Thông tin tài liệu
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT THIỆU HÓA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH PHÂN TÍCH TÌM PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHÙ HỢP CHO BÀI TỐN MAX, MIN VỀ MƠĐUN SỐ PHỨC Người thực hiện: Lê Văn Thượng Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THPT Thiệu Hóa SKKN thuộc lĩnh vực: Tốn THANH HÓA NĂM 2022 skkn 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 2.1 2.2 2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4 2.3.5 2.4 Mục lục MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Những điểm sáng kiến kinh nghiệm NỘI DUNG Cơ sở lí luận Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến Giải pháp thực Phương pháp phân tích chung Phương pháp hình học tìm max, mơđun số phức Phương pháp đại số tìm max, mơđun số phức Phương pháp giải tích tìm max, môđun số phức Bài tập tổng hợp Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Tài liệu tham khảo Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang 10 Trang 16 Trang 17 Trang 18 Trang 20 Trang 22 Trang 24 skkn Skkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phuc MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Trong chương trình sách giáo khoa giải tích 12 chương IV (chương số phức) xây dựng khái niệm số phức cách nhẹ nhàng Tuy nhiên với tình hình đổi thi trắc nghiệm số phức khai thác sâu, đề thi tốt nghiệp THPT xuất câu hỏi số phức mức vận dụng, vận dụng cao Một dạng toán hỏi nhiều tốn max, mơđun số phức Để giải toán học sinh cần có kiến thức bất đẳng thức, hàm số hình học Đặc biệt hình học, cách đặt tương ứng số phức với điểm mặt phẳng tọa độ, ta thấy Đại số Hình học có mối liên hệ với "gần gũi" Hơn nhiều toán số phức, chuyển sang hình học, từ số trừu tượng, toán minh họa cách trực quan, sinh động giải hình học với phương pháp đẹp Đặc biệt, kỳ thi TN THPT, việc sử dụng phương pháp hình học để giải tốn số phức phương pháp hay hiệu tốn max, mơđun số phức Hơn nữa, với tốn hình học theo phương pháp trắc nghiệm, biểu diễn giấy qua hình ảnh minh họa, ta lựa chọn đáp án cách dễ dàng Qua thực tiễn giảng dạy số phức đặc biệt ôn tập cho hoc sinh thi tốt nghiệp THPT nhận thấy nhiều học sinh cịn lúng túng chưa có hướng giải tốn max, mơđun số phức thân tơi ln trăn trở cần tìm phương pháp hướng dẫn học sinh phân tích, tìm lời giải cho lớp toán Qua nhiều năm giảng dạy, học hỏi đồng nghiệp tìm hiểu tài liệu mạng thân đúc kết thành kinh nghiệm hướng dẫn học sinh phân tích tìm lời giải cho tốn max, mơđun số phức phương pháp hình học, đại số giải tích 1.2 Mục đích Mục đích nghiên cứu SKKN giúp học sinh phân tích tốn max, mơđun số phức để nhanh chóng đưa lời giải phù hợp chó toán cụ thể Để giải tốt toán này, yêu cầu học sinh cần nắm vững mối liên hệ số phức với hình học phẳng, hình học giải tích mặt phẳng, kiến thức bất đẳng thức, hàm số 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Các tập hợp điểm biểu diễn hình học số phức: Đường thẳng, đoạn thẳng, đường tròn, đường elíp - Các bất đẳng thức tính chất bất đẳng thức với kiến thức hàm số Skkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phuc skkn Skkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phuc - Giải tốn max, mơđun