Skkn nâng cao hiệu quả giải bài toán tính góc giữa hai mặt phẳng – hình học lớp 11 thông qua một số kỹ năng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT HẬU LỘC ************** SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NÂNG CAO HIỆU QUẢ GIẢI BÀI TỐN TÍNH GĨC GIỮA HAI MẶT PHẲNG-HÌNH HỌC LỚP 11-THƠNG QUA MỘT SỐ KỸ NĂNG Người thực hiện: Lê Thanh Tâm Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HỐ NĂM 2022 skkn MỤC LỤC Mục lục I.Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu II Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Kỹ 1: Sử dụng định nghĩa góc hai mặt phẳng 2.3.2 Kỹ 2: Dựng góc hai mặt phẳng cắt theo giao tuyến 2.3.3 Kỹ 3: Sử dụng khoảng cách để tính góc 2.3.4 Kỹ 4: Sử dụng cơng thức diện tích hình chiếu đa giác 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận 3.2 Kiến nghị Tài liệu tham khảo Danh mục đề tài sáng kiến kinh nghiệm hội đồng đánh giá xếp loại cấp phòng GD & ĐT, cấp Sở GD & ĐT cấp cao xếp loại từ C trở lên Trang 2 3 3 4 12 14 16 17 17 17 18 19 skkn I Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài : Mục đích việc dạy học trang bị cho người học kỹ cần thiết, tư duy, nhân cách, phẩm chất đạo đức Đào tạo hệ trẻ có đủ phẩm chất đạo đức, lực cơng tác thích ứng với sống, giáo dục phát triển tồn diện trí thể mĩ Đào tạo nguồn nhân lực có đủ trình độ chun mơn nghiệp vụ phục vụ đắc lực cho nghiệp Công nghiệp hoá - Hiện đại hoá đất nước, phù hợp với phát triển kinh tế toàn cầu, thời đại phát triển công nghệ thông tin Trong công đổi toàn diện giáo dục nước nhà, đổi phương pháp dạy học nhiệm vụ quan trọng hàng đầu Một điểm đổi phương pháp dạy học coi trọng việc lấy học sinh làm trung tâm, người thầy đóng vai trị người giúp em hướng, giúp em tiếp thu kiến thức cách chủ động, sáng tạo Chính vậy, việc định hướng phương pháp tư duy, giúp đỡ, động viên em q trình giải vấn đề khó mơn tốn cần thiết Trong phương pháp dạy học tích cực, tơi nhận thấy phương pháp dạy học “Phát giải vấn đề” phù hợp với cơng tác giảng dạy mơn Tốn nói chung dạy học giải tập tốn nói riêng trường phổ thông.Tuy nhiên để phương pháp thành cơng ngồi lực chun mơn lực sư phạm đòi hỏi người giáo viên phải dành nhiều thời gian tâm huyết xây dựng giảng thu hút học trò, dẫn dắt học trò tới niềm say mê tìm tịi sáng tạo Để có giảng tạo hứng thú học tập, phát triển tư sáng tạo tích cực cho học trị, giáo viên phải trăn trở với khó khăn học trị q trình tiếp cận chủ đề, tốn, đặc biệt mảng kiến thức khó Hình học khơng gian mảng kiến thức tương đối khó học sinh Để học tốt hình học khơng gian, học sinh phải có tư trừu tượng, khái quát, suy luận logic Trong trình học hình khơng gian học sinh phải nắm vững quy trình, kỹ dạng tốn khơng thấy mơ hồ Bài tốn tính góc hai mặt phẳng không gian lớp 11 tốn thường xuất kì thi lại tốn khó Nhiều học sinh đứng trước tốn tính góc hai mặt phẳng số toán mà giả thiết cho góc hai mặt phẳng khơng biết định hướng phương pháp giải nào, tạo nên tâm lý ''sợ'' hình khơng gian Vì vậy, theo tơi việc giáo viên giúp em thành thạo kỹ tính góc hai mặt phẳng cần thiết Nên chọn đề tài “Nâng cao hiệu giải tốn tính góc hai mặt phẳng – Hình học lớp 11- thơng qua số kỹ năng” để nghiên cứu 1.2 Mục đích nghiên cứu : Mục đích nghiên cứu đề tài nhằm giúp em học sinh làm tốt tốn tính góc hai mặt phẳng, nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy mảng kiến skkn thức hình học khơng gian lớp 11, thi tốt nghiệp THPT thi đánh giá lực trường Đại học Góp phần làm cho em thấy hay, đẹp môn tốn, từ u thích học tốn 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài nghiên cứu kỹ tính góc hai mặt phẳng chương trình hình học lớp 11.Từ giúp học sinh biết định hướng giải toán xác định tính góc hai mặt phẳng Tạo tiền đề vững cho em học tốt hình học lớp 12 tự tin kỳ thi tốt nghiệp THPT 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết - Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin - Phương pháp thống kê, xử lí số liệu II Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Để thực đề tài tác giả dựa sở lý thuyết sau : a) Định nghĩa góc hai mặt phẳng : Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng b) Cách xác định góc hai mặt phẳng cắt :Giả sử hai mặt phẳng cắt theo giao tuyến Từ điểm đường thẳng ta dựng đường thẳng vng góc với dựng đường thẳng vng góc với Khi góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng c) Cơng thức diện tích hình chiếu đa giác: Cho đa giác H nằm mặt phẳng có diện tích H’ đa giác hình chiếu H mặt phẳng Khi diện tích H’ tính theo cơng thức: Trong góc d) Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trường THPT Hậu Lộc đóng địa bàn sáu xã vùng đồi huyện Hậu Lộc, kinh tế cịn nhiều khó khăn, trình độ dân trí cịn thấp, chất lượng đầu vào thấp huyện, tỷ lệ học sinh giỏi ít, đa phần học sinh có học lực trung bình Do việc tiếp thu kiến thức khó em gặp nhiều khó khăn Học tốn khó, học hình khơng gian khó Gần đây, với cấu trúc đề thi THPT Quốc Gia, câu hình đa phần hình khơng gian cổ điển hình tọa độ khơng gian Học sinh khơng nắm vững kiến thức kỹ hình khơng gian lớp 11 giải tốn Rất nhiều học sinh có tâm lý “sợ” hình khơng gian, thấy câu hình khơng gian khoanh bừa skkn Do đó, giáo viên cần tìm biện pháp để giúp đỡ em học sinh khỏi nỗi sợ mang tên “hình khơng gian” Giúp em tự tin giải toán từ dễ đến khó, làm cho em đam mê học tập đạt hiệu cao 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề Trong trình giảng dạy góc hai mặt phẳng khơng gian cho học sinh lớp 11, tác giả tổng hợp số kỹ để giải tốn tìm góc hai mặt phẳng Các kỹ giúp học sinh lớp 11 dễ dàng việc giải tốn tính góc hai mặt phẳng không gian 2.3.1 Kỹ 1: Sử dụng định nghĩa góc hai mặt phẳng Để tìm góc hai mặt phẳng ta tìm hai đường thẳng cắt vng góc với hai mặt phẳng Khi góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng Ví dụ 1: Cho hình chóp có đáy hình chữ nhật , Cạnh bên vng góc với đáy , hình chiếu lên cạnh Tính góc hai mặt phẳng A B C D Lời giải Chọn D S K H A D a B Tứ giác 2a C hình chữ nhật nên Từ (1) (2) suy Tương tự Từ (3) (4) suy Ta lại có Suy góc hai mặt phẳng thẳng , góc Áp dụng định lí Pitago tam giác vng góc hai đường , ta có: skkn Tam giác vng cân , suy Vậy góc hai mặt phẳng Ví dụ 2: Cho hình chóp có đáy hình chữ nhật , Cạnh bên vng góc với đáy , Tính cosin góc A B C D [1] Lời giải Chọn B S K a H A D a O B C 2a Gọi H, K hình chiếu A lên SB SD, ta chứng minh , suy góc hai mặt phẳng góc góc Áp dụng hệ thức lượng hai tam giác vng SAB SAD, ta có : ; ; Áp dụng hệ định lý cosin cho hai tam giác có chung góc : Áp dụng hàm số cosin cho : skkn Ví dụ 3: Cho hình chóp có Hình chiếu vng góc Góc hai mặt phẳng A B vng góc với đáy, lên đoạn và D C Lời giải [2] Chọn A S N M C A B Kẻ đường kính D đường trịn ngoại tiếp Ta có nên hay Chứng minh tương tự ta , mà Suy Ta có Vậy hay Nhận xét : Ưu điểm kỹ cần tìm chứng minh hai đường thẳng vuông góc với hai mặt phẳng ta tính góc hai mặt phẳng 2.3.2 Kỹ 2: Dựng góc hai mặt phẳng cắt theo giao tuyến Tìm hai đường thẳng thuộc hai mặt phẳng vng góc với giao tuyến điểm Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vừa tìm Ví dụ 4: Cho hình chóp có tam giác vng cân , , , Góc hai mặt phẳng A B C D [1] Lời giải Chọn D skkn S A C B Ta có Do nên góc hai mặt phẳng Ta có Vậy góc hai mặt phẳng Nhận xét : Khi tìm hai đường thẳng , số toán nhận biết ví dụ có sẵn cịn hầu hết toán ta phải dựng chúng Sau số trường hợp thường gặp: A Trường hợp 1: Hai tam giác cân chung đáy Giả sử có hai tam giác cân chung cạnh B D đáy Gọi trung điểm Khi ta có : nên góc hai mặt phẳng H góc hai đường thẳng C Ví dụ 5: Cho tứ diện có tất cạnh Tính cosin góc hai mặt phẳng A B C D [2] Lời giải Chọn A A D B E C skkn Gọi trung điểm Có Do Áp tứ diện cạnh dụng định lý nên côsin cho tam giác ta có: Gọi góc hai mặt phẳng Suy Trường hợp 2: Hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song : Nếu hai mặt phẳng có điểm chung chứa hai đường thẳng song song với để dựng góc hai mặt phẳng ta làm sau: d' + Trong mặt phẳng , hạ H S + Trong mặt phẳng , hạ K Q + Khi góc hai mặt phẳng d góc hai đường thẳng P Ví dụ : Cho hình chóp có , , tam giác vuông cân đỉnh Gọi , trung điểm , Cơsin góc tạo hai mặt phẳng A B C D [2] Lời giải Chọn D S N I M x A C K B Gọi , trung điểm skkn trung điểm Ta có cân cân Do góc hai mặt phẳng , góc góc hai đường thẳng bù với góc vng có đường trung tuyến nên vng có đường trung tuyến nên Xét có Trường hợp 3: Tồn đường thẳng vng góc với giao tuyến hai mặt phẳng khơng nằm hai mặt phẳng Nếu tồn đường thẳng thỏa mãn , ta dựng góc sau : P A + Tìm giao điểm + Hạ Khi , ta có: c Q B H Suy góc góc Ví dụ 7: Cho hình hộp đứng có đáy hình vng cạnh , cạnh bên Gọi góc Tính A B C D [1] Lời giải Chọn C skkn Ta có Do Kẻ Suy Ta có Xét có Ta có Tương tự ta có Xét có Vậy Trường hợp 4: Trên mặt phẳng có điểm mặt phẳng điểm Nếu mặt phẳng có điểm có hình chiếu xuống mặt phẳng điểm Ta dựng góc sau: + Xác định giao tuyến hai mặt phẳng + Dựng vng góc với + Ta có : Lại có Từ suy có hình chiếu xuống A P c A' Q H 10 skkn Vậy góc hai mặt phẳng góc Ví dụ 8: Cho hình chóp có đáy hình chữ nhật, , Gọi góc hai mặt phẳng Giá trị A B C D , , [2] Lời giải Chọn D S A B H D Theo Trong mặt C phẳng , hạ với , Suy Xét vng ta có Xét vng ta có Nhận xét: Trường hợp thực chất trường hợp nhỏ trường hợp trình giảng dạy tác giả đưa thành hai trường hợp : 1) Đối với học sinh trung bình , yếu tách thành hai trường hợp khác cho học sinh dễ thực hành 2) Đối với học sinh , giỏi sở để giáo viên dẫn dắt học sinh đến với kỹ dùng khoảng cách tính góc sau cách tự nhiên dễ hiểu : Giả sử mặt phẳng có điểm có hình chiếu xuống mặt phẳng điểm ; hạ vng góc với góc hai mặt phẳng góc Tuy nhiên số tốn, việc xác định xác vị trí hình chiếu điểm lại gặp nhiều khó khăn.Giải pháp 11 skkn cho vấn đề ta giả sử dựng góc ,ta có: , Khi đó, tam giác Do 2.3.3 Kỹ 3: Sử dụng khoảng cách để tính góc + Xác định giao tuyến hai mặt phẳng + Chọn điểm cho tính + Gọi góc hai mặt phẳng Ta có: Ví dụ 9: Cho hình chóp cạnh có đáy Khoảng cách từ góc hai mặt phẳng A B hình bình hành, tam giác đến mặt phẳng Tính sin C D [1] Lời giải Chọn D S N H A B Gọi Vì Gọi đều) Do Ta có: hình chiếu D C nên trung điểm Suy góc hai mặt phẳng (do tam giác 12 skkn Ví dụ 10: Cho hình lập phương ABCD ABC D cạnh a Tính sin  với  góc hai mặt phẳng  ABD   BAC  A sin   2 B sin   C sin   D sin   [2] Lời giải Chọn A Gọi I  AC   BD, K  AB  AB Khi đó, IK   ABD    BAC  Ta có, sin   d  A,  ABD   d  A, IK  Vì IK  AI  AK  a nên tam giác AIK a Gọi H hình chiếu A  ABD  Khi đó, d  A,  ABD    AH Gọi E trung điểm IK  d  A, IK   AE  1 1 1 a         AH  2 2 AH AA AB AD a a a a a d  A,  ABD   2   Vì vậy, sin   d  A, IK  a Ta có Nhận xét : Kỹ sử dụng khoảng cách để tính góc thường áp dụng cho lớp toán vận dụng Kỹ giúp giải hai vấn đề: + Giúp có hướng giải cho tốn mà việc dựng góc rắc rối, đồng thời không sử dụng định nghĩa + Với ưu chuyển điểm, ta tính khoảng cách từ điểm ta chọn đến mặt phẳng dễ dàng mà khơng cần tìm hình chiếu điểm lên mặt phẳng 2.3.4 Kỹ 4: Sử dụng cơng thức diện tích hình chiếu đa giác 13 skkn Cho đa giác H nằm mặt phẳng có diện tích H’ đa giác hình chiếu H mặt phẳng Khi diện tích H’ tính theo cơng thức Trong góc Ví dụ 11:Trong mặt phẳng  P  , cho tam giác ABC cạnh a Trên đường thẳng vuông góc với  P  B C , lấy phía với mp  P  điểm D , E cho BD  Tính cos  a , CE  a Gọi  góc hai mặt phẳng  P   ADE  A cos   37 259 14 37 B cos   C cos   D cos   37 37 37 [1] Lời giải Chọn D E F D A C B 2 Ta có: AD  AB  BD  2a , AE  AC  CE  2a Kẻ DF song song với BC , cắt CE F Khi FE  CE  CF  2a a  DE  DF  FE  3 AD  AE  DE 3 37    sin DAE  AD AE 8 a 37   Ta có diện tích tam giác ADE bằng: dtADE  AD AE.sin DAE  Xét tam giác ADE , có: cos DAE  a Diện tích tam giác ABC cạnh a bằng: dtABC  Vậy, cos   dtABC a a 37 37  :  dt ADE 37 Ví dụ 12 : Cho hình chóp có tất cạnh trung điểm Tính góc hai mặt phẳng A B C D Gọi [2] 14 skkn Lời giải S M B C M' O A D Chọn C Gọi trung điểm Theo cơng thức diện tích hình chiếu, ta có Ví dụ 13: Cho hình lăng trụ đứng Gọi trung điểm cạnh A có Cơsin góc hai mặt phẳng B C D [1] Lời giải Chọn D C' B' A' I B C A Gọi góc hai mặt phẳng Vì vng điểm Hình chiếu vng góc lên mặt phẳng 15 skkn Ta có 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường a) Đối với hoạt động giảng dạy thân đồng nghiệp Đề tài thân áp dụng thành công lớp 11B2(năm học 2018- 2019), 11C1(năm học 2021- 2022), đồng nghiệp đánh giá có ứng dụng thực tiễn cao công tác giảng dạy Vận dụng đề tài vào giảng dạy góp phần nâng cao chất lượng dạy, tạo hứng thú cho người học, giúp em học sinh khơng cịn tâm lý sợ hình khơng gian Đề tài giáo viên tổ toán- tin áp dụng giảng dạy lớp phụ trách đem lại kết tương đối khách quan Qua hoạt động sinh hoạt tổ chuyên môn đúc rút kinh nghiệp giúp thân đồng nghiệp trao dồi kiến thức kỹ năng, học tập kinh nghiệm lẫn để tiến Từ ngày nâng cao chất lượng giáo dục giảng dạy nhà trường, góp phần nhỏ tạo nên chất lượng giáo dục toàn ngành b) Đối với học sinh : Đề tài có tính hiệu thực tiễn cao công tác dạy học học sinh lớp 11, học sinh ôn thi tốt nghiệp THPT thi đánh giá lực Trang bị cho em kỹ để xác định tính góc hai mặt phẳng Các em khơng cịn sợ tốn hình khơng gian, hình thành cho em niềm đam mê học tập, chủ động tiếp thu hình thành hướng tư giải tốn hình học khơng gian tốn học nói chung Áp dụng đề tài vào thực tiễn thu kết hoàn toàn khả quan Kết kiểm tra 15 phút toán lớp 11C6 (năm học 2017-2018 ), 11B2 (năm học 2018-2019), 11C1(năm học 20121-2022) Trước áp dụng sáng kiến : Năm học 2017 - 2018 Loại Loại giỏi Loại Đối tượng Không áp dụng lớp 11 C6 12% 20% Loại trung bình 48% Loại yếu 20% Sau áp dụng sáng kiến: Năm học 2018 - 2019 Loại Đối tượng Áp dụng lớp 11 B2 Loại giỏi 28% Loại 35% Loại trung bình 32% Loại yếu 5% Năm học 2021 - 2022 16 skkn Loại Đối tượng Áp dụng lớp 11 C1 Loại giỏi 30% Loại 45 % Loại trung bình 25% Loại yếu 0% III Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận : Trong dạy học giải tập tốn nói chung giải tập tốn tính góc hai mặt phẳng nói riêng, việc xây dựng tập toán riêng lẻ thành hệ thống theo trình tự lơgic có đặt phương pháp quy trình giải toán giúp cho học sinh dễ dàng tiếp cận với nội dung học, đồng thời phát triển tư học toán tạo niềm tin hứng thú học toán Trong đề tài hệ thống tập theo kỹ năng, đồng thời có hệ thống tập nhà yêu cầu học sinh giải nhiều kỹ khác Đề tài áp dụng đạt kết tương đối tốt, áp dụng cho tất đối tượng học sinh Đề tài áp dụng rộng rãi cho học sinh ơn thi tốt nghiệp THPT quốc gia Đề tài nghiên cứu bổ sung tiếp để trở thành tài liệu tham khảo hữu ích cho học sinh đồng nghiệp 3.2 Kiến nghị : Kính mong Sở giáo dục đào tạo tiếp tục phát triển nhân rộng đề tài có ứng dụng thực tiễn cao cách viết thành sách tham khảo trang web cho giáo viên học sinh tham khảo Đề tài khơng tránh khỏi thiếu xót, để hồn thiện hơn, tơi mong góp ý chân thành đồng nghiệp / XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 28 tháng năm 2022 ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Tác giả Lê Thanh Tâm TÀI LIỆU THAM KHẢO : [1] : Đề thi thử THPT trường nước [2] : Nguồn mạng internet 17 skkn DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Lê Thanh Tâm Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên - Trường THPT Hậu Lộc TT Tên đề tài SKKN Cấp Kết Năm học đánh đánh giá đánh giá giá xếp loại 18 skkn xếp loại Tách ghép bất đẳng thức Cấp Sở Côsi Tạo hứng thú học tập khắc sâu kiến thức thông qua “Bẫy” Cấp Sở tốn Xây dựng hệ thống cơng thức giải nhanh trắc nghiêm toán Cấp Sở chương I Giải tích 12 xếp loại C 2010-2011 C 2012-2013 C 2016-2017 19 skkn