiệm với t =  log2x =  x = Vậy phương trình cho có nghiệm x = b) x  15  3x   x    x  15  x   3x  x  15  x  Ta thấy f(x) =  3x  x  15  x  hàm nghịch biến R g(x) = 3x – đồng biến R Hơn f(1) = g(1) skkn Skkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinh Skkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinh Do đó, đồ thị hàm f(x) cắt đồ thị hàm g(x) điểm x = Vậy phương trình cho có nghiệm x = c) 2x+1 – 4x = x – (1) Đặt t = 2x >  x = log2t Phương trình (1) trở thành 2t – t2 = log2t – (2) + Nếu < t < Xét f(t) = 2t – t2 f’(t) = – 2t f’(t) =  t = Bảng biến thiên t f’(t) + - f (t) 0 Từ bảng biến thiên, suy ra:  f(t) > 0;  t (0;2) Mặt khác: + Nếu t <  log2t <  log2t – < < f(t) Do phương trình (2) vơ nghiệm  t (0;2) + Nếu t > Xét f(t) = t – t2 f’(t) = – 2t f’(t) =  t = skkn Skkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinh Skkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinh Bảng biến thiên t +  f’(t) - - f (t) - Từ bảng biến thiên, suy ra: f(t) <  t > mà t >  log2t – > > f’(t) nên phương trình (2) vơ nghiệm Do vậy, phương trình (2) có nghiệm t = với t =  2x =  x = Vậy phương trình cho có nghiệm x = Ví dụ Giải hệ phương trình sau: x5  y 2  x2  y5  Lời giải: x2 Điều kiện: y  -5 Từ hệ  x5  y 2 =  x2  y 5  y 2 x5  x2  y 5  f(x) = g(x) skkn Skkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinh Skkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinh Xét hàm số f(t) = f’(t) = với t  t 5  t 2 t 2  t 5 t 5 t 2  0;  t2  f(t) hàm nghịch biến [2; +  ] Do đó: f(x) = g(y)  x = y Khi hệ  x5  x2 7  x + = 47 – 14  14 x2  x x   42  x – =  x = 11 = y Vậy nghiệm hệ cho x = y = 11 Ví dụ 3: (4x2 + 1)x + (y – 3)  2y =0 Giải hệ phương trình 4x2 + y2 +  4x =7 Lời giải: Điều kiện x  ; y Phương trình thứ hệ tương đương với (4x2 + 1)2x = (5 – 2y + 1)  2y (1) Khi phương trình (1) có dạng f(2x) = f(  2y ) với f(t) = (t2 + 1) t; f’(t) = 3t2 + > Suy hàm số f(t) đồng biến R x0 Do đó: (1)  2x =  2y  y=  4x 2 skkn Skkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinh Skkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinh Thế vào phương trình thứ hai hệ ta được: 4x +   4x      +2  4x Nhận thấy x = 0, x = - = (3) nghiệm phương trình (3) 2   Xét hàm số g(x) = 4x2 +   x  +    4x - khoảng g’(x) = 8x – 8x  4   2x    x(4 x  3)   0,  4x  4x 2   3  0;   4 suy hàm số g(x) nghịch biến Mặt khác ta có: g  1  2 = 0, phương trình (3) có nghiệm x = y = Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x;y) = 1   ;2  2  x = y3 + y2 + y - Ví dụ 4: Giải hệ y = z3 + z2 + z – z = x3 + x2 + x – Lời giải: Xét hàm số f(t) = t3 + t2 + t – tập số thực Ta có f’(t) = 3t2 + 2t + >  t  R Nên hàm số f(t) hàm số đồng biến R x = f(y Mặt khác hệ cho viết lại thành y = f(z) z = f(x) + Nếu x < y f(x) < f(y)  z < x  f(z) < f(x)  y < z Từ suy x < y < z < x điều vơ lí + Nếu y < x f(y) < f(x)  x < z  f(x) < f(z)  z < y Từ suy y < x < z < y điều vơ lí Do hệ cho có nghiệm x = y = z skkn Skkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinh suy Skkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinh Thay x = y = z vào phương trình hệ ta tìm nghiệm hệ (x, y, z) = (1; 1; 1) Ví dụ 5: Giải phương trình: 3x + 5x = 6x + Lời giải: 3x + 5x = 6x +  3x + 5x - 6x – = Xét hàm số f(x) = 3x + 5x - 6x – f’(x) = 3xln3 + 5xln – f’’(x) = 3xln23 + 5xln25 – > xR Bảng biến thiên x - x0 +  f’’(x) + + f’(x) + -6 f(x) + +  f(x0) Từ bảng biến thiên, suy ra: Phương trình f(x) = có nghiệm khơng hai nghiệm Mà x = 0, x = thỏa mãn f(x) = Vậy x = 0, x = hai nghiệm phương trình ban đầu Dạng 2: Bài toán: PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số I Phương pháp giải Dạng toán thường gặp tìm giá trị tham số m để PT, BPT có nghiệm Với dạng tốn ta thực theo bước sau: skkn Skkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinh Skkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinh Bước 1: Biến đổi PT, BPT dạng f(x) = g(m) (hoặc f(x)  g(m), f(x)  g (m) Bước 2: Tìm tập xác định D hàm số f(x) Bước 3: Tính f’(x) Bước 4: Lập bảng biến thiên hàm số Bước 5: Xác định f(x) max f(x) xD xD Từ vận dụng mệnh đề nêu phần kiến thức bên rút kết luận cho toán Lưu ý: Trường hợp PT, BPT chứa biểu thức phức tạp ta làm sau: - Đặt t = (x) - Từ điều kiện ràng buộc ẩn số x, tìm điều kiện ẩn số t - Đưa PT, BPT ẩn số x PT, BPT ẩn số t ta f(t) = h (m) (hoặc f(t)  h(m), f(t)  h(m)) - Lập bảng biến thiên hàm số f(t) - Từ bảng biến thiên rút kết luận tốn II Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tìm tất giá trị tham số m để phương trình sau có nghiệm x   x   x  9x  m (1) Lời giải: Điều kiện  x  PT (1)  x + – x + 9+2 Đặt t = x(9  x)  - x  x  9x = + 9x + m - x2 + 9x + m  x  9x Ta có: t’ =  2x   x  9x ; t’ =  x = Bảng biến thiên: skkn Skkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinh Skkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinh x 9 t’ t + - 0 Do  t  Khi phương trình (2) trở thành + 2t = t2 + m  - t2 + 2t + = m (3) Xét hàm số f(t) = - t2 + 2t + 9, với  t  f’(t) = - 2t + 2; f’(t) =  t = Lập bảng biến thiên hàm f(t) đoạn t  9 0;    f’(t) f(t) + - 10 - skkn Skkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinh Skkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinh PT (1) có nghiệm x  [0; 9] PT (3) có nghiệm t  0; 9   2 xảy -  Điều m  10 Ví dụ 2: Cho phương trình log2 x  log x  = m (log2x – 3) (1) Tìm m để phương trình có nghiệm x  [32; +  ] Lời giải: Từ điều kiện toán ta thấy log2x  5, suy (log2x – 3)  nên m0 PT (1)  log2 x  log2 x  = m(log2x – 3)  log22x – 2log2x – = m2(log2x – 3)2 (2) Đặt t = log2x, (t 5) PT (2) trở thành t2 – 2t – = m2 (t – 3)2  m2 = Xét hàm số f(t) = t 1 t 3 t 1 t 3 (3) (với t  5) Bảng biến thiên: t + f’(t) f(t) – f’(t) = 4  0, (t  3) t  5; ta có: Phương trình (1) có nghiệm x [32; +  ] PT (3) có nghiệm t5 điều xảy 0, tan x >0 sinx +3cosx>0 sin x  cos x = sin x  cos x tan x  = tan x  m m (2) Đặt t = tan x, (t > 0) PT (2) trở thành  Xét hàm số f(t) = t 1 t2 t 3 t 1 t2 t 3 = m (3) , (với t > 0) Bảng biến thiên: t + f’(t) f(t) + + t  t 1   0; t  ; 2 t  t  (t  3) f’(t) = ta có: Ứng với t > thỏa mãn phương trình (3) ta nghiệm x  0;    2 phương trình (1) Do phương trình (1) có nghiệm x  0;    2 phương trình (3) có nghiệm t > Từ bảng biến thiên suy m > Ví dụ 4: Tìm m để bất phương trình m [0; 1; ] x  x    x(  x)  (1) có nghiệm x Lời giải: Đặt t = x  2x  ; t’ = 2x  2 x  2x  =  t = 1; ta có bảng biến thiên skkn Skkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinh Skkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinh x 1+ t’ - t + 2 Từ  t  Với  t  2, ta biến đổi t= x  2x   t2 = x2 – 2x +  t2 – = -x(2 – x) Bất phương trình (1) trở thành m(t+1)  t2 –  m  Xét hàm số f(t) = t2  ; t 1 (1  t  2) Ta có f’(t) = t2  t 1 (2) t  2t  0, (t  1)  t  [1;2] Suy hàm số f(t) đồng biến [1; 2] Bảng biến thiên t f(t’) + f(t) Từ bảng biến thiên, bất phương trình (1) có nghiệm x [ 0; 1; bất phương trình (2) có nghiệm t  [1; 2] Điều xảy m  Max f(t) = f(2) = skkn Skkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinh 3] Skkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinh [1; 2] Ví dụ 5: 2x3 – (y +2)x2 + xy = m Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: x2 + x – y = – 2m Lời giải: (x2 – x) (2x – y) = m Hệ phương trình cho tương đương với (x2 – x) +(2x – y) = – 2m Đặt u = x2 – x, u  - ; v = 2x – y Hệ phương trình cho trở thành u2 + (2m – 1)u + m = (1) uv = m  u + v = – 2m v = – 2m – u Hệ cho có nghiệm (1) có nghiệm thỏa mãn u  - 4 Với u  - , ta có: (1)  m(2u +1) = - u2 + u  m = Xét hàm số f(u) = f’(u) =  u2  u 2u   2u  2u  ; (2u  1)  u2  u 2u  1 , với u  - ; ta có: f’(u) =  u = 1 Bảng biến thiên: u f(u’) 1 + - + – skkn Skkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinh Skkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinh Skkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinhSkkn.ung.dung.dao.ham.chung.minh.bat.dang.thuc giai.cac.bai.toan.cuc.tri bai.toan.dieu.kien.ve.nghiem.cua.phuong.trinh bat.phuong.trinh