Skkn giúp học sinh nâng cao kỹ năng giải một số bài toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc MÔ TẢ SÁNG KIẾN Mã số:…………………………… Tên sáng kiến: GIÚP HỌC SINH NÂNG CAO KỸ NĂNG GIẢI TỐT MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ (Nguyễn Hữu Thi, Nguyễn Hữu Thái, Nguyễn Thị Hồng Châu, Trịnh Thị Bé Hai,Nguyễn Văn Tâm, @THPT Ngô Văn Cấn) Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Chương trình Tốn THPT khối 12 Mơ tả chất sáng kiến 3.1.Tình trạng giải pháp biết Như biết toán liên quan đến khảo sát hàm số tốn khơng thể thiếu kì thi quan trọng học sinh khối 12: thi HKI, thi TN THPT Quốc gia Trong thường gặp nhiều tốn “Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu có cực trị khoảng K” Khi giải tốn đưa đến vấn đề “Tìm điều kiện để y < (y > 0) K phương trình y= có nghiệm K” Đây thực chất vấn đề so sánh nghiệm phương trình bậc hai với số thực Nếu theo chương trình sách giáo khoa cũ lớp 10 học sinh vận dụng định lí đảo dấu tam thức bậc hai hệ để giải tốn Tuy nhiên có nhiều toán đưa đến việc phải xét nhiều trường hợp lời giải dài dịng phức tạp Hơn nữa, theo chương trình sách giáo khoa Bộ giáo dục phát hành phần kiến thức liên quan đến định lí đảo hệ giảm tải Do gặp phải vấn đề “Làm để giải toán cách hiệu mà cần vận dụng kiến thức học chương trình sách giáo khoa hành” Với suy nghĩ nhằm giúp em hiểu dạng vận dụng tốt việc giải toán thuộc lĩnh vực skkn tạo hứng thú việc học tập mơn tốn học sinh, đồng thời nâng cao chất lượng giảng dạy nên tơi tìm hiểu, tổng hợp thực nhiều năm qua thấy có hiệu cao Hơm viết đề tài để trao đổi với đồng nghiệp, rút thêm kinh nghiệm cho thân Đề tài:“GIÚP HỌC SINH NÂNG CAO KỸ NĂNG GIẢI TỐT MỘT SỚ BÀI TOÁN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ” 3.2 Nội dung giải pháp đề nghị công nhận sáng kiến 3.2.1 Mục đích giải pháp - Sáng kiến nhằm mục đích chia đồng nghiệp số kinh nghiệm giúp học sinh khối 12 vận dụng kiến thức giải tốt số toán tính đơn điệu, cực trị hàm số - Sáng kiến đưa số dạng toán tính đơn điệu, cực trị hàm số mức độ vận dụng chương trình Tốn lớp 12 để có giải pháp phương hướng giải tốn hiệu hơn, góp phần nâng cao chất lượng học tập học sinh - Vấn đề phần kiến thức nặng cho đối tượng học sinh khơng giỏi Thậm chí học sinh giỏi phải lúng túng gặp tốn Vì cần phải có giải pháp để giúp em học sinh khối 12 nắm vững phần kiến thức quan trọng 3.2.2 Điểm giải pháp Qua trình nghiên cứu tìm giải pháp giúp học sinh nâng cao kỹ giải tốt số tốn tính đơn điệu, cực trị hàm số có điểm sau: + Các toán tổng hợp lại hệ thống thành dạng giải theo cách nhanh, gọn, đơn giản hóa vấn đề + Các tốn nội dung hồn tồn khơng sử dụng định lý đảo dấu tam thức bậc hai (nội dung giảm tải) skkn Skkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.so + Các dạng tập thực từ đơn giản đến nâng cao Phần lớn thực giải phương pháp tự luận, có kết hợp máy tính bỏ túi Lúc đầu học sinh thấy khó khăn, nhiên hiểu rõ bước giải học sinh thấy dễ thực thích rèn luyện kỹ nội dung Khi áp dụng phương pháp giải vào tập tự luận trả lời câu hỏi trắc nghiệm khách quan học sinh phấn khởi, vui vẻ, hứng thú làm tự tin PHẦN NỘI DUNG Kiến thức cần nhớ 1.1 Phương trình bậc hai a) Định nghĩa Phương trình bậc hai ẩn x ( ) phương trình có dạng: b)Cách giải Tính + Nếu phương trình (1) vơ nghiệm + Nếu phương trình (1) có nghiệm kép + Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt c)Định lý Vi-et – Dấu nghiệm + Định lý: Nếu phương trình bậc hai ẩn có hai nghiệm : + Dấu nghiệm: * Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu * Phương trình (1) có hai nghiệm dấu * Phương trình (1) có hai nghiệm dương * Phương trình (1) có hai nghiệm âm Skkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.so skkn Skkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.so 1.2.