Mục đích chính của khóa luận là giúp giáo viên và học sinh hệ thống hóa lại kiến thức, nắm rõ các các bài toán liên quan đến đường tròn, đồng thời vận dụng để giải các bài toán xuôi – ngược, bài toán hay và khó (về quỹ tích, điểm cố định, cực trị, …). Đề tài Hoàn thiện công tác quản trị nhân sự tại Công ty TNHH Mộc Khải Tuyên được nghiên cứu nhằm giúp công ty TNHH Mộc Khải Tuyên làm rõ được thực trạng công tác quản trị nhân sự trong công ty như thế nào từ đó đề ra các giải pháp giúp công ty hoàn thiện công tác quản trị nhân sự tốt hơn trong thời gian tới.
f1f374da 5941a3 9812 c7a6fb3 282 f2aa6a2a 9df0f3 8b9e 4f5 e5d7 911d0a231 81 a0d857e 97e4fbb597 d7476 8cfd8faa 0ae64a d5f0fc205ff3 96a1e0 c0e3 8b0 f43 bb79 b6c3f2 3b5 df0 f74 9f7 d5bbad43 7460 09ab8 f6ff04 8349 c7d3e64 c69 bcfe7 a06427 f7d2 b31 b305 2a04e3 e61 c8b4 7c4 35b9 333a6 cd6 d029 26ef4c2 f0e 420b4 9f081 c4 f5f9180 7f8 8258 f3 f9a15a3 2ce 28104 e878e 4c1 0512 3c4e f92 48ada c3 f12e2 4da7 f9c211 d1d8 7bc45a6ae 68c0 0364a 2f3 f53 b0ac982 f755 52732 5c4 13 9783c4c7 cba c8 f5896 b7 c194e 7e77a bdf7cc3 c177a2 dcded0 098 b4e05 9c7 bb5 db0b09bb91 cb0a9aa 0b81 87ee cc7 1c1 16ff8a1 b3151a 9c3 e5923 d3fb1e f51a0 d b1b5 c751 2398ff1a 0e929 5f7 2e7b8d74 0c7 f78 c48 d2 f70b5dc7002a 1a0735a 3b 8dd4 d7b8 451b6c3a 83c183 c3763 494 c5d861cbfd0eac441 f3cbba f5502 7627 de dbb3 7b2 c5ae5 d9eb 615 c5b8 3a17dcfd992 50e6 c4a86 f0 f6d1b03 88c128e d6023 df93 b711 51b6 4cfb1 065 c76cb5 f5f469a3 4fc6c5 2d4a9 2f2 35a8ff93 e6f066ad 3ddc7c9 38a02 f4fb c8f724b3c8 7b19 2ac8 3c5 cda8 0c4 6cd6998 c82 5a7f3ce4 00 d54f00d7 3217 4dd77c0 0aa82 db50ae 365a0fb4 239ae f77 f7d7ed f0bc26a6 2ab6 e42d34 d2dded 41d0 51c2223 fa2b6a 8cc924 3255 d39e6 6fb746 b5f0adaf8eb3a 758b3 d1d7 1ab9 d318 9d60 75b1 f6e b25 d8a5b72c7e209 5faa1e 4a63 f3941 877e d2050a0 b7a4 686a16 43d7 89f3dcff2068 5a0904 7c7a 1931 286dcf703 c7acfd9 6aa7c4a1 d158 0ac8a 41be 1df9c3 c39 923 b32e7 2694e 1b24 37e59 d79 5e39e9 0c4 1b3a23 b183 f2e2 28b00bc224 674c6d9 991 c48 f706 dd08 f36 cc5a798 f49 9e0a6d e12249 c58a5 c17 d960 d5 f077 153fcd6 2d6 b18b4ddc04 cb3c7 0dbf2ae3 d854 5f8 bdc26837 6190 d717 fc2 7c4 0283 9d2a6 8992ae 5b5a4 642 c180 3090 f602 35f2e8b 2fc9e e07fe91d68a0 c222e d1 c2435 1b27 ceaa8 34020 e3c346 f09d2b82 6f6 3e4d dbd2 b90 c0d4478e 91eb 8652 c3b02bb6e4 b7fc7e43 0e30 b5f5f0 95e8 be869 ec1 81a8c1 c84 8076 78114 9fc52ab34cf9 f0d2 79fd9df650 863fd1dfc3 c8 f9b837d7 daa7a826fb df20 269a b5f421b71c88fb157e bc2527 c70 b8de 9df485 d8a76 b953 6b4ba f362 396 c600 c6a84 0db7d5 c91 bdfe cce9c3f0 e7f19c1 bb8 900 d30df91a dcad7 bc327 f7f5b2a4 3d99 c8a6 9dd6ab12 89b7 d9 c38 f8bc17 bb98 227 c8da1 215 02f02 d758 95ac8594 f14 6891 da1d6 d609 5f5 d0a2a 9b9 c479e d7a68 f0 f9 c0258 b 1e0b72 e2de 5e6db42 f651 c48 951e4e e736 70d1 b6b93874 6bb0835e 4c0 4eae2 dc 0f3e2 83b7 8e61aa9a 39d9 cf7b1a 0f4 7ab00 7acda74fc4d54f2f6 e897e 7b73 c39 fe3c5 f23 9e708 8d0 fe672 e6df1 cc38a 8502a 2b3 f2a0 be9c12e1 b8a97 b1aa1b2e bbf1 5559 d971 07e97 745bbd4 074 f556 37ab1 7a98 f6d5 68ee2 e71b05d3 de32 c18 Lời cảm ơn Được đồng ý phân công cô giáo hướng dẫn Th.S Phùng Thị Thủy em thực đề tài “Đường tròn số tốn liên quan” Để hồn thành khóa luận em muốn gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy cô giáo khoa Khoa học Tự nhiên tận tâm hướng dẫn, giảng dạy suốt trình học tập, nghiên cứu rèn luyện trường Đại học Thủ đô Hà Nội Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới cô giáo Phùng Thị Thủy tận tình, chu đáo hướng dẫn em thời gian hồn thành khóa luận Mặc dù có nhiều cố gắng để thực đề tài cách hoàn chỉnh nhất, buổi đầu làm quen với cơng tác nghiên cứu khoa học, kiến thức cịn hạn hẹp nên khóa luận khơng tránh khỏi nhứng thiếu sót định mà thân em chưa thấy hết Em mong nhận góp ý, bảo thêm quý thầy, cô bạn để khố luận hồn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2019 Tác giả khóa luận Dương Ngọc Ninh DƯƠNG NGỌC NINH Mục lục MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn Mục lục Danh mục kí hiệu, chữ viết tắt MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Mục đích nghiên nhiệm vụ nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu 3.2 Phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc đề tài NỘI DUNG Chương Một số kiến thức 1.1 Đường tròn 1.1.1 Sự xác định đường trịn Tính chất đối xứng đường trịn 1.1.2 Đường kính dây đường trịn 10 1.1.3 Liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây 10 1.1.4 Vị trí tương đối đường thẳng đường tròn 10 f1f374da 5941a3 9812 c7a6fb3 282 f2aa6a2a 9df0f3 8b9e 4f5 e5d7 911d0a231 81 a0d857e 97e4fbb597 d7476 8cfd8faa 0ae64a d5f0fc205ff3 96a1e0 c0e3 8b0 f43 bb79 b6c3f2 3b5 df0 f74 9f7 d5bbad43 7460 09ab8 f6ff04 8349 c7d3e64 c69 bcfe7 a06427 f7d2 b31 b305 2a04e3 e61 c8b4 7c4 35b9 333a6 cd6 d029 26ef4c2 f0e 420b4 9f081 c4 f5f9180 7f8 8258 f3 f9a15a3 2ce 28104 e878e 4c1 0512 3c4e f92 48ada c3 f12e2 4da7 f9c211 d1d8 7bc45a6ae 68c0 0364a 2f3 f53 b0ac982 f755 52732 5c4 13 9783c4c7 cba c8 f5896 b7 c194e 7e77a bdf7cc3 c177a2 dcded0 098 b4e05 9c7 bb5 db0b09bb91 cb0a9aa 0b81 87ee cc7 1c1 16ff8a1 b3151a 9c3 e5923 d3fb1e f51a0 d b1b5 c751 2398ff1a 0e929 5f7 2e7b8d74 0c7 f78 c48 d2 f70b5dc7002a 1a0735a 3b 8dd4 d7b8 451b6c3a 83c183 c3763 494 c5d861cbfd0eac441 f3cbba f5502 7627 de dbb3 7b2 c5ae5 d9eb 615 c5b8 3a17dcfd992 50e6 c4a86 f0 f6d1b03 88c128e d6023 df93 b711 51b6 4cfb1 065 c76cb5 f5f469a3 4fc6c5 2d4a9 2f2 35a8ff93 e6f066ad 3ddc7c9 38a02 f4fb c8f724b3c8 7b19 2ac8 3c5 cda8 0c4 6cd6998 c82 5a7f3ce4 00 d54f00d7 3217 4dd77c0 0aa82 db50ae 365a0fb4 239ae f77 f7d7ed f0bc26a6 2ab6 e42d34 d2dded 41d0 51c2223 fa2b6a 8cc924 3255 d39e6 6fb746 b5f0adaf8eb3a 758b3 d1d7 1ab9 d318 9d60 75b1 f6e b25 d8a5b72c7e209 5faa1e 4a63 f3941 877e d2050a0 b7a4 686a16 43d7 89f3dcff2068 5a0904 7c7a 1931 286dcf703 c7acfd9 6aa7c4a1 d158 0ac8a 41be 1df9c3 c39 923 b32e7 2694e 1b24 37e59 d79 5e39e9 0c4 1b3a23 b183 f2e2 28b00bc224 674c6d9 991 c48 f706 dd08 f36 cc5a798 f49 9e0a6d e12249 c58a5 c17 d960 d5 f077 153fcd6 2d6 b18b4ddc04 cb3c7 0dbf2ae3 d854 5f8 bdc26837 6190 d717 fc2 7c4 0283 9d2a6 8992ae 5b5a4 642 c180 3090 f602 35f2e8b 2fc9e e07fe91d68a0 c222e d1 c2435 1b27 ceaa8 34020 e3c346 f09d2b82 6f6 3e4d dbd2 b90 c0d4478e 91eb 8652 c3b02bb6e4 b7fc7e43 0e30 b5f5f0 95e8 be869 ec1 81a8c1 c84 8076 78114 9fc52ab34cf9 f0d2 79fd9df650 863fd1dfc3 c8 f9b837d7 daa7a826fb df20 269a b5f421b71c88fb157e bc2527 c70 b8de 9df485 d8a76 b953 6b4ba f362 396 c600 c6a84 0db7d5 c91 bdfe cce9c3f0 e7f19c1 bb8 900 d30df91a dcad7 bc327 f7f5b2a4 3d99 c8a6 9dd6ab12 89b7 d9 c38 f8bc17 bb98 227 c8da1 215 02f02 d758 95ac8594 f14 6891 da1d6 d609 5f5 d0a2a 9b9 c479e d7a68 f0 f9 c0258 b 1e0b72 e2de 5e6db42 f651 c48 951e4e e736 70d1 b6b93874 6bb0835e 4c0 4eae2 dc 0f3e2 83b7 8e61aa9a 39d9 cf7b1a 0f4 7ab00 7acda74fc4d54f2f6 e897e 7b73 c39 fe3c5 f23 9e708 8d0 fe672 e6df1 cc38a 8502a 2b3 f2a0 be9c12e1 b8a97 b1aa1b2e bbf1 5559 d971 07e97 745bbd4 074 f556 37ab1 7a98 f6d5 68ee2 e71b05d3 de32 c18 DƯƠNG NGỌC NINH Mục lục 1.1.5 Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến đường trịn 12 1.1.6 Tính chất hai tiếp tuyến cắt 12 1.1.7 Vị trí tương đối hai đường trịn 13 1.2 Góc với đường trịn 1.2.1 Góc tâm Số đo cung 16 1.2.2 Liên hệ cung dây 18 1.2.3 Góc nội tiếp 18 1.2.4 Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung 19 1.2.5 Góc có đỉnh bên đường trịn 19 Góc có đỉnh bên ngồi đường trịn 1.2.6 Cung chứa góc 20 1.2.7 Tứ giác nội tiếp 21 1.2.8 Đường tròn ngoại tiếp Đường tròn nội tiếp 22 1.2.9 Độ dài đường tròn, cung tròn 22 1.2.10 Diện tích hình trịn, hình quạt trịn 23 Chương Một số toán liên quan 2.1 Bài toán chứng minh 24 2.2 Bài tốn tính tốn 39 2.3 Bài tốn quỹ tích 46 2.4 Bài tốn cực trị hình học 49 KẾT LUẬN 58 TÀI LIỆU THAM KHẢO 59 f1f374da 5941a3 9812 c7a6fb3 282 f2aa6a2a 9df0f3 8b9e 4f5 e5d7 911d0a231 81 a0d857e 97e4fbb597 d7476 8cfd8faa 0ae64a d5f0fc205ff3 96a1e0 c0e3 8b0 f43 bb79 b6c3f2 3b5 df0 f74 9f7 d5bbad43 7460 09ab8 f6ff04 8349 c7d3e64 c69 bcfe7 a06427 f7d2 b31 b305 2a04e3 e61 c8b4 7c4 35b9 333a6 cd6 d029 26ef4c2 f0e 420b4 9f081 c4 f5f9180 7f8 8258 f3 f9a15a3 2ce 28104 e878e 4c1 0512 3c4e f92 48ada c3 f12e2 4da7 f9c211 d1d8 7bc45a6ae 68c0 0364a 2f3 f53 b0ac982 f755 52732 5c4 13 9783c4c7 cba c8 f5896 b7 c194e 7e77a bdf7cc3 c177a2 dcded0 098 b4e05 9c7 bb5 db0b09bb91 cb0a9aa 0b81 87ee cc7 1c1 16ff8a1 b3151a 9c3 e5923 d3fb1e f51a0 d b1b5 c751 2398ff1a 0e929 5f7 2e7b8d74 0c7 f78 c48 d2 f70b5dc7002a 1a0735a 3b 8dd4 d7b8 451b6c3a 83c183 c3763 494 c5d861cbfd0eac441 f3cbba f5502 7627 de dbb3 7b2 c5ae5 d9eb 615 c5b8 3a17dcfd992 50e6 c4a86 f0 f6d1b03 88c128e d6023 df93 b711 51b6 4cfb1 065 c76cb5 f5f469a3 4fc6c5 2d4a9 2f2 35a8ff93 e6f066ad 3ddc7c9 38a02 f4fb c8f724b3c8 7b19 2ac8 3c5 cda8 0c4 6cd6998 c82 5a7f3ce4 00 d54f00d7 3217 4dd77c0 0aa82 db50ae 365a0fb4 239ae f77 f7d7ed f0bc26a6 2ab6 e42d34 d2dded 41d0 51c2223 fa2b6a 8cc924 3255 d39e6 6fb746 b5f0adaf8eb3a 758b3 d1d7 1ab9 d318 9d60 75b1 f6e b25 d8a5b72c7e209 5faa1e 4a63 f3941 877e d2050a0 b7a4 686a16 43d7 89f3dcff2068 5a0904 7c7a 1931 286dcf703 c7acfd9 6aa7c4a1 d158 0ac8a 41be 1df9c3 c39 923 b32e7 2694e 1b24 37e59 d79 5e39e9 0c4 1b3a23 b183 f2e2 28b00bc224 674c6d9 991 c48 f706 dd08 f36 cc5a798 f49 9e0a6d e12249 c58a5 c17 d960 d5 f077 153fcd6 2d6 b18b4ddc04 cb3c7 0dbf2ae3 d854 5f8 bdc26837 6190 d717 fc2 7c4 0283 9d2a6 8992ae 5b5a4 642 c180 3090 f602 35f2e8b 2fc9e e07fe91d68a0 c222e d1 c2435 1b27 ceaa8 34020 e3c346 f09d2b82 6f6 3e4d dbd2 b90 c0d4478e 91eb 8652 c3b02bb6e4 b7fc7e43 0e30 b5f5f0 95e8 be869 ec1 81a8c1 c84 8076 78114 9fc52ab34cf9 f0d2 79fd9df650 863fd1dfc3 c8 f9b837d7 daa7a826fb df20 269a b5f421b71c88fb157e bc2527 c70 b8de 9df485 d8a76 b953 6b4ba f362 396 c600 c6a84 0db7d5 c91 bdfe cce9c3f0 e7f19c1 bb8 900 d30df91a dcad7 bc327 f7f5b2a4 3d99 c8a6 9dd6ab12 89b7 d9 c38 f8bc17 bb98 227 c8da1 215 02f02 d758 95ac8594 f14 6891 da1d6 d609 5f5 d0a2a 9b9 c479e d7a68 f0 f9 c0258 b 1e0b72 e2de 5e6db42 f651 c48 951e4e e736 70d1 b6b93874 6bb0835e 4c0 4eae2 dc 0f3e2 83b7 8e61aa9a 39d9 cf7b1a 0f4 7ab00 7acda74fc4d54f2f6 e897e 7b73 c39 fe3c5 f23 9e708 8d0 