Skkn phương pháp song trục giải nhanh bài toán trắc nghiệm hàm hợp liên quan đến đồ thị hàm số

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT HOẰNG HÓA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHƯƠNG PHÁP SONG TRỤC GIẢI NHANH BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM HÀM HỢP LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ HÀM SỐ Họ tên: Nguyễn Thị Sâm Lĩnh vực: Toán học Đơn vị: Trường THPT Hoằng Hóa THANH HĨA, NĂM 2022 skkn MỤC LỤC MỞ ĐẦU .1 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.5 Những điểm SKKN .1 NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận .2 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Phương pháp song trục giải nhanh toán trắc nghiệm hàm hợp liên quan đến đồ thị hàm số .3 Dạng toán 1: Bài toán cho xét đơn điệu, cực trị hàm (thuận bậc nhất) Dạng toán 2: Bài toán cho xét đơn điệu, cực trị hàm (thuận bậc hai) Dạng toán 3: Cho hàm ngược xét đơn điệu, cực trị hàm (Bài toán truy ngược hàm bậc nhất) 10 Dạng toán 4: Cho hàm xét đơn điệu, cực trị hàm (u bậc v bậc hai) 13 2.4 Hiệu phương pháp song trục giải nhanh toán trắc nghiệm hàm hợp liên quan đến đồ thị hàm số 15 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 18 3.1 Kết luận 18 3.2 Kiến nghị 18 TÀI LIỆU THAM KHẢO 19 skkn 1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Trong q trình dạy học tốn trường THPT Hoằng Hóa, tơi nhận thấy phần tập đơn điệu, cực trị hàm hợp liên quan đến đồ thị hàm số nội dung quan trọng, thường xuyên xuất kì thi với nhiều dạng tốn trắc nghiệm có mức độ khó khác Đây ln phần tập hay khó, địi hỏi em phải có lực vận dụng, kỹ tổng hợp kiến thức giải nhanh thi trắc nghiệm Tuy nhiên, trình giảng dạy, bồi dưỡng nghiên cứu tài liệu nhận thấy số vấn đề sau: Khi gặp tốn trắc nghiệm xét tính đơn điệu tìm điểm cực trị hay số điểm cực cực liên quan đến đồ thị hàm số, học sinh thường cố gắng tính đạo hàm vẽ bảng biến thiên Như vậy, khiến học sinh nhiều thời gian để giải câu trắc nghiệm đề thi, mà nhiều không nhận rằng, áp dụng phương pháp song trục để xét tính đơn điệu tìm cực trị hàm hợp cách giải ngắn gọn đơn giản nhiều Bản thân nhận thấy, học sinh rèn luyện tập đơn điệu tìm cực trị hàm hợp đơn giản đến phức tạp theo hướng tư tương tự hóa, khái qt hóa có hệ thống em thấy mảng kiến thức khơng khó hình dung em, từ tạo niềm yêu thích hứng thú học tập cho em Với lí trên, tơi lựa chọn đề tài: “Phương pháp song trục giải nhanh toán trắc nghiệm hàm hợp liên quan đến đồ thị hàm số” 1.2 Mục đích nghiên cứu Tạo hệ thống tập theo chủ đề nhằm rèn luyện kỹ giải nhanh toán trắc nghiệm phần đơn điệu cực trị hàm hợp, góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn trường phổ thơng nói chung trường THPT Hoằng Hóa nói riêng 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài tập trung nghiên cứu phương pháp giải nhanh toán trắc nghiệm xét tính đơn điệu cực trị hàm số có liên quan đến đồ thị giải phương pháp song trục, phát triển tốn tổng qt hóa chương trình Giải tích 12 đề thi THPT QG, đề thi đánh giá lực 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lí luận - Phương pháp điều tra quan sát - Phương pháp thực nghiệm sư phạm 1.5 Những điểm SKKN Đề tài xây dựng phương pháp song