Điều kiện cần đủ để hàm số đơn điệu Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm K + Điều kiện cần đủ để hàm số y = f(x) đồng biến K đồng thời xảy số hữu hạn điểm thuộc K + Điều kiện cần đủ để hàm số y = f(x) nghịch biến K đồng thời xảy số hữu hạn điểm thuộc K 1.3 Điều kiện cần đủ để hàm số có cực trị * Định lí 1: Giả sử hàm số y = f(x) đạt cực trị x0 , f(x) có đạo hàm x0 * Định lí 2: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục khoảng (a;b) chứa x0 có đạo hàm khoảng (a;x0) (x0;b) : + Nếu hàm số đạt cực tiểu x0 + Nếu hàm số đạt cực đại x0 Phương pháp giải ví dụ áp dụng * Bài toán 1: Cho hàm số: y = ax3 + bx2 + cx + d (1) (a 0) Tìm điều kiện để hàm số (1): a) Đồng biến b) Đồng biến c) Đồng biến Lời giải thực Lời giải đề nghị Txđ: D = R Txđ: D = R a) Hàm số (1) đồng biến khoảng TH1: Nếu bpt: a)Hàm số(1) đồng biến khoảng b)Hàm số (1) đồng biến khoảng c) Hàm số (1) đồng biến khoảng Skkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.so skkn Skkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.so b) Hàm số (1) đồng biến TH2: Nếu bpt: không đưa khoảng dạng (*) ta đặt : t = x Khi ta có: a) Hàm số (1) đồng biến khoảng c) Hàm số(1) đồng biến khoảng b)Hàm số (1) đồng biến khoảng Skkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.so skkn Skkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.so * Ví dụ 1: Cho hàm số : y = (1) Tìm giá trị tham số m để hàm số: a) Đồng biến khoảng b) Đồng biến khoảng c) Đồng biến khoảng Lời giải thực Lời giải đề nghị Txđ: D = R Txđ: D = R Ta có: a) Hàm số (1) đồng biến khoảng Đặt : a) Hàm số(1) đồng biến khoảng Xét : Ta có bảng biến thiên: x g’(x) g(x) + -1 -1 Từ bảng biến thiên ta : Kết luận : Kết luận : hàm số (1) khoảng đồng biến khoảng Skkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.so skkn hàm số (1) đồng biến Skkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.so b) Hàm số đồng biến khoảng b) Hàm số đồng biến khoảng Xét : Ta có bảng biến thiên: x g’(x) g(x) - + -1 -4 Từ bảng biến thiên ta : Kết luận : khoảng hàm số (1) đồng biến Kết luận : hàm số (1) đồng biến khoảng c) Hàm số đồng biến khoảng c) Hàm số đồng biến khoảng Xét : Ta có bảng biến thiên: x -1 g’(x) g(x) + 0 - Skkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.so skkn Skkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.so Từ bảng biến thiên ta : Kết luận : khoảng Kết luận : hàm số (1) đồng biến khoảng Skkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.so skkn hàm số (1) đồng biến Skkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.so *Bài toán 2: Cho hàm số : y = ax3 + bx2 + cx + d (1) (a 0) a)Tìm điều kiện để hàm số (1) nghịch biến b)Tìm điều kiện để hàm số (1) nghịch biến c)Tìm điều kiện để hàm số (1) nghịch biến Lời giải thực Lời giải đề nghị Txđ: D = R Txđ: D = R a)Hàm số (1) nghịch biến khoảng TH1: Nếu bpt: a)Hàm số(1) nghịch biến khoảng b) Hàm số (1) nghịch biến khoảng b)Hàm số (1) nghịch biến khoảng c) Hàm số(1) nghịch biến khoảng c) Hàm số (1) nghịch biến khoảng TH2: Nếu bpt: khơng đưa dạng (*) ta đặt : t = x Khi ta có: a)Hàm số(1) nghịch biến khoảng Skkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.so skkn Skkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.so b)Hàm số (1) nghịch biến khoảng *Ví dụ 2: Cho hàm số : y = (1) Tìm giá trị tham số m để hàm số (1): a) Nghịch biến khoảng b) Nghịch biến khoảng Lời giải thường gặp Lời giải đề nghị Txđ : D = R Txđ : D = R y’ = f(x) = y’ = f(x) = a)Hàm số (1) nghịch biến Đặt t = x – ta : y’ = g(t) = khoảng a)Hàm số (1) nghịch biến khoảng Skkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.so skkn Skkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.so (III) *Ví dụ 3: Cho hàm số: a)Tìm giá trị tham số m để hàm số (2) đồng biến b)Tìm giá trị tham số m để hàm số (2) đồng biến c)Tìm giá trị tham số m để hàm số (2) đồng biến Lời giải thực Txđ : D = R a)Hàm số (2) đồng biến Lời giải đề nghị Txđ : D = R Ta có: Đặt : a)Hàm số (2) đồng biến Ta có bảng biến thiên hàm số: x g’(x) -1 Skkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.so skkn - Skkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.so Kết luận: Vậy hàm số (2) đồng biến b)Hàm số (2) đồng biến g(x) Kết luận: Vậy biến hàm số (2) đồng b)Hàm số (2) đồng biến Ta có bảng biến thiên hàm số: Kết luận: Vậy đồng biến hàm số (2) c)Hàm số (2) đồng biến x g’(x) g(x) + Kết luận: Vậy biến hàm số (2) đồng c) Hàm số (2) đồng biến Ta có bảng biến thiên hàm số: Kết luận: Vậy đồng biến hàm số (2) x g’(x) g(x) + Kết luận: Vậy hàm số (2) đồng biến Skkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.so skkn Skkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.so *Bài toán 4: Cho hàm số : a)Tìm điều kiện để hàm số (2) nghịch biến b)Tìm điều kiện để hàm số (2) nghịch biến c)Tìm điều kiện để hàm số (2) nghịch biến Lời giải thực Lời giải đề nghị Txđ: Txđ: a)Hàm số (2) nghịch biến khoảng TH1: Nếu: a)Hàm số(2) nghịch biến khoảng b)Hàm số(2) nghịch biến khoảng c) Hàm số (2) nghịch biến khoảng b)Hàm số (2) nghịch biến khoảng TH2: Nếu bpt: khơng đưa dạng (i) ta đặt : t = x Khi bpt: trở thành : , Skkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.so skkn Skkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.so với: a )Hàm số(2) nghịch biến khoảng c) Hàm số (2) nghịch biến khoảng b)Hàm số(2) nghịch biến khoảng (III) *Ví dụ 4: Cho hàm số: a)Tìm giá trị tham số m để hàm số (2) nghịch biến b)Tìm giá trị tham số m để hàm số (2) nghịch biến Skkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.so skkn Skkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.so Lời giải thực Txđ : D = R\{2m} Lời giải đề nghị Txđ : D = R\{2m} a) Hàm số (2) nghịch biến Đặt : t = x-1 Khi bpt: trở thành : a) Hàm số (2) nghịch biến Kết luận: Với hàm số (2) Kết luận: Với hàm số nghịch biến (2) nghịch biến b)Hàm số (2) nghịch biến b)Hàm số (2) nghịch biến Kết luận: Với (2) nghịch biến hàm số Kết luận: Với nghịch biến Skkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.so skkn hàm số (2) Skkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.so *Bài toán 5: Cho hàm số : y = ax3 + bx2 + cx + d (1) (a 0) Tìm điều kiện để hàm số (1) : a) Có cực trị b) Có cực trị c) Có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn : d) Có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn : e) Có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn : Lời giải thực Lời giải đề nghị Txđ: D = R Txđ: D = R a)Hàm số(1) có cực trị khoảng dạng (i) ta đặt : t = x - : có nghiệm khoảng a)Hàm số(1) có cực trị khoảng có nghiệm khoảng có nghiệm: t < b) Hàm số(1) có cực trị khoảng b) Hàm số(1) có cực trị khoảng có nghiệm khoảng có nghiệm khoảng có nghiệm: t > c) Hàm số(1) có hai cực trị x1, x2 thỏa c) Hàm số(1) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn: mãn: có hai nghiệm x1, x2 thỏa có hai nghiệm t1,t2 mãn: thỏa mãn : Skkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.so skkn Skkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.so d) Hàm số (1) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn: có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: d) Hàm số(1) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn: có hai nghiệm t1,t2 