THÔNG TIN TÀI LIỆU
I Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài Bồi dưỡng học sinh giỏi nhiệm vụ quan trọng việc nâng cao chất lượng giáo dục, bồi dưỡng nhân tài cho trường THPT Chuyên Lam Sơn nói riêng, cho địa phương nói chung Bồi dưỡng học sinh giỏi cơng việc khó khăn lâu dài, địi hỏi nhiều cơng sức thầy trị Phần Hình học phẳng chương trình tốn chun sâu phần khó em học sinh Theo cấu trúc đề thi học sinh giỏi Quốc gia có có tới thuộc phần Hình học phẳng Các tốn loại mang tính tổng hợp trừu tượng hóa cao Vì nhiều học sinh học đến phần thường ngại, say mê, sáng tạo giảm Thời gian đầu tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi trường, thân tơi gặp nhiều khó khăn việc hướng dẫn học sinh giải toán phần Cực đối cực chủ đề quan trọng hình học phẳng Lý thuyết phần đơn giản lại có nhiều ứng dụng quan trọng Rất nhiều toán đề thi học sinh giỏi khu vực, quốc gia quốc tế giải nhờ sử dụng tính chất cực đối cực Điển hình tốn quan hệ song song, vng góc; tốn đồng quy, thẳng hàng, điểm đường cố định… Để giúp học sinh có say mê, tư sáng tạo việc học phần Hình học phẳng Tơi đọc tài liệu, nghiên cứu, phân tích, cải tiến cách dạy, tìm tịi thêm phương pháp giải tốn khác Đồng thời hệ thống hoá tập, trang bị cho em lượng kiến thức để em vận dụng làm tập cách khoa học hơn, sáng tạo Tạo hứng thú học tập đồng thời giúp em rèn luyện phương pháp giải tập loại tập mà cịn vận dụng cách tư cho loại tập khác Trong khuôn khổ đề tài “Vận dụng cực đối cực để giải số dạng tốn hình học phẳng bồi dưỡng học sinh giỏi tốn” tơi nêu số kỹ thuật để Học sinh giải tốn Hình học phẳng cách khoa học có tính sáng tạo Từ để em củng cố kiến thức, rèn luyện khả nghiên cứu khoa học, đồng thời trang bị thêm kiến thức nhằm chuẩn bị tốt cho kỳ thi học sinh Quốc gia Quốc tế 1.2 Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu tìm phương pháp dạy học phù hợp dành cho bồi dưỡng học sinh giỏi số nội dung phần Hình học phẳng Trường THPT Chuyên Lam Sơn 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu học sinh Chuyên Toán, Trường THPT Chuyên Lam Sơn 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu tài liệu phần Hình học phẳng, Phương pháp dạy học mơn Tốn có liên quan đến đề tài Sáng kiến kinh nghiệm Quan sát: Quan sát thực trạng bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn nói chung bồi dưỡng phần Hình học phẳng nói riêng Trường THPT Chuyên Lam Sơn skkn Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem xét tính khả thi hiệu việc vận dụng cực đối cực để giải số dạng tốn hình học phẳng bồi dưỡng học sinh giỏi toán Trường THPT Chuyên Lam Sơn II Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Trước hết, ta tìm hiểu nội dung cực đối cực 2.1.1 Đường đối cực điểm hai đường thẳng cắt a Hai điểm liên hợp với hai đường thẳng cắt Định nghĩa Hai điểm gọi liên hợp với hai đường thẳng cắt , đường thẳng cắt hai đường thẳng hai điểm , cho Nhận xét: Nếu có có hai điểm , liên hợp với hai đường thẳng cắt , b Đường đối cực điểm hai đường thẳng cắt Định lí Cho điểm không thuộc hai đường thẳng , Tập hợp điểm liên hợp với hai đường thẳng cho nằm đường thẳng qua Định nghĩa Đường thẳng Định lí nói gọi đường đối cực điểm hai đường thẳng , Oy Còn điểm gọi cực đường thẳng hai đường thẳng Nhận xét: - Muốn dựng đường đối cực điểm hai đường thẳng , Oy cho trước ta tìm hai điểm , phân biệt liên hợp với , Khi ta có đường đối cực ln qua - Qua ta dựng hai cát