Skkn các phương pháp tính tích phân và những sai lầm thường gặp

Cùng với việc tạo điều kiện cho học sinh kiến tạo tri thức và rèn luyện kỹnăng Toán học cần thiết, môn Toán còn có tác dụng góp phần phát triển nănglực trí tuệ chung như: p

Tên sáng kiến

CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN VÀ NHỮNG SAI LẦM THƯỜNG GẶP

Tác giả sáng kiến

- Họ và tên: Hà Thị Thanh

- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Giáo viên Toán trường THPT Xuân Hòa

- E_mail: hathithanh.gvxuanhoa@vinhphuc.edu.vn

Lĩnh vực áp dụng sáng kiến

vấn đề mà sáng kiến giải quyết)

Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử

Bản chất của sáng kiến

Thứ nhất: Về nội dung VẤN ĐỀ I: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

PHẦN I: KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1) Định nghĩa: Cho hàm số liên tục trên K, a,b là hai số bất kỳ thuộc K, nếu

F là một nguyên hàm của trên K thì được gọi là tích phân của từ a đến b và kí hiệu là

Trong trường hợp thì được gọi là tích phân của trên

Như vậy : trong đó F là một nguyên hàm của trên K

Từ ĐN ta thấy bài toán tính tích phân thực chất là bài toán tìm nguyên hàm sau đó thay cận vào

3) Các tính chất của tích phân: Giả sử là hai hàm số liên tục trên K và a,b,c là ba số thực tùy ý thuộc K Ta có:

4) Các phương pháp tính tích phân:

Phương pháp 1: Tìm bằng định nghĩa.

Phương pháp 2: Áp dụng tính chất của tích phân để chuyển đổi tích phân cần tìm thành tổng hoặc hiệu của những tích phân đã biết Phương pháp 3: Sử dụng phương pháp đổi biến số để đơn giản hóa quá trình tích phân Phương pháp 4: Thực hiện tích phân từng phần nhằm giải quyết các bài toán phức tạp hơn.

PHẦN II: CÁC DẠNG BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH

1 Phương pháp 1: Tìm bằng định nghĩa

Ví dụ 1: Tìm Lời giải: Ta có

Ví dụ 2: Tính Lời giải: Ta có

2 Phương pháp 2: Sử dụng tính chất của tích phân (đưa tích phân cần tìm về tổng, hiệu của những tích phân đã tính được)

Ví dụ 3: Tính các tích phân sau: a) b) c) Lời giải: a) b)

Bài tập tự luyện: Tính các tích phân sau

3 Phương pháp 3: Phương pháp đổi biến số

Ví dụ 4: Tính các tích phân sau: a) b) c)

Lời giải: a) Đặt Đổi cận :

Chúng ta vẫn áp dụng kinh nghiệm từ bài tập tìm nguyên hàm, cụ thể là sử dụng lũy thừa với u là cơ số Với tư duy này, việc giải quyết các bài tập b) và c) trở nên đơn giản hơn Đối với b), có dạng phân thức hoặc chứa căn, chúng ta cần thực hiện việc đặt đổi cận một cách hợp lý.

Ta có c) Trên nên ( Chứa ) Đặt Đổi cận:

Cần tính Với điều kiện liên tục trên [a;b], có đạo hàm liên tục trên sao cho và

B1: Đặt Chọn miền D sao cho

B2: Từ phương trình , đổi cận: x=a ; x=b

Ví dụ 5: Tính các tích phân sau: a) b) c) d)

Lời giải a) Đặt ; Đổi cận: b) Đặt ; Đổi cận: c) Đặt ; Đổi cận: d) Đặt ; Đổi cận: Đặt Đổi cận:

1) Tính các tích phân sau: b) c) d) e) f) g) h)

2) Tính các tích phân sau: a) b) c) d) e) f) g) h) i) l) m) o) p) q)

3) Tính các tích phân sau:

Phương pháp 4: Tích phân từng phần

Cần tìm Trong đó : f(x) dễ tìm đạo hàm còn g(x) dễ tìm nguyên hàm

B1: Đặt (v là nguyên hàm đơn giản nhất của g(x))

B2: Áp dụng công thức nguyên hàm từng phần

Chú ý: Nguyên hàm sau phải dễ hơn hoặc “đồng dạng” với nguyên hàm ban đầu

Ví dụ 6: Tính các tích phân sau:

Ví dụ 7: Tính các tích phân sau:

(phương pháp truy hồi) Đặt

Bài tập tự luyện Bài 1: Tính các tích phân sau

Bài 2: Tính các tích phân sau

PHẦN III: KIẾN THỨC MỞ RỘNG MỘT SỐ KỸ THUẬT CÓ TÍNH CHẤT MẸO KHI TÍNH TÍCH PHÂN

Kỹ thuật 1: Tích phân liên kết

Lời giải: Để tính I ta liên kết với

16) Cho f(x) liên tục trên R và với mọi x thuộc R ta có

17) Cho f(x) liên tục trên ( 2;2) và với mọi x thuộc ( 2;2) ta có

Kỹ thuật 2: Tách tích phân cần tìm về tổng các tích phân có thể tính được bằng phương pháp đồng nhất hệ số

Ví dụ 9: Tính Lời giải: Ta có

Kỹ thuật 3: Tách tích phần thành hai phần sao cho khi TP từng phần của phần thứ nhất thì phần thứ 2 sẽ khử được -vdu

Ví dụ 10: Tính Lời giải : Bình thường ta phải tính Nguyên hàm từng phần 2 lần, nhưng để ý: để khử -vdu ta phải thêm bớt để tạo ra

Tương tự ta xét ví dụ 11: Tính Lời giải : Ta có

Kỹ thuật 4: Thêm hằng số cho v khi tính tích phân từng phần

Trong các bài mà du có mẫu số ta nên chọn v thêm một hằng số thích hợp để vdu khử bớt mẫu số.

Ví dụ 12: Tính Lời giải : Đặt

Lẽ ra ta thường lấy nhưng rõ ràng thêm hằng số 1 vào v việc tính tích phân tiếp thep nhàn hơn rất nhiều

Bình thường ta hay lấy v=tanx nhưng với cách thêm vào số 1 ta thấy thuân lợi gì?

Sau đây là một số bài tập về tích phân đã theo dạng và đề thi Đại học của các năm để bạn đọc tự luyện

CÁC BÀI TOÁN TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI ĐH 2002-2015

CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍCH PHÂN (ĐỀ DỰ BỊ)

VẤN ĐỀ II: MỘT SỐ SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI TÍNH TÍCH PHÂN

* Sai lầm thường gặp: I = ∫

1 ( x +1 ) 2 không xác định tại x= 1 ∈ [ −2;2 ] suy ra hàm số không liên tục trên [ −2;2 ] nên không sử dụng được công thức newtơn – leibnitz như cách giải trên.

* Lời giải đúng Hàm số y =

1 ( x +1 ) 2 không xác định tại x= 1 ∈ [ −2;2 ] suy ra hàm số không liên tục trên [ −2;2 ] do đó tích phân trên không tồn tại.

* Chú ý đối với học sinh:

Khi tính tích phân ∫ a b f(x)dx, cần xác định xem hàm số y=f(x) có liên tục trên khoảng [a;b] hay không Nếu hàm số liên tục, bạn có thể áp dụng các phương pháp đã học để tính tích phân Ngược lại, nếu hàm số không liên tục, kết luận ngay rằng tích phân này không tồn tại.

