Skkn kinh nghiệm dạy học sinh lớp 10 giải một số phương trình và bất phương trình, hệ bất phương trình chứa tham số

1 Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài Tốn học môn khoa học bản, trừu tượng, khó lượng kiến thức nặng, để học tập tốt mơn tốn địi hỏi người học phải có đam mê, trí thơng minh, miệt mài khơng ngường học hỏi, nghiên cứu, tìm tịi, chắt lọc nghi nhớ Bài toán chứa tham số toán thường gặp kì thi học sinh giỏi, đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông quốc gia lớp 12 Đây tốn có nhiều phương pháp giải học sinh thường lúng túng, khơng tìm hướng giải hay mắc sai lầm giải toán dẫn đến làm sai kết Có nhiều cách để giải toán chứa tham số , song để chọn cách phù hợp, dễ hiểu ngắn gọn em chưa học đạo hàm vấn đề cần định hướng cho học sinh Những năm gần thường xuyên giao giạy lớp mũi nhọn, để đáp ứng nhu cầu thực tiễn trăn trở, tìm tịi dạng tốn mới, phương pháp hay, học hỏi đồng nghiệp phương pháp kinh nghiệm giảng dạy Để giúp em có kiến thức làm quen với toán chứa tham số, để em tự tin thi học kì, thi kiểm tra chất lượng dạy bồi dưỡng, thi học sinh giỏi đặc biệt kì thi tốt nghiệp lớp 12 mạnh dạn đưa vào dạy học lớp khối 10 năm gần sáng kiến Về vấn đề này, có nhiều tài liệu, sáng kiến kinh nghiệm Tuy nhiên tài liệu viết chuyên sâu, hệ thống định hướng giải toán phương trình, phương trình chứa tham số khơng nhiều học sinh thường gặp khó khăn, lúng túng việc nhận diện, giải dạng tốn Do việc chọn lựa đề tài sáng kiến kinh nghiệm nhằm góp phần giải vấn đề việc làm phù hợp với thực tiễn, thể lòng say mê, nhiệt hyết với nghề trách nhiệm người người thầy đào tạo mũi nhọn Chính tơi chọn đề tài SKKN là: “Kinh nghiệm dạy học sinh lớp 10 giải số phương trình bất phương trình, hệ bất phương trình chứa tham số” 1.2 Mục đích sáng kiến kinh nghiệm Các vấn đề trình bày đề tài giúp em học sinh lớp 10 làm quen có nhìn tồn diện giải số phương trình(PT), bất phương trình(BPT), hệ bất phương trình(HBPT) chứa tham số Giúp học sinh nhận dạng , định hướng cách giải phù hợp phương trình,bất phương trình, hệ bất phương trình chứa tham số thường gặp tong đề thi skkn Rèn luyện cho học sinh phương pháp, kỹ giải tốn Qua học sinh nâng cao khả tư duy, sáng tạo Nâng cao khả tự học, tự bồi dưỡng khả giải tốn kỳ thi ơn luyện HSG mơn Tốn 1.3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Đề tài nghiên cứu sơ dạng tốn phương trình bất phương trình, hệ bất phương trình chứa tham số Phạm vi nghiên cứu: Đề tài thuộc chương trình đại số 10 1.4 Phương pháp nghiên cứu Trình bày cho học sinh kiến thức lý thuyết hàm số bậc hai, định lí viét Thơng qua ví dụ cụ thể với cách giải đơn giản, tự nhiên nhằm làm cho học sinh thấy mạnh việc sử dụng phương pháp Các ví dụ minh họa đề tài lọc từ sách giáo khoa, sách tập đại số 10 nâng cao, tài liệu tham khảo đề thi đại học năm trước xếp từ dễ đến khó Trong tiết học lớp cho học sinh giải vi dụ nhiều phương pháp để từ đánh giá tính ưu việt phương pháp Để thực mục đích nhiệm vụ đề tài, q trình nghiên cứu tơi sử dụng phương pháp sau: - Nghiên cứu loại tài liệu sư phạm, quản lí có liên quan đến đề tài - Phương pháp quan sát (công việc dạy - học giáo viên HS) - Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, hồ sơ chuyên môn, …) - Phương pháp đàm thoại vấn (lấy ý kiến giáo viên HS thông qua trao đổi trực tiếp) - Phương pháp thực nghiệm Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Chương trình giáo dục phổ thơng phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo học sinh, phù hợp với đặc trưng môn học, đặc điểm đối tượng học sinh, điều kiện lớp học, bồi dưỡng học sinh phương pháp tự học, khả hợp tác, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú trách nhiệm học tập cho học sinh Kiến thức vận dụng: + Để giải toán cách sử dụng tam thức bậc ta cần ý định lí dấu tam thức bậc hai Định lí dấu tam thức bậc hai: , Nếu tam thức dấu với skkn Nếu tam thức dấu với Nếu tam thức có hai nghiệm Tam thức dấu với với Tam thức ngược dấu với Khi đó: với + Để giải toán sử dụng vi ét ta cần nắm vững kiến thứ sau: Định lí vi-ét: Nếu hai nghiệm phương trình bậc hai ; * PT bậc hai có nghiệm thỏa mãn * PT bậc hai có nghiệm thỏa mãn * PT bậc hai có nghiệm thỏa mãn + Để giải phương trình có chứa tham số phương pháp hàm số ta cần nắm cần nắm vững mệnh đề sau: Cho hàm số liên tục tập D Mệnh đề 1: Số nghiệm PT số giao điểm hai đồ thị hàm số Mệnh đề 2: PT có nghiệm Mệnh đề3: BPT nghiệm với Mệnhđề4: BPT Mệnh đề5: BPT Mệnh đề6: BPT nghiệm với có nghiệm có nghiệm nếu 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Qua thực tiễn học tập giảng dạy, thân nhận thấy toán chứa tham số toán cấp THPT đa dạng, đặc biệt phương trình bất phương trình hệ bất phương trình chứa tham số Nhưng gặp học sinh thường lúng túng, khơng có định hướng giải, đa phần giải sai vì: - Các em học hết chương trình lớp 9, chưa có nhiều kiến thức phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình Ở cấp em skkn học học bất phương trình đơn giản đặc biệt chưa có tham sơ Các em làm quen qua toán ứng dụng định lí viets - Tài liệu viết phương trình, bất phương trình chứa tham số khơng nhiều, học sinh khơng nhận diện dạng toán chưa hướng dẫn cách hệ thống phương pháp để giải toán trọn vẹn - Số lượng toán nêu xuất ngày nhiều đề thi,thi HSG năm gần em chưa sử dụng cơng cụ đạo hàm Chính tìm hướng giải dạng cho học sinh điều cấp bách cần thiết để nâng cao chất lượng mũi nhọn nhà trường 2.3 Các giải pháp thực hiện: Trong thực tiễn giảng dạy cho học sinh, tác giả giúp học sinh nhận dạng toán phương pháp giải dạng toán theo hệ thống tập xếp theo trình tự logic Dạng 1: Bất phương trình bậc hai, hệ bất phương trình bậc hai nghiệm với Đây dạng tốn ứng dụng định lí dấu tam thức bậc hai hàm số bậc hai +) Định lí dấu tam thức bậc hai: , Nếu tam thức dấu với Nếu tam thức dấu với Nếu tam thức có hai nghiệm Tam thức dấu với với với +) Ta có Khi đó: , trái dấu với Ví dụ (BT83.Chương IV SGK Đại số 10 Nâng cao) Tìm giá trị để tập tập nghiệm bất phương trình sau: Lời giải +) Nếu bất phương trình trở thành +) Nếu bất phương trình có tập nghiệm , loại Vây: skkn Ví dụ 2: Cho Tìm ngiệm Lời giải Ta có Để với số thực Vậy Ví dụ Cho bất phương trình phương trình ? Lời giải Ta có: Do đó, sau: TH1 TH2 Dođó, để bất phương trình Tìm , để bất có trường hợp ,khi Do , phương trình có hai nghiệm Kết hợp hai trường hợp lại ta Ví dụ Cho bất phương trình Tìm để bấtphươngtrình nghiệm với Lời giải Ta có: Do đó, thức vế trái có nghiệm thuộc đoạn , ? tam thỏa mãn Cách2: Ta có: Do đó, , Ví dụ Cho bất phương trình Tìm để bấtphươngtrình nghiệm với thuộc khoảng ? Lời giải Nhận xét: Với tốn có hệ số c chứa tham số nên ta sử dụng phương pháp hàm số bậc hai skkn Ta có: khoảng với thuộc Xét hàm số Bảng biến thiên hàm số Từ bảng biến thiên ta thấy Ví dụ 6.Tìm giá trị cho với , ta ln có: Lời giải Ta có với Bất phương trình tương đương Để hệ bất phương trình với BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1:Tìm tất giá trị Đáp số: để bất phương trình Bài 2: Cho hai bất phương trình (1) Tìm giá trị tham số m cho nghiệm bất phương trình (1) nghiệm bất phương trình (2) Đáp số: Bài 3: Cho hệ bất phương trình tham số Tìm giá trị để hệ bất phương trình có nghiệm.Đáp số: Bài 4: Tìm tất các giá trị m để bất phương trình có miền nghiệm Đáp số: Bài 5: Với điều kiện m phương trình có nghiệm thuộc khoảng (-1; 2) ? Đáp số: skkn Dạng 2: Phương trình, bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Trong dạng ta sử dụng kiến thức sau: +) +) +) +) Các ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Tìm tất giá trị để phương trình có nghiệm Lời giải Phương trình cho tương đương với TH1 Phương trình (1) có nghiệm TH2 Phương trình (1) vơ nghiệm Vậy phương trình (1) có nghiệm chi TH1 có nghiệm nhất, TH2 vơ nghiệm hay Ví dụ 2: Tìm giá trị m để bất phương trình nghiệm với thuộc R Lời giải Ta có: Ta cần tìm giá trị với cho skkn Vẽ đồ thị hàm số Dựa vào đồ thị ta có thỏa yêu cầu tốn Ví dụ 3: Tìm giá trị tham số để phương trình: có nghiệm Lời giải Ta có Xét hàm số Ta có Bảng biến thiên Dựa vào bảng phương trình có nghiệm Ví dụ 4: Tìm giá trị tham số để phương trình sau có nghiệm phân biệt: Lời giải Xét phương trình: (1) Xét skkn Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình (1) có nghiệm phân biệt Ví dụ 5: Tìm giá trị tham số m để bất phương trình sau có nghiệm Lời giải Bất phương trình tương đương với: Vẽ đồ thị hàm , ta hình vẽ sau: y 169 25 ym O Yêu cầu toán x 13 BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Cho bất phương trình: trị bất phương trình có nghiệm Đáp số: skkn Tìm cáciá Bài 2:Tìm giá trị tham số ba nghiệm phân biệt Đáp số: phương trình có Bài 3: Tìm giá trị tham số nhất: để phương trình sau có nghiệm Đáp số: Bài 4: Có giá trị nguyên tham số thuộc khoảng để phương trình có nghiệm Đáp số: 12 Bài 5: Tìm tất giá trị tham số để phương trình có nghiệm Đáp số: Dạng 3: Phương trình, bất phương trình chứa ẩn dấu bậc hai Nhận xét: Đây dạng trọng tâm mà học sinh thường gặp đề thi Phương pháp: +) PT, BPT chứa ,đặt +) PT, BPT chứa ,đặt Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho bất phương trình Tìm tất giá trị để bất phương trình nghiệm với Lời giải Với , đặt Ta có: Khi BPT trở thành skkn 10 Xét hàm số suy , nhận thấy hàm số đồng biến khoảng Vậy: Ví dụ 2: Cho bất phương trình để bất phương trình nghiệm với skkn Xác định 11 Lời giải Điều kiện Đặt Ta có bất phương trình Xét suy ta có bảng biến thiên sau: Để bất phương trình cho nghiệm trình nghiệm với Ví dụ 3: Tìm tất giá trị để nghiệm Lời giải Ta có: Đặt bất phương bất phương trình , ta có bảng biến thiên Suy Bất phương trình cho thành Xét hàm với Ta có bảng biến thiên Bất phương trình nghiệm Ví dụ 4: Biết tập hợp tất giá trị tham số m để phương trình có nghiệm Tính ? Lời giải Điều kiện: Ta có (2) (1) skkn 12 Đặt suy Phương trình (2) trở thành , (3) Xét hàm số Bảng biến thiên : Phương trình (1) có nghiệm phương trình (3) có nghiệm , suy Ví dụ 5: Tìmcác giá trị nghiệm để phương trình có Lời giải Xét phương trình Đặt Điều kiện xác định Ta có bất phương trình theo ẩn : Xét hàm số với t 2 f(t) -4 Phương trình có nghiệm phương trình Dựa vào bảng biến thiên ta có Ví dụ ( ĐH khối A – 2007) Tìm m để phương trình sau có nghiệm Lời giải có nghiệm Điều kiện: skkn 13 Phương trình cho ( ) Đặt Vì Khi phương trình ( ) trở thành : Bài toán cho trở thành: Tìm m để hệ có nghiệm Ta có bảng biến thiên hàm số : Từ bảng biến thiên , suy PT có nghiệm Nhận xét : Ta giải tốn định lý Viét Tìm m để hệ có nghiệm Ví dụ 7: Cho bất phương trình để bất phương trình nghiệm với Lời giải Xét bất phương trình Điều kiện xác định : Tìm thuộc tập xác định Đặt Ta có bất phương trình ẩn : Xét hàm số ta có bảng biến thiên t 10 f(t) Bất phương trình nghiệm với bất phương trình nghiệm với Dựa vào bảng biến thiên ta có Ví dụ 8: Tìm tất giá trị m để phương trình: có nghiệm thực phân biệt Lời giải skkn 14 Ta có: Xét hàm số Bảng biến thiên hàm số Số nghiệm (1) số giao điểm đồ thị hàm số đường thẳng Từ bảng biến thiên suy PT cho có hai nghiệm phân biệt Nhận xét: Bài hướng dẫn học sinh giải cách sử dụng lý Viét Tìm m để hệ có hai nghiệm phân biệt Ví dụ 9: Tìm m cho phương trình nghiệm Lời giải Phân tích: (*) có Đây dạng toán ứng dụng đồ thị hàm số quen thuộc, cần ý chọn cho hoành độ đỉnh đồ thị hàm số thuộc miền xét để đa dạng hoá tình Đồ thị hàm số có hồnh độ đỉnh nghiệm , để phương trình có Nhận xét: 1) Bài hướng dẫn học sinh giải cách sử dụng lý Viét Tìm m để hệ có hai nghiệm phân biệt 2) Có thể mở rộng tốn với u cầu: Biện luận theo m số nghiệm phương trình (*) skkn 15 Ví dụ 10: Có giá trị ngun tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt? Lời giải Ta có: Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt nghiệm phân biệt Phương trình (2) có hai Số nghiệm phương trình (2) số giao điểm đường thẳng parabol (P): Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên suy mà Vậy có giá trị tham số m Nhận xét: Bài hướng dẫn học sinh giải cách sử dụng lý Viét.Tìm m để hệ có hai nghiệm phân biệt Ví dụ 11: Tìm tất giá trị nghiệm: (1) Lời giải Đặt Vì nên Bài tốn trở thành: Tìm nghiệm BPT(2): để bất phương trình sau có để hệ bất phương trình có Xét hàm số: skkn 16 Dễ thấy hàm số đồng biến khoảng Do BPT (2) ln có nghiệm khoảng BPT(1): Xét hàm số với Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên suy bất p hương trình (1) có nghiệm Vậy BPT cho có nghiệm với Vídụ12: Có số nguyên để PT có nghiệm Lời giải Xét phương trình Điều kiện xác định Ta Đặt Mặt khác với , PT: Xét hàm số Ta có bảng biến thiên: có nghiệm có nghiệm Từ ta có BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Tìmtất giá trị để phương trình sau có nghiệm: Đáp số: skkn 17 Bài 2: Tìm tất giá trị để bất phương trình có nghiệm Đáp số: Bài 3: Cho bất phương trình , tham số Tính tổng tất giá trị nguyên để bất phương trình nghiệm với thuộc tập xác định Đáp số: Bài 4: Tìm tất giá trị tham số để phương trình có nghiệm Đáp số: Bài 5: Cho bất phương trình: Tìm tất giá trị tham số m để bất phương trình có nghiệm Đáp số: Bài 6: Tìm để bất phương trình : có nghiệm Bài 7: Có giá trị nguyên tham số m nhỏ 10 để phương trình: có nghiệm Bài 8: ( ĐH KB-2007) CMR với giá trị m, phương trình có nghiệm thực phân biệt Bài 9: Tìm m để phương trình sau có nghiệm Đáp số: Bài 10: Tìm giá trị tham số để phương trình sau có nghiệm thực phân biệt : Đáp số: Bài 11: Tìm giá trị m để phương trình hai nghiệm phân biệt có Đáp số: Dạng 4: Một số dạng phương trình, bất phương trình khác Ví dụ 1: Tìm giá trị để phương trình sau có hai nghiệm (1) Lời giải Đặt Ta PT: PT(1) có nghiệm PT(2) có nghiệm t lớn skkn 18 TH1:PT(2) có nghiệm kép lớn TH2: PT(2) có nghiệm thỏa mãn Kết hợp TH ta được: Vídụ2: Tính tổng giá trị nguyên âm tham số trình có nghiệm Lời giải Ta có: để bất phương Đặt Ta BPT: BPT cho có nghiệm BPT(2) có nghiệm Xét hàm số: Bất PT Ví dụ 3: Có giá trị ngun trình có nghiệm Lời giải Điều kiện: Phương trình (2) có tham số nghiệm để phương Để PT cho có nghiệm Vậy có giá trị nguyên m 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Qua thời gian viết SKKN vận dụng chuyên đề vào giảng dạy, nhận thấy việc làm thu kết đáng kể từ phía em học sinh Cụ thể, trước sau vận dụng SKKN cho làm kiểm tra thuđược kết thực nghiệm sau: - Năm học: 2020-2021 Trước vận dụng sáng kiến: skkn 19 Năm học 20202021 Lớp 10A3 Sỹ số 44 Giỏi SL % 2,2 Khá % 25 Trung bình SL % 27 61,4 Yếu SL % 11,4 Kém SL % 0 % 45,5 Trung bình SL % 20,4 Yếu SL % 0 Kém SL % 0 SL 11 Sau vận dụng sáng kiến: Năm học 20202021 Lớp 10A3 Sỹ số 44 Giỏi SL % 15 34,1 Khá SL 20 - Năm học: 2021-2022 Trước vận dụng sáng kiến: Năm học 20212022 Lớp 10A4 Sỹ số 46 Giỏi SL % 0 Khá % 13 Trung bình SL % 15 32,6 SL 25 Yếu % 54,4 Kém SL % 0 % 43,5 Trung bình SL % 14 30,4 Yếu SL % 6,5 Kém SL % 0 SL Sau vận dụng sáng kiến: Năm học 20212022 Lớp 10A4 Sỹ số 46 Giỏi SL % 19,6 Khá SL 20 Hai năm học 2020-2021,2021-2022 giao giảng dạy lớp mũi nhọn Học sinh đội tuyển toán 12 học sinh thi tốt nghiệp điểm cao nằm hai lớp này, mạnh dạn vận dụng sáng kiến để em có kiến thức từ lớp 10, qua phát triển tư tốn,có kiến thức vững để học tập tốt năm Kết luận, kiến nghị + Kết luận Qua việc ứng dụng đề tài vào giảng dạy cho học sinh, tơi nhận thấy chun đề phát triển, vận dụng rỗng rãi, đồng thời tiếp tục áp dụng cho năm tiếp theo, đặc biệt phù hợp với đối tượng học sinh khá, giỏi Tất nhiên khn khổ sáng kiến nên tơi chưa thể trình bày hết tất dạng áp dụng, tơi tiếp tục phát triển hồn thiện đề tài Bài học kinh nghiệm mà tơi rút từ q trình áp dụng SKKN là: Phải thường xuyên học hỏi trau rồi, tích lũy cập nhật kiến thức mới, cách giải hay, ngắn gọn, dễ hiểu, hình thức đề thi HSG, thi tốt nghiệp 12 để từ tìm phương pháp dạy học phù hợp.Muốn có trị giỏi trước hết phải có người thầy giỏi tâm huyết +Kiến nghị skkn 20 - Với thân, đồng nghiệp phải gương sáng để học sinh noi theo tinh thần tự dọc, tự bồi dưỡng nghiên cứu khoa học Thầy thật người gần gũi, thân thiện, giỏi chuyên môn, tinh hông nghiệp vụ,nhiệt tình dẫn dắt em chiếm lĩnh tri thức, từ để em khơng cảm thấy áp lực học tập - Tiếp theo là, thường xuyên tạo tình có vấn đề, kích thích tìm tòi học tập học sinh - Đối với trường THPT Hậu lộc I cần phát huy tốt truyền thống 58 năm xây dựng phát triển nhiều năm liền trương dẫn đầu kết thi HSG cấp tỉnh Nhạy bén phát đào tạo học sinh giỏi ôn luyện hoc sinh thi THPTQG để đề tài phát huy tính tự học HS, tính tự bồi dưỡng giáo viên - Đối Sở GD- ĐT cần trọng công tác kiểm tra đánh giá chất lượng giáo dục,có đổi khâu đề thi chọn HSG để phù hợp với kì thi tốt nghiệp lớp 12 Các sáng kiến kinh nghiệm hay, có hiệu cao giảng dạy nên ghép thành file gửi trường phổ thông để đồng nghiệp giao lưu, học tập vận dụng linh hoạt Từ góp phần nâng cao chất lượng giáo dục tỉnh nhà - Đối với Bộ giáo dục đào tạo, phát huy điểm mạnh, khắc phục hạn chế tồn khâu đề thi tốt nghiệp THPTQG gia câu phân phân loại học sinh Trong q trình thực đề tài, tơi nhận góp ý quý báu đồng nghiệp, song thời gian nghiên cứu ứng dụng chưa dài, nên đề tài không tránh khỏi nhiều hạn chế Rất mong tiếp tục nhận đóng góp khác từ phía đồng nghiệp để tơi hồn thiện đề tài XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 25 tháng năm 2022 ĐƠN VỊ CAM KẾT KHÔNG COPY Người thực Phạm Hùng Bích Nguyễn Văn Trình Xin chân thành cảm ơn ! skkn 21