tuyến , cắt , cắt Gọi giao điểm đường đối cực 2.1.2 Đường đối cực điểm đường tròn a Đường tròn trực giao Định nghĩa Hai đường trịn Q có điểm chung Khi A góc hai đường trịn góc hai tiếp tuyến chúng N P Hai đường tròn gọi O2 O1 trực giao chúng có điểm chung M góc hai tiếp tuyến chúng Kí hiệu skkn Skkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toan Định lí Các mệnh đề sau tương đương i) ii) iii) iv) vi) v) đường kính (ta nói đường kính đường tròn bị đường tròn chia điều hòa) b Hai điểm liên hợp với đường tròn Định nghĩa Hai điểm gọi liên hợp với đường tròn , đường trịn đường kính trực giao với đường trịn Tính chất: Nếu đường thẳng cắt đường trịn hai điểm điều kiện cần đủ để liên hợp M O với đường tròn A N Nhận xét: Hai điểm , liên hợp B với đường trịn mà đường thẳng khơng cắt đường trịn c Đường đối cực điểm đường trịn Định lí Cho đường trịn điểm khơng trùng với tâm đường tròn Tập hợp điểm liên hợp đường tròn cho đường thẳng vng góc với Định nghĩa Đường thẳng m Định lí gọi đường đối cực điểm đường tròn Điểm gọi cực đường thẳng m đường trịn Vậy: Mỗi điểm khơng trùng đường trịn có đường đối cực xác định ngược lại đường thẳng khơng qua có điểm cực xác định đường tròn cho trước Nhận xét: + Quan hệ đối cực có tính đối xứng + Nếu hai điểm đối cực đường đối cực + Nếu m đường đối cực m + Mỗi đường thẳng khơng qua tâm đường trịn ln đường đối cực điểm Ta gọi điểm cực đường thẳng m d Một số cách xác định đường đối cực P Định lí Nếu nằm , kẻ tiếp tuyến O , đến ( tiếp điểm) M đường đối cực Q Skkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toan skkn Skkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toan m E Định lí Nếu nằm ngồi , từ kẻ hai cát tuyến Giả sử cắt , cắt Khi đường thẳng đường đối cực điểm đường tròn B P A F M O Q C D Định lí Nếu điểm nằm , từ m ta kẻ đường thẳng vng góc với cắt M' đường tròn Hai tiếp tuyến cắt Đường đối cực đối H với đường thẳng qua vuông góc với P M O Q m Định lí Nếu điểm nằm , vẽ hai dây qua Giả sử cắt , cắt Khi đường thẳng đường đối cực điểm đường tròn F D A M E O C B m Định lí Nếu nằm đường trịn cực tiếp tuyến đường đối M e Các tính chất cực đường đối cực đường tròn Ta thấy thuộc đường đối cực thuộc đường đối cực Từ ta có tính chất sau: Tính chất (Định lí LaHire) Điểm thuộc đường đối cực m điểm thuộc đường đối cực n O Tức Skkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toan skkn Skkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toan Chú ý: Hai đường thẳng m n Định lí LaHire gọi liên hợp với đường trịn Tính chất Ba điểm (khác tâm đường tròn xét cực đối cực) thẳng hàng ba đường đối cực chúng đồng quy đôi song song c b a A d c a b B O A C O B 2.1.3 Phép đối cực Định nghĩa Cho đường tròn hình gồm điểm đường thẳng Giả sử với điểm hình có đường đối cực đường tròn , đường thẳng hình có điểm cực Hình tập hợp đường thẳng (gồm đường đối cực điểm thuộc ) điểm (gồm cực đường thẳng thuộc ) Khi đó, ta nói có phép đối cực với đường trịn biến hình thành hình Như vậy, theo định nghĩa này, muốn chứng minh tính thẳng hàng điểm hình ta việc chứng minh tính đồng quy đường thẳng tương ứng hình Tính chất Phép đối cực bảo toàn tỉ số kép, nghĩa qua phép đối cực, chùm bốn đường thẳng đồng quy biến thành bốn điểm có tỉ số kép tỉ số kép chùm đường thẳng Hệ quả: Phép đối cực biến chùm đường thẳng điều hòa thành hàng điểm điều hòa ngược lại Như vậy, phép đối cực công cụ tương đối hiệu việc chuyển đổi