(Luận văn thạc sĩ) tia trắc địa yếu trong không gian các thế vị kahler và lớp e(x,w)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Tuyết Như TIA TRẮC ĐỊA YẾU TRONG KHÔNG GIAN CÁC THẾ VỊ K𝑨̈HLER VÀ LỚP 𝜺(𝑿, 𝝎) LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh -2019 Luan van BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Tuyết Như TIA TRẮC ĐỊA YẾU TRONG KHÔNG GIAN CÁC THẾ VỊ K𝑨̈HLER VÀ LỚP 𝜺(𝑿, 𝝎) Chun ngành : Tốn giải tích Mã số : 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : TS NGUYỄN VĂN ĐÔNG Thành phố Hồ Chí Minh -2019 Luan van LÍI CAM OAN Hồc viản xin cam oan Ơy l cổng trẳnh nghiản cựu cừa riảng hồc viản Luên vôn ữủc hon thnh bi cĂ nhƠn dữợi sỹ hữợng dăn cừa TS Nguyạn Vôn ổng CĂc ti liằu tham khÊo, cĂc nh lỵ, bờ à v cĂc kát quÊ trẵch dăn, sỷ dửng luên vôn Ãu ữủc nảu Ưy ừ nguỗn gốc cử th, ró rng Thnh phố Hỗ Chẵ Minh, ngy 27 thĂng 09 nôm 2019 Hồc viản thỹc hiằn Nguyạn Th Tuyát Nhữ Luan van LI CM èN Luên vôn ữủc hon thnh tÔi trữớng Ôi hồc sữ phÔm Thnh phố Hỗ Chẵ Minh dữợi sỹ hữợng dăn cừa TS Nguyạn Vôn ổng NhƠn dp ny, tổi xin by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc tợi ThƯy, ngữới  tên tẳnh v ởng viản tổi rĐt nhiÃu suốt quĂ trẳnh hồc têp v thỹc hiằn luên vôn Tổi xin chƠn thnh cĂm ỡn án Quỵ thƯy cổ Hởi ỗng chĐm luên vôn  dnh thới gian ồc, chnh sỷa v õng gõp ỵ kián giúp luên vôn ữủc hon chnh hỡn Tổi xin cĂm ỡn tĐt cÊ cĂc thƯy, cổ  nhiằt tẳnh giÊng dÔy, truyÃn Ôt kián thực v giúp ù tổi suốt quĂ trẳnh hồc têp Tổi xin cĂm ỡn án Quỵ thƯy cổ Phỏng Sau Ôi hồc cừa trữớng Ôi hồc Sữ phÔm Thnh phố Hỗ Chẵ Minh  tÔo iÃu kiằn thuên lủi cho tổi hon thnh chữỡng trẳnh hồc têp v thỹc hiằn luên vôn ny Xin cĂm ỡn cĂc anh ch, cĂc bÔn hồc viản ngnh toĂn  ởng viản giúp ù tổi v cõ nhiÃu ỵ kián õng gõp quĂ trẳnh hon thnh luên vôn Do trẳnh ở v thới gian cõ hÔn cừa bÊn thƠn nản luên vôn khổng trĂnh khọi sai sõt Tổi rĐt mong nhên ữủc sỹ ch bÊo v gõp ỵ tứ quỵ thƯy cổ, cĂc anh ch v cĂc bÔn Xin chƠn thnh cĂm ỡn Thnh phố Hỗ Chẵ Minh, ngy 27 thĂng 09 nôm 2019 Hồc viản thỹc hiằn Nguyạn Th Tuyát Nhữ Luan van (Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w)(Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w)(Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w)(Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w) Mửc lửc M Ưu 1 Kián thực chuân b 1.1 1.2 Php tẵnh vi phƠn trản a tÔp khÊ vi 1.1.1 a tÔp khÊ vi 1.1.2 a tÔp Riemann 1.1.3 CĂc dÔng vi phƠn trản a tÔp khÊ vi 1.1.4 Dỏng trản cĂc a tÔp khÊ vi 10 1.1.5 Ôo hm ngoi v tẵch ngoi cừa dỏng trản a tÔp khÊ vi 11 Php tẵnh vi phƠn phực 12 1.2.1 a tÔp phực 12 1.2.2 DÔng vi phƠn trản a tÔp phực 13 1.2.3 1.2.4 Dỏng trản a tÔp phực 16 H m a iÃu hỏa dữợi trản a tÔp phực 17 1.3 ăhler a tÔp Hecmit v a tÔp Ka 1.4 Hm a iÃu hỏa dữợi 18 19 Tr­c àa y¸u khỉng gian c¡c th¸ Kaăhler 21 2.1 Tia trưc a yáu 22 2.2 C¡ch x¥y dỹng dữợi trưc a yáu cừa Berndtsson 24 2.3 Phi¸m hm nông lữủng Aubin-Mabuchi 25 2.4 Chuân tưc hõa trưc a yáu Tia trưc a yáu v