* Một số bài tập tương tự:

Tính các tích phân sau:

* Sai lầm thường gặp: Đặt t = tan x

2 không xác định nên tích phân trên không tồn tại

*Nguyên nhân sai lầm: Đặt t = tan x

* Chú ý đối với học sinh: Đối với phương pháp đổi biến số khi đặt t = u(x) thì u(x) phải là một hàm số liên tục và có đạo hàm liên tục trên [ a;b ]

*Một số bài tập tương tự:

Tính các tích phân sau:

* Sai lầm thường gặp:

Phép biến đổi √ ( x−3 ) 2 = x−3 với x ∈ [ 0 ; 4 ] là không tương đương.

* Chú ý đối với học sinh:

|f ( x )|dx ta phải xét dấu hàm số f(x) trên [ a;b ] rồi dùng tính chất tích phân tách I thành tổng các phân không chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Một số bài tập tương tự:

* Sai lầm thường gặp:

Học sinh không học khái niệm arctanx trong sách giáo khoa hiện thời

* Lời giải đúng: Đặt x+1 = tant với x= 1 thì t = 0 với x = 0 thì t = π

* Chú ý đối với học sinh:

Các khái niệm arcsinx, arctanx không được trình bày chi tiết trong sách giáo khoa hiện nay, nhưng học sinh có thể tìm thấy những bài tập áp dụng các khái niệm này trong những sách tham khảo, mà các sách này thường được soạn thảo dựa trên nội dung sách giáo khoa cũ (trước năm 2000), cung cấp những kiến thức bổ sung cho học sinh.

Từ năm 2000, các khái niệm liên quan đến phương pháp tích phân không còn xuất hiện trong sách giáo khoa, dẫn đến việc học sinh không thể áp dụng phương pháp này Điều này đã ảnh hưởng đến khả năng giải quyết các bài toán tích phân dạng ∫ a b 1.

1+ x 2 dx ta dùng phương pháp đổi biến số đặt t = tanx hoặc t = cotx ;

√ 1− x 2 dx thì đặt x = sint hoặc x = cost

*Một số bài tập tương tự:

*Suy luận sai lầm: Đặt x= sint , dx = costdt

|cost| dt Đổi cận: với x = 0 thì t = 0 với x=

4 không tìm được chính xác t = ?

* Lời giải đúng: Đặt t = √ 1−x 2 ⇒ dt = x

√ 1− x 2 dx ⇒ tdt= xdx Đổi cận: với x = 0 thì t = 1; với x =

*Một số bài tập tương tự:

* Sai lầm thường mắc: I =

1 x ⇒ dt = ( 1− x 1 2 ) dx Đổi cận với x = 1 thì t = 2 ; với x = 1 thì t = 2;

1 x 2 + x 2 là sai vì trong [ −1; 1 ] chứa x = 0 nên không thể chia cả tử cả mẫu cho x = 0 được

* Lời giải đúng: xét hàm số F(x) =

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN TÍCH PHÂN

Câu 1 Kết quả của tích phân là:

Câu 2 Kết quả của tích phân là:

Câu 3 Đổi biến thì tích phân thành:

Câu 4 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường , trục hoành và các đường là:

Câu 5 Kết quả của tích phân là:

Câu 6 Kết quả của tích phân là:

Câu 7 Kết quả của tích phân là:

Câu 8 Kết quả của tích phân là:

Câu 9 Kết quả của tích phân là:

Câu 10 Kết quả của tích phân là:

Câu 11 Kết quả của tích phân là:

Câu 12 Kết quả của tích phân I= ∫

Câu 13 Kết quả của tích phân I= ∫

Câu 14 Kết quả của tích phân là:

Câu 15 Đổi biến thì tích phân thành:

Câu 16 Kết quả của tích phân là:

Câu 17 Đặt Dùng công thức tích phân từng phần để tính J ta được:

Câu 18 Kết quả của tích phân là:

Câu 19 Kết quả của tích phân là:

Câu 20 Kết quả của tích phân là:

Câu 21 Kết quả của tích phân là:

Câu 22 Kết quả của tích phân là:

Câu 23 Kết quả của tích phân là:

Câu 24 Kết quả của tích phân là:

Câu 26 Cho các tích phân và , phát biểu nào sau đây sai:

Câu 27 Cho tích phân , giá trị của a là:

Câu 28 Kết quả của tích phân là:

Câu 29 Kết quả của tích phân I= ∫

Câu 30 Kết quả của tích phân là:

Câu 31 Kết quả của tích phân là:

Câu 32 Kết quả của tích phân là:

Câu 33 Kết quả của tích phân là:

Câu 34 Kết quả của tích phân là:

Câu 35 Kết quả của tích phân khi đó a bằng:

Câu 36 Kết quả của tích phân là:

Câu 37 Kết quả của tích phân là:

Câu 38 Cho hai tích phân và Biết thì bằng bao nhiêu:

Câu 39 Kết quả của tích phân là:

Câu 40 Kết quả của tích phân là:

Câu 41 Kết quả của tích phân là:

Câu 42 Kết quả của tích phân là:

Câu 43 Kết quả của tích phân là:

Câu 44 Kết quả của tích phân là:

Câu 45 Kết quả của tích phân thì a là:

Câu 46 Kết quả của tích phân là:

Câu 47 Kết quả của tích phân là:

48 Đổi biến thì tích phân thành:

Câu 49 Kết quả của tích phân là:

Câu 50 Kết quả của tích phân là:

Câu 51 Kết quả của tích phân là:

Câu 52 Kết quả của tích phân là:

Câu 53 Kết quả của tích phân là:

Câu 54 Kết quả của tích phân là:

Câu 55 Kết quả của tích phân là:

Câu 56 Kết quả của tích phân là:

Câu 57 Kết quả của tích phân là:

Câu 58 Kết quả của tích phân là:

Câu 59 Kết quả của tích phân là:

Câu 60 Kết quả của tích phân là:

Câu 61 Kết quả của tích phân là

Câu 62 Kết quả của tích phân là

Câu 63 Kết quả của tích phân là:

Câu 64 Kết quả của tích phân là:

A B C D 2 ĐÁP ÁN PHẦN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN

Thứ hai: Về khả năng áp dụng của sáng kiến

8 Những thông tin cần được bảo mật (nếu có): Không

9 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Nêu các điều kiện về vật chất, phương tiện….

10 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến

10.1 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả:

Sau khi thực hiện xong sáng kiến kinh nghiệm, bản thân tôi nhận thấy rằng:

- Nhiều em không chỉ giải đúng mà còn giải nhanh được các bài tập về tích phân, đáp ứng yêu cầu về thời gian làm bài thi TNKQ.

10.2 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tổ chức, cá nhân:

CÁC BÀI TOÁN TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI ĐH 2002-2015 .16 VẤN ĐỀ II: MỘT SỐ SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI TÍNH TÍCH PHÂN.18 Thứ hai: Về khả năng áp dụng của sáng kiến

Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến

10.1 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả:

Sau khi thực hiện xong sáng kiến kinh nghiệm, bản thân tôi nhận thấy rằng:

Đa số học sinh hiện nay đã áp dụng phương pháp giải mạch lạc, giúp hạn chế việc chọn đáp án ngẫu nhiên trong các đề thi trắc nghiệm khách quan.

- Nhiều em không chỉ giải đúng mà còn giải nhanh được các bài tập về tích phân, đáp ứng yêu cầu về thời gian làm bài thi TNKQ.

10.2 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tổ chức, cá nhân:

- Sáng kiến kinh nghiệm được thực hiện ở 2 lớp 12 kết quả như sau:

Lớp Giỏi Khá TB Yếu, kém

Lớp Sĩ số SL % SL % SL % SL %

Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có)

Tên tổ chức/ cá nhân Địa chỉ Phạm vi/Lĩnh vực áp dụng sáng kiến

Xuân Hòa, ngày 10tháng 2 năm 2020

(Ký, ghi rõ họ tên)