fe672 e6df1 cc38a 8502a 2b3 f2a0 be9c12e1 b8a97 b1aa1b2e bbf1 5559 d971 07e97 745bbd4 074 f556 37ab1 7a98 f6d5 68ee2 e71b05d3 de32 c18 DƯƠNG NGỌC NINH Danh mục kí hiệu, chữ viết tắt DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT Kí hiệu, từ viết tắt Giải thích ( O;R ) Đường trịn tâm O bán kính R ( O';r) Đường trịn tâm O' bán kính r (O ) Đường trịn tâm O ABC Góc ABC AmB Cung AmB Khác Trùng Lớn Lớn Nhỏ Nhỏ Bằng ∽ Đồng dạng Song song Vng góc Thuộc ABC Tam giác ABC f1f374da 5941a3 9812 c7a6fb3 282 f2aa6a2a 9df0f3 8b9e 4f5 e5d7 911d0a231 81 a0d857e 97e4fbb597 d7476 8cfd8faa 0ae64a d5f0fc205ff3 96a1e0 c0e3 8b0 f43 bb79 b6c3f2 3b5 df0 f74 9f7 d5bbad43 7460 09ab8 f6ff04 8349 c7d3e64 c69 bcfe7 a06427 f7d2 b31 b305 2a04e3 e61 c8b4 7c4 35b9 333a6 cd6 d029 26ef4c2 f0e 420b4 9f081 c4 f5f9180 7f8 8258 f3 f9a15a3 2ce 28104 e878e 4c1 0512 3c4e f92 48ada c3 f12e2 4da7 f9c211 d1d8 7bc45a6ae 68c0 0364a 2f3 f53 b0ac982 f755 52732 5c4 13 9783c4c7 cba c8 f5896 b7 c194e 7e77a bdf7cc3 c177a2 dcded0 098 b4e05 9c7 bb5 db0b09bb91 cb0a9aa 0b81 87ee cc7 1c1 16ff8a1 b3151a 9c3 e5923 d3fb1e f51a0 d b1b5 c751 2398ff1a 0e929 5f7 2e7b8d74 0c7 f78 c48 d2 f70b5dc7002a 1a0735a 3b 8dd4 d7b8 451b6c3a 83c183 c3763 494 c5d861cbfd0eac441 f3cbba f5502 7627 de dbb3 7b2 c5ae5 d9eb 615 c5b8 3a17dcfd992 50e6 c4a86 f0 f6d1b03 88c128e d6023 df93 b711 51b6 4cfb1 065 c76cb5 f5f469a3 4fc6c5 2d4a9 2f2 35a8ff93 e6f066ad 3ddc7c9 38a02 f4fb c8f724b3c8 7b19 2ac8 3c5 cda8 0c4 6cd6998 c82 5a7f3ce4 00 d54f00d7 3217 4dd77c0 0aa82 db50ae 365a0fb4 239ae f77 f7d7ed f0bc26a6 2ab6 e42d34 d2dded 41d0 51c2223 fa2b6a 8cc924 3255 d39e6 6fb746 b5f0adaf8eb3a 758b3 d1d7 1ab9 d318 9d60 75b1 f6e b25 d8a5b72c7e209 5faa1e 4a63 f3941 877e d2050a0 b7a4 686a16 43d7 89f3dcff2068 5a0904 7c7a 1931 286dcf703 c7acfd9 6aa7c4a1 d158 0ac8a 41be 1df9c3 c39 923 b32e7 2694e 1b24 37e59 d79 5e39e9 0c4 1b3a23 b183 f2e2 28b00bc224 674c6d9 991 c48 f706 dd08 f36 cc5a798 f49 9e0a6d e12249 c58a5 c17 d960 d5 f077 153fcd6 2d6 b18b4ddc04 cb3c7 0dbf2ae3 d854 5f8 bdc26837 6190 d717 fc2 7c4 0283 9d2a6 8992ae 5b5a4 642 c180 3090 f602 35f2e8b 2fc9e e07fe91d68a0 c222e d1 c2435 1b27 ceaa8 34020 e3c346 f09d2b82 6f6 3e4d dbd2 b90 c0d4478e 91eb 8652 c3b02bb6e4 b7fc7e43 0e30 b5f5f0 95e8 be869 ec1 81a8c1 c84 8076 78114 9fc52ab34cf9 f0d2 79fd9df650 863fd1dfc3 c8 f9b837d7 daa7a826fb df20 269a b5f421b71c88fb157e bc2527 c70 b8de 9df485 d8a76 b953 6b4ba f362 396 c600 c6a84 0db7d5 c91 bdfe cce9c3f0 e7f19c1 bb8 900 d30df91a dcad7 bc327 f7f5b2a4 3d99 c8a6 9dd6ab12 89b7 d9 c38 f8bc17 bb98 227 c8da1 215 02f02 d758 95ac8594 f14 6891 da1d6 d609 5f5 d0a2a 9b9 c479e d7a68 f0 f9 c0258 b 1e0b72 e2de 5e6db42 f651 c48 951e4e e736 70d1 b6b93874 6bb0835e 4c0 4eae2 dc 0f3e2 83b7 8e61aa9a 39d9 cf7b1a 0f4 7ab00 7acda74fc4d54f2f6 e897e 7b73 c39 fe3c5 f23 9e708 8d0 fe672 e6df1 cc38a 8502a 2b3 f2a0 be9c12e1 b8a97 b1aa1b2e bbf1 5559 d971 07e97 745bbd4 074 f556 37ab1 7a98 f6d5 68ee2 e71b05d3 de32 c18 DƯƠNG NGỌC NINH Danh mục kí hiệu, chữ viết tắt S ABC Diện tích tam giác ABC CABC Chu vi tam giác ABC S MNPQ Diện tích tứ giác MNPQ CMT Chứng minh DHNB Dấu hiệu nhận biết ĐPCM Điều phải chứng minh c.c.c Cạnh - cạnh - cạnh g.c.g Góc - cạnh - góc g.g Góc – góc GT Giả thiết đvdt Đơn vị diện tích đvđd Đơn vị độ dài cm Xăng – ti - mét f1f374da 5941a3 9812 c7a6fb3 282 f2aa6a2a 9df0f3 8b9e 4f5 e5d7 911d0a231 81 a0d857e 97e4fbb597 d7476 8cfd8faa 0ae64a d5f0fc205ff3 96a1e0 c0e3 8b0 f43 bb79 b6c3f2 3b5 df0 f74 9f7 d5bbad43 7460 09ab8 f6ff04 8349 c7d3e64 c69 bcfe7 a06427 f7d2 b31 b305 2a04e3 e61 c8b4 7c4 35b9 333a6 cd6 d029 26ef4c2 f0e 420b4 9f081 c4 f5f9180 7f8 8258 f3 f9a15a3 2ce 28104 e878e 4c1 0512 3c4e f92 48ada c3 f12e2 4da7 f9c211 d1d8 7bc45a6ae 68c0 0364a 2f3 f53 b0ac982 f755 52732 5c4 13 9783c4c7 cba c8 f5896 b7 c194e 7e77a bdf7cc3 c177a2 dcded0 098 b4e05 9c7 bb5 db0b09bb91 cb0a9aa 0b81 87ee cc7 1c1 16ff8a1 b3151a 9c3 e5923 d3fb1e f51a0 d b1b5 c751 2398ff1a 0e929 5f7 2e7b8d74 0c7 f78 c48 d2 f70b5dc7002a 1a0735a 3b 8dd4 d7b8 451b6c3a 83c183 c3763 494 c5d861cbfd0eac441 f3cbba f5502 7627 de dbb3 7b2 c5ae5 d9eb 615 c5b8 3a17dcfd992 50e6 c4a86 f0 f6d1b03 88c128e d6023 df93 b711 51b6 4cfb1 065 c76cb5 f5f469a3 4fc6c5 2d4a9 2f2 35a8ff93 e6f066ad 3ddc7c9 38a02 f4fb c8f724b3c8 7b19 2ac8 3c5 cda8 0c4 6cd6998 c82 5a7f3ce4 00 d54f00d7 3217 4dd77c0 0aa82 db50ae 365a0fb4 239ae f77 f7d7ed f0bc26a6 2ab6 e42d34 d2dded 41d0 51c2223 fa2b6a 8cc924 3255 d39e6 6fb746 b5f0adaf8eb3a 758b3 d1d7 1ab9 d318 9d60 75b1 f6e b25 d8a5b72c7e209 5faa1e 4a63 f3941 877e d2050a0 b7a4 686a16 43d7 89f3dcff2068 5a0904 7c7a 1931 286dcf703 c7acfd9 6aa7c4a1 d158 0ac8a 41be 1df9c3 c39 923 b32e7 2694e 1b24 37e59 d79 5e39e9 0c4 1b3a23 b183 f2e2 28b00bc224 674c6d9 991 c48 f706 dd08 f36 cc5a798 f49 9e0a6d e12249 c58a5 c17 d960 d5 f077 153fcd6 2d6 b18b4ddc04 cb3c7 0dbf2ae3 d854 5f8 bdc26837 6190 d717 fc2 7c4 0283 9d2a6 8992ae 5b5a4 642 c180 3090 f602 35f2e8b 2fc9e e07fe91d68a0 c222e d1 c2435 1b27 ceaa8 34020 e3c346 f09d2b82 6f6 3e4d dbd2 b90 c0d4478e 91eb 8652 c3b02bb6e4 b7fc7e43 0e30 b5f5f0 95e8 be869 ec1 81a8c1 c84 8076 78114 9fc52ab34cf9 f0d2 79fd9df650 863fd1dfc3 c8 f9b837d7 daa7a826fb df20 269a b5f421b71c88fb157e bc2527 c70 b8de 9df485 d8a76 b953 6b4ba f362 396 c600 c6a84 0db7d5 c91 bdfe cce9c3f0 e7f19c1 bb8 900 d30df91a dcad7 bc327 f7f5b2a4 3d99 c8a6 9dd6ab12 89b7 d9 c38 f8bc17 bb98 227 c8da1 215 02f02 d758 95ac8594 f14 6891 da1d6 d609 5f5 d0a2a 9b9 c479e d7a68 f0 f9 c0258 b 1e0b72 e2de 5e6db42 f651 c48 951e4e e736 70d1 b6b93874 6bb0835e 4c0 4eae2 dc 0f3e2 83b7 8e61aa9a 39d9 cf7b1a 0f4 7ab00 7acda74fc4d54f2f6 e897e 7b73 c39 fe3c5 f23 9e708 8d0 fe672 e6df1 cc38a 8502a 2b3 f2a0 be9c12e1 b8a97 b1aa1b2e bbf1 5559 d971 07e97 745bbd4 074 f556 37ab1 7a98 f6d5 68ee2 e71b05d3 de32 c18 Mở đầu DƯƠNG NGỌC NINH MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Mục tiêu việc dạy mơn Tốn dạy cho học sinh kiến thức Toán, cách giải tập, rèn luyện kĩ giải toán Từ yêu cầu đặt giáo viên phải dạy cho học sinh phương pháp giải, chứng minh dạng tốn Chương trình Tốn trung học sở hai lĩnh vực đại số hình học có nhiều dạng tập khác Đặc biệt, phần hình học có nhiều dạng tốn chứng minh tam giác đồng dạng, chứng minh tam giác nhau, chứng minh góc nhau, tốn quỹ tích dựng hình dạng tốn chứng minh đa giác nội tiếp, … Các toán đường tròn phong phú, phạm vi nghiên cứu rộng Các dạng tốn đường trịn đóng vai trò đơn vị kiến thức trọng tâm chương trình Hình học 9, cịn dạng toán quan tâm nhiều kì thi học kì, kì thi chuyển cấp kì thi tuyển chọn học sinh giỏi cấp trung học sở Trên thực tế, dù dạng tốn khó, sách giáo khoa lại đưa cách chứng minh đơn giản định nghĩa, định lí; chưa có hệ thống phương pháp chứng minh cách cụ thể dẫn đến học sinh lúng túng tìm cách chứng minh tốn, kĩ làm cịn yếu kém, chưa biết cách khai thác hết kiện đề cho, chưa tìm ràng buộc giả thiết Vì vậy, việc hệ thống kiến thức sau học xong Chương II – Đường trịn Hình học việc làm cần thiết học sinh có cách giải nhanh, đúng, dễ hiểu Ta biết rằng, sử dụng đường trịn suy yếu tố góc nhau, cạnh nhau, … qua học sinh liên hệ, vận dụng ngược lại để giải số tốn hay khó Đây dạng tốn với học sinh lớp lại giúp học sinh lớp nhìn nhận lại tốn giải lớp để có cách giải hay lí giải theo hướng khác f1f374da 5941a3 9812 c7a6fb3 282 f2aa6a2a 9df0f3 8b9e 4f5 e5d7 911d0a231 81 a0d857e 97e4fbb597 d7476 8cfd8faa 0ae64a d5f0fc205ff3 96a1e0 c0e3 8b0 f43 bb79 b6c3f2 3b5 df0 f74 9f7 d5bbad43 7460 09ab8 f6ff04 8349 c7d3e64 c69 bcfe7 a06427 f7d2 b31 b305 2a04e3 e61 c8b4 7c4 35b9 333a6 cd6 d029 26ef4c2 f0e 420b4 9f081 c4 f5f9180 7f8 8258 f3 f9a15a3 2ce 28104 e878e 4c1 0512 3c4e f92 48ada c3 f12e2 4da7 f9c211 d1d8 7bc45a6ae 68c0 0364a 2f3 f53 b0ac982 f755 52732 5c4 13 9783c4c7 cba c8 f5896 b7 c194e 7e77a bdf7cc3 c177a2 dcded0 098 b4e05 9c7 bb5 db0b09bb91 cb0a9aa 0b81 87ee cc7 1c1 16ff8a1 b3151a 9c3 e5923 d3fb1e f51a0 d b1b5 c751 2398ff1a 0e929 5f7 2e7b8d74 0c7 f78 c48 d2 f70b5dc7002a 1a0735a 3b 8dd4 d7b8 451b6c3a 83c183 c3763 494 c5d861cbfd0eac441 f3cbba f5502 7627 de dbb3 7b2 c5ae5 d9eb 615 c5b8 3a17dcfd992 50e6 c4a86 f0 f6d1b03 88c128e d6023 df93 b711 51b6 4cfb1 065 c76cb5 f5f469a3 4fc6c5 2d4a9 2f2 35a8ff93 e6f066ad 3ddc7c9 38a02 f4fb c8f724b3c8 7b19 2ac8 3c5 cda8 0c4 6cd6998 c82 5a7f3ce4 00 d54f00d7 3217 4dd77c0 0aa82 db50ae 365a0fb4 239ae f77 f7d7ed f0bc26a6 2ab6 e42d34 d2dded 41d0 51c2223 fa2b6a 8cc924 3255 d39e6 6fb746 b5f0adaf8eb3a 758b3 d1d7 1ab9 d318 9d60 75b1 f6e b25 d8a5b72c7e209 5faa1e 4a63 f3941 877e d2050a0 b7a4 686a16 43d7 89f3dcff2068 5a0904 7c7a 1931 286dcf703 c7acfd9 6aa7c4a1 d158 0ac8a 41be 1df9c3 c39 923 b32e7 2694e 1b24 37e59 d79 5e39e9 0c4 1b3a23 b183 f2e2 28b00bc224 674c6d9 991 c48 f706 dd08 f36 cc5a798 f49 9e0a6d e12249 c58a5 c17 d960 d5 f077 153fcd6 2d6 b18b4ddc04 cb3c7 0dbf2ae3 d854 5f8 bdc26837 6190 d717 fc2 7c4 0283 9d2a6 8992ae 5b5a4 642 c180 3090 f602 35f2e8b 2fc9e e07fe91d68a0 c222e d1 c2435 1b27 ceaa8 34020 e3c346 f09d2b82 6f6 3e4d dbd2 b90 c0d4478e 91eb 8652 c3b02bb6e4 b7fc7e43 0e30 b5f5f0 95e8 be869 ec1 81a8c1 c84 8076 78114 9fc52ab34cf9 f0d2 79fd9df650 863fd1dfc3 c8 f9b837d7 daa7a826fb df20 269a b5f421b71c88fb157e bc2527 c70 b8de 9df485 d8a76 b953 6b4ba f362 396 c600 c6a84 0db7d5 c91 bdfe cce9c3f0 e7f19c1 bb8 900 d30df91a dcad7 bc327 f7f5b2a4 3d99 c8a6 9dd6ab12 89b7 d9 c38 f8bc17 bb98 227 c8da1 215 02f02 d758 95ac8594 f14 6891 da1d6 d609 5f5 d0a2a 9b9 c479e d7a68 f0 f9 c0258 b 1e0b72 e2de 5e6db42 f651 c48 951e4e e736 70d1 b6b93874 6bb0835e 4c0 4eae2 dc 0f3e2 83b7 8e61aa9a 39d9 cf7b1a 0f4 7ab00 7acda74fc4d54f2f6 e897e 7b73 c39 fe3c5 f23 9e708 8d0 fe672 e6df1 cc38a 8502a 2b3 f2a0 be9c12e1 b8a97 b1aa1b2e bbf1 5559 d971 07e97 745bbd4 074 f556 37ab1 7a98 f6d5 68ee2 e71b05d3 de32 c18 Mở đầu DƯƠNG NGỌC NINH Với lí trên, em chọn cho đề tài nghiên cứu: “Đường trịn số tốn liên quan” Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu Mục đích khóa luận giúp giáo viên học sinh hệ thống hóa lại kiến thức, nắm rõ các tốn liên quan đến đường trịn, đồng thời vận dụng để giải tốn xi – ngược, tốn hay khó (về quỹ tích, điểm