hai dạng toán chứng minh đồng quy chứng minh thẳng hàng, chứng minh chùm đường thẳng điều hòa sang hàng điểm điều hòa ngược lại 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Khi bồi dưỡng học sinh giỏi phần Hình học phẳng học sinh lớp 10 lớp 11 chuyên toán trường THPT Chuyên Lam Sơn, giai đoạn đầu học phần này, học sinh thường gặp nhiều khó khăn để chiếm lĩnh tri thức Nhiều học sinh học đến phần cảm thấy rắc rối dẫn đến ngại Một số học sinh gặp toán mà em chưa có hướng giải, em hay bỏ ngay, khơng có tính kiên trì để tìm tịi cách giải, học sinh hay ỷ lại, chờ giáo viên chữa Thời gian đầu, thân tơi gặp nhiều khó khăn việc hướng dẫn học sinh giải tốn phần Điều thơi thúc tơi tìm hướng giải tốn với cơng cụ làm tiền đề sau Skkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toan skkn Skkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toan kết hợp với cơng cụ khác để hướng dẫn học sinh giải toán đặt 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề Qua nhiều băn khoăn trăn trở, tơi nghiên cứu, tìm tịi đưa cách vận dụng cực đối cực để giải số nội dung Hình học phẳng nhằm khắc phục vấn đề nêu 2.3.1 Hướng dẫn học sinh vận dụng cực đối cực để giải tốn chứng minh vng góc, song song Khi hướng dẫn học sinh vận dụng cực đối cực để giải tốn chứng minh vng góc, song song, ta cần nhấn mạnh nội dung kiến thức hay sử dụng là: Cho đường tròn điểm khác Đường đối cực đường trịn vng góc với Sau số ví dụ minh họa Ví dụ Cho tam giác tâm đường tròn ngoại tiếp Các đường thẳng cắt đường tròn điểm thứ hai Gọi giao điểm Chứng minh đường trịn tiếp xúc với có tâm trực giao với đường trịn đường kính Giải Gọi tâm đường trịn A tiếp xúc với có tâm Xét cực đối cực với đường trịn ta có O I C1 B1 D B C Mà nên Tương tự, Suy Từ suy thuộc đường đối cực đường tròn Vậy đường tròn tiếp xúc với có tâm trực giao với đường trịn đường kính Ví dụ Cho tam giác điểm cạnh cho Đường tròn qua cắt cắt , trung điểm Chứng minh Giải Bổ đề Cho tứ giác toàn phần Qua kẻ đường thẳng song song với cắt Khi thẳng hàng đường thẳng qua chúng song song với Skkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toan skkn Skkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toan Nhận xét Cho hai tam giác đồng quy Khi và có đường thẳng N Áp dụng nhận xét cho cặp tam giác ta suy đường thẳng song song với Do thẳng hàng đường thẳng qua chúng song song với E B Trở lại toán: Qua kẻ G A Gọi Q C F D P giao điểm Xét tứ giác toàn phần , theo bổ đề ta có thẳng hàng đường H thẳng qua chúng song song với Vì đường chéo hình bình hành nên qua trung điểm đường trung bình tam giác nên Suy thẳng hàng O Mặt khác, đường đối cực B , Suy M A K M G F DJ N I C Ví dụ Cho tam giác với phân giác cắt Lấy điểm cho Lấy điểm cho cắt Gọi trực tâm tam giác Chứng minh Giải K Bổ đề Cho tam giác đường tròn nội tiếp trực tâm tam giác Chứng minh đường đối cực A đường trung bình ứng với L tam giác S Chứng minh Gọi hình chiếu lên đường R Q trung bình ứng với tam giác I Gọi tiếp xúc với B C Skkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toan skkn Skkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toan Dễ thấy tam giác Từ Mặt khác vng tại Từ tứ giác Vậy đường đối cực nên nội tiếp Vậy liên hợp Tương tự liên hợp Vậy đường đối cực Trở lại toán: K Dễ thấy điểm nằm đường trịn A đường kính Áp dụng định L lý Pascal cho suy S E N đồng quy Tương R tự đồng quy F Q P Từ theo đề bốn M T I đường thẳng đồng quy