trục để giải nhanh toán trắc nghiệm hàm hợp liên quan đến đồ thị hàm số từ dễ đến khó cách có hệ thống, dấu hiệu đặc trưng tốn Bên cạnh đó, đề tài hướng skkn dẫn cách nhận biết dạng toán trắc nghiệm hàm hợp liên quan đến đồ thị hàm số thuận, truy ngược hàm hàm bậc nhất, bậc hai NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận Việc sử dụng phương pháp song trục giúp ta giải số tốn trắc nghiệm tìm khoảng đơn điệu, điểm cực trị hàm hợp liên quan đến đồ thị hàm số cách nhanh chóng, xác mà khơng cần phải tính tốn trực tiếp Bên cạnh ta xây dựng, sáng tạo tốn hay hơn, khó từ phương pháp song trục Để sử dụng phương pháp song trục toán hàm hợp liên quan đến đồ thị hàm số cách hiệu quả, cần nắm vững kiến thức sau: Kí hiệu khoảng đoạn nửa khoảng 2.1.1 Điều kiện cần để hàm số đơn điệu Giả sử hàm số có đạo hàm khoảng i) Nếu hàm số đồng biến khoảng ii) Nếu hàm số nghịch biến khoảng 2.1.2 Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu Giả sử hàm số có đạo hàm khoảng i) Nếu với thuộc hàm số đồng biến ii) Nếu với thuộc hàm số nghịch biến iii) Nếu (hàm số với gọi hàm 2.1.3 Định lý Giả sử hàm số , ) i) Nếu thuộc hàm số khơng đổi ) xác định liên tục khoảng điểm cực đại ( ii) Nếu điểm cực tiểu 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trước áp dụng nhận thấy, giải tốn trắc nghiệm tính đơn điệu, cực trị hàm hợp, học sinh giải nhiều phương pháp khác khảo sát hàm hợp, ghép trục,… có em làm dài nhiều thời gian cho toán đề thi trắc nghiệm THPT quốc gia, đề thi đánh giá lực trường đại học Vì vậy, phương pháp song trục giúp học sinh giải toán cách nhanh, ngắn gọn toán trắc nghiệm skkn Trong trình dạy học giải tập trắc nghiệm tính đơn điệu cực trị hàm hợp, giáo viên trọng xây dựng tốn trắc nghiệm tính đơn điệu, cực trị hàm hợp giải theo phương pháp song trục xếp tốn cách logic, có hệ thống, yếu tố đặc trưng tốn … học sinh dễ dàng tiếp nhận giải tốt tập trắc nghiệm dạng Từ đó, em giải nhanh tốn khó hơn, xử lý linh hoạt gặp toán tương tự 2.3 Phương pháp song trục giải nhanh toán trắc nghiệm hàm hợp liên quan đến đồ thị hàm số Dạng toán 1: Bài toán cho xét đơn điệu, cực trị hàm (thuận bậc nhất) Phương pháp: Bước 1: Ta tìm tất nghiệm bội lẻ đạo hàm xếp trục, sau xét dấu đạo hàm dòng trên, dòng phác họa dáng điệu đồ thị hàm Bước 2: Kẻ trục thứ hàm , ta giải phương trình: tìm nghiệm viết lên trục số Bước 3: Sao chép lại dáng điệu hàm vào hàm Chú ý: Nếu hệ số trục số chiều, cịn trục số ngược chiều Bài tốn 1: Cho hàm số Hàm số có bảng xét dấu đạo hàm sau đạt cực đại tại: D C Giải: Sử dụng song trục cho toán trắc nghiệm sau: Bước 1: Ta vẽ trục xét dấu hàm (dòng ghi giá trị x, dòng dáng điệu đồ thị ) A B -2 f '(x) ∞ skkn +∞ Bước 2: Ta giải phương trình Bước 3: Sao chép lại dáng điệu hàm thấy nên mũi tên chiều f(3x-2) +∞ ∞ vào hàm 3 , nhận Đáp án A Bình luận: Đối với bước 2, ta làm nháp nhẩm, làm thực tế ta cần vẽ song trục hình đủ -2 f '(x) f(3x-2) +∞ 2 3 +∞ Đáp án A Bài toán 2: Cho hàm số có bảng xét dấu đạo hàm sau: Hàm số A có điểm cực đại? B C D Giải: Sử dụng song trục cho toán trắc nghiệm sau: Bước 1: Ta vẽ trục xét dấu hàm (dòng ghi giá trị x, dòng dáng điệu đồ thị ) -4 f '(x) +∞ skkn +∞ ∞ Bước 2: Ta giải phương trình Bước 3: Sao chép lại dáng điệu hàm f(2-3x) gốc +∞ vào hàm -2 Đáp án B Chú ý: Đối với toán a < 0, nên mũi tên ngược chiều với mũi tên Bài tốn 3: Cho hàm số có đồ thị hình sau Hàm số đạt cực tiểu tại: A B C Giải: Sử dụng song trục cho toán trắc nghiệm sau: f '(x) D f(3-2x) +∞ Đáp án C Bài tập tương tự: Bài 1: Cho hàm số có bảng biến thiên sau: skkn +∞ Hàm số A đạt cực đại điểm điểm sau? B Bài 2: Cho hàm số C D Tìm khoảng nghịch biến hàm số A B C Bài 3: Cho hàm số Hàm số Hàm số đồng biến khoảng nào? A B D có đồ thị hình vẽ C D Dạng toán 2: Bài toán cho xét đơn điệu, cực trị hàm (thuận bậc hai) Phương pháp: Bước 1: (giống dạng 1) Ta vẽ trục xét dấu hàm (dòng ghi giá trị x, dòng dáng điệu đồ thị Bước 2: Ta tìm nghiệm đạo hàm hàm trục hàm điền giá trị x lên skkn , kẻ Bước 3: Tính , đưa lên hàm , xảy hai trường hợp: +) Nếu , chiều bỏ phần bên trái +) Nếu , ngược chiều bỏ phần bên phải Bước 4: Ta giải phương trình tìm nghiệm viết lên trục số +) Nếu , chép dáng điệu phần lại vào phần bên phải , phần bên trái lấy đối xứng cho hợp lý (do tính chất hàm bậc 2), ngược lại Chú ý: đổi chiều trục số mũi tên f  x Bài toán 1: Cho hàm số y  f  x hình vẽ bên Xét hàm số có đạo hàm  có đồ thị hàm số y  g  x   f  x2  Tìm mệnh đề sai? g x A Hàm số   có điểm cực đại B Hàm số g  x  đồng biến khoảng  0;1 g x C Hàm số   có điểm cực trị D Hàm số g  x  nghịch biến khoảng  ; 2  Giải: Sử dụng song trục cho toán trắc nghiệm sau: Bước 1: (giống dạng 1) Ta vẽ trục xét dấu hàm ghi giá trị x, dòng dáng điệu đồ thị Bước 2: Ta tìm nghiệm đạo hàm hàm hàm điền giá trị lên Bước 3: Tính bỏ phần bên trái , đưa lên hàm skkn Do (dòng , kẻ trục , chiều Bước 4: Ta giải phương trình >0, chép dáng điệu vào phần bên phải viết lên trục số Do a , sau lấy đối xứng Hàm số có điểm cực tiểu điểm cực đại Đáp án A Bài toán 2: Cho hàm số bậc ba có đồ thị hình vẽ: Số điểm cực tiểu hàm số A B là: C D Giải: Sử dụng song trục cho toán trắc nghiệm sau: Bước 1: (giống dạng 1) Ta vẽ trục xét dấu hàm ghi giá trị x, dòng dáng điệu đồ thị Bước 2: Ta tìm nghiệm đạo hàm hàm hàm điền giá trị lên skkn (dịng , kẻ trục Bước 3: Tính bỏ phần bên phải , đưa lên hàm Do Bước 4: Ta giải phương trình số Do , chép dáng điệu lấy đối xứng , ngược chiều viết lên trục vào phần bên phải , sau Đáp án C Bài tốn 3: Cho hàm sớ thị hình vẽ bên , hàm số Số điểm cực trị của hàm số B A liên tục là: C D Giải: Sử dụng song trục cho toán trắc nghiệm sau: Đáp án A skkn và có đồ 10 Bài tập tương tự: Bài 1: (SGD Hà Nam - Năm 2018) Cho hàm số Biết hàm số có đồ thị hình vẽ bên Hàm số đồng biến khoảng đây? A B C D Bài 2: (Sở GD&ĐT Hà Nội - Lần - 2018) Cho hàm số hàm số có đồ thị hình vẽ bên Hàm số biến khoảng nào? Biết đồng A B C D Dạng toán 3: Cho hàm ngược xét đơn điệu, cực trị hàm (Bài toán truy ngược hàm bậc nhất) Phương pháp: Các bước làm gần giống tốn thuận, lúc tìm nghiệm để vào trục bên ta vào u trước cho chúng v Nhận xét: Nếu hệ số cao u với v trái dấu chắn ngược chiều Bài tốn 1: Cho hàm số có đạo hàm liên tục , hàm số có đồ thị hình vẽ Số điểm cực trị hàm số là: skkn 11 A B C D Giải: Sử dụng song trục cho toán trắc nghiệm sau: Bước 1: Ta vẽ trục xét dấu hàm (dòng ghi giá trị x, dòng dáng điệu đồ thị (nghiệm bội lẻ) Bước 2: Thế -1 ; vào x - sau cho -4x+2: Bước 3: Sao chép lại dáng điệu (ngược chiều nên trục số mũi tên đổi chiều) Đáp án D Bài tốn 2: Cho hàm số có đạo hàm Biết hàm số có bảng xét dấu sau Hàm số có điểm cực đại? A B C skkn D 12 Giải: Sử dụng song trục cho toán trắc nghiệm sau: Bước 1: Ta vẽ trục xét dấu hàm (dòng ghi giá trị x, dòng dáng điệu đồ thị (nghiệm bội lẻ) Bước 2: Thế -1 ; vào – 2x sau cho x: Bước 3: Sao chép lại dáng điệu ( nên trục số mũi tên đổi chiều) Đáp án B Bài toán 3: Cho hàm số liên tục Đồ thị hình vẽ (dạng đồ thị hàm số đa thức bậc ba) Hàm số khoảng đây? A B C Giải: Sử dụng song trục cho toán trắc nghiệm sau: ( nên mũi tên trục số không đổi chiều) skkn D nghịch biến 13 Đáp án A Bài tập tương tự: Bài 1: Cho hàm số có đồ thị hàm Hàm số đạt cực đại điểm nào? A B Bài 2: Cho hàm số C hình vẽ sau D xác định liên tục , hàm số bậc ba có đồ thị hình vẽ: Hàm số A có điểm cực đại? B C D Dạng toán 4: Cho hàm xét đơn điệu, cực trị hàm bậc hai) Phương pháp: Bước 1: (giống dạng 1) Ta vẽ trục xét dấu hàm ghi giá trị x, dòng dáng điệu đồ thị skkn (u bậc v (dịng 14 Bước 2: Ta tìm nghiệm đạo hàm hàm trục hàm điền giá trị x lên , kẻ Bước 3: Tính , giải phương trình đưa lên hàm , xảy hai trường hợp: chiều bỏ phần bên trái , ngược chiều bỏ phần bên phải Bước 4: Ta giải phương trình tìm nghiệm viết lên trục số (nếu đếm cực trị thơi khơng cần bước này) Nếu chiều, chép dáng điệu phần lại vào phần bên phải , phần bên trái lấy đối xứng cho hợp lý (do tính chất hàm bậc 2), cịn ngược chiều ngược lại Chú ý: Ngược chiều đổi chiều trục số mũi tên (hai hệ số cao u v trái dấu) Bài toán 1: Cho hàm số hàm số A có đạo hàm liên tục có đồ thị hình vẽ Số điểm cực trị hàm số C D Giải: Sử dụng song trục cho toán trắc nghiệm sau: Bước 1: (giống dạng 1) Ta vẽ trục xét dấu hàm ghi giá trị x, dòng dáng điệu đồ thị B Bước 2: Ta tìm nghiệm đạo hàm hàm trục hàm điền giá trị x lên Bước 3: Tính , giải phương trình lên hàm , ngược chiều bỏ phần bên phải skkn (dòng , kẻ đưa 15 Bước 4: Ta giải phương trình tìm nghiệm viết lên trục số (nếu đếm cực trị thơi khơng cần bước này) Chú ý: Ngược chiều đổi chiều trục số mũi tên Đáp án B Bài toán 2: Cho hàm số có đạo hàm liên tục có bảng biến thiên bên Hàm số nhiêu điểm cực trị? A B C Giải: Sử dụng song trục cho toán trắc nghiệm sau: skkn Biết hàm số có bao D 16 Đáp án C Bài tập tương tự: Bài 1: Cho hàm số bậc bốn hình bên Hàm số A Đồ thị hàm số nghịch biến khoảng nào? B C Bài 2: Cho hàm số có đồ thị hàm Hàm số đồng biến khoảng sau đây? A cho B C D hình vẽ sau D 2.4 Hiệu phương pháp song trục giải nhanh toán trắc nghiệm hàm hợp liên quan đến đồ thị hàm số Trong q trình nghiên cứu hồn thiện đề tài, tiến hành giảng dạy cho em học sinh ôn thi THPT quốc gia, ôn thi đánh giá lực, dạy đại trà cho em học sinh lớp 12A6, 12A7 thời gian buổi (06 tiết) Sau giảng dạy, tiến hành kiểm tra việc tiếp thu em thông qua kiểm tra 36 học sinh lớp 12 A6 40 học sinh lớp 12A7 ôn thi THPT quốc gia ôn thi đánh giá lực gồm câu thời gian 15 phút Nội dung đề kiểm tra: Câu 1: Cho hàm số có bảng dấu sau: Hàm số A nghịch biến khoảng đây? B C skkn D 17 số Câu 2: Cho hàm số Hàm số có đồ thị hình bên Hàm đồng biến khoảng sau đây? A B Câu 3: Cho hàm số Hàm số A Hàm số D có đồ thị hình vẽ sau: có điểm cực trị? B C Câu 4: Cho hàm số Hàm số C Hàm số D có đồ thị hình vẽ có điểm cực trị? C A B D Câu 5: Cho hàm số có đạo hàm có bảng xét dấu đây: Hỏi hàm số có bao nhiểu điểm cực tiểu? skkn 18 A B C D  Câu 6: Cho hàm số y  f  x  có f  x    x    x  5  x  1 Hàm số y  f  x2  đồng biến khoảng đây? 0;1 A   1;0  B  Câu 7: Cho hàm số 2; 1 C  D  2;0  xác định liên tục , hàm số bậc ba có đồ thị hình vẽ: Hàm số A có điểm cực tiểu? B C Câu 8: Cho hàm số D có đạo hàm liên tục hàm số có bảng biến thiên hình vẽ: Số điểm cực trị hàm số là: C A D B Kết thực nghiệm Sau tiến hành chấm phân loại, thống kê kết làm em học sinh lớp 12A6 12A7 trường THPT Hoằng Hóa, thu kết sau: Lớp Số học sinh 8-10 điểm 5-7,5 điểm 2-4,5 điểm 0-1,5 điểm 12A6 36 18 11 12A7 40 19 12 Căn vào kết kiểm tra nhận thấy, đề tài phát huy tác dụng việc nâng cao hiệu dạy học chủ đề: Phương pháp song trục giải skkn 19 nhanh toán trắc nghiệm hàm hợp liên quan đến đồ thị hàm số Khi chấm làm học sinh thấy em tiếp thu tốt biết cách vận dụng phương pháp vào giải tập tương tự KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận “Phương pháp song trục giải nhanh toán trắc nghiệm hàm hợp liên quan đến đồ thị hàm số” phù hợp với nhận thức học sinh trung bình, khá, giỏi lớp 12 Việc dạy học sinh dùng phương pháp (chứ dùng cơng cụ) đáp ứng kích thích hứng thú, ham tìm hiểu học sinh khá, giỏi Phản ứng tích cực mà tơi nhận từ em học sinh làm cho cảm nhận niềm vui nghề nghiệp làm cho quan hệ trị chúng tơi gắn bó Ưu điểm việc áp dụng phương pháp học sinh giải nhanh, xác tốn trắc nghiệm hàm hợp liên quan đến đồ thị hàm số Nhược điểm phương pháp hạn chế giải số dạng tốn như: tìm giá trị cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số 3.2 Kiến nghị Đề tài khơng lạ u thích nghiên cứu Tốn Nhưng với mong muốn đáp ứng tinh thần ham học, thích khám phá học sinh trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp trường, xin đề nghị ban giám hiệu trường THPT Hoằng Hóa phổ biến sáng kiến kinh nghiệm đến tổ mơn tốn Trường Tôi hy vọng sáng kiến kinh nghiệm quý thầy, cô, đồng nghiệp phát triển dạy cho học sinh trung bình, khá, giỏi lớp 12 trường THPT Hoằng Hóa Trong q trình nghiên cứu khơng tránh khỏi thiếu sót, tơi mong nhận trao đổi em học sinh góp ý đồng nghiệp hội đồng chuyên môn trường đề tài Tơi xin chân thành cảm ơn! Thanh Hóa, ngày tháng năm 2022 XÁC NHẬN CỦA Tôi cam đoan SKKN viết, THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ không chép nội dung người khác Người viết Nguyễn Thị Sâm skkn 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO SGK Giải tích 12, Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) - Vũ Tuấn (Chủ biên) - Lê Thị Thiên Hương - Nguyễn Tiến Tài - Cấn văn Tuất, Nhà xuất giáo dục Bài tập Đại số giải tích nâng cao 11, Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên)Nguyễn Xuân Liêm – Nguyễn Khắc Minh - Đồn Quỳnh - Ngơ Xn Sơn Đặng Hùng Thắng - Lưu Xuân Tình, Nhà xuất giáo dục Rèn kĩ giải tốn Trắc nghiệm 12, Trần Đình Thì - Thái Văn Quân, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội Đề thi THPT Quốc gia năm 2018 đến Tuyển tập đề thi thử THPT Quốc gia trường nước Đề thi học sinh giỏi lớp 12 tỉnh thành phố skkn