cố định, cực trị, …) Qua đây, em hy vọng khóa luận góp phần thực việc đổi phương pháp dạy học, trọng cho học sinh kĩ giải tốn, phân loại, phân tích tự tìm tịi lời giải nhiều cách khác nhau, kĩ nhận biết nhanh để giải toán đường tròn 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu đề tài đưa kiến thức định nghĩa, định lí, tính chất liên quan đến đường tròn mà học sinh học Phân loại dạng liên quan đến đường trịn có kèm ví dụ minh họa từ dễ đến khó có lời giải Đối tượng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài đường trịn số tốn Đó việc áp dụng lý thuyết đường trịn để giải tốn liên quan đến đường tròn 3.2 Phạm vi nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu đề tài nghiên cứu số dạng liên quan đến đường tròn phương pháp giải Giới hạn kiến thức: Chương trình Hình học lớp 6, 7, 8, trường THCS f1f374da 5941a3 9812 c7a6fb3 282 f2aa6a2a 9df0f3 8b9e 4f5 e5d7 911d0a231 81 a0d857e 97e4fbb597 d7476 8cfd8faa 0ae64a d5f0fc205ff3 96a1e0 c0e3 8b0 f43 bb79 b6c3f2 3b5 df0 f74 9f7 d5bbad43 7460 09ab8 f6ff04 8349 c7d3e64 c69 bcfe7 a06427 f7d2 b31 b305 2a04e3 e61 c8b4 7c4 35b9 333a6 cd6 d029 26ef4c2 f0e 420b4 9f081 c4 f5f9180 7f8 8258 f3 f9a15a3 2ce 28104 e878e 4c1 0512 3c4e f92 48ada c3 f12e2 4da7 f9c211 d1d8 7bc45a6ae 68c0 0364a 2f3 f53 b0ac982 f755 52732 5c4 13 9783c4c7 cba c8 f5896 b7 c194e 7e77a bdf7cc3 c177a2 dcded0 098 b4e05 9c7 bb5 db0b09bb91 cb0a9aa 0b81 87ee cc7 1c1 16ff8a1 b3151a 9c3 e5923 d3fb1e f51a0 d b1b5 c751 2398ff1a 0e929 5f7 2e7b8d74 0c7 f78 c48 d2 f70b5dc7002a 1a0735a 3b 8dd4 d7b8 451b6c3a 83c183 c3763 494 c5d861cbfd0eac441 f3cbba f5502 7627 de dbb3 7b2 c5ae5 d9eb 615 c5b8 3a17dcfd992 50e6 c4a86 f0 f6d1b03 88c128e d6023 df93 b711 51b6 4cfb1 065 c76cb5 f5f469a3 4fc6c5 2d4a9 2f2 35a8ff93 e6f066ad 3ddc7c9 38a02 f4fb c8f724b3c8 7b19 2ac8 3c5 cda8 0c4 6cd6998 c82 5a7f3ce4 00 d54f00d7 3217 4dd77c0 0aa82 db50ae 365a0fb4 239ae f77 f7d7ed f0bc26a6 2ab6 e42d34 d2dded 41d0 51c2223 fa2b6a 8cc924 3255 d39e6 6fb746 b5f0adaf8eb3a 758b3 d1d7 1ab9 d318 9d60 75b1 f6e b25 d8a5b72c7e209 5faa1e 4a63 f3941 877e d2050a0 b7a4 686a16 43d7 89f3dcff2068 5a0904 7c7a 1931 286dcf703 c7acfd9 6aa7c4a1 d158 0ac8a 41be 1df9c3 c39 923 b32e7 2694e 1b24 37e59 d79 5e39e9 0c4 1b3a23 b183 f2e2 28b00bc224 674c6d9 991 c48 f706 dd08 f36 cc5a798 f49 9e0a6d e12249 c58a5 c17 d960 d5 f077 153fcd6 2d6 b18b4ddc04 cb3c7 0dbf2ae3 d854 5f8 bdc26837 6190 d717 fc2 7c4 0283 9d2a6 8992ae 5b5a4 642 c180 3090 f602 35f2e8b 2fc9e e07fe91d68a0 c222e d1 c2435 1b27 ceaa8 34020 e3c346 f09d2b82 6f6 3e4d dbd2 b90 c0d4478e 91eb 8652 c3b02bb6e4 b7fc7e43 0e30 b5f5f0 95e8 be869 ec1 81a8c1 c84 8076 78114 9fc52ab34cf9 f0d2 79fd9df650 863fd1dfc3 c8 f9b837d7 daa7a826fb df20 269a b5f421b71c88fb157e bc2527 c70 b8de 9df485 d8a76 b953 6b4ba f362 396 c600 c6a84 0db7d5 c91 bdfe cce9c3f0 e7f19c1 bb8 900 d30df91a dcad7 bc327 f7f5b2a4 3d99 c8a6 9dd6ab12 89b7 d9 c38 f8bc17 bb98 227 c8da1 215 02f02 d758 95ac8594 f14 6891 da1d6 d609 5f5 d0a2a 9b9 c479e d7a68 f0 f9 c0258 b 1e0b72 e2de 5e6db42 f651 c48 951e4e e736 70d1 b6b93874 6bb0835e 4c0 4eae2 dc 0f3e2 83b7 8e61aa9a 39d9 cf7b1a 0f4 7ab00 7acda74fc4d54f2f6 e897e 7b73 c39 fe3c5 f23 9e708 8d0 fe672 e6df1 cc38a 8502a 2b3 f2a0 be9c12e1 b8a97 b1aa1b2e bbf1 5559 d971 07e97 745bbd4 074 f556 37ab1 7a98 f6d5 68ee2 e71b05d3 de32 c18 Mở đầu DƯƠNG NGỌC NINH Phương pháp nghiên cứu Trong trình nghiên cứu đề tài để đạt hiệu cao Em sử dụng phương pháp sau: - Phương pháp quan sát thực tế giảng dạy học Toán chun đề đường trịn số tốn liên quan giáo viên THCS - Nghiên cứu tài liệu Cấu trúc đề tài Khóa luận chia làm hai chương sau: Chương Một số kiến thức Chương Một số toán liên quan f1f374da 5941a3 9812 c7a6fb3 282 f2aa6a2a 9df0f3 8b9e 4f5 e5d7 911d0a231 81 a0d857e 97e4fbb597 d7476 8cfd8faa 0ae64a d5f0fc205ff3 96a1e0 c0e3 8b0 f43 bb79 b6c3f2 3b5 df0 f74 9f7 d5bbad43 7460 09ab8 f6ff04 8349 c7d3e64 c69 bcfe7 a06427 f7d2 b31 b305 2a04e3 e61 c8b4 7c4 35b9 333a6 cd6 d029 26ef4c2 f0e 420b4 9f081 c4 f5f9180 7f8 8258 f3 f9a15a3 2ce 28104 e878e 4c1 0512 3c4e f92 48ada c3 f12e2 4da7 f9c211 d1d8 7bc45a6ae 68c0 0364a 2f3 f53 b0ac982 f755 52732 5c4 13 9783c4c7 cba c8 f5896 b7 c194e 7e77a bdf7cc3 c177a2 dcded0 098 b4e05 9c7 bb5 db0b09bb91 cb0a9aa 0b81 87ee cc7 1c1 16ff8a1 b3151a 9c3 e5923 d3fb1e f51a0 d b1b5 c751 2398ff1a 0e929 5f7 2e7b8d74 0c7 f78 c48 d2 f70b5dc7002a 1a0735a 3b 8dd4 d7b8 451b6c3a 83c183 c3763 494 c5d861cbfd0eac441 f3cbba f5502 7627 de dbb3 7b2 c5ae5 d9eb 615 c5b8 3a17dcfd992 50e6 c4a86 f0 f6d1b03 88c128e d6023 df93 b711 51b6 4cfb1 065 c76cb5 f5f469a3 4fc6c5 2d4a9 2f2 35a8ff93 e6f066ad 3ddc7c9 38a02 f4fb c8f724b3c8 7b19 2ac8 3c5 cda8 0c4 6cd6998 c82 5a7f3ce4 00 d54f00d7 3217 4dd77c0 0aa82 db50ae 365a0fb4 239ae f77 f7d7ed f0bc26a6 2ab6 e42d34 d2dded 41d0 51c2223 fa2b6a 8cc924 3255 d39e6 6fb746 b5f0adaf8eb3a 758b3 d1d7 1ab9 d318 9d60 75b1 f6e b25 d8a5b72c7e209 5faa1e 4a63 f3941 877e d2050a0 b7a4 686a16 43d7 89f3dcff2068 5a0904 7c7a 1931 286dcf703 c7acfd9 6aa7c4a1 d158 0ac8a 41be 1df9c3 c39 923 b32e7 2694e 1b24 37e59 d79 5e39e9 0c4 1b3a23 b183 f2e2 28b00bc224 674c6d9 991 c48 f706 dd08 f36 cc5a798 f49 9e0a6d e12249 c58a5 c17 d960 d5 f077 153fcd6 2d6 b18b4ddc04 cb3c7 0dbf2ae3 d854 5f8 bdc26837 6190 d717 fc2 7c4 0283 9d2a6 8992ae 5b5a4 642 c180 3090 f602 35f2e8b 2fc9e e07fe91d68a0 c222e d1 c2435 1b27 ceaa8 34020 e3c346 f09d2b82 6f6 3e4d dbd2 b90 c0d4478e 91eb 8652 c3b02bb6e4 b7fc7e43 0e30 b5f5f0 95e8 be869 ec1 81a8c1 c84 8076 78114 9fc52ab34cf9 f0d2 79fd9df650 863fd1dfc3 c8 f9b837d7 daa7a826fb df20 269a b5f421b71c88fb157e bc2527 c70 b8de 9df485 d8a76 b953 6b4ba f362 396 c600 c6a84 0db7d5 c91 bdfe cce9c3f0 e7f19c1 bb8 900 d30df91a dcad7 bc327 f7f5b2a4 3d99 c8a6 9dd6ab12 89b7 d9 c38 f8bc17 bb98 227 c8da1 215 02f02 d758 95ac8594 f14 6891 da1d6 d609 5f5 d0a2a 9b9 c479e d7a68 f0 f9 c0258 b 1e0b72 e2de 5e6db42 f651 c48 951e4e e736 70d1 b6b93874 6bb0835e 4c0 4eae2 dc 0f3e2 83b7 8e61aa9a 39d9 cf7b1a 0f4 7ab00 7acda74fc4d54f2f6 e897e 7b73 c39 fe3c5 f23 9e708 8d0 fe672 e6df1 cc38a 8502a 2b3 f2a0 be9c12e1 b8a97 b1aa1b2e bbf1 5559 d971 07e97 745bbd4 074 f556 37ab1 7a98 f6d5 68ee2 e71b05d3 de32 c18 Chương Một số kiến thưc DƯƠNG NGỌC NINH Chương Một số kiến thức 1.1 Đường tròn 1.1.1 Sự xác định đường trịn Tính chất đối xứng đường trịn Định nghĩa 1.1 (Đường tròn) Đường tròn tâm O bán kính R (với R ) hình gồm R O điểm cách điểm O khoảng R (Hình 1.1) Đường trịn tâm O bán kính R kí hiệu ( O;R ) Hình 1.1 Ta kí hiệu ( O ) khơng cần ý đến bán kính Cách xác định đường tròn Một đường tròn xác định biết tâm bán kính đường trịn Qua ba điểm không thẳng hàng, ta vẽ đường trịn (Hình 1.2) A A A O B O B O C' C C B Hình 1.2 Hình 1.3 Hình 1.4 Hình 1.2 Tâm đối xứng Đường trịn hình có tâm đối xứng Tâm đường tròn tâm đối xứng đường tròn (Hình.1.3) Trục đối xứng Đường trịn hình có trục đối xứng Bất kì đường kính trục đối xứng đường trịn (Hình 1.4) f1f374da 5941a3 9812 c7a6fb3 282 f2aa6a2a 9df0f3 8b9e 4f5 e5d7 911d0a231 81 a0d857e 97e4fbb597 d7476 8cfd8faa 0ae64a d5f0fc205ff3 96a1e0 c0e3 8b0 f43 bb79 b6c3f2 3b5 df0 f74 9f7 d5bbad43 7460 09ab8 f6ff04 8349 c7d3e64 c69 bcfe7 a06427 f7d2 b31 b305 2a04e3 e61 c8b4 7c4 35b9 333a6 cd6 d029 26ef4c2 f0e 420b4 9f081 c4 f5f9180 7f8 8258 f3 f9a15a3 2ce 28104 e878e 4c1 0512 3c4e f92 48ada c3 f12e2 4da7 f9c211 d1d8 7bc45a6ae 68c0 0364a 2f3 f53 b0ac982 f755 52732 5c4 13 9783c4c7 cba c8 f5896 b7 c194e 7e77a bdf7cc3 c177a2 dcded0 098 b4e05 9c7 bb5 db0b09bb91 cb0a9aa 0b81 87ee cc7 1c1 16ff8a1 b3151a 9c3 e5923 d3fb1e f51a0 d b1b5 c751 2398ff1a 0e929 5f7 2e7b8d74 0c7 f78 c48 d2 f70b5dc7002a 1a0735a 3b 8dd4 d7b8 451b6c3a 83c183 c3763 494 c5d861cbfd0eac441 f3cbba f5502 7627 de dbb3 7b2 c5ae5 d9eb 615 c5b8 3a17dcfd992 50e6 c4a86 f0 f6d1b03 88c128e d6023 df93 b711 51b6 4cfb1 065 c76cb5 f5f469a3 4fc6c5 2d4a9 2f2 35a8ff93 e6f066ad 3ddc7c9 38a02 f4fb c8f724b3c8 7b19 2ac8 3c5 cda8 0c4 6cd6998 c82 5a7f3ce4 00 d54f00d7 3217 4dd77c0 0aa82 db50ae 365a0fb4 239ae f77 f7d7ed f0bc26a6 2ab6 e42d34 d2dded 41d0 51c2223 fa2b6a 8cc924 3255 d39e6 6fb746 b5f0adaf8eb3a 758b3 d1d7 1ab9 d318 9d60 75b1 f6e b25 d8a5b72c7e209 5faa1e 4a63 f3941 877e d2050a0 b7a4 686a16 43d7 89f3dcff2068 5a0904 7c7a 1931 286dcf703 c7acfd9 6aa7c4a1 d158 0ac8a 41be 1df9c3 c39 923 b32e7 2694e 1b24 37e59 d79 5e39e9 0c4 1b3a23 b183 f2e2 28b00bc224 674c6d9 991 c48 f706 dd08 f36 cc5a798 f49 9e0a6d e12249 c58a5 c17 d960 d5 f077 153fcd6 2d6 b18b4ddc04 cb3c7 0dbf2ae3 d854 5f8 bdc26837 6190 d717 fc2 7c4 0283 9d2a6 8992ae 5b5a4 642 c180 3090 f602 35f2e8b 2fc9e e07fe91d68a0 c222e d1 c2435 1b27 ceaa8 34020 e3c346 f09d2b82 6f6 3e4d dbd2 b90 c0d4478e 91eb 8652 c3b02bb6e4 b7fc7e43 0e30 b5f5f0 95e8 be869 ec1 81a8c1 c84 8076 78114 9fc52ab34cf9 f0d2 79fd9df650 863fd1dfc3 c8 f9b837d7 daa7a826fb df20 269a b5f421b71c88fb157e bc2527 c70 b8de 9df485 d8a76 b953 6b4ba f362 396 c600 c6a84 0db7d5 c91 bdfe cce9c3f0 e7f19c1 bb8 900 d30df91a dcad7 bc327 f7f5b2a4 3d99 c8a6 9dd6ab12 89b7 d9 c38 f8bc17 bb98 227 c8da1 215 02f02 d758 95ac8594 f14 6891 da1d6 d609 5f5 d0a2a 9b9 c479e d7a68 f0 f9 c0258 b 1e0b72 e2de 5e6db42 f651 c48 951e4e e736 70d1 b6b93874 6bb0835e 4c0 4eae2 dc 0f3e2 83b7 8e61aa9a 39d9 cf7b1a 0f4 7ab00 7acda74fc4d54f2f6 e897e 7b73 c39 fe3c5 f23 9e708 8d0 fe672 e6df1 cc38a 8502a 2b3 f2a0 be9c12e1 b8a97 b1aa1b2e bbf1 5559 d971 07e97 745bbd4 074 f556 37ab1 7a98 f6d5 68ee2 e71b05d3 de32 c18 Chương Một số kiến thưc DƯƠNG NGỌC NINH 1.1.2 Đường kính dây đường trịn Định lí 1.1 A Trong dây đường trịn, dây lớn đường O kính C D I Định lí 1.2 B Trong đường trịn, đường kính vng góc với dây Hình 1.5 qua trung điểm dây (Hình 1.5) Hình 1.2 Định lí 1.3 Trong đường trịn, đường kính qua trung điểm dây khơng qua tâm vng góc với dây 1.1.3 Liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây Định lí 1.4 (Hình 1.6) B K A Trong đường trịn: O Hai dây cách tâm D H Hai dây cách tâm C Hình 1.6 Định lí 1.5 (Hình 1.7) Trong hai dây đường tròn: B E A Dây lớn dây gần tâm Dây gần tâm dây lớn 1.1.4 Vị trí tương đối đường thẳng đường trịn Ba vị trí tương đối đường thẳng đường tròn Đường thẳng