Chú ý B C cực theo bổ đề cực Từ suy cực Vậy Nhận xét Bổ đề tính chất tiếng cực đối cực Trong tốn này, khơng vng góc với mà cịn đối cực Ví dụ Cho tam giác có tâm đường trịn nội tiếp tiếp điểm , trung điểm , trực tâm tam giác Chứng minh Giải Gọi trung điểm B , tiếp xúc với Gọi giao điểm Ta có (vì F ) cân I vng tứ giác L nội tiếp A Q E C K Skkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toan skkn Skkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toan thẳng hàng Xét cực đối cực với đường trịn Khi thuộc đường đối cực đường tròn nên thuộc đường đối cực Mà nên đường đối cực Suy , mà qua vng góc với nên đường đối cực Mặt khác, thuộc đường đối cực nên đường đối cực Do Ví dụ Cho tam giác nội tiếp đường trịn đường kính Đường trịn tiếp xúc với tiếp xúc với Đường trung trực cắt tiếp tuyến tại Điểm đối xứng với qua Đường trung trực cắt cắt khác cắt Lấy điểm đường trung trực cho Chứng minh Giải Bổ đề Đường tròn tiếp xúc với Chứng minh Tiếp tuyến cắt cắt tiếp xúc với Do giao điểm với đồng quy nên tứ giác điều hòa, suy tiếp tuyến cắt điểm A L E Z R P O T F K C Y X B S D Do nên Vì nên thuộc trục đẳng phương , suy thẳng hàng Từ Skkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toan skkn Skkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toan nên tứ giác điều hòa, suy tiếp tuyến cắt hay tiếp xúc với Gọi giao điểm khác tiếp xúc với Theo định lý Newton, đồng quy hay qua Do đối xứng với qua hay tiếp xúc Trở lại toán: A R L E P I K G Y B N S D J xứng với C V H U T O M Q F X đẳng giác nên đối xứng với qua điểm đối xứng qua qua Vậy , cắt đối , cắt khác cắt giao điểm với Do tứ giác điều hòa nên Gọi giao điểm với Do qua trung điểm Do đường đối trung nên đẳng giác với Mặt khác, đối xứng qua nên qua Áp dụng định lý Pascal cho hệ điểm suy đồng quy hay qua Vì tứ giác điều hịa nên suy nên đồng quy Gọi giao điểm tiếp tuyến đường tròn Xét cực đối cực với đường trịn Ta có có cực điểm nên thẳng hàng Mặt khác theo định lý tâm đẳng phương tiếp tuyến đường tròn trục đẳng phương đồng quy Vậy trục đẳng phương nên Skkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toan 10 skkn Skkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toan 2.3.2 Hướng dẫn học sinh vận dụng cực đối cực để giải tốn chứng minh thẳng hàng, đồng quy Ví dụ Cho tam giác khơng cân, đường trịn nội tiếp tam giác tiếp xúc với Đường tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc với Chứng minh đồng quy Giải Z Y A E M F N I P O X B D C Gọi tâm đường tròn nội tiếp tam giác Gọi giao điểm cặp đường thẳng , , Theo kết trước, thẳng hàng Hơn nữa, đồng quy nên Do thuộc đường đối cực Mặt khác thuộc đường đối cực nên đường đối cực Tương tự, ta có đường đối cực Mà thẳng hàng nên ba đường thẳng đồng quy Ví dụ Cho tam giác ngoại tiếp đường tròn Tiếp điểm Trên đường thẳng lấy điểm cho Chứng minh đồng quy Giải Xét cực đối cực đường trịn Hạ vng góc với Gọi giao điểm Ta chứng minh thẳng hàng Ta thấy đường đối cực phải qua vng góc với mà nên suy đường đối cực Mà thuộc đường đối cực nên suy đường đối cực Tương tự, đường đối cực Suy đường đối cực Skkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toan 11 skkn Skkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toan N A E P S F I Q B M Mặt khác, C D (tứ giác nội tiếp), (góc tạo tiếp tuyến dây cung) nên hay Khi thẳng hàng Ví dụ Cho tam giác nhọn , nội tiếp đường tròn Các đường cao cắt Gọi trung điểm Các tiếp tuyến với