lợp nông lữủng (X, ) (Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w)(Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w)(Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w)(Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w) Luan van 29 34 (Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w)(Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w)(Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w)(Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w) ε(X, ω) 3.1 Lỵp 3.2 CĂch xƠy dỹng tia trưc a yáu 3.3 35 41 3.2.1 ăm Tia tr­c àa y¸u cõa Ross v  Witt-Nystro 41 3.2.2 Mët c¡ch x¥y düng c¡c tia tr­c àa y¸u cõa Tam¡s Darvas 45 Ph²p bi¸n êi Legendre ngữủc cừa mởt tia trưc a yáu v (X, ) 49 Kát luên 53 Ti liằu tham khÊo 54 (Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w)(Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w)(Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w)(Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w) Luan van (Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w)(Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w)(Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w)(Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w) DANH MÖC CC K HI›U I ToĂn tỷ ỗng nhĐt Ck Khổng gian cĂc hm khÊ vi k C s (Ω, R) Tªp hđp c¡c h m thuởc lợp Cs TX,a Khổng gian tiáp xúc cừa khổng gian ∗ TX,a Khỉng gian èi ti¸p xóc ∗ TX , TX PhƠn thợ tiáp xúc cừa TX = xX TX,x |I| C s (X, ) TX p du Ôo hm ngoi cừa mởt u v p dÔng thuởc lợp Cs Cs u M ối ỗng iÃu Rham trản  Nûa chu©n εp (X) Khỉng gian Dp (K) Khỉng gian cõa Dp (X) Dp (X) := ∪K Dp (K) (Dp (X))0 ối ngău tổpổ cừa codimM ối chiÃu cừa O() Têp hủp cĂc hm chnh hẳnh trản (X) a v psL Vp,q tÔi dÔng vi phƠn thuởc lợp T½ch ngo i cõa p HdR (M ) X ∗ =∪ ∗ TX x∈X TX,x v  Khæng gian cõa Gi¡ cõa ω X u ∧ vv suupu tr¶n I ë d i cừa Vp lƯn vợi cĂc Ôo hm liản tửc psL (u) = supx∈L max|I|=p,|α|≤s |Dα uI (x)| C ∞ (X, Vp ∗) TX εp (X) ÷đc trang bà tỉpỉ x¡c nh bi nỷa chuân vợi cĂc phƯn tỷ cõ giĂ compact Dp (X) M Têp hủp cĂc dÔng vi ph¥n kiºu Ω (p, q) d, δ, δ C¡c to¡n tỷ vi phƠn ngoi P SH() Têp hủp cĂc hm a iÃu hỏa dữợi trản Hua DÔng Hess phực cừa Imz Ph¦n £o cõa Rez Ph¦n thüc cõa P SH(X, ω) Tªp hđp c¡c h m u z z ω -a iÃu hỏa dữợi (Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w)(Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w)(Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w)(Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w) Luan van K psL (Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w)(Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w)(Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w)(Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w) uscu Chẵnh quy hõa nỷa liản tửc trản cừa S, Sα,β = {s ∈ C : α < Res < } C (X) Têp hủp cĂc hm trỡn trản H Khổng gian cĂc thá v trỡn trản ÔohÔp hi»p bi¸n AM (.) Phi¸m h m Aubin Mabichi u(u0 , u1 ) oÔn trưc a yáu nối (X, ) Lợp nông lữủng Cap (.) Dung