đường trịn cắt 10 C O F D Hình 1.7 f1f374da 5941a3 9812 c7a6fb3 282 f2aa6a2a 9df0f3 8b9e 4f5 e5d7 911d0a231 81 a0d857e 97e4fbb597 d7476 8cfd8faa 0ae64a d5f0fc205ff3 96a1e0 c0e3 8b0 f43 bb79 b6c3f2 3b5 df0 f74 9f7 d5bbad43 7460 09ab8 f6ff04 8349 c7d3e64 c69 bcfe7 a06427 f7d2 b31 b305 2a04e3 e61 c8b4 7c4 35b9 333a6 cd6 d029 26ef4c2 f0e 420b4 9f081 c4 f5f9180 7f8 8258 f3 f9a15a3 2ce 28104 e878e 4c1 0512 3c4e f92 48ada c3 f12e2 4da7 f9c211 d1d8 7bc45a6ae 68c0 0364a 2f3 f53 b0ac982 f755 52732 5c4 13 9783c4c7 cba c8 f5896 b7 c194e 7e77a bdf7cc3 c177a2 dcded0 098 b4e05 9c7 bb5 db0b09bb91 cb0a9aa 0b81 87ee cc7 1c1 16ff8a1 b3151a 9c3 e5923 d3fb1e f51a0 d b1b5 c751 2398ff1a 0e929 5f7 2e7b8d74 0c7 f78 c48 d2 f70b5dc7002a 1a0735a 3b 8dd4 d7b8 451b6c3a 83c183 c3763 494 c5d861cbfd0eac441 f3cbba f5502 7627 de dbb3 7b2 c5ae5 d9eb 615 c5b8 3a17dcfd992 50e6 c4a86 f0 f6d1b03 88c128e d6023 df93 b711 51b6 4cfb1 065 c76cb5 f5f469a3 4fc6c5 2d4a9 2f2 35a8ff93 e6f066ad 3ddc7c9 38a02 f4fb c8f724b3c8 7b19 2ac8 3c5 cda8 0c4 6cd6998 c82 5a7f3ce4 00 d54f00d7 3217 4dd77c0 0aa82 db50ae 365a0fb4 239ae f77 f7d7ed f0bc26a6 2ab6 e42d34 d2dded 41d0 51c2223 fa2b6a 8cc924 3255 d39e6 6fb746 b5f0adaf8eb3a 758b3 d1d7 1ab9 d318 9d60 75b1 f6e b25 d8a5b72c7e209 5faa1e 4a63 f3941 877e d2050a0 b7a4 686a16 43d7 89f3dcff2068 5a0904 7c7a 1931 286dcf703 c7acfd9 6aa7c4a1 d158 0ac8a 41be 1df9c3 c39 923 b32e7 2694e 1b24 37e59 d79 5e39e9 0c4 1b3a23 b183 f2e2 28b00bc224 674c6d9 991 c48 f706 dd08 f36 cc5a798 f49 9e0a6d e12249 c58a5 c17 d960 d5 f077 153fcd6 2d6 b18b4ddc04 cb3c7 0dbf2ae3 d854 5f8 bdc26837 6190 d717 fc2 7c4 0283 9d2a6 8992ae 5b5a4 642 c180 3090 f602 35f2e8b 2fc9e e07fe91d68a0 c222e d1 c2435 1b27 ceaa8 34020 e3c346 f09d2b82 6f6 3e4d dbd2 b90 c0d4478e 91eb 8652 c3b02bb6e4 b7fc7e43 0e30 b5f5f0 95e8 be869 ec1 81a8c1 c84 8076 78114 9fc52ab34cf9 f0d2 79fd9df650 863fd1dfc3 c8 f9b837d7 daa7a826fb df20 269a b5f421b71c88fb157e bc2527 c70 b8de 9df485 d8a76 b953 6b4ba f362 396 c600 c6a84 0db7d5 c91 bdfe cce9c3f0 e7f19c1 bb8 900 d30df91a dcad7 bc327 f7f5b2a4 3d99 c8a6 9dd6ab12 89b7 d9 c38 f8bc17 bb98 227 c8da1 215 02f02 d758 95ac8594 f14 6891 da1d6 d609 5f5 d0a2a 9b9 c479e d7a68 f0 f9 c0258 b 1e0b72 e2de 5e6db42 f651 c48 951e4e e736 70d1 b6b93874 6bb0835e 4c0 4eae2 dc 0f3e2 83b7 8e61aa9a 39d9 cf7b1a 0f4 7ab00 7acda74fc4d54f2f6 e897e 7b73 c39 fe3c5 f23 9e708 8d0 fe672 e6df1 cc38a 8502a 2b3 f2a0 be9c12e1 b8a97 b1aa1b2e bbf1 5559 d971 07e97 745bbd4 074 f556 37ab1 7a98 f6d5 68ee2 e71b05d3 de32 c18 Chương Một số toán liên quan DƯƠNG NGỌC NINH Do ABM cân B Lại có BD đường cao Suy BD đồng thời đường trung tuyến (tính chất tam giác cân) Hay D trung điểm AM Từ suy AM 2.AD 3R (đvđd) Suy S ABM Ta có: S AOD 1 BD.AM R.2 3R 3R (đvdt) 2 1 3R S ABD AD.DB (đvdt) 2 Ta có: SOBmD R 60 360 R2 (đvdt) 3R R 3 R (đvdt) Suy S 3R 6 Ví dụ 2.19 Cho đường trịn ( O;R ) Hãy: Tính chu vi đường trịn biết đường kính 5cm Tính độ dài cung 120 đường trịn bán kính 4cm Tính sđ AB Biết độ dài AB R 4 Tính AOB biết độ dài cung AB R Trên cung lớn AB lấy điểm C cho AOC vng cân O Tính độ dài AC; BC lớn Chứng minh 45 f1f374da 5941a3 9812 c7a6fb3 282 f2aa6a2a 9df0f3 8b9e 4f5 e5d7 911d0a231 81 a0d857e 97e4fbb597 d7476 8cfd8faa 0ae64a d5f0fc205ff3 96a1e0 c0e3 8b0 f43 bb79 b6c3f2 3b5 df0 f74 9f7 d5bbad43 7460 09ab8 f6ff04 8349 c7d3e64 c69 bcfe7 a06427 f7d2 b31 b305 2a04e3 e61 c8b4 7c4 35b9 333a6 cd6 d029 26ef4c2 f0e 420b4 9f081 c4 f5f9180 7f8 8258 f3 f9a15a3 2ce 28104 e878e 4c1 0512 3c4e f92 48ada c3 f12e2 4da7 f9c211 d1d8 7bc45a6ae 68c0 0364a 2f3 f53 b0ac982 f755 52732 5c4 13 9783c4c7 cba c8 f5896 b7 c194e 7e77a bdf7cc3 c177a2 dcded0 098 b4e05 9c7 bb5 db0b09bb91 cb0a9aa 0b81 87ee cc7 1c1 16ff8a1 b3151a 9c3 e5923 d3fb1e f51a0 d b1b5 c751 2398ff1a 0e929 5f7 2e7b8d74 0c7 f78 c48 d2 f70b5dc7002a 1a0735a 3b 8dd4 d7b8 451b6c3a 83c183 c3763 494 c5d861cbfd0eac441 f3cbba f5502 7627 de dbb3 7b2 c5ae5 d9eb 615 c5b8 3a17dcfd992 50e6 c4a86 f0 f6d1b03 88c128e d6023 df93 b711 51b6 4cfb1 065 c76cb5 f5f469a3 4fc6c5 2d4a9 2f2 35a8ff93 e6f066ad 3ddc7c9 38a02 f4fb c8f724b3c8 7b19 2ac8 3c5 cda8 0c4 6cd6998 c82 5a7f3ce4 00 d54f00d7 3217 4dd77c0 0aa82 db50ae 365a0fb4 239ae f77 f7d7ed f0bc26a6 2ab6 e42d34 d2dded 41d0 51c2223 fa2b6a 8cc924 3255 d39e6 6fb746 b5f0adaf8eb3a 758b3 d1d7 1ab9 d318 9d60 75b1 f6e b25 d8a5b72c7e209 5faa1e 4a63 f3941 877e d2050a0 b7a4 686a16 43d7 89f3dcff2068 5a0904 7c7a 1931 286dcf703 c7acfd9 6aa7c4a1 d158 0ac8a 41be 1df9c3 c39 923 b32e7 2694e 1b24 37e59 d79 5e39e9 0c4 1b3a23 b183 f2e2 28b00bc224 674c6d9 991 c48 f706 dd08 f36 cc5a798 f49 9e0a6d e12249 c58a5 c17 d960 d5 f077 153fcd6 2d6 b18b4ddc04 cb3c7 0dbf2ae3 d854 5f8 bdc26837 6190 d717 fc2 7c4 0283 9d2a6 8992ae 5b5a4 642 c180 3090 f602 35f2e8b 2fc9e e07fe91d68a0 c222e d1 c2435 1b27 ceaa8 34020 e3c346 f09d2b82 6f6 3e4d dbd2 b90 c0d4478e 91eb 8652 c3b02bb6e4 b7fc7e43 0e30 b5f5f0 95e8 be869 ec1 81a8c1 c84 8076 78114 9fc52ab34cf9 f0d2 79fd9df650 863fd1dfc3 c8 f9b837d7 daa7a826fb df20 269a b5f421b71c88fb157e bc2527 c70 b8de 9df485 d8a76 b953 6b4ba f362 396 c600 c6a84 0db7d5 c91 bdfe cce9c3f0 e7f19c1 bb8 900 d30df91a dcad7 bc327 f7f5b2a4 3d99 c8a6 9dd6ab12 89b7 d9 c38 f8bc17 bb98 227 c8da1 215 02f02 d758 95ac8594 f14 6891 da1d6 d609 5f5 d0a2a 9b9 c479e d7a68 f0 f9 c0258 b 1e0b72 e2de 5e6db42 f651 c48 951e4e e736 70d1 b6b93874 6bb0835e 4c0 4eae2 dc 0f3e2 83b7 8e61aa9a 39d9 cf7b1a 0f4 7ab00 7acda74fc4d54f2f6 e897e 7b73 c39 fe3c5 f23 9e708 8d0 fe672 e6df1 cc38a 8502a 2b3 f2a0 be9c12e1 b8a97 b1aa1b2e bbf1 5559 d971 07e97 745bbd4 074 f556 37ab1 7a98 f6d5 68ee2 e71b05d3 de32 c18 Chương Một số toán liên quan DƯƠNG NGỌC NINH Chu vi đường tròn C d 5 ( cm ) Độ dài cung 120 đường trịn bán kính 4cm là: l Rn 180 4.120 180 8 ( cm ) 3 Gọi n số đo cung nhỏ AB Ta có: l Rn 180 Nên R Theo công thức l Rn 180 Rn 180 nên hay n 45 Rn R 180 Suy ra, n 60 hay AOB 60 Độ dài cung AC là: R.90 R (đvđd) 180 Số đo cung BC lớn là: 360 60 90 210 Độ dài cung BC lớn là: R.210 180 7 R (đvđd) 2.3 Bài tốn quỹ tích Ví dụ 2.20 (Trích đề thi vào 10 THPT Thành phố Hà Nội 2018 – 2019) Cho đường tròn ( O;R ) với dây cung AB không qua tâm Lấy S điểm tia đối tia AB ( S khác A ) Từ điểm S vẽ hai tiếp tuyến SC,SD với đường tròn ( O;R ) cho điểm C nằm cung nhỏ AB ( C,D tiếp điểm) Gọi H trung điểm đoạn thẳng AB Gọi E trung điểm đoạn thẳng BD F hình chiếu vng góc điểm E đường thẳng AD Chứng minh rằng, điểm S thay đổi tia đối tia AB điểm F ln thuộc đường tròn cố định 46 f1f374da 5941a3 9812 c7a6fb3 282 f2aa6a2a 9df0f3 8b9e 4f5 e5d7 911d0a231 81 a0d857e 97e4fbb597 d7476 8cfd8faa 0ae64a d5f0fc205ff3 96a1e0 c0e3 8b0 f43 bb79 b6c3f2 3b5 df0 f74 9f7 d5bbad43 7460 09ab8 f6ff04 8349 c7d3e64 c69 bcfe7 a06427 f7d2 b31 b305 2a04e3 e61 c8b4 7c4 35b9 333a6 cd6 d029 26ef4c2 f0e 420b4 9f081 c4 f5f9180 7f8 8258 f3 f9a15a3 2ce 28104 e878e 4c1 0512 3c4e f92 48ada c3 f12e2 4da7 f9c211 d1d8 7bc45a6ae 68c0 0364a 2f3 f53 b0ac982 f755 52732 5c4 13 9783c4c7 cba c8 f5896 b7 c194e 7e77a bdf7cc3 c177a2 dcded0 098 b4e05 9c7 bb5 db0b09bb91 cb0a9aa 0b81 87ee cc7 1c1 16ff8a1 b3151a 9c3 e5923 d3fb1e f51a0 d b1b5 c751 2398ff1a 0e929 5f7 2e7b8d74 0c7 f78 c48 d2 f70b5dc7002a 1a0735a 3b 8dd4 d7b8 451b6c3a 83c183 c3763 494 c5d861cbfd0eac441 f3cbba f5502 7627 de dbb3 7b2 c5ae5 d9eb 615 c5b8 3a17dcfd992 50e6 c4a86 f0 f6d1b03 88c128e d6023 df93 b711 51b6 4cfb1 065 c76cb5 f5f469a3 4fc6c5 2d4a9 2f2 35a8ff93 e6f066ad 3ddc7c9 38a02 f4fb c8f724b3c8 7b19 2ac8 3c5 cda8 0c4 6cd6998 c82 5a7f3ce4 00 d54f00d7 3217 4dd77c0 0aa82 db50ae 365a0fb4 239ae f77 f7d7ed f0bc26a6 2ab6 e42d34 d2dded 41d0 51c2223 fa2b6a 8cc924 3255 d39e6 6fb746 b5f0adaf8eb3a 758b3 d1d7 1ab9 d318 9d60 75b1 f6e b25 d8a5b72c7e209 5faa1e 4a63 f3941 877e d2050a0 b7a4 686a16 43d7 89f3dcff2068 5a0904 7c7a 1931 286dcf703 c7acfd9 6aa7c4a1 d158 0ac8a 41be 1df9c3 c39 923 b32e7 2694e 1b24 37e59 d79 5e39e9 0c4 1b3a23 b183 f2e2 28b00bc224 674c6d9 991 c48 f706 dd08 f36 cc5a798 f49 9e0a6d e12249 c58a5 c17 d960 d5 f077 153fcd6 2d6 b18b4ddc04 cb3c7 0dbf2ae3 d854 5f8 bdc26837 6190 d717 fc2 7c4 0283 9d2a6 8992ae 5b5a4 642 c180 3090 f602 35f2e8b 2fc9e e07fe91d68a0 c222e d1 c2435 1b27 ceaa8 34020 e3c346 f09d2b82 6f6 3e4d dbd2 b90 c0d4478e 91eb 8652 c3b02bb6e4 b7fc7e43 0e30 b5f5f0 95e8 be869 ec1 81a8c1 c84 8076 78114 9fc52ab34cf9 f0d2 79fd9df650 863fd1dfc3 c8 f9b837d7 daa7a826fb df20 269a b5f421b71c88fb157e bc2527 c70 b8de 9df485 d8a76 b953 6b4ba f362 396 c600 c6a84 0db7d5 c91 bdfe cce9c3f0 e7f19c1 bb8 900 d30df91a dcad7 bc327 f7f5b2a4 3d99 c8a6 9dd6ab12 89b7 d9 c38 f8bc17 bb98 227 c8da1 215 02f02 d758 95ac8594 f14 6891 da1d6 d609 5f5 d0a2a 9b9 c479e d7a68 f0 f9 c0258 b 1e0b72 e2de 5e6db42 f651 c48 951e4e e736 70d1 b6b93874 6bb0835e 4c0 4eae2 dc 0f3e2 83b7 8e61aa9a 39d9 cf7b1a 0f4 7ab00 7acda74fc4d54f2f6 e897e 7b73 c39 fe3c5 f23 9e708 8d0 fe672 e6df1 cc38a 8502a 2b3 f2a0 be9c12e1 b8a97 b1aa1b2e bbf1 5559 d971 07e97 745bbd4 074 f556 37ab1 7a98 f6d5 68ee2 e71b05d3 de32 c18 Chương Một số toán liên quan DƯƠNG NGỌC NINH Chứng minh Vẽ đường kính AN ( O;R ) Gọi M giao điểm EF NB Vì EF AD (GT) AD DN (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Suy EF DN Hay EM DN D N Lại có E trung điểm đoạn BD E F Suy M trung điểm đoạn BN O S Vì hai điểm N ,B hai điểm cố định A M B H C Nên điểm M điểm cố định Hình 2.19 Ta có AFM 90 Suy điểm F thuộc đường trịn đường kính AM cố định (ĐPCM) Ví dụ 2.21 (Trích đề thi thử vào 10 Trường liên cấp THCS Ngơi Sao Hà Nội 2018) Cho đường trịn, đường kính BC cố định điểm A cố định nằm đoạn OB ( A O,A B ) Kẻ dây PQ vng góc với BC A Gọi M điểm tùy ý thuộc cung lớn PQ ( M không trùng C ) Nối BM cắt PQ E Chứng minh: Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác PME nằm đường thẳng cố định M chuyển động cung lớn PQ Chứng minh M Do đường thẳng BC cố định, điểm A cố định P Nên P,Q cố định Hay PC cố định E Từ điểm E kẻ đường thẳng song song với BC cắt I B A O PC I Q Ta có MEI MBC (hai góc đồng vị) Hình 2.20 47 C f1f374da 5941a3 9812 c7a6fb3 282 f2aa6a2a 9df0f3 8b9e 4f5 e5d7 911d0a231 81 a0d857e 97e4fbb597 d7476 8cfd8faa 0ae64a d5f0fc205ff3 96a1e0 c0e3 