đường tròn cắt Chứng minh đồng quy Giải Gọi Tứ giác nội tiếp đường tròn A Q I F M P B E N H O D K C J Skkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toan 12 skkn Skkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toan Ta có đường đối cực đường trịn Lại có suy tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính Khi , suy thẳng hàng Gọi giao điểm , giao điểm Ta có tứ giác nội tiếp Mặt khác Từ suy tứ giác nội tiếp Khi tứ giác nội tiếp Hơn nữa, thẳng hàng Vậy đồng quy Ví dụ Cho tam giác nhọn khơng cân có đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác Gọi giao điểm trục đẳng phương với Giả sử tiếp điểm không nằm tiếp tuyến kẻ từ đến Các điểm xác định tương tự Chứng minh a Các đường thẳng đồng quy; b Tâm đẳng phương đường tròn ngoại tiếp tam giác nằm đường thẳng Giải B1 A E A2 F I B2 A1 B O C2 D C C1 a Xét cực đối cực với đường tròn đường đối cực Dễ thấy Skkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toan 13 skkn Skkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toan Mà thẳng hàng nên đồng quy Từ theo định lý Ceva dạng lượng giác tam giác ta suy Hơn ta lại có Tương tự Từ suy hay quy b Bổ đề Cho hai đường tròn tròn đồng cắt hai điểm Đường tiếp xúc với Từ kẻ tiếp tuyến đến Chứng minh đồng quy E A O1 P F O2 Q O3 M N B Chứng minh Gọi giao điểm , Bài toán tương đương với chứng minh tứ giác giao điểm nội tiếp Ta có Do với suy (vì ) Hơn nơi tiếp nên nội tiếp Trở lại toán Gọi giao điểm Do lượt đường đối cực nên đường đối cực qua trục đẳng phương hai đường trịn Do hàng lần thẳng Skkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toan 14 skkn Skkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toan Ta có nên tiếp tuyến đường tròn tiếp xúc Tương tự ta có xúc với đường trịn Theo bổ đề trên, trục đẳng phương , Do tiếp qua nên tâm đẳng phương ba đường tròn , Ta có điều phải chứng minh Ví dụ (VMO 2012) Cho tứ giác lồi nội tiếp đường tròn tâm có cặp cạnh đối khơng song song Gọi tương ứng giao điểm đường thẳng , Gọi giao điểm đường phân giác , , , Giả sử bốn điểm đôi phân biệt a Chứng minh tứ giác nội tiếp Gọi tâm đường trịn b Gọi giao điểm Chứng minh thẳng hàng Giải P S N T I Q A B E M C O D a Xét ta có Do ta cần chứng minh điều hiển nhiên b Ta có tâm đường trịn bàng tiếp tam giác nên chúng nằm đường phân giác hay Mà Skkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toan 15 skkn Skkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toan thẳng hàng Hơn nữa, tứ giác , suy nội tiếp Khi tự với điểm , ta suy Tương trục đẳng phương hay Mặt khác đường đối cực suy thẳng hàng nên Từ 2.3.3 Hướng dẫn học sinh vận dụng cực đối cực để giải toán chứng minh đường thẳng qua điểm cố định Đường đối cực điểm đường tròn cho trước tập hợp điểm liên hợp điều hịa với điểm Do khai thác tính chất cực đối cực để giải tốn tìm điểm cố định qua ví dụ cụ thể Ví dụ Cho góc cố định điểm cố định nằm tia Đường tròn thay đổi tiếp xúc với hai tia Gọi tiếp điểm Từ kẻ tiếp tuyến tới ( tiếp điểm, khác ) cắt Gọi đường thẳng qua vng góc với Chứng minh di động ln qua điểm cố định Giải Xét cực đối cực , cắt , suy đường đối cực qua Đường đối cực x A B E D I y O C F Đường đối cực đường thẳng qua , suy đường đối cực qua Khi đường đối cực , suy Mà phân giác góc nên cố định Vậy qua điểm cố định Skkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toan 16 skkn Skkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toan Ví dụ Cho