lữủng Monge-Ampere P (b0 ) P (b0 ) = sup{ψ ≤ b0 : ψ ∈ P SH(X, ω)}; P (b0 , b1 ) P (b0 , b1 ) = P (min{b0 , b1 }) = sup{ψ ≤ min{b0 , b1 }|ψ ∈ P SH(X, ω)} P[ψ] (φ) Bao cõa φ u0 v  u X X u1 ối vợi cĂc kiu kẳ d cừa (Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w)(Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w)(Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w)(Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w) Luan van ψP[ψ] (φ) = usc (limD→+∞ P (ψ + D, φ)) (Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w)(Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w)(Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w)(Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w) Mð ¦u (X n , ω) GiÊ sỷ lữủng ăhler compact liản thổng l mởt a tÔp Ka n chiÃu Lợp nông (X, ) ữủc xem nhữ l lợp cĂc hm -a iÃu hỏa dữợi P SH(X, ) khổng nhĐt thiát b chn Ơy cụng l lợp lợn nhĐt cĂc hm -a iÃu hỏa dữợi m trản õ toĂn tỷ Monge-Ampre phực xĂc nh tốt Nõ ữủc sỷ dửng  giÊi phữỡng trẳnh Monge-Ampre ton cửc vợi dỳ liằu thổ CĂc phƯn tỷ v ∈ ε(X, ω) th÷íng khỉng bà ch°n nh÷ng câ c¡c ký d rĐt nhà c biằt, theo [13] Corollary 1.8, tÔi xX bĐt ký số Lelong cừa v bơng khổng Tuy nhiản, nhữ  nhên xt [11] tẵnh chĐt ny khổng c trững cho lợp (X, ) TamĂs Darvas bi bĂo [7]  trẳnh by mởt kát quÊ lĐp Ưy lộ hờng ny, nghắa l c trững cĂc phƯn (X, ) tỷ cừa theo tẵnh nhà cừa cĂc ký dà cõa chóng º thüc hi»n vi»c n y, t¡c giÊ bi bĂo ữa mởt cĂch xƠy dỹng cĂc tia ăhler gưn kát vợi cĂc tẵnh chĐt cừa trưc a yáu khổng gian cĂc thá v Ka lợp ε(X, ω) ε(X, ω) p dưng sü x¥y düng n y, tĂc giÊ  chựng minh mởt c trững cừa theo cĂc bao trản Kẵ hiằu b chn v AM (max{l, ψ}) , l l→+∞ cψ = lim AM (.) ψ P SH(X, ) l nông lữủng Aubin-Mabuchi cừa mởt hm dữợi c trững Ưu tiản cừa lợp ch náu â ε(X, ω) ÷đc chùng minh l  câ thº khỉng ω -a i·u háa ψ ∈ ε(X, ω) n¸u v c = Bưt Ưu tứ mởt oÔn trưc a dữợi yáu (, ) t ut P SH(X, ω) vi»c x¥y düng mët tia tr­c àa yáu tờng quĂt trản gp tr ngÔi vẳ nõi chung giợi hÔn u := lim ut t+ khổng tỗn tÔi Khưc phửc vĐn à ny cƯn mởt quĂ trẳnh chuân tưc hõa oÔn trưc a yáu Sỹ chuân tưc hõa ny thỹc hiằn ữủc nhớ vo m rởng mởt kát quÊ cừa Berndtsson [1] và tẵnh liản tửc Lipschitz cừa oÔn trưc a (Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w)(Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w)(Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w)(Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w) Luan van (Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w)(Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w)(Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w)(Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w) yáu tũy ỵ Vợi oÔn trưc a yáu ữủc chuân tưc hõa iÃu hỏa dữợi v khĂc u := lim ut l hm t+ Mửc tiảu tiáp theo l xƠy dỹng tia trưc a yáu ữủc chuân tưc hõa cho v0 = φ v  ω -a v∞ = ψ vỵi φ, ψ ∈ P SH(X, ω), ψ ≤ φ vỵi φ bà ch°n v  ψ t → vt câ th khổng b chn  xƠy dỹng mởt tia nhữ thá bi bĂo giợi thiằu têp hủp cĂc tia trưc a yáu chuân tưc: R(, ) = {vt l mởt tia yáu chuân tưc hõa vợi vo = lim vt = φ(t) t→0 v  v∞ = lim vt ≥ ψ(t)} t õ giợi hÔn l theo tứng im Kẵ hi»u (0, l) t → ult ∈ P SH(X, ω) max{φ − l, ψ}v  v(φ, ψ) = usc φ vợi chẵnhquy hõa nỷa liản tửc trản cừa giợi hÔn cĂc oÔn ny l lim ul l+ cừa cĂc phƯn tỷ thuởc Cuối cũng, vợi l bao trản cừa l oÔn trưc a yáu nhĐt nối Bi bĂo chựng minh ữủc rơng tia R(, ) v nõ l hơng náu v ch náu P SH(X, ω) v  v(φ, ψ) ψ ∈ ε(X, ω) φ ∈ P SH(X, ω) ∩ L1 (X) èi vỵi kiºu ký d cừa l bao dữợi nh nghắa P[] () Dỹa vo cĂch xƠy dỹng tia trưc a yáu v tẵnh cỹc Ôi cừa php bián ời Legendre cừa tia trưc a yáu, bi bĂo  chựng minh khng nh c trững cĂc phƯn tỷ cừa (X, ) theo tẵnh nhà cừa cĂc ký d cừa chúng: ε(X, ω) n¸u v  ch¿ n¸u P[ψ] (φ) = φ vỵi ψ ∈ P SH(X, ω) v  φ ∈ P SH(X, ) C(X) Luên vôn ny trẳnh by lÔi nởi dung b i b¡o cõa Tam¡s Darvas [7] v· vi»c x¥y düng tia tr­c àa y¸u khỉng gian c¡c th¸ v gưn kát vợi cĂc tẵnh chĐt cừa lợp (X, ) v sỷ dửng chúng  c trững lợp nông lữủng ny theo cĂc bao trản Luên vôn gỗm chữỡng: Chữỡng 1: PhƯn chuân b, trẳnh by cĂc kián thực và Hẳnh hồc phực, Lỵ thuyát a thá v cõ liản quan phửc vử cho cĂc chữỡng tiáp theo ăhler: Trẳnh by Chữỡng 2: Tia trưc a yáu khổng gian cĂc thá v Ka ăhler KhĂi niằm tr­c àa khỉng gian c¡c th¸ Ka ◦ Phữỡng phĂp cừa Berndtsson [2] xƠy dỹng cĂc oÔn trưc da yáu nối hai im thuởc lợp cĂc hm -a iÃu hỏa dữợi b chn a phữỡng (Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w)(Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w)(Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w)(Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w) Luan van (Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w)(Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w)(Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w)(Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w) 35 t vt ữủc chuân tưc hõa vợi v(, ) tiu mửc ny nõi rơng tia náu v  ch¿ n¸u ◦ lim vt = φ t→0 v  lim vt t l mởt bao dữợi cừa nh lỵ 3.2.7 R(, ) v nõ l hơng (X, ) Nởi dung chẵnh cừa mửc 3.3 l nh lỵ 3.3.3 ch rơng tứ cĂch xƠy dỹng cĂc tia trưc a yáu TamĂs Darvas ta cõ th c trững lợp th l (X, ω) n¸u v  ch¿ n¸u P[ψ] (φ) = φ ε(X, ω) theo c¡c bao tr¶n: Cư , â φ ∈ P SH(X, ω) ∩ C(X) 3.1 Lỵp ε(X, ω) Chúng ta nhưc lÔi Ơy mởt vi iÃu và lỵp ε(X, ω) ⊂ P SH(X, ω) º cho ngưn gồn ta trẳnh by cĂch tiáp cên tối giÊn nhĐt  xem xt Ưy ừ nởi dung ny cõ th tham khÊo [13] Trữợc hát ta nhưc lÔi Nguyản lỵ so sĂnh cho cĂc hm a iÃu hỏa dữợi b chn trản Cn : Cho u, v l cĂc hm a iÃu hỏa dữợi b chn trản têp mð D cõa Cn , â χ{u>v} ω + ddc u  theo nghắa ở o Bolel trản LĐy γ l  mët ω -a n  (3.1.1) D i·u hỏa dữợi trản l P SH(X, ), l R n = χ{u>v} ω + ddc max(u, v) X v nh nghắa hm cht cửt chẵnh tưc theo cổng thùc sau γl := max{γ, −l} Nâ l  mët d¢y gi£m cho tø (3.1.1), χ{γl >−k} (ω + ddc γl )n = χ{γl >−k} (ω + ddc max(γl , −k))n Gi£ sû l ≥ k, â, (γl > −k) = (γ > −k) v  max(γl , −k) = γk , â χ{γ>−k} (ω + ddc γl )n = χ{γ>−k} (ω + ddc γk )n Chó þ r¬ng (γ > −k) ⊂ (γ > −l), (3.1.2) â l ≥ k ⇒ χ{γ>−l} (ω + ddc γl )n ≥ χ{γ>−k} (ω + ddc γk )n , (Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w)(Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w)(Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w)(Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w) Luan van (3.1.3) (Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w)(Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w)(Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w)(Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w) 36 theo nghắa yáu cõa ë o Borel M°c dò têng χ{γ>−l} ω + i∂∂γl thº ành ngh¾a
n ω + i∂∂γ bà ch°n ·u bði
n câ thº khỉng bà ch°n, v¼ khèi lữủng R X n, nản theo nh lỵ Stokes ta cõ nhữ l mởt giợi hÔn cừa dÂy tông cĂc ë o n y: µγ := lim χ{γ>−l} ω + i∂∂γl
n l→+∞ (3.1.4) ¥y l  mët ë o Borel dữỡng m xem xt theo lỵ thuyát a thá v a + i phữỡng cừa Bedford-Taylor chẵnh l phƯn khổng a cỹc cừa
n Ró rơng tứ (3.1.4) ta câ Z  ≤ µγ (X) = lim χ{γ>−l} ω + i∂∂γ X Z ω n = V ol(X) ≤ X ε(X, ω) °t  ε(X, ω) :=  l+ iÃu ny dăn ta án khĂi niằm lợp nh nghắa 3.1.1
n  Z n P SH(X, ω) µγ (X) = ω = V ol(X) (3.1.5) X Tứ nhỳng lêp luên trản ta h§y mët h m ω + i∂∂γ tèt mët to¡n tû Monge-Ampre phực m rởng tƯm thữớng cừa + i
n qua Monge-Amp±re khæng a cüc Mët h m phùc cõa nõ cõ khối lữủng tờng bơng R X
n -a iÃu hỏa dữợi xĂc nh trản X \ { = −∞} {γ = −∞} γ ∈ ε(X, ω) ωn trản Ta gồi + i
n v l l  ë o ë o Monge-Amp±re X \ {γ = −∞} Do â mët c¡ch tü nhi¶n ta sû dửng kỵ hiằu + i vợi (X, ω)
n := µγ = lim χ{γ > −l} ω + i∂∂γl
n l→+∞ v   ε(X, ω) :=  Z
n n γ ∈ P SH(X, ω) ω + i = = V ol(X) X Nhữ Â trẳnh by [13], hƯu hát cĂc nh lỵ cờ in cừa lỵ thuyát Bedford v Taylor Ãu úng ối vỵi lỵp Lỵp ε(X, ω) ε(X, ω) l  lỵp lỵn nhĐt cĂc hm -a iÃu hỏa dữợi m trản â to¡n tû Monge-Amp±re phùc x¡c ành tèt v  Nguy¶n lỵ so sĂnh văn úng (Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w)(Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w)(Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w)(Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w) Luan van (Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w)(Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w)(Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w)(Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w) 37 M»nh · 3.1.2 R ddc ϕ {ϕ−εl) γ > −εl Do â
n γl ω + il l Z (l>l) Số hÔng thự hai b chn dữợi bi náu + il
n (>l) V ol(X) số hÔng thự nhĐt ữủc viát lÔi bơng Z + il
n Z = (−εl≥γ>−l) ω + i∂∂γl
n Z(γ>−εl) =− ω + i∂∂γεl (γ>−εl) (Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w)(Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w)(Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w)(Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w) Luan van Z +
n ω + i∂∂γl
n Z(γ>−l) + ω + i∂∂γl (γ>−l)