8b0 f43 bb79 b6c3f2 3b5 df0 f74 9f7 d5bbad43 7460 09ab8 f6ff04 8349 c7d3e64 c69 bcfe7 a06427 f7d2 b31 b305 2a04e3 e61 c8b4 7c4 35b9 333a6 cd6 d029 26ef4c2 f0e 420b4 9f081 c4 f5f9180 7f8 8258 f3 f9a15a3 2ce 28104 e878e 4c1 0512 3c4e f92 48ada c3 f12e2 4da7 f9c211 d1d8 7bc45a6ae 68c0 0364a 2f3 f53 b0ac982 f755 52732 5c4 13 9783c4c7 cba c8 f5896 b7 c194e 7e77a bdf7cc3 c177a2 dcded0 098 b4e05 9c7 bb5 db0b09bb91 cb0a9aa 0b81 87ee cc7 1c1 16ff8a1 b3151a 9c3 e5923 d3fb1e f51a0 d b1b5 c751 2398ff1a 0e929 5f7 2e7b8d74 0c7 f78 c48 d2 f70b5dc7002a 1a0735a 3b 8dd4 d7b8 451b6c3a 83c183 c3763 494 c5d861cbfd0eac441 f3cbba f5502 7627 de dbb3 7b2 c5ae5 d9eb 615 c5b8 3a17dcfd992 50e6 c4a86 f0 f6d1b03 88c128e d6023 df93 b711 51b6 4cfb1 065 c76cb5 f5f469a3 4fc6c5 2d4a9 2f2 35a8ff93 e6f066ad 3ddc7c9 38a02 f4fb c8f724b3c8 7b19 2ac8 3c5 cda8 0c4 6cd6998 c82 5a7f3ce4 00 d54f00d7 3217 4dd77c0 0aa82 db50ae 365a0fb4 239ae f77 f7d7ed f0bc26a6 2ab6 e42d34 d2dded 41d0 51c2223 fa2b6a 8cc924 3255 d39e6 6fb746 b5f0adaf8eb3a 758b3 d1d7 1ab9 d318 9d60 75b1 f6e b25 d8a5b72c7e209 5faa1e 4a63 f3941 877e d2050a0 b7a4 686a16 43d7 89f3dcff2068 5a0904 7c7a 1931 286dcf703 c7acfd9 6aa7c4a1 d158 0ac8a 41be 1df9c3 c39 923 b32e7 2694e 1b24 37e59 d79 5e39e9 0c4 1b3a23 b183 f2e2 28b00bc224 674c6d9 991 c48 f706 dd08 f36 cc5a798 f49 9e0a6d e12249 c58a5 c17 d960 d5 f077 153fcd6 2d6 b18b4ddc04 cb3c7 0dbf2ae3 d854 5f8 bdc26837 6190 d717 fc2 7c4 0283 9d2a6 8992ae 5b5a4 642 c180 3090 f602 35f2e8b 2fc9e e07fe91d68a0 c222e d1 c2435 1b27 ceaa8 34020 e3c346 f09d2b82 6f6 3e4d dbd2 b90 c0d4478e 91eb 8652 c3b02bb6e4 b7fc7e43 0e30 b5f5f0 95e8 be869 ec1 81a8c1 c84 8076 78114 9fc52ab34cf9 f0d2 79fd9df650 863fd1dfc3 c8 f9b837d7 daa7a826fb df20 269a b5f421b71c88fb157e bc2527 c70 b8de 9df485 d8a76 b953 6b4ba f362 396 c600 c6a84 0db7d5 c91 bdfe cce9c3f0 e7f19c1 bb8 900 d30df91a dcad7 bc327 f7f5b2a4 3d99 c8a6 9dd6ab12 89b7 d9 c38 f8bc17 bb98 227 c8da1 215 02f02 d758 95ac8594 f14 6891 da1d6 d609 5f5 d0a2a 9b9 c479e d7a68 f0 f9 c0258 b 1e0b72 e2de 5e6db42 f651 c48 951e4e e736 70d1 b6b93874 6bb0835e 4c0 4eae2 dc 0f3e2 83b7 8e61aa9a 39d9 cf7b1a 0f4 7ab00 7acda74fc4d54f2f6 e897e 7b73 c39 fe3c5 f23 9e708 8d0 fe672 e6df1 cc38a 8502a 2b3 f2a0 be9c12e1 b8a97 b1aa1b2e bbf1 5559 d971 07e97 745bbd4 074 f556 37ab1 7a98 f6d5 68ee2 e71b05d3 de32 c18 Chương Một số toán liên quan DƯƠNG NGỌC NINH Mà MBC MPC (góc nội tiếp chắn cung MC ) Suy MEI MPC (tính chất bắc cầu) Mà P,E hai đỉnh kề nhìn cạnh MI Vậy MPEI tứ giác nội tiếp Lại có EI BC PE BC Nên EI PE hay PEI 90 Do MPEI nội tiếp đường trịn đường kính PI , hay tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác MPE nằm đường thẳng PC cố định (ĐPCM) Ví dụ 2.22 (Trích đề thi vào 10 THPT Thành phố Hà Nội 2013 – 2014) Cho đường trịn ( O ) điểm A nằm bên ngồi đường tròn Kẻ hai tiếp tuyến AM ,AN với đường tròn ( M ,N tiếp điểm) Một đường thẳng d qua A cắt đường tròn hai điểm B,C ( AB AC , d không qua O ) Hai tiếp tuyến ( O ) B,C cắt K Chứng minh K thuộc đường thẳng cố định đường thẳng d thay đổi thỏa K mãn đề Chứng minh T Dựa theo kết chứng minh ví dụ 2.12, ta M C I chứng minh tiếp Ta có: KB KC OB OC O B A Nên KO đường trung trực BC N Suy K ,I ,O thẳng hàng Hình 2.21 Vì KB tiếp tuyến ( O ) Suy KBO 90 48 f1f374da 5941a3 9812 c7a6fb3 282 f2aa6a2a 9df0f3 8b9e 4f5 e5d7 911d0a231 81 a0d857e 97e4fbb597 d7476 8cfd8faa 0ae64a d5f0fc205ff3 96a1e0 c0e3 8b0 f43 bb79 b6c3f2 3b5 df0 f74 9f7 d5bbad43 7460 09ab8 f6ff04 8349 c7d3e64 c69 bcfe7 a06427 f7d2 b31 b305 2a04e3 e61 c8b4 7c4 35b9 333a6 cd6 d029 26ef4c2 f0e 420b4 9f081 c4 f5f9180 7f8 8258 f3 f9a15a3 2ce 28104 e878e 4c1 0512 3c4e f92 48ada c3 f12e2 4da7 f9c211 d1d8 7bc45a6ae 68c0 0364a 2f3 f53 b0ac982 f755 52732 5c4 13 9783c4c7 cba c8 f5896 b7 c194e 7e77a bdf7cc3 c177a2 dcded0 098 b4e05 9c7 bb5 db0b09bb91 cb0a9aa 0b81 87ee cc7 1c1 16ff8a1 b3151a 9c3 e5923 d3fb1e f51a0 d b1b5 c751 2398ff1a 0e929 5f7 2e7b8d74 0c7 f78 c48 d2 f70b5dc7002a 1a0735a 3b 8dd4 d7b8 451b6c3a 83c183 c3763 494 c5d861cbfd0eac441 f3cbba f5502 7627 de dbb3 7b2 c5ae5 d9eb 615 c5b8 3a17dcfd992 50e6 c4a86 f0 f6d1b03 88c128e d6023 df93 b711 51b6 4cfb1 065 c76cb5 f5f469a3 4fc6c5 2d4a9 2f2 35a8ff93 e6f066ad 3ddc7c9 38a02 f4fb c8f724b3c8 7b19 2ac8 3c5 cda8 0c4 6cd6998 c82 5a7f3ce4 00 d54f00d7 3217 4dd77c0 0aa82 db50ae 365a0fb4 239ae f77 f7d7ed f0bc26a6 2ab6 e42d34 d2dded 41d0 51c2223 fa2b6a 8cc924 3255 d39e6 6fb746 b5f0adaf8eb3a 758b3 d1d7 1ab9 d318 9d60 75b1 f6e b25 d8a5b72c7e209 5faa1e 4a63 f3941 877e d2050a0 b7a4 686a16 43d7 89f3dcff2068 5a0904 7c7a 1931 286dcf703 c7acfd9 6aa7c4a1 d158 0ac8a 41be 1df9c3 c39 923 b32e7 2694e 1b24 37e59 d79 5e39e9 0c4 1b3a23 b183 f2e2 28b00bc224 674c6d9 991 c48 f706 dd08 f36 cc5a798 f49 9e0a6d e12249 c58a5 c17 d960 d5 f077 153fcd6 2d6 b18b4ddc04 cb3c7 0dbf2ae3 d854 5f8 bdc26837 6190 d717 fc2 7c4 0283 9d2a6 8992ae 5b5a4 642 c180 3090 f602 35f2e8b 2fc9e e07fe91d68a0 c222e d1 c2435 1b27 ceaa8 34020 e3c346 f09d2b82 6f6 3e4d dbd2 b90 c0d4478e 91eb 8652 c3b02bb6e4 b7fc7e43 0e30 b5f5f0 95e8 be869 ec1 81a8c1 c84 8076 78114 9fc52ab34cf9 f0d2 79fd9df650 863fd1dfc3 c8 f9b837d7 daa7a826fb df20 269a b5f421b71c88fb157e bc2527 c70 b8de 9df485 d8a76 b953 6b4ba f362 396 c600 c6a84 0db7d5 c91 bdfe cce9c3f0 e7f19c1 bb8 900 d30df91a dcad7 bc327 f7f5b2a4 3d99 c8a6 9dd6ab12 89b7 d9 c38 f8bc17 bb98 227 c8da1 215 02f02 d758 95ac8594 f14 6891 da1d6 d609 5f5 d0a2a 9b9 c479e d7a68 f0 f9 c0258 b 1e0b72 e2de 5e6db42 f651 c48 951e4e e736 70d1 b6b93874 6bb0835e 4c0 4eae2 dc 0f3e2 83b7 8e61aa9a 39d9 cf7b1a 0f4 7ab00 7acda74fc4d54f2f6 e897e 7b73 c39 fe3c5 f23 9e708 8d0 fe672 e6df1 cc38a 8502a 2b3 f2a0 be9c12e1 b8a97 b1aa1b2e bbf1 5559 d971 07e97 745bbd4 074 f556 37ab1 7a98 f6d5 68ee2 e71b05d3 de32 c18 Chương Một số toán liên quan DƯƠNG NGỌC NINH Áp dụng hệ thức lượng KBO vng B, có BI đường cao Ta có: OB2 OI OK Lại có OB OM Nên OI OK OM Hay OI OM OM OK Xét MIO KMO ta có MOK chung, OI OM (CMT) OM OK Suy MIO ∽ KMO (c.g.c) Suy KMO MIO (hai góc tương ứng nhau) (2.13) Mặt khác, A,M,N,O thuộc đường trịn đường kính AO (Theo ví dụ 2.12) Lại có A,I ,O thuộc đường trịn đường kính AO (do AIO vng I ) Vậy điểm A,M ,I,O,N nằm đường trịn đường kính AO Suy MNO NMO 180 MIO (2.14) Từ (2.13) (2.14), ta có NMO 180 KMO Suy NMO KMO 180 Suy điểm K ,M ,N thẳng hàng Do M ,N cố định nên MN cố định Vậy K chuyển động đường thẳng MN cố định d thay đổi (ĐPCM) 2.4 Bài tốn cực trị hình học Để giải tốn cực trị hình học, ta thường sử dụng bất đẳng thức sau - Quan hệ đường vuông góc đường xiên - Bất đẳng thức tam giác - Quan hệ dây đường kính - Các bất đẳng thức đại số Ví dụ 2.23 (Trích đề thi vào 10 chuyên Toán ĐHSP Hà Nội 2008 - 2009) 49 f1f374da 5941a3 9812 c7a6fb3 282 f2aa6a2a 9df0f3 8b9e 4f5 e5d7 911d0a231 81 a0d857e 97e4fbb597 d7476 8cfd8faa 0ae64a d5f0fc205ff3 96a1e0 c0e3 8b0 f43 bb79 b6c3f2 3b5 df0 f74 9f7 d5bbad43 7460 09ab8 f6ff04 8349 c7d3e64 c69 bcfe7 a06427 f7d2 b31 b305 2a04e3 e61 c8b4 7c4 35b9 333a6 cd6 d029 26ef4c2 f0e 420b4 9f081 c4 f5f9180 7f8 8258 f3 f9a15a3 2ce 28104 e878e 4c1 0512 3c4e f92 48ada c3 f12e2 4da7 f9c211 d1d8 7bc45a6ae 68c0 0364a 2f3 f53 b0ac982 f755 52732 5c4 13 9783c4c7 cba c8 f5896 b7 c194e 7e77a bdf7cc3 c177a2 dcded0 098 b4e05 9c7 bb5 db0b09bb91 cb0a9aa 0b81 87ee cc7 1c1 16ff8a1 b3151a 9c3 e5923 d3fb1e f51a0 d b1b5 c751 2398ff1a 0e929 5f7 2e7b8d74 0c7 f78 c48 d2 f70b5dc7002a 1a0735a 3b 8dd4 d7b8 451b6c3a 83c183 c3763 494 c5d861cbfd0eac441 f3cbba f5502 7627 de dbb3 7b2 c5ae5 d9eb 615 c5b8 3a17dcfd992 50e6 c4a86 f0 f6d1b03 88c128e d6023 df93 b711 51b6 4cfb1 065 c76cb5 f5f469a3 4fc6c5 2d4a9 2f2 35a8ff93 e6f066ad 3ddc7c9 38a02 f4fb c8f724b3c8 7b19 2ac8 3c5 cda8 0c4 6cd6998 c82 5a7f3ce4 00 d54f00d7 3217 4dd77c0 0aa82 db50ae 365a0fb4 239ae f77 f7d7ed f0bc26a6 2ab6 e42d34 d2dded 41d0 51c2223 fa2b6a 8cc924 3255 d39e6 6fb746 b5f0adaf8eb3a 758b3 d1d7 1ab9 d318 9d60 75b1 f6e b25 d8a5b72c7e209 5faa1e 4a63 f3941 877e d2050a0 b7a4 686a16 43d7 89f3dcff2068 5a0904 7c7a 1931 286dcf703 c7acfd9 6aa7c4a1 d158 0ac8a 41be 1df9c3 c39 923 b32e7 2694e 1b24 37e59 d79 5e39e9 0c4 1b3a23 b183 f2e2 28b00bc224 674c6d9 991 c48 f706 dd08 f36 cc5a798 f49 9e0a6d e12249 c58a5 c17 d960 d5 f077 153fcd6 2d6 b18b4ddc04 cb3c7 0dbf2ae3 d854 5f8 bdc26837 6190 d717 fc2 7c4 0283 9d2a6 8992ae 5b5a4 642 c180 3090 f602 35f2e8b 2fc9e e07fe91d68a0 c222e d1 c2435 1b27 ceaa8 34020 e3c346 f09d2b82 6f6 3e4d dbd2 b90 c0d4478e 91eb 8652 c3b02bb6e4 b7fc7e43 0e30 b5f5f0 95e8 be869 ec1 81a8c1 c84 8076 78114 9fc52ab34cf9 f0d2 79fd9df650 863fd1dfc3 c8 f9b837d7 daa7a826fb df20 269a b5f421b71c88fb157e bc2527 c70 b8de 9df485 d8a76 b953 6b4ba f362 396 c600 c6a84 0db7d5 c91 bdfe cce9c3f0 e7f19c1 bb8 900 d30df91a dcad7 bc327 f7f5b2a4 3d99 c8a6 9dd6ab12 89b7 d9 c38 f8bc17 bb98 227 c8da1 215 02f02 d758 95ac8594 f14 6891 da1d6 d609 5f5 d0a2a 9b9 c479e d7a68 f0 f9 c0258 b 1e0b72 e2de 5e6db42 f651 c48 951e4e e736 70d1 b6b93874 6bb0835e 4c0 4eae2 dc 0f3e2 83b7 8e61aa9a 39d9 cf7b1a 0f4 7ab00 7acda74fc4d54f2f6 e897e 7b73 c39 fe3c5 f23 9e708 8d0 fe672 e6df1 cc38a 8502a 2b3 f2a0 be9c12e1 b8a97 b1aa1b2e bbf1 5559 d971 07e97 745bbd4 074 f556 37ab1 7a98 f6d5 68ee2 e71b05d3 de32 c18 Chương Một số toán liên quan DƯƠNG NGỌC NINH Cho tam giác ABC vuông C Trên cạnh AB lấy điểm M ( M khác A B ) Gọi O;O1 ;O2 tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, AMC BMC Xác định vị trí M đoạn AB cho đường tròn (T ) có bán kính nhỏ (Với (T ) đường trịn câu ví dụ 2.7) Chứng minh A Gọi R bán kính đường trịn (T ) M Dựa vào kết chứng minh ví dụ 2.7, O O1 O2 ta có (T ) qua O C B C Nên CO 2R hay R CO Hình 2.22 Dấu “ ” đạt R CO Suy CO đường kính Từ suy CMO 90 (góc nội tiếp chắn đường kính) Vậy M hình chiếu C AB Ví dụ 2.24 (Trích đề thi vào 10 THPT Thành phố Hà Nội 2009 – 2010) Cho đường tròn ( O;R ) A điểm nằm bên ngồi đường trịn Kẻ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn ( B,C tiếp điểm) Trên cung nhỏ BC đường tròn ( O;R ) lấy điểm K ( K khác B C ) Tiếp tuyến K đường tròn ( O;R ) cắt AB, AC theo thứ tự điểm P,Q Chứng minh tam giác APQ có chu vi không đổi K chuyển động cung nhỏ BC Đường thẳng qua O , vng góc với OA cắt đường thẳng AB, AC theo thứ tự điểm M ,N Chứng minh PM QN MN 50 f1f374da 5941a3 9812 c7a6fb3 282 f2aa6a2a 9df0f3 8b9e 4f5 e5d7 911d0a231 81 a0d857e 97e4fbb597 d7476 8cfd8faa 0ae64a d5f0fc205ff3 96a1e0 c0e3 8b0 f43 bb79 b6c3f2 3b5 df0 f74 9f7 d5bbad43 7460 09ab8 f6ff04 8349 c7d3e64 c69 bcfe7 a06427 f7d2 b31 b305 2a04e3 e61 c8b4 7c4 35b9 333a6 cd6 d029 26ef4c2 f0e 420b4 9f081 c4 f5f9180 7f8 8258 f3 f9a15a3 2ce 28104 e878e 4c1 0512 3c4e f92 48ada c3 f12e2 4da7 f9c211 d1d8 7bc45a6ae 68c0 0364a 2f3 f53 b0ac982 f755 52732 5c4 13 9783c4c7 cba c8 f5896 b7 c194e 7e77a bdf7cc3 c177a2 dcded0 098 b4e05 9c7 bb5 db0b09bb91 cb0a9aa 0b81 87ee cc7 1c1 16ff8a1 b3151a 9c3 e5923 d3fb1e f51a0 d b1b5 c751 2398ff1a 0e929 5f7 2e7b8d74 0c7 f78 c48 d2 f70b5dc7002a 1a0735a 3b 8dd4 d7b8 451b6c3a 83c183 c3763 494 c5d861cbfd0eac441 f3cbba f5502 7627 de dbb3 7b2 c5ae5 d9eb 615 c5b8 3a17dcfd992 50e6 c4a86 f0 f6d1b03 88c128e d6023 df93 b711 51b6 4cfb1 065 c76cb5 f5f469a3 4fc6c5 2d4a9 2f2 35a8ff93 e6f066ad 3ddc7c9 38a02 f4fb c8f724b3c8 7b19 2ac8 3c5 cda8 0c4 6cd6998 c82 5a7f3ce4 00 d54f00d7 3217 4dd77c0 0aa82 db50ae 365a0fb4 239ae f77 f7d7ed f0bc26a6 2ab6 e42d34 d2dded 41d0 51c2223 fa2b6a 8cc924 3255 d39e6 6fb746 b5f0adaf8eb3a 758b3 d1d7 1ab9 d318 9d60 75b1 f6e b25 d8a5b72c7e209 5faa1e 4a63 f3941 877e d2050a0 b7a4 686a16 43d7 89f3dcff2068 5a0904 7c7a 1931 286dcf703 c7acfd9 6aa7c4a1 d158 0ac8a 41be 1df9c3 c39 923 b32e7 2694e 1b24 37e59 d79 5e39e9 0c4 1b3a23 b183 f2e2 28b00bc224 674c6d9 991 c48 f706 dd08 f36 cc5a798 f49 9e0a6d e12249 c58a5 c17 d960 d5 f077 153fcd6 2d6 b18b4ddc04 cb3c7 0dbf2ae3 d854 5f8 bdc26837 6190 d717 fc2 7c4 0283 9d2a6 8992ae 5b5a4 642 c180 3090 f602 35f2e8b 2fc9e e07fe91d68a0 c222e d1 c2435 1b27 ceaa8 34020 e3c346 f09d2b82 6f6 3e4d dbd2 b90 c0d4478e 91eb 8652 c3b02bb6e4 b7fc7e43 0e30 b5f5f0 95e8 be869 ec1 81a8c1 c84 8076 78114 9fc52ab34cf9 f0d2 79fd9df650 863fd1dfc3 c8 f9b837d7 daa7a826fb df20 269a b5f421b71c88fb157e bc2527 c70 b8de 9df485 d8a76 b953 6b4ba f362 396 c600 c6a84 0db7d5 c91 bdfe cce9c3f0 e7f19c1 bb8 900 d30df91a dcad7 bc327 f7f5b2a4 3d99 c8a6 9dd6ab12 89b7 d9 c38 f8bc17 bb98 227 c8da1 215 02f02 d758 95ac8594 f14 6891 da1d6 d609 5f5 d0a2a 9b9 c479e d7a68 f0 f9 c0258 b 1e0b72 e2de 5e6db42 f651 c48 951e4e e736 70d1 b6b93874 6bb0835e 4c0 4eae2 dc 0f3e2 83b7 8e61aa9a 39d9 cf7b1a 0f4 7ab00 7acda74fc4d54f2f6 e897e 7b73 c39 fe3c5 f23 9e708 8d0 fe672 e6df1 cc38a 8502a 2b3 f2a0 be9c12e1 b8a97 b1aa1b2e bbf1 5559 d971 07e97 745bbd4 074 f556 37ab1 7a98 f6d5 68ee2 e71b05d3 de32 c18 Chương Một số toán liên quan DƯƠNG NGỌC NINH Chứng minh Ta có: PB,PK hai tiếp tuyến kẻ từ P đến ( O ) nên PK PB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Chứng minh tương tự, ta có QK QC Ta có, chu vi APQ C APQ AP AQ PQ AP AQ PK KQ Mà PK PB,QK QC (CMT) Suy C APQ AP AQ PB QC AP PB AQ QC AB AC Mà A,( O ) cố định C N Q Suy ra, tiếp tuyến AB, AC cố định Do AB, AC khơng đổi A E O K Vậy chu vi APQ không đổi P B M K chuyển động cung nhỏ BC Hình 2.23 Ta có: AO đường cao AMN (do AO MN ) AO tia phân giác BAC (dựa vào kết chứng minh ví dụ 2.1) Suy AMN cân A Do AMN ANM OM ON (tính chất tam giác cân) Suy AMN MAN 180 (2.15) Ta có: BOC BOP POK KOQ QOC Mà BOP POK KOQ QOC Suy BOC POK KOQ POQ 51 f1f374da 5941a3 9812 c7a6fb3 282 f2aa6a2a 9df0f3 8b9e 4f5 e5d7 911d0a231 81 a0d857e 97e4fbb597 d7476 8cfd8faa 0ae64a d5f0fc205ff3 96a1e0 c0e3 8b0 f43 bb79 b6c3f2 3b5 df0 f74 9f7 d5bbad43 7460 09ab8 f6ff04 8349 c7d3e64 c69 bcfe7 a06427 f7d2 b31 b305 2a04e3 e61 c8b4 7c4 35b9 333a6 cd6 d029 26ef4c2 f0e 420b4 9f081 c4 f5f9180 7f8 8258 f3 f9a15a3 2ce 28104 e878e 4c1 0512 3c4e f92 48ada c3 f12e2 4da7 f9c211 d1d8 7bc45a6ae 68c0 0364a 2f3 f53 b0ac982 f755 52732 5c4 13 9783c4c7 cba c8 f5896 b7 c194e 7e77a bdf7cc3 c177a2 dcded0 098 b4e05 9c7 bb5 db0b09bb91 cb0a9aa 0b81 87ee cc7 1c1 16ff8a1 b3151a 9c3 e5923 d3fb1e f51a0 d b1b5 c751 2398ff1a 0e929 5f7 2e7b8d74 0c7 f78 c48 d2 f70b5dc7002a 1a0735a 3b 8dd4 d7b8 451b6c3a 83c183 c3763 494 c5d861cbfd0eac441 f3cbba f5502 7627 de dbb3 7b2 c5ae5 d9eb 615 c5b8 3a17dcfd992 50e6 c4a86 f0 f6d1b03 88c128e d6023 df93 b711 51b6 4cfb1 065 c76cb5 f5f469a3 4fc6c5 2d4a9 2f2 35a8ff93 e6f066ad 3ddc7c9 38a02 f4fb c8f724b3c8 7b19 2ac8 3c5 cda8 0c4 6cd6998 c82 5a7f3ce4 00 d54f00d7 3217 4dd77c0 0aa82 db50ae 365a0fb4 239ae f77 f7d7ed f0bc26a6 2ab6 e42d34 d2dded 41d0 51c2223 fa2b6a 8cc924 3255 d39e6 6fb746 b5f0adaf8eb3a 758b3 d1d7 1ab9 d318 9d60 75b1 f6e b25 d8a5b72c7e209 5faa1e 4a63 f3941 877e d2050a0 b7a4 686a16 43d7 89f3dcff2068 5a0904 7c7a 1931 286dcf703 c7acfd9 6aa7c4a1 d158 0ac8a 41be 1df9c3 c39 923 b32e7 2694e 1b24 37e59 d79 5e39e9 0c4 1b3a23 b183 f2e2 28b00bc224 674c6d9 991 c48 f706 dd08 f36 cc5a798 f49 9e0a6d e12249 c58a5 c17 d960 d5 f077 153fcd6 2d6 b18b4ddc04 cb3c7 0dbf2ae3 d854 5f8 bdc26837 6190 d717 fc2 7c4 0283 9d2a6 8992ae 5b5a4 642 c180 3090 f602 35f2e8b 2fc9e e07fe91d68a0 c222e d1 c2435 1b27 ceaa8 34020 e3c346 f09d2b82 6f6 3e4d dbd2 b90 c0d4478e 91eb 8652 c3b02bb6e4 b7fc7e43 0e30 b5f5f0 95e8 be869 ec1 81a8c1 c84 8076 78114 9fc52ab34cf9 f0d2 79fd9df650 863fd1dfc3 c8 f9b837d7 daa7a826fb df20 269a b5f421b71c88fb157e bc2527 c70 b8de 9df485 d8a76 b953 6b4ba f362 396 c600 c6a84 0db7d5 c91 bdfe cce9c3f0 e7f19c1 bb8 900 d30df91a dcad7 bc327 f7f5b2a4 3d99 c8a6 9dd6ab12 89b7 d9 c38 f8bc17 bb98 227 c8da1 215 02f02 d758 95ac8594 f14 6891 da1d6 d609 5f5 d0a2a 9b9 c479e d7a68 f0 f9 c0258 b 1e0b72 e2de 5e6db42 f651 c48 951e4e e736 70d1 b6b93874 6bb0835e 4c0 4eae2 dc 0f3e2 83b7 8e61aa9a 39d9 cf7b1a 0f4 7ab00 7acda74fc4d54f2f6 e897e 7b73 c39 fe3c5 f23 9e708 8d0 fe672 e6df1 cc38a 8502a 2b3 f2a0 be9c12e1 b8a97 b1aa1b2e bbf1 5559 d971 07e97 745bbd4 074 f556 37ab1 7a98 f6d5 68ee2 e71b05d3 de32 c18 Chương Một số tốn liên quan DƯƠNG NGỌC NINH Theo ví dụ 2.1 ta có tứ giác OBAC tứ giác nội tiếp Nên: BOC MAN 180 Suy POQ MAN 180 (2.16) Từ (2.15) (2.16) suy POQ AMN Hay POQ OMP Ta có: PON góc ngồi đỉnh O MOP Suy PON OPM OMP Hay POQ QON OPM OMP Mà POQ OMP (CMT) Suy QON OPM Xét ONQ PMO có AMN ANM QON OPM (CMT) Suy ONQ ∽ PMO (g.g) Do NQ ON (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ) MO PM Hay PM NQ OM ON Mà OM ON (CMT) Suy PM QN OM Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số PM PN ta có: PM QN PM Q N PM QN OM PM QN 2OM PM QN MN Dấu “ ” đạt PM QN MN 52 f1f374da 5941a3 9812 c7a6fb3 282 f2aa6a2a 9df0f3 8b9e 4f5 e5d7 911d0a231 81 a0d857e 97e4fbb597 d7476 8cfd8faa 0ae64a d5f0fc205ff3 96a1e0 c0e3 8b0 f43 bb79 b6c3f2 3b5 df0 f74 9f7 d5bbad43 7460 09ab8 f6ff04 8349 c7d3e64 c69 bcfe7 a06427 f7d2 b31 b305 2a04e3 e61 c8b4 7c4 35b9 333a6 cd6 d029 26ef4c2 f0e 420b4 9f081 c4 f5f9180 7f8 8258 f3 f9a15a3 2ce 28104 e878e 4c1 0512 3c4e f92 48ada c3 f12e2 4da7 f9c211 d1d8 7bc45a6ae 68c0 0364a 2f3 f53 b0ac982 f755 52732 5c4 13 9783c4c7 cba c8 f5896 b7 c194e 7e77a bdf7cc3 c177a2 dcded0 098 b4e05 9c7 bb5 db0b09bb91 cb0a9aa 0b81 87ee cc7 1c1 16ff8a1 b3151a 9c3 e5923 d3fb1e f51a0 d b1b5 c751 2398ff1a 0e929 5f7 2e7b8d74 0c7 f78 c48 d2 f70b5dc7002a 1a0735a 3b 8dd4 d7b8 451b6c3a 83c183 c3763 494 c5d861cbfd0eac441 f3cbba f5502 7627 de dbb3 7b2 c5ae5 d9eb 615 c5b8 3a17dcfd992 50e6 c4a86 f0 f6d1b03 88c128e d6023 df93 b711 51b6 4cfb1 065 c76cb5 f5f469a3 4fc6c5 2d4a9 2f2 35a8ff93 e6f066ad 3ddc7c9 38a02 f4fb c8f724b3c8 7b19 2ac8 3c5 cda8 0c4 6cd6998 c82 5a7f3ce4 00 d54f00d7 3217 4dd77c0 0aa82 db50ae 365a0fb4 239ae f77 f7d7ed f0bc26a6 2ab6 e42d34 d2dded 41d0 51c2223 fa2b6a 8cc924 3255 d39e6 6fb746 b5f0adaf8eb3a 758b3 d1d7 1ab9 d318 9d60 75b1 f6e b25 d8a5b72c7e209 5faa1e 4a63 f3941 877e d2050a0 b7a4 686a16 43d7 89f3dcff2068 5a0904 7c7a 1931 286dcf703 c7acfd9 6aa7c4a1 d158 0ac8a 41be 1df9c3 c39 923 b32e7 2694e 1b24 37e59 d79 5e39e9 0c4 1b3a23 b183 f2e2 28b00bc224 674c6d9 991 c48 f706 dd08 f36 cc5a798 f49 9e0a6d e12249 c58a5 c17 d960 d5 f077 153fcd6 2d6 b18b4ddc04 cb3c7 0dbf2ae3 d854 5f8 bdc26837 6190 d717 fc2 7c4 0283 9d2a6 8992ae 5b5a4 642 c180 3090 f602 35f2e8b 2fc9e e07fe91d68a0 c222e d1 c2435 1b27 ceaa8 34020 e3c346 f09d2b82 6f6 3e4d dbd2 b90 c0d4478e 91eb 8652 c3b02bb6e4 b7fc7e43 0e30 b5f5f0 95e8 be869 ec1 81a8c1 c84 8076 78114 9fc52ab34cf9 f0d2 79fd9df650 863fd1dfc3 c8 f9b837d7 daa7a826fb df20 269a b5f421b71c88fb157e bc2527 c70 b8de 9df485 d8a76 b953 6b4ba f362 396 c600 c6a84 0db7d5 c91 bdfe cce9c3f0 e7f19c1 bb8 900 d30df91a dcad7 bc327 f7f5b2a4 3d99 c8a6 9dd6ab12 89b7 d9 c38 f8bc17 bb98 227 c8da1 215 02f02 d758 95ac8594 f14 6891 da1d6 d609 5f5 d0a2a 9b9 c479e d7a68 f0 f9 c0258 b 1e0b72 e2de 5e6db42 f651 c48 951e4e e736 70d1 b6b93874 6bb0835e 4c0 4eae2 dc 0f3e2 83b7 8e61aa9a 39d9 cf7b1a 0f4 7ab00 7acda74fc4d54f2f6 e897e 7b73 c39 fe3c5 f23 9e708 8d0 fe672 e6df1 cc38a 8502a 2b3 f2a0 be9c12e1 b8a97 b1aa1b2e bbf1 5559 d971 07e97 745bbd4 074 f556 37ab1 7a98 f6d5 68ee2 e71b05d3 de32 c18 Chương Một số toán liên quan DƯƠNG NGỌC NINH Ta có: PM PB BM QN QC CN Mà ta dễ dàng chứng minh BM CN (do CNO BMO ) Nên PB QC Mà PB PK ,QC QK (CMT) Suy PK QK Từ suy K trung điểm QP Mà K O; R K PQ Suy dấu “ ” đạt K cung nhỏ BC Ví dụ 2.25 (Trích đề thi tuyển sinh vào 10 tỉnh Khánh Hòa 2018 – 2019) Cho đường trịn ( O;R ) dây cung AB khơng qua O Từ điểm M nằm tia đối tia BA ( M không trùng với B ), kẻ hai tiếp tuyến MC,MD với đường tròn ( O;R ) ( C,D tiếp điểm) Gọi H trung điểm đoạn thẳng AB Đường thẳng qua O vng góc với OM cắt tia MC,MD E F Xác định hình dạng tứ giác MCOD để diện tích tam giác MEF nhỏ M di động tia đối tia BA Chứng minh Dựa theo kết chứng minh ví dụ 2.5, ta chứng minh tiếp Ta có: CD E EF (cùng vng góc với OM ) C Xét MCD MEF ta có EMF chung MCD MEF (hai góc đồng vị CD O EF ) A I Suy MCD ∽ MEF (g.g) H B Mà MCD cân M Suy MEF cân M F D Hình 2.24 SMEF 2SOMF OD.MF 53 M f1f374da 5941a3 9812 c7a6fb3 282 f2aa6a2a 9df0f3 8b9e 4f5 e5d7 911d0a231 81 a0d857e 97e4fbb597 d7476 8cfd8faa 0ae64a d5f0fc205ff3 96a1e0 c0e3 8b0 f43 bb79 b6c3f2 3b5 df0 f74 9f7 d5bbad43 7460 09ab8 f6ff04 8349 c7d3e64 c69 bcfe7 a06427 f7d2 b31 b305 2a04e3 e61 c8b4 7c4 35b9 333a6 cd6 d029 26ef4c2 f0e 420b4 9f081 c4 f5f9180 7f8 8258 f3 