BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Tuyết Như TIA TRẮC ĐỊA YẾU TRONG KHÔNG GIAN CÁC THẾ VỊ K�̈�HLER VÀ LỚP
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Tuyết Như TIA TRẮC ĐỊA YẾU TRONG KHÔNG GIAN CÁC THẾ VỊ K𝑨̈HLER VÀ LỚP 𝜺(𝑿, 𝝎) LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh -2019 Luan van BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Tuyết Như TIA TRẮC ĐỊA YẾU TRONG KHÔNG GIAN CÁC THẾ VỊ K𝑨̈HLER VÀ LỚP 𝜺(𝑿, 𝝎) Chun ngành : Tốn giải tích Mã số : 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : TS NGUYỄN VĂN ĐÔNG Thành phố Hồ Chí Minh -2019 Luan van LÍI CAM OAN Hồc viản xin cam oan Ơy l cổng trẳnh nghiản cựu cừa riảng hồc viản Luên vôn ữủc hon thnh bi cĂ nhƠn dữợi sỹ hữợng dăn cừa TS Nguyạn Vôn ổng CĂc ti liằu tham khÊo, cĂc nh lỵ, bờ à v cĂc kát quÊ trẵch dăn, sỷ dửng luên vôn Ãu ữủc nảu Ưy ừ nguỗn gốc cử th, ró rng Thnh phố Hỗ Chẵ Minh, ngy 27 thĂng 09 nôm 2019 Hồc viản thỹc hiằn Nguyạn Th Tuyát Nhữ Luan van LI CM èN Luên vôn ữủc hon thnh tÔi trữớng Ôi hồc sữ phÔm Thnh phố Hỗ Chẵ Minh dữợi sỹ hữợng dăn cừa TS Nguyạn Vôn ổng NhƠn dp ny, tổi xin by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc tợi ThƯy, ngữới  tên tẳnh v ởng viản tổi rĐt nhiÃu suốt quĂ trẳnh hồc têp v thỹc hiằn luên vôn Tổi xin chƠn thnh cĂm ỡn án Quỵ thƯy cổ Hởi ỗng chĐm luên vôn  dnh thới gian ồc, chnh sỷa v õng gõp ỵ kián giúp luên vôn ữủc hon chnh hỡn Tổi xin cĂm ỡn tĐt cÊ cĂc thƯy, cổ  nhiằt tẳnh giÊng dÔy, truyÃn Ôt kián thực v giúp ù tổi suốt quĂ trẳnh hồc têp Tổi xin cĂm ỡn án Quỵ thƯy cổ Phỏng Sau Ôi hồc cừa trữớng Ôi hồc Sữ phÔm Thnh phố Hỗ Chẵ Minh  tÔo iÃu kiằn thuên lủi cho tổi hon thnh chữỡng trẳnh hồc têp v thỹc hiằn luên vôn ny Xin cĂm ỡn cĂc anh ch, cĂc bÔn hồc viản ngnh toĂn  ởng viản giúp ù tổi v cõ nhiÃu ỵ kián õng gõp quĂ trẳnh hon thnh luên vôn Do trẳnh ở v thới gian cõ hÔn cừa bÊn thƠn nản luên vôn khổng trĂnh khọi sai sõt Tổi rĐt mong nhên ữủc sỹ ch bÊo v gõp ỵ tứ quỵ thƯy cổ, cĂc anh ch v cĂc bÔn Xin chƠn thnh cĂm ỡn Thnh phố Hỗ Chẵ Minh, ngy 27 thĂng 09 nôm 2019 Hồc viản thỹc hiằn Nguyạn Th Tuyát Nhữ Luan van Mửc lửc M Ưu 1 Kián thực chuân b 1.1 1.2 Php tẵnh vi phƠn trản a tÔp khÊ vi 1.1.1 a tÔp khÊ vi 1.1.2 a tÔp Riemann 1.1.3 CĂc dÔng vi phƠn trản a tÔp khÊ vi 1.1.4 Dỏng trản cĂc a tÔp khÊ vi 10 1.1.5 Ôo hm ngoi v tẵch ngoi cừa dỏng trản a tÔp khÊ vi 11 Php tẵnh vi phƠn phực 12 1.2.1 a tÔp phực 12 1.2.2 DÔng vi phƠn trản a tÔp phực 13 1.2.3 1.2.4 Dỏng trản a tÔp phực 16 H m a iÃu hỏa dữợi trản a tÔp phực 17 1.3 ăhler a tÔp Hecmit v a tÔp Ka 1.4 Hm a iÃu hỏa dữợi 18 19 Trưc a yáu khổng gian cĂc thá v Kaăhler 21 2.1 Tia trc àa y¸u 22 2.2 C¡ch x¥y