thỏa mãn : e) Hàm số (1) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn: có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: e) Hàm số (1) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn: có hai nghiệm t1,t2 thỏa mãn : *Ví dụ 5: Cho hàm số : y = (1) Tìm điều kiện để hàm số (1): a) Có cực trị b) Có cực trị c) Có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn : d) Có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn : e) Có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn : Lời giải thực Lời giải đề nghị Txđ: D = R Txđ: D = R y’ = f(x) = y’ = f(x) = a)Hàm số(1) có cực trị khoảng  Đặt ta : có nghiệm khoảng a)Hàm số(1) có cực trị khoảng có nghiệm khoảng có nghiệm: t < Skkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.so skkn Skkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.so Kết luận: Với hàm số (1) có cực trị khoảng Kết luận: Với hàm số (1) có cực trị khoảng b)Hàm số(1) có cực trị khoảng b)Hàm số(1) có cực trị khoảng có nghiệm khoảng có nghiệm khoảng có nghiệm: t > Kết luận: Với hàm số(1) Kết luận: Với trị khoảng có cực trị khoảng hàm số(1) có cực c)Hàm số(1) có hai cực trị x1, x2 thỏa c) Hàm số(1) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn: mãn: có hai nghiệm x1, x2 có hai nghiệm t1,t2 thỏa mãn: thỏa mãn : Kết luận: Với hàm số(1) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn : d) Hàm số (1) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn: có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: Kết luận: Với hàm số(1) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn : d) Hàm số(1) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn : có hai nghiệm t1,t2 thỏa mãn : Skkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.so skkn Skkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.so Kết luận: Khơng có giá trị m thỏa mãn yêu cầu tốn e) Hàm số (1) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn: có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: Kết luận: Khơng có giá trị m thỏa mãn u cầu tốn e) Hàm số(1) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn: có hai nghiệm t1,t2 thỏa mãn: Kết luận: Với hàm số (1) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn : Kết luận: Với hàm số (1) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn : *Bài toán 6: Cho hàm số : Tìm điều kiện để hàm số (2): a) Có cực trị b) Có cực trị c) Có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn : d) Có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn : Skkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.so skkn Skkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.so Lời giải thực Txđ: Lời giải đề nghị Txđ: a)Hàm số (2) có cực trị ta đặt : t = x khoảng khi: Phương trình có nghiệm Khi : khoảng (I) (I) , với : a) Hàm số (2) có cực trị khoảng : Phương trình có nghiệm t < (*) b)Hàm số(2) có cực trị khoảng b)Hàm số (2) có cực trị khoảng khi: : phương trình có nghiệm phương trình có nghiệm t > (**) khoảng (II) và Skkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.so skkn Skkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.so c)Hàm số(2) có hai cực trị x1, x2 thỏa c) Hàm số(2) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn: mãn: khi: khi: phương trình có hai nghiệm t1,t2 phương trình có hai nghiệm thỏa mãn : (***) x1, x2 thỏa mãn : (III) (***) (III) d)Hàm số(2) có hai cực trị x1, x2 thỏa d) Hàm số(2) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn: mãn: khi: khi: phương trình có hai nghiệm t1,t2 phương trình có hai nghiệm thỏa mãn : (1*) x1, x2 thỏa mãn : (IV) và (1*) (IV) *Ví dụ 6: Cho hàm số: Tìm điều kiện để hàm số (2) : a) Có cực trị b) Có cực trị c) Có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn : d) Có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn : Lời giải thực Lời giải đề nghị Txđ : D = R\{2m} Txđ : D = R\{2m} a)Hàm số (2) có cực trị khoảng khi: phương trình có nghiệm khoảng (I) (I’) Đặt : t = x-1 Khi đó: với: a)Hàm số (2) có cực trị khoảng phương trình: có nghiệm t < (*) Skkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.so skkn Skkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.so (1*) (I) (1*) Kết luận: Với (I’) Kết luận: Với hàm số (2) có cực trị khoảng hàm số (2) có cực trị khoảng b)Hàm số (2) có cực trị khoảng khi: phương trình có nghiệm khoảng (I) (I’) b )Hàm số (2) có cực trị khoảng phương trình : có nghiệm t > (**) (2*) (I) (2*) Kết luận: Với cực trị khoảng (I’) Kết luận: Với hàm số Skkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.so skkn hàm số (2) có Skkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.so (2) có cực trị khoảng c)Hàm số(2) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn: : phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn : (III) (I’) (III) c) Hàm số(2) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn: : phương trình có hai nghiệm t1,t2 thỏa mãn : (***) (3*) (***) (3*) (I’) Kết luận: Với hàm số (2) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn: d)Hàm số(2) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn: khi:phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: (IV) (I’) Kết luận :Với hàm số (2) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn: d) Hàm số(2) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn: khi: phương trình có hai nghiệm t1,t2 thỏa mãn : (****) (4*) (IV) (****) (I’) (4*) Kết luận: Với hàm số Kết luận: Với (2) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn : hai cực trị x1, x2 thỏa mãn : Skkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.so skkn hàm số (2) có Skkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.so 3.3 Khả áp dụng giải pháp: Khả áp dụng giải pháp học sinh THPT khối 12 Đối tượng nghiên cứu đề tài học sinh lớp 12C1, 12C2, 12C3, 12C9 3.4 Hiệu quả, lợi ích thu dự kiến thu áp dụng giải pháp: Khi áp dụng chuyên đề vào giảng dạy học sinh môn Tốn trường THPT, tơi nhận thấy em học sinh hứng thú với môn học, nhiều em cảm thấy bất ngờ mà số toán tưởng chừng khơng thể giải khơng có công cụ định lý đảo dấu tam thức bậc hai hệ quả, lại giải cách đơn giản, dễ hiểu cách ứng dụng đạo hàm định lý quen thuộc định lý Vi-et Chính em nhận thấy với tốn ta chịu tìm tịi sáng tạo phát nhiều điều bổ ích nên hứng thú với mơn học Do năm học nhận thấy chất lượng môn tốn nói riêng, kết học tập em học sinh nói chung nâng lên rõ rệt, có nhiều em đầu năm học sinh yếu cuối năm vươn lên để trở thành học sinh trung bình, giỏi Trong kỳ thi quan trọng có nhiều em đạt điểm cao góp phần nâng cao chất lượng giáo dục của nhà trường Cụ thể: Qua trình nghiên cứu, kết đạt tốt Trong năm học 2017 – 2018(đã áp dụng giải pháp này), kết lớp 12C1, 12C2, 12C3, 12C9 cao hơn, chất lượng nâng lên cao, số lượng học sinh đạt giỏi Cụ thể kết kiểm tra định kỳ chương Giải tích 12: Thời Tổng Giỏi Khá Tb Yếu Kém lượng số (%) (%) (%) (%) (%) 45 phút 43 15(34.88%) 17(39.53%) 11(25.59%) 0 45 phút 43 13(30.23%) 20(46.51%) 10(23.26%) 0 45 phút 41 12(29.27%) 21(51.22%) 8(19.51%) 0 45 phút 41 13(31.71%) 16(39.02%) 12(29.27%) 0 Skkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.so skkn Skkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.so Skkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.soSkkn.giup.hoc.sinh.nang.cao.ky.nang.giai.mot.so.bai.toan.ve.tinh.don.dieu cuc.tri.cua.ham.so