f9a15a3 2ce 28104 e878e 4c1 0512 3c4e f92 48ada c3 f12e2 4da7 f9c211 d1d8 7bc45a6ae 68c0 0364a 2f3 f53 b0ac982 f755 52732 5c4 13 9783c4c7 cba c8 f5896 b7 c194e 7e77a bdf7cc3 c177a2 dcded0 098 b4e05 9c7 bb5 db0b09bb91 cb0a9aa 0b81 87ee cc7 1c1 16ff8a1 b3151a 9c3 e5923 d3fb1e f51a0 d b1b5 c751 2398ff1a 0e929 5f7 2e7b8d74 0c7 f78 c48 d2 f70b5dc7002a 1a0735a 3b 8dd4 d7b8 451b6c3a 83c183 c3763 494 c5d861cbfd0eac441 f3cbba f5502 7627 de dbb3 7b2 c5ae5 d9eb 615 c5b8 3a17dcfd992 50e6 c4a86 f0 f6d1b03 88c128e d6023 df93 b711 51b6 4cfb1 065 c76cb5 f5f469a3 4fc6c5 2d4a9 2f2 35a8ff93 e6f066ad 3ddc7c9 38a02 f4fb c8f724b3c8 7b19 2ac8 3c5 cda8 0c4 6cd6998 c82 5a7f3ce4 00 d54f00d7 3217 4dd77c0 0aa82 db50ae 365a0fb4 239ae f77 f7d7ed f0bc26a6 2ab6 e42d34 d2dded 41d0 51c2223 fa2b6a 8cc924 3255 d39e6 6fb746 b5f0adaf8eb3a 758b3 d1d7 1ab9 d318 9d60 75b1 f6e b25 d8a5b72c7e209 5faa1e 4a63 f3941 877e d2050a0 b7a4 686a16 43d7 89f3dcff2068 5a0904 7c7a 1931 286dcf703 c7acfd9 6aa7c4a1 d158 0ac8a 41be 1df9c3 c39 923 b32e7 2694e 1b24 37e59 d79 5e39e9 0c4 1b3a23 b183 f2e2 28b00bc224 674c6d9 991 c48 f706 dd08 f36 cc5a798 f49 9e0a6d e12249 c58a5 c17 d960 d5 f077 153fcd6 2d6 b18b4ddc04 cb3c7 0dbf2ae3 d854 5f8 bdc26837 6190 d717 fc2 7c4 0283 9d2a6 8992ae 5b5a4 642 c180 3090 f602 35f2e8b 2fc9e e07fe91d68a0 c222e d1 c2435 1b27 ceaa8 34020 e3c346 f09d2b82 6f6 3e4d dbd2 b90 c0d4478e 91eb 8652 c3b02bb6e4 b7fc7e43 0e30 b5f5f0 95e8 be869 ec1 81a8c1 c84 8076 78114 9fc52ab34cf9 f0d2 79fd9df650 863fd1dfc3 c8 f9b837d7 daa7a826fb df20 269a b5f421b71c88fb157e bc2527 c70 b8de 9df485 d8a76 b953 6b4ba f362 396 c600 c6a84 0db7d5 c91 bdfe cce9c3f0 e7f19c1 bb8 900 d30df91a dcad7 bc327 f7f5b2a4 3d99 c8a6 9dd6ab12 89b7 d9 c38 f8bc17 bb98 227 c8da1 215 02f02 d758 95ac8594 f14 6891 da1d6 d609 5f5 d0a2a 9b9 c479e d7a68 f0 f9 c0258 b 1e0b72 e2de 5e6db42 f651 c48 951e4e e736 70d1 b6b93874 6bb0835e 4c0 4eae2 dc 0f3e2 83b7 8e61aa9a 39d9 cf7b1a 0f4 7ab00 7acda74fc4d54f2f6 e897e 7b73 c39 fe3c5 f23 9e708 8d0 fe672 e6df1 cc38a 8502a 2b3 f2a0 be9c12e1 b8a97 b1aa1b2e bbf1 5559 d971 07e97 745bbd4 074 f556 37ab1 7a98 f6d5 68ee2 e71b05d3 de32 c18 Chương Một số tốn liên quan Mà OD R (khơng đổi) nên DƯƠNG NGỌC NINH S MEF nhỏ MF nhỏ Ta có MF MD DF Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số MD DF ta có: MD DF MD.DF (2.17) Mặt khác, xét ODM FDO ta có ODM ODF (cùng 90 ) FOD OMD (cùng phụ với DOM ) Suy ODM ∽ FDO (g.g) Do MD.MF OD2 Thay vào (2.17) ta có: MD MF OD MD MF 2OD MD MF R Dấu “ ” xảy MD DF Suy MOF vuông cân O Do OM OD R Khi SMEF đạt giá trị nhỏ 2R2 Vậy tứ giác MCOD hình vng cạnh R Ví dụ 2.26 (Trích đề thi vào 10 THPT Thành phố Hà Nội 2014 – 2015) Cho đường trịn ( O;R ) có đường kính AB cố định Vẽ đường kính MN đường trịn ( O;R ) ( M khác A , M khác B ) Tiếp tuyến đường tròn ( O;R ) B cắt đường thẳng AM ,AN Q,P 54 f1f374da 5941a3 9812 c7a6fb3 282 f2aa6a2a 9df0f3 8b9e 4f5 e5d7 911d0a231 81 a0d857e 97e4fbb597 d7476 8cfd8faa 0ae64a d5f0fc205ff3 96a1e0 c0e3 8b0 f43 bb79 b6c3f2 3b5 df0 f74 9f7 d5bbad43 7460 09ab8 f6ff04 8349 c7d3e64 c69 bcfe7 a06427 f7d2 b31 b305 2a04e3 e61 c8b4 7c4 35b9 333a6 cd6 d029 26ef4c2 f0e 420b4 9f081 c4 f5f9180 7f8 8258 f3 f9a15a3 2ce 28104 e878e 4c1 0512 3c4e f92 48ada c3 f12e2 4da7 f9c211 d1d8 7bc45a6ae 68c0 0364a 2f3 f53 b0ac982 f755 52732 5c4 13 9783c4c7 cba c8 f5896 b7 c194e 7e77a bdf7cc3 c177a2 dcded0 098 b4e05 9c7 bb5 db0b09bb91 cb0a9aa 0b81 87ee cc7 1c1 16ff8a1 b3151a 9c3 e5923 d3fb1e f51a0 d b1b5 c751 2398ff1a 0e929 5f7 2e7b8d74 0c7 f78 c48 d2 f70b5dc7002a 1a0735a 3b 8dd4 d7b8 451b6c3a 83c183 c3763 494 c5d861cbfd0eac441 f3cbba f5502 7627 de dbb3 7b2 c5ae5 d9eb 615 c5b8 3a17dcfd992 50e6 c4a86 f0 f6d1b03 88c128e d6023 df93 b711 51b6 4cfb1 065 c76cb5 f5f469a3 4fc6c5 2d4a9 2f2 35a8ff93 e6f066ad 3ddc7c9 38a02 f4fb c8f724b3c8 7b19 2ac8 3c5 cda8 0c4 6cd6998 c82 5a7f3ce4 00 d54f00d7 3217 4dd77c0 0aa82 db50ae 365a0fb4 239ae f77 f7d7ed f0bc26a6 2ab6 e42d34 d2dded 41d0 51c2223 fa2b6a 8cc924 3255 d39e6 6fb746 b5f0adaf8eb3a 758b3 d1d7 1ab9 d318 9d60 75b1 f6e b25 d8a5b72c7e209 5faa1e 4a63 f3941 877e d2050a0 b7a4 686a16 43d7 89f3dcff2068 5a0904 7c7a 1931 286dcf703 c7acfd9 6aa7c4a1 d158 0ac8a 41be 1df9c3 c39 923 b32e7 2694e 1b24 37e59 d79 5e39e9 0c4 1b3a23 b183 f2e2 28b00bc224 674c6d9 991 c48 f706 dd08 f36 cc5a798 f49 9e0a6d e12249 c58a5 c17 d960 d5 f077 153fcd6 2d6 b18b4ddc04 cb3c7 0dbf2ae3 d854 5f8 bdc26837 6190 d717 fc2 7c4 0283 9d2a6 8992ae 5b5a4 642 c180 3090 f602 35f2e8b 2fc9e e07fe91d68a0 c222e d1 c2435 1b27 ceaa8 34020 e3c346 f09d2b82 6f6 3e4d dbd2 b90 c0d4478e 91eb 8652 c3b02bb6e4 b7fc7e43 0e30 b5f5f0 95e8 be869 ec1 81a8c1 c84 8076 78114 9fc52ab34cf9 f0d2 79fd9df650 863fd1dfc3 c8 f9b837d7 daa7a826fb df20 269a b5f421b71c88fb157e bc2527 c70 b8de 9df485 d8a76 b953 6b4ba f362 396 c600 c6a84 0db7d5 c91 bdfe cce9c3f0 e7f19c1 bb8 900 d30df91a dcad7 bc327 f7f5b2a4 3d99 c8a6 9dd6ab12 89b7 d9 c38 f8bc17 bb98 227 c8da1 215 02f02 d758 95ac8594 f14 6891 da1d6 d609 5f5 d0a2a 9b9 c479e d7a68 f0 f9 c0258 b 1e0b72 e2de 5e6db42 f651 c48 951e4e e736 70d1 b6b93874 6bb0835e 4c0 4eae2 dc 0f3e2 83b7 8e61aa9a 39d9 cf7b1a 0f4 7ab00 7acda74fc4d54f2f6 e897e 7b73 c39 fe3c5 f23 9e708 8d0 fe672 e6df1 cc38a 8502a 2b3 f2a0 be9c12e1 b8a97 b1aa1b2e bbf1 5559 d971 07e97 745bbd4 074 f556 37ab1 7a98 f6d5 68ee2 e71b05d3 de32 c18 Chương Một số toán liên quan DƯƠNG NGỌC NINH Khi đường kính MN quay quanh tâm O thỏa mãn điều kiện đề bài, xác định vị trí đường kính MN để tứ giác MNPQ có diện tích nhỏ Chứng minh Ta có: 2S MNPQ 2S APQ 2S AMN R.PQ AM AN R.( PB BQ ) AM AN Ta có : APB PAB 90 PAB QAB 90 P N F Suy APB QAB O A ABP ABQ 90 Xét ABP QBA ta có: APB QAB B M E Suy ABP ∽ QBA (g.g) Do AB BP Hay AB BP.QB QB BA Q Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số BP QB ta có: BP QB BP.QB R 2 Hình 2.25 4R Mặt khác, áp dụng bất đằng thức Cauchy cho hai số AM AN ta có: AM AN MN R AM AN 2R 2 2 Do đó, S MNPQ R.4 R R R Suy S MNPQ 3R Do max S MNPQ 3R AM AN R Dấu “ ” xảy (hay MN AB ) BP BQ R Ví dụ 2.27 (Thi HSG cấp Huyện Sở GD&ĐT Tiền Giang 2012 – 2013) 55 f1f374da 5941a3 9812 c7a6fb3 282 f2aa6a2a 9df0f3 8b9e 4f5 e5d7 911d0a231 81 a0d857e 97e4fbb597 d7476 8cfd8faa 0ae64a d5f0fc205ff3 96a1e0 c0e3 8b0 f43 bb79 b6c3f2 3b5 df0 f74 9f7 d5bbad43 7460 09ab8 f6ff04 8349 c7d3e64 c69 bcfe7 a06427 f7d2 b31 b305 2a04e3 e61 c8b4 7c4 35b9 333a6 cd6 d029 26ef4c2 f0e 420b4 9f081 c4 f5f9180 7f8 8258 f3 f9a15a3 2ce 28104 e878e 4c1 0512 3c4e f92 48ada c3 f12e2 4da7 f9c211 d1d8 7bc45a6ae 68c0 0364a 2f3 f53 b0ac982 f755 52732 5c4 13 9783c4c7 cba c8 f5896 b7 c194e 7e77a bdf7cc3 c177a2 dcded0 098 b4e05 9c7 bb5 db0b09bb91 cb0a9aa 0b81 87ee cc7 1c1 16ff8a1 b3151a 9c3 e5923 d3fb1e f51a0 d b1b5 c751 2398ff1a 0e929 5f7 2e7b8d74 0c7 f78 c48 d2 f70b5dc7002a 1a0735a 3b 8dd4 d7b8 451b6c3a 83c183 c3763 494 c5d861cbfd0eac441 f3cbba f5502 7627 de dbb3 7b2 c5ae5 d9eb 615 c5b8 3a17dcfd992 50e6 c4a86 f0 f6d1b03 88c128e d6023 df93 b711 51b6 4cfb1 065 c76cb5 f5f469a3 4fc6c5 2d4a9 2f2 35a8ff93 e6f066ad 3ddc7c9 38a02 f4fb c8f724b3c8 7b19 2ac8 3c5 cda8 0c4 6cd6998 c82 5a7f3ce4 00 d54f00d7 3217 4dd77c0 0aa82 db50ae 365a0fb4 239ae f77 f7d7ed f0bc26a6 2ab6 e42d34 d2dded 41d0 51c2223 fa2b6a 8cc924 3255 d39e6 6fb746 b5f0adaf8eb3a 758b3 d1d7 1ab9 d318 9d60 75b1 f6e b25 d8a5b72c7e209 5faa1e 4a63 f3941 877e d2050a0 b7a4 686a16 43d7 89f3dcff2068 5a0904 7c7a 1931 286dcf703 c7acfd9 6aa7c4a1 d158 0ac8a 41be 1df9c3 c39 923 b32e7 2694e 1b24 37e59 d79 5e39e9 0c4 1b3a23 b183 f2e2 28b00bc224 674c6d9 991 c48 f706 dd08 f36 cc5a798 f49 9e0a6d e12249 c58a5 c17 d960 d5 f077 153fcd6 2d6 b18b4ddc04 cb3c7 0dbf2ae3 d854 5f8 bdc26837 6190 d717 fc2 7c4 0283 9d2a6 8992ae 5b5a4 642 c180 3090 f602 35f2e8b 2fc9e e07fe91d68a0 c222e d1 c2435 1b27 ceaa8 34020 e3c346 f09d2b82 6f6 3e4d dbd2 b90 c0d4478e 91eb 8652 c3b02bb6e4 b7fc7e43 0e30 b5f5f0 95e8 be869 ec1 81a8c1 c84 8076 78114 9fc52ab34cf9 f0d2 79fd9df650 863fd1dfc3 c8 f9b837d7 daa7a826fb df20 269a b5f421b71c88fb157e bc2527 c70 b8de 9df485 d8a76 b953 6b4ba f362 396 c600 c6a84 0db7d5 c91 bdfe cce9c3f0 e7f19c1 bb8 900 d30df91a dcad7 bc327 f7f5b2a4 3d99 c8a6 9dd6ab12 89b7 d9 c38 f8bc17 bb98 227 c8da1 215 02f02 d758 95ac8594 f14 6891 da1d6 d609 5f5 d0a2a 9b9 c479e d7a68 f0 f9 c0258 b 1e0b72 e2de 5e6db42 f651 c48 951e4e e736 70d1 b6b93874 6bb0835e 4c0 4eae2 dc 0f3e2 83b7 8e61aa9a 39d9 cf7b1a 0f4 7ab00 7acda74fc4d54f2f6 e897e 7b73 c39 fe3c5 f23 9e708 8d0 fe672 e6df1 cc38a 8502a 2b3 f2a0 be9c12e1 b8a97 b1aa1b2e bbf1 5559 d971 07e97 745bbd4 074 f556 37ab1 7a98 f6d5 68ee2 e71b05d3 de32 c18 Chương Một số toán liên quan DƯƠNG NGỌC NINH Cho đường tròn tâm O bán kính R điểm P cố định đường tròn Hai dây cung AC BD thay đổi vng góc với P Xác định vị trí AC BD cho diện tích tứ giác ABCD lớn Chứng minh Kẻ OH AC,OK BD H AC,K BD B Theo định lí đường kính dây cung, ta có: A AC BD AH ,BK 2 P H K O Ta có: OHP OKP KPH 90 Suy tứ giác OHPK hình chữ nhật D Nên KH OP khơng đổi Hình 2.27 Ta có: AC BD AH BK AH BK AH BK 2 OA2 OH OB OK 2R OP (không đổi) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số AC BD ta có: S ABCD AC.BD AC BD R OP Dấu “ ” đạt AC BD OH OK OHPK hình vng HPO OPK 45 56 C f1f374da 5941a3 9812 c7a6fb3 282 f2aa6a2a 9df0f3 8b9e 4f5 e5d7 911d0a231 81 a0d857e 97e4fbb597 d7476 8cfd8faa 0ae64a d5f0fc205ff3 96a1e0 c0e3 8b0 f43 bb79 b6c3f2 3b5 df0 f74 9f7 d5bbad43 7460 09ab8 f6ff04 8349 c7d3e64 c69 bcfe7 a06427 f7d2 b31 b305 2a04e3 e61 c8b4 7c4 35b9 333a6 cd6 d029 26ef4c2 f0e 420b4 9f081 c4 f5f9180 7f8 8258 f3 f9a15a3 2ce 28104 e878e 4c1 0512 3c4e f92 48ada c3 f12e2 4da7 f9c211 d1d8 7bc45a6ae 68c0 0364a 2f3 f53 b0ac982 f755 52732 5c4 13 9783c4c7 cba c8 f5896 b7 c194e 7e77a bdf7cc3 c177a2 dcded0 098 b4e05 9c7 bb5 db0b09bb91 cb0a9aa 0b81 87ee cc7 1c1 16ff8a1 b3151a 9c3 e5923 d3fb1e f51a0 d b1b5 c751 2398ff1a 0e929 5f7 2e7b8d74 0c7 f78 c48 d2 f70b5dc7002a 1a0735a 3b 8dd4 d7b8 451b6c3a 83c183 c3763 494 c5d861cbfd0eac441 f3cbba f5502 7627 de dbb3 7b2 c5ae5 d9eb 615 c5b8 3a17dcfd992 50e6 c4a86 f0 f6d1b03 88c128e d6023 df93 b711 51b6 4cfb1 065 c76cb5 f5f469a3 4fc6c5 2d4a9 2f2 35a8ff93 e6f066ad 