n , (Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w)(Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w)(Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w)(Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w) 40 õ dỏng cuối ữủc suy tứ tẵnh àa ph÷ìng cõa ë o Monge-Ampere (3.1.2) χ{γ>−l} (ω + il )n Vẳ cĂc ở o tông theo l, nản cho qua giợi hÔn ng thực trản, ta ữủc Z ω + i∂∂γl lim l→+∞
n = (−εl≥γ>−l) Suy Z lim l→+∞ Do γ−l)
n γl ω + i∂∂γl ≥ l (3.1.8) n¶n (3.1.7) thäa v  â ta câ (3.1.6) T÷ìng tü, ta câ thº chùng minh ÷đc Z
n−j γl j ω ∧ ω + i∂∂γl = − lim l l→+∞ lim l→+∞ X Z ω j ∧ ω + i∂∂γl
n−j , j = 0, , n (γ≤−l) (3.1.9) L§y têng theo j, j = 0, , n phữỡng trẳnh trản, sau cho cho l → +∞ ta ÷đc n AM (γl ) X cγ = lim = lim l n+1 l→+∞ l→+∞ Z X
n−j γl j ω ∧ ω + i∂∂γl l (γ≤−l)
n−j γl j ω ∧ ω + i∂∂γl l j=0 n −1 X = lim n+1 l+ Z j=0 BƠy giớ, ta chựng minh kát luên cuối nh lỵ: (X, ω) v  ch¿ cγ = Tø M»nh · 2.3.4, ta câ Z X
n AM (γl ) γl ω + i∂∂γl ≤ ≤ l l n+1 K¸t hủp bĐt ng thực trản vợi (3.1.6) v cho Z − lim l→+∞ ω + i∂∂γl (γ≤−l)
n Z X
n γl ω + i∂∂γl , l > l l → +∞ ta ÷đc AM (γl ) −1 ≤ lim = cγ ≤ lim l n + l→+∞ l→+∞ Z ω + i∂∂γl
n (γ≤−l) (3.1.10) Ta câ Z lim l→+∞ ω + i∂∂γl (γ>−l)
n Z Z n ω − lim = X l→+∞ (Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w)(Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w)(Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w)(Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w) Luan van ω + i∂∂γl (γ≤−l)
n (Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w)(Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w)(Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w)(Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w) 41 Theo nh nghắa cừa lợp (X, ) ta cõ Z ∈ ε(X, ω) ⇔ lim l→+∞ ω + i∂∂γl
n Z (γ>−l) X Z ⇔ lim l→+∞ Tø (3.1.10) ta ÷đc ωn = ω + i∂∂γl
n = (γ≤−l) cγ = M»nh · 3.1.6 Trong ành ngh¾a cõa c ta cõ th bưt Ưu vợi tia dữợi trưc àa y¸u gi£m l 7→ γ˜l := max{γ, β − l} vỵi måi β ∈ P SH(X, ω) ∩ L∞(X) AM ( l ) giống nhữ c ban Ưu Hơng c˜γ = l→+∞ lim l 3.2 C¡ch x¥y düng tia tr­c àa y¸u 3.2.1 Tia tr­c àa y¸u cõa Ross v Witt-Nystroă m ăm [18] và cĂc Trong mửc ny, ta nhưc lÔi cĂch xƠy dỹng cừa Witt-Nystro tia trưc a yáu Mc dũ [18] ữủc viát liản hằ vợi cĐu trúc Kahler ([] H (X, Z)), ton bở sỹ xƠy dỹng văn ữủc thỹc hiằn khổng thay ời ối vợi tẳnh tờng quĂt ữủc nảu luên vôn nh nghắa 3.2.1 cong thỷ (i) (ii) (iii) náu tỗn tÔi mởt hơng số (x) Mởt Ănh xÔ lóm theo náu ữủc gåi l  ÷íng cho x ∈ X, ψ−∞ ∈ P SH(X, ω)∩L∞ (X) n o â vỵi τ < −Cψ ; τ > Cψ ành ngh¾a 3.2.2 ành ngh¾a cĂc C > vợi mồi bơng mởt thá v bà ch°n ψτ = −∞ R τ → ψτ ∈ P SH(X, ω) Cho b0 , b1 l  c¡c hm chẵnh quy hõa nỷa liản tửc trản bao P (b0 ) = sup{ψ ≤ b0 : ψ ∈ P SH(X, ω)}; P (b0 , b1 ) = P (min{b0 , b1 }) = sup{ψ ≤ min{b0 , b1 }|ψ ∈ P SH(X, ω)} (Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w)(Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w)(Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w)(Luan.van.thac.si).tia.trac.dia.yeu.trong.khong.gian.cac.the.vi.kahler.va.lop.e(x.w) Luan van X, ta