düng dữợi trưc a yáu cừa Berndtsson 24 2.3 Phi¸m h m nông lữủng Aubin-Mabuchi 25 2.4 Chuân tưc hõa trưc a yáu Tia trưc a yáu v lợp nông lữủng (X, ) Luan van 29 34 (X, ) 3.1 Lợp 3.2 CĂch xƠy düng tia trc àa y¸u 3.3 35 41 3.2.1 ăm Tia trc àa y¸u cõa Ross v Witt-Nystro 41 3.2.2 Mởt cĂch xƠy dỹng cĂc tia trưc a yáu cừa TamĂs Darvas 45 Php bián ời Legendre ngữủc cừa mët tia trc àa y¸u v ε(X, ω) 49 K¸t luªn 53 T i li»u tham kh£o 54 Luan van DANH MệC CC K HIU I ToĂn tỷ ỗng nhĐt Ck Khæng gian c¡c h m kh£ vi k C s (Ω, R) Têp hủp cĂc hm thuởc lợp Cs TX,a Khổng gian ti¸p xóc cõa khỉng gian ∗ TX,a Khỉng gian ối tiáp xúc TX , TX PhƠn thợ tiáp xóc cõa TX = ∪x∈X TX,x |I| C s (X, ) TX p du Ôo hm ngoi cừa mởt u v p dÔng thuởc lợp Cs Cs u M ối ỗng iÃu Rham trản Nỷa chuân p (X) Khæng gian Dp (K) Khæng gian cõa Dp (X) Dp (X) := K Dp (K) (Dp (X))0 ối ngău tỉpỉ cõa codimM èi chi·u cõa O(Ω) Tªp hđp c¡c hm chnh hẳnh trản (X) a v psL Vp,q tÔi dÔng vi phƠn thuởc lợp Tẵch ngoi cừa p HdR (M ) X ∗ =∪ ∗ TX x∈X TX,x v Khæng gian cõa Gi¡ cõa ω X u ∧ vv suupu trản I ở di cừa Vp lƯn vợi cĂc Ôo hm liản tửc psL (u) = supxL max|I|=p,||s |D uI (x)| C ∞ (X, Vp ∗) TX εp (X) ữủc trang b tổpổ xĂc nh bi nỷa chuân vợi c¡c ph¦n tû câ gi¡ compact Dp (X) M Têp hủp cĂc dÔng vi phƠn kiu (p, q) d, δ, δ C¡c to¡n tû vi ph¥n ngo i P SH() Têp hủp cĂc hm a iÃu hỏa dữợi trản Hua DÔng Hess phực cừa Imz PhƯn Êo cừa Rez PhƯn thỹc cừa P SH(X, ) Têp hủp cĂc hm u z z - a iÃu hỏa dữợi Luan van K psL uscu Chẵnh quy hõa nỷa liản tửc tr¶n cõa Sα,β Sα,β = {s ∈ C : α < Res < β} C ∞ (X) Tªp hđp c¡c hm trỡn trản H Khổng gian cĂc thá v trỡn trản ÔohÔp hiằp bián AM (.) Phiám hm Aubin Mabichi u(u0 , u1 ) oÔn trưc a yáu nối (X, ) Lợp nông lữủng Cap (.) Dung lữủng Monge-Ampere P (b0 ) P (b0 ) = sup{ψ ≤ b0 : ψ ∈ P SH(X, ω)}; P (b0 , b1 ) P (b0 , b1 ) = P (min{b0 , b1 }) = sup{ψ ≤ min{b0 , b1 }|ψ ∈ P SH(X, ω)} P[ψ] (φ) Bao cõa φ u0 v u X X u1 èi vỵi c¡c kiºu k¼ dà cõa Luan van ψP[ψ] (φ) = usc (limD→+∞ P (ψ + D, φ)) Mð ¦u (X n , ) GiÊ sỷ lữủng ăhler compact liản thổng l mởt a tÔp Ka n chiÃu Lợp nông (X, ) ữủc xem nhữ l lợp cĂc hm - a iÃu hỏa dữợi P SH(X, ) khổng nhĐt thiát b chn Ơy cụng l lợp lợn nhĐt cĂc hm - a iÃu hỏa dữợi m trản õ toĂn tỷ Monge-Ampre phực xĂc nh tốt Nõ ữủc sỷ dửng giÊi phữỡng trẳnh Monge-Ampre ton cửc vợi dỳ liằu thổ CĂc phƯn tỷ v ∈ ε(X, ω) th÷íng khỉng bà ch°n nh÷ng câ cĂc ký d rĐt nhà c biằt, theo [13] Corollary 1.8, tÔi xX bĐt ký số Lelong cừa v bơng khổng Tuy nhiản, nhữ  nhên xt [11] tẵnh chĐt ny khổng c trững cho lợp (X, ) TamĂs Darvas bi bĂo [7]  trẳnh by mởt kát quÊ lĐp Ưy lộ hờng ny, nghắa l c trững cĂc phƯn (X, ) tỷ cừa theo tẵnh nhà cừa c¡c ký dà cõa chóng º thüc hi»n vi»c n y, tĂc giÊ bi bĂo ữa mởt cĂch xƠy dỹng cĂc tia ăhler gưn kát vợi cĂc tẵnh chĐt cừa trc àa y¸u khỉng gian c¡c th¸ Ka lợp (X, ) (X, ) p dửng sỹ xƠy dỹng ny, tĂc giÊ Â chựng minh mởt c trững cừa theo cĂc bao trản Kẵ hiằu b chn v AM (max{−l, ψ}) , l l→+∞ cψ = lim AM (.) P SH(X, ) l nông lữủng Aubin-Mabuchi cừa mởt hm dữợi c trững Ưu tiản cừa lợp ch náu õ (X, ) ữủc chựng minh l cõ thº khæng ω - a i·u háa ψ ∈ ε(X, ω) náu v c = Bưt Ưu tứ mởt oÔn trưc a dữợi yáu (, ) t ut ∈ P SH(X, ω) vi»c x¥y düng mët tia trc a yáu tờng quĂt trản gp tr ngÔi vẳ nõi chung giợi hÔn u := lim ut t+ khổng tỗn tÔi Khưc phửc vĐn à ny cƯn mởt quĂ trẳnh chuân tưc hõa oÔn trưc a yáu Sỹ chuân tưc hâa n y thüc hi»n ÷đc nhí v o mð rëng mët kát quÊ cừa Berndtsson [1] và tẵnh liản tửc Lipschitz cừa oÔn trưc a Luan van yáu tũy ỵ Vợi oÔn trưc a yáu ữủc chuân tưc hõa iÃu hỏa dữợi v khĂc u := lim ut l hm t+ Mửc tiảu tiáp theo l xƠy dỹng tia trưc a yáu ữủc chuân tưc hõa cho v0 = φ v ω - a v∞ = ψ vỵi φ, ψ ∈ P SH(X, ω), ψ ≤ φ vỵi φ bà ch°n v ψ t → vt câ thº khổng b chn xƠy dỹng mởt tia nhữ thá bi bĂo giợi thiằu têp hủp cĂc tia trưc a yáu chuân tưc: R(, ) = {vt l mởt tia yáu chuân tưc hõa vợi vo = lim vt = φ(t) t→0 v v∞ = lim vt ≥ ψ(t)} t→∞ õ giợi hÔn l theo tứng im Kẵ hiằu (0, l) t → ult ∈ P SH(X, ω) max{φ − l, ψ}v v(φ, ψ) = usc φ vỵi chẵnhquy hõa nỷa liản tửc trản cừa giợi hÔn cĂc oÔn ny l lim ul l+ cừa cĂc phƯn tỷ thuởc Cuối cũng, vợi l bao trản cừa l oÔn trưc a yáu nhĐt nối Bi bĂo chựng minh ữủc rơng tia R(, ) v nõ l hơng náu v ch náu P SH(X, ) v v(φ, ψ) ψ ∈ ε(X, ω) φ ∈ P SH(X, ω) ∩ L1 (X) èi vỵi kiºu ký dà cừa l bao dữợi nh nghắa P[] () Dỹa vo cĂch xƠy dỹng tia trưc a yáu v tẵnh cỹc Ôi cừa php bián ời Legendre cừa tia trưc a yáu, bi bĂo  chựng minh khng nh c trững cĂc phƯn tỷ cừa (X, ) theo tẵnh nhµ cõa c¡c ký dà cõa chóng: ψ ∈ ε(X, ) náu v ch náu P[] () = vợi ψ ∈ P SH(X, ω) v φ ∈ P SH(X, ) C(X) Luên vôn ny trẳnh by lÔi nởi dung b i b¡o cõa Tam¡s Darvas [7] v· vi»c x¥y düng tia trc àa y¸u khỉng gian c¡c th¸ gưn kát vợi cĂc tẵnh chĐt cừa lợp (X, ) v sỷ dửng chúng c trững lợp nông lữủng ny theo cĂc bao trản Luên vôn gỗm chữỡng: Chữỡng 1: PhƯn chuân b, trẳnh by cĂc kián thực và Hẳnh hồc phực, Lỵ thuyát a thá v cõ liản quan phửc vử cho cĂc chữỡng tiáp theo ăhler: Trẳnh by Chữỡng 2: Tia trưc a yáu khổng gian cĂc thá v Ka ăhler KhĂi niằm trưc a khổng gian cĂc thá v Ka Phữỡng phĂp cừa Berndtsson [2] xƠy dỹng cĂc oÔn trưc da yáu nối hai im thuởc lợp cĂc hm - a iÃu hỏa dữợi b chn a phữỡng Luan van ...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Tuyết Như TIA TRẮC ĐỊA YẾU TRONG KHÔNG GIAN CÁC THẾ VỊ K