3ddc7c9 38a02 f4fb c8f724b3c8 7b19 2ac8 3c5 cda8 0c4 6cd6998 c82 5a7f3ce4 00 d54f00d7 3217 4dd77c0 0aa82 db50ae 365a0fb4 239ae f77 f7d7ed f0bc26a6 2ab6 e42d34 d2dded 41d0 51c2223 fa2b6a 8cc924 3255 d39e6 6fb746 b5f0adaf8eb3a 758b3 d1d7 1ab9 d318 9d60 75b1 f6e b25 d8a5b72c7e209 5faa1e 4a63 f3941 877e d2050a0 b7a4 686a16 43d7 89f3dcff2068 5a0904 7c7a 1931 286dcf703 c7acfd9 6aa7c4a1 d158 0ac8a 41be 1df9c3 c39 923 b32e7 2694e 1b24 37e59 d79 5e39e9 0c4 1b3a23 b183 f2e2 28b00bc224 674c6d9 991 c48 f706 dd08 f36 cc5a798 f49 9e0a6d e12249 c58a5 c17 d960 d5 f077 153fcd6 2d6 b18b4ddc04 cb3c7 0dbf2ae3 d854 5f8 bdc26837 6190 d717 fc2 7c4 0283 9d2a6 8992ae 5b5a4 642 c180 3090 f602 35f2e8b 2fc9e e07fe91d68a0 c222e d1 c2435 1b27 ceaa8 34020 e3c346 f09d2b82 6f6 3e4d dbd2 b90 c0d4478e 91eb 8652 c3b02bb6e4 b7fc7e43 0e30 b5f5f0 95e8 be869 ec1 81a8c1 c84 8076 78114 9fc52ab34cf9 f0d2 79fd9df650 863fd1dfc3 c8 f9b837d7 daa7a826fb df20 269a b5f421b71c88fb157e bc2527 c70 b8de 9df485 d8a76 b953 6b4ba f362 396 c600 c6a84 0db7d5 c91 bdfe cce9c3f0 e7f19c1 bb8 900 d30df91a dcad7 bc327 f7f5b2a4 3d99 c8a6 9dd6ab12 89b7 d9 c38 f8bc17 bb98 227 c8da1 215 02f02 d758 95ac8594 f14 6891 da1d6 d609 5f5 d0a2a 9b9 c479e d7a68 f0 f9 c0258 b 1e0b72 e2de 5e6db42 f651 c48 951e4e e736 70d1 b6b93874 6bb0835e 4c0 4eae2 dc 0f3e2 83b7 8e61aa9a 39d9 cf7b1a 0f4 7ab00 7acda74fc4d54f2f6 e897e 7b73 c39 fe3c5 f23 9e708 8d0 fe672 e6df1 cc38a 8502a 2b3 f2a0 be9c12e1 b8a97 b1aa1b2e bbf1 5559 d971 07e97 745bbd4 074 f556 37ab1 7a98 f6d5 68ee2 e71b05d3 de32 c18 Chương Một số toán liên quan DƯƠNG NGỌC NINH Do đó, diện tích tứ giác ABCD lớn là: maxS ABCD R OP Vậy AC,BD hợp với OP góc 45 diện tích ABCD lớn 57 f1f374da 5941a3 9812 c7a6fb3 282 f2aa6a2a 9df0f3 8b9e 4f5 e5d7 911d0a231 81 a0d857e 97e4fbb597 d7476 8cfd8faa 0ae64a d5f0fc205ff3 96a1e0 c0e3 8b0 f43 bb79 b6c3f2 3b5 df0 f74 9f7 d5bbad43 7460 09ab8 f6ff04 8349 c7d3e64 c69 bcfe7 a06427 f7d2 b31 b305 2a04e3 e61 c8b4 7c4 35b9 333a6 cd6 d029 26ef4c2 f0e 420b4 9f081 c4 f5f9180 7f8 8258 f3 f9a15a3 2ce 28104 e878e 4c1 0512 3c4e f92 48ada c3 f12e2 4da7 f9c211 d1d8 7bc45a6ae 68c0 0364a 2f3 f53 b0ac982 f755 52732 5c4 13 9783c4c7 cba c8 f5896 b7 c194e 7e77a bdf7cc3 c177a2 dcded0 098 b4e05 9c7 bb5 db0b09bb91 cb0a9aa 0b81 87ee cc7 1c1 16ff8a1 b3151a 9c3 e5923 d3fb1e f51a0 d b1b5 c751 2398ff1a 0e929 5f7 2e7b8d74 0c7 f78 c48 d2 f70b5dc7002a 1a0735a 3b 8dd4 d7b8 451b6c3a 83c183 c3763 494 c5d861cbfd0eac441 f3cbba f5502 7627 de dbb3 7b2 c5ae5 d9eb 615 c5b8 3a17dcfd992 50e6 c4a86 f0 f6d1b03 88c128e d6023 df93 b711 51b6 4cfb1 065 c76cb5 f5f469a3 4fc6c5 2d4a9 2f2 35a8ff93 e6f066ad 3ddc7c9 38a02 f4fb c8f724b3c8 7b19 2ac8 3c5 cda8 0c4 6cd6998 c82 5a7f3ce4 00 d54f00d7 3217 4dd77c0 0aa82 db50ae 365a0fb4 239ae f77 f7d7ed f0bc26a6 2ab6 e42d34 d2dded 41d0 51c2223 fa2b6a 8cc924 3255 d39e6 6fb746 b5f0adaf8eb3a 758b3 d1d7 1ab9 d318 9d60 75b1 f6e b25 d8a5b72c7e209 5faa1e 4a63 f3941 877e d2050a0 b7a4 686a16 43d7 89f3dcff2068 5a0904 7c7a 1931 286dcf703 c7acfd9 6aa7c4a1 d158 0ac8a 41be 1df9c3 c39 923 b32e7 2694e 1b24 37e59 d79 5e39e9 0c4 1b3a23 b183 f2e2 28b00bc224 674c6d9 991 c48 f706 dd08 f36 cc5a798 f49 9e0a6d e12249 c58a5 c17 d960 d5 f077 153fcd6 2d6 b18b4ddc04 cb3c7 0dbf2ae3 d854 5f8 bdc26837 6190 d717 fc2 7c4 0283 9d2a6 8992ae 5b5a4 642 c180 3090 f602 35f2e8b 2fc9e e07fe91d68a0 c222e d1 c2435 1b27 ceaa8 34020 e3c346 f09d2b82 6f6 3e4d dbd2 b90 c0d4478e 91eb 8652 c3b02bb6e4 b7fc7e43 0e30 b5f5f0 95e8 be869 ec1 81a8c1 c84 8076 78114 9fc52ab34cf9 f0d2 79fd9df650 863fd1dfc3 c8 f9b837d7 daa7a826fb df20 269a b5f421b71c88fb157e bc2527 c70 b8de 9df485 d8a76 b953 6b4ba f362 396 c600 c6a84 0db7d5 c91 bdfe cce9c3f0 e7f19c1 bb8 900 d30df91a dcad7 bc327 f7f5b2a4 3d99 c8a6 9dd6ab12 89b7 d9 c38 f8bc17 bb98 227 c8da1 215 02f02 d758 95ac8594 f14 6891 da1d6 d609 5f5 d0a2a 9b9 c479e d7a68 f0 f9 c0258 b 1e0b72 e2de 5e6db42 f651 c48 951e4e e736 70d1 b6b93874 6bb0835e 4c0 4eae2 dc 0f3e2 83b7 8e61aa9a 39d9 cf7b1a 0f4 7ab00 7acda74fc4d54f2f6 e897e 7b73 c39 fe3c5 f23 9e708 8d0 fe672 e6df1 cc38a 8502a 2b3 f2a0 be9c12e1 b8a97 b1aa1b2e bbf1 5559 d971 07e97 745bbd4 074 f556 37ab1 7a98 f6d5 68ee2 e71b05d3 de32 c18 DƯƠNG NGỌC NINH Kết luận KẾT LUẬN Qua q trình học tập, nghiên cứu, em hồn thành khóa luận: “Đường trịn số tốn liên quan” Khóa luận trình bày vấn đề sau: Trình bày kiến thức đường trịn bao gồm định nghĩa, định lí, hệ liên quan Khóa luận giới thiệu số dạng toán thường gặp: toán chứng minh, tốn tính tốn, tốn quỹ tích, tốn cực trị Khóa luận hệ thống phong phú ví dụ minh họa trích từ đề thi năm đồng thời trình bày lời giải chi tiết ví dụ minh họa Hà Nội, tháng năm 2019 Tác giả khóa luận Dương Ngọc Ninh 58 f1f374da 5941a3 9812 c7a6fb3 282 f2aa6a2a 9df0f3 8b9e 4f5 e5d7 911d0a231 81 a0d857e 97e4fbb597 d7476 8cfd8faa 0ae64a d5f0fc205ff3 96a1e0 c0e3 8b0 f43 bb79 b6c3f2 3b5 df0 f74 9f7 d5bbad43 7460 09ab8 f6ff04 8349 c7d3e64 c69 bcfe7 a06427 f7d2 b31 b305 2a04e3 e61 c8b4 7c4 35b9 333a6 cd6 d029 26ef4c2 f0e 420b4 9f081 c4 f5f9180 7f8 8258 f3 f9a15a3 2ce 28104 e878e 4c1 0512 3c4e f92 48ada c3 f12e2 4da7 f9c211 d1d8 7bc45a6ae 68c0 0364a 2f3 f53 b0ac982 f755 52732 5c4 13 9783c4c7 cba c8 f5896 b7 c194e 7e77a bdf7cc3 c177a2 dcded0 098 b4e05 9c7 bb5 db0b09bb91 cb0a9aa 0b81 87ee cc7 1c1 16ff8a1 b3151a 9c3 e5923 d3fb1e f51a0 d b1b5 c751 2398ff1a 0e929 5f7 2e7b8d74 0c7 f78 c48 d2 f70b5dc7002a 1a0735a 3b 8dd4 d7b8 451b6c3a 83c183 c3763 494 c5d861cbfd0eac441 f3cbba f5502 7627 de dbb3 7b2 c5ae5 d9eb 615 c5b8 3a17dcfd992 50e6 c4a86 f0 f6d1b03 88c128e d6023 df93 b711 51b6 4cfb1 065 c76cb5 f5f469a3 4fc6c5 2d4a9 2f2 35a8ff93 e6f066ad 3ddc7c9 38a02 f4fb c8f724b3c8 7b19 2ac8 3c5 cda8 0c4 6cd6998 c82 5a7f3ce4 00 d54f00d7 3217 4dd77c0 0aa82 db50ae 365a0fb4 239ae f77 f7d7ed f0bc26a6 2ab6 e42d34 d2dded 41d0 51c2223 fa2b6a 8cc924 3255 d39e6 6fb746 b5f0adaf8eb3a 758b3 d1d7 1ab9 d318 9d60 75b1 f6e b25 d8a5b72c7e209 5faa1e 4a63 f3941 877e d2050a0 b7a4 686a16 43d7 89f3dcff2068 5a0904 7c7a 1931 286dcf703 c7acfd9 6aa7c4a1 d158 0ac8a 41be 1df9c3 c39 923 b32e7 2694e 1b24 37e59 d79 5e39e9 0c4 1b3a23 b183 f2e2 28b00bc224 674c6d9 991 c48 f706 dd08 f36 cc5a798 f49 9e0a6d e12249 c58a5 c17 d960 d5 f077 153fcd6 2d6 b18b4ddc04 cb3c7 0dbf2ae3 d854 5f8 bdc26837 6190 d717 fc2 7c4 0283 9d2a6 8992ae 5b5a4 642 c180 3090 f602 35f2e8b 2fc9e e07fe91d68a0 c222e d1 c2435 1b27 ceaa8 34020 e3c346 f09d2b82 6f6 3e4d dbd2 b90 c0d4478e 91eb 8652 c3b02bb6e4 b7fc7e43 0e30 b5f5f0 95e8 be869 ec1 81a8c1 c84 8076 78114 9fc52ab34cf9 f0d2 79fd9df650 863fd1dfc3 c8 f9b837d7 daa7a826fb df20 269a b5f421b71c88fb157e bc2527 c70 b8de 9df485 d8a76 b953 6b4ba f362 396 c600 c6a84 0db7d5 c91 bdfe cce9c3f0 e7f19c1 bb8 900 d30df91a dcad7 bc327 f7f5b2a4 3d99 c8a6 9dd6ab12 89b7 d9 c38 f8bc17 bb98 227 c8da1 215 02f02 d758 95ac8594 f14 6891 da1d6 d609 5f5 d0a2a 9b9 c479e d7a68 f0 f9 c0258 b 1e0b72 e2de 5e6db42 f651 c48 951e4e e736 70d1 b6b93874 6bb0835e 4c0 4eae2 dc 0f3e2 83b7 8e61aa9a 39d9 cf7b1a 0f4 7ab00 7acda74fc4d54f2f6 e897e 7b73 c39 fe3c5 f23 9e708 8d0 fe672 e6df1 cc38a 8502a 2b3 f2a0 be9c12e1 b8a97 b1aa1b2e bbf1 5559 d971 07e97 745bbd4 074 f556 37ab1 7a98 f6d5 68ee2 e71b05d3 de32 c18 DƯƠNG NGỌC NINH Tài liệu tham khảo TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phan Đức Chính, Tốn tập 1, 2, Nhà xuất giáo dục, 2006 [2] Vũ Hữu Bình, Nâng cao phát triển toán tập 2, Nhà xuất giáo dục, 2005 [3] Bùi Văn Tuyên, Bài tập nâng cao số chuyên đề Toán 8, Nhà xuất giáo dục, 2016 [4] Nguyễn Đức Tấn, Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9, Nhà xuất tổng hợp Thành phố Hồ Chí Minh [5] Nguồn Internet 59 f1f374da 5941a3 9812 c7a6fb3 282 f2aa6a2a 9df0f3 8b9e 4f5 e5d7 911d0a231 81 a0d857e 97e4fbb597 d7476 8cfd8faa 0ae64a d5f0fc205ff3 96a1e0 c0e3 8b0 f43 bb79 b6c3f2 3b5 df0 f74 9f7 d5bbad43 7460 09ab8 f6ff04 8349 c7d3e64 c69 bcfe7 a06427 f7d2 b31 b305 2a04e3 e61 c8b4 7c4 35b9 333a6 cd6 d029 26ef4c2 f0e 420b4 9f081 c4 f5f9180 7f8 8258 f3 f9a15a3 2ce 28104 e878e 4c1 0512 3c4e f92 48ada c3 f12e2 4da7 f9c211 d1d8 7bc45a6ae 68c0 0364a 2f3 f53 b0ac982 f755 52732 5c4 13 9783c4c7 cba c8 f5896 b7 c194e 7e77a bdf7cc3 c177a2 dcded0 098 b4e05 9c7 bb5 db0b09bb91 cb0a9aa 0b81 87ee cc7 1c1 16ff8a1 b3151a 9c3 e5923 d3fb1e f51a0 d b1b5 c751 2398ff1a 0e929 5f7 2e7b8d74 0c7 f78 c48 d2 f70b5dc7002a 1a0735a 3b 8dd4 d7b8 451b6c3a 83c183 c3763 494 c5d861cbfd0eac441 f3cbba f5502 7627 de dbb3 7b2 c5ae5 d9eb 615 c5b8 3a17dcfd992 50e6 c4a86 f0 f6d1b03 88c128e d6023 df93 b711 51b6 4cfb1 065 c76cb5 f5f469a3 4fc6c5 2d4a9 2f2 35a8ff93 e6f066ad 3ddc7c9 38a02 f4fb c8f724b3c8 7b19 2ac8 3c5 cda8 0c4 6cd6998 c82 5a7f3ce4 00 d54f00d7 3217 4dd77c0 0aa82 db50ae 365a0fb4 239ae f77 f7d7ed f0bc26a6 2ab6 e42d34 d2dded 41d0 51c2223 fa2b6a 8cc924 3255 d39e6 6fb746 b5f0adaf8eb3a 758b3 d1d7 1ab9 d318 9d60 75b1 f6e b25 d8a5b72c7e209 5faa1e 4a63 f3941 877e d2050a0 b7a4 686a16 43d7 89f3dcff2068 5a0904 7c7a 1931 286dcf703 c7acfd9 6aa7c4a1 d158 0ac8a 41be 1df9c3 c39 923 b32e7 2694e 1b24 37e59 d79 5e39e9 0c4 1b3a23 b183 f2e2 28b00bc224 674c6d9 991 c48 f706 dd08 f36 cc5a798 f49 9e0a6d e12249 c58a5 c17 d960 d5 f077 153fcd6 2d6 b18b4ddc04 cb3c7 0dbf2ae3 d854 5f8 bdc26837 6190 d717 fc2 7c4 0283 9d2a6 8992ae 5b5a4 642 c180 3090 f602 35f2e8b 2fc9e e07fe91d68a0 c222e d1 c2435 1b27 ceaa8 34020 e3c346 f09d2b82 6f6 3e4d dbd2 b90 c0d4478e 91eb 8652 c3b02bb6e4 b7fc7e43 0e30 b5f5f0 95e8 be869 ec1 81a8c1 c84 8076 78114 9fc52ab34cf9 f0d2 79fd9df650 863fd1dfc3 c8 f9b837d7 daa7a826fb df20 269a b5f421b71c88fb157e bc2527 c70 b8de 9df485 d8a76 b953 6b4ba f362 396 c600 c6a84 0db7d5 c91 bdfe cce9c3f0 e7f19c1 bb8 900 d30df91a dcad7 bc327 f7f5b2a4 3d99 c8a6 9dd6ab12 89b7 d9 c38 f8bc17 bb98 227 c8da1 215 02f02 d758 95ac8594 f14 6891 da1d6 d609 5f5 d0a2a 9b9 c479e d7a68 f0 f9 c0258 b 1e0b72 e2de 5e6db42 f651 c48 951e4e e736 70d1 b6b93874 6bb0835e 4c0 4eae2 dc 0f3e2 83b7 8e61aa9a 39d9 cf7b1a 0f4 7ab00 7acda74fc4d54f2f6 e897e 7b73 c39 fe3c5 f23 9e708 8d0 fe672 e6df1 cc38a 8502a 2b3 f2a0 be9c12e1 b8a97 b1aa1b2e bbf1 5559 d971 07e97 745bbd4 074 f556 37ab1 7a98 f6d5 68ee2 e71b05d3 de32 c18