hai đường trịn Điểm chạy Đường thẳng qua song song với , cắt cắt Chứng minh đường thẳng qua điểm cố định Giải Gọi giao điểm ; trục đẳng phương ; tâm đường tròn A C M O S O1 O2 D B Ta có suy tiếp xúc với Suy Suy tiếp xúc với Hơn nữa, cực đường trịn nên Ví dụ Cho đường tròn tiếp xúc với hai điểm , cố định Kết hợp với cố định nằm cho không thẳng hàng Xét điểm nằm đường trịn , khơng trùng với Dựng đường tròn qua tiếp xúc với đường thẳng ; dựng đường tròn qua tiếp xúc với đường thẳng Hai đường tròn cắt điểm thứ hai khác Chứng minh rằng: a ; b Đường thẳng qua điểm cố định điểm di động cho không trùng với Giải a Ta thấy Tương tự Suy hình bình hành nên qua trung điểm đoạn Mà qua trung điểm nên Skkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toan 17 skkn Skkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toan Lại có , từ C O1 D S O2 M O B A O3 I b Ta có Suy tứ giác nội tiếp Gọi đường tròn ngoại tiếp tứ giác Ta thấy tiếp tuyến trục đẳng phương cặp đường tròn , , Do ba đường thẳng nói đồng quy tai điểm Xét cực đối cực Đường đối cực phải qua vng góc với nên đường đối cực Vì thuộc nên qua cực đường thẳng điểm cố định Nhận xét Ta giải toán theo hướng sau: Gọi giao điểm hai tiếp tuyến đường tròn , suy cố định Dễ thấy điểm nằm đường tròn nên thẳng hàng Skkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toan 18 skkn Skkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toan 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Với cương vị người giao nhiệm vụ bồi dưỡng Học sinh giỏi mơn Tốn, sau triển khai nội dung Sáng kiến kinh nghiệm vào dạy cho học sinh đội tuyển lớp 12 chuyên Toán đội tuyển trường THPT Chuyên Lam Sơn, thu kết đáng khích lệ Trước hết, em khơng cịn thấy “ngại” gặp Hình học phẳng Khơng vậy, em hào hứng muốn “chinh phục” dạng toán Kết làm toán Hình học phẳng học sinh lần kiểm tra, đánh giá nhà trường, lần thi chọn đội tuyển trường, tỉnh ngày cao Trong lần thi chọn đội tuyển Trường Tỉnh đa số học sinh tiếp cận với tốn Hình học phẳng làm trọn vẹn loại toán Các học sinh tham dự kỳ thi chọn học sinh giỏi Quốc gia năm học 2021 - 2022 làm từ 1,5 đến hình học phẳng Kết góp phần đưa đội tuyển trường đạt giải với giải Nhì, giải Ba, giải khuyến khích Đặc biệt có học sinh tham dự Kỳ thi chọn đội tuyển quốc gia dự thi Olympic quốc tế Trong kỳ thi em làm phần hình học phẳng đặc biệt xuất sắc góp phần làm nên thành cơng lớn có học sinh lọt vào đội tuyển quốc gia dự thi Olympic quốc tế IMO (đứng thứ học sinh suất sắc nước) Sáng kiến kinh nghiệm tiếp tục vận dụng để dạy cho đội tuyển Học sinh giỏi trường, hứa hẹn góp phần đem lại thành công cho nhà trường cho tỉnh nhà kỳ thi Học sinh giỏi khu vực, cấp Quốc gia Quốc tế năm học III Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận Bồi dưỡng học sinh giỏi là nhiệm vụ trị quan trọng trường trung học phổ thông Chuyên Lam Sơn nói riêng ngành giáo dục nói chung Phần Hình học phẳng chương trình tốn học phổ thơng phần khó em học sinh Các tốn loại mang tính tổng hợp khái quát hóa cao Tuy nhiên học sinh qua ngưỡng “ngại” em hứng thú với nội dung Skkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toan 19 skkn Skkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toan Skkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toanSkkn.van.dung.cuc.va.doi.cuc.de.giai.quyet.mot.so.dang.toan.hinh.hoc.phang.trong.boi.duong.hoc.sinh.gioi.toan
Ngày đăng: 27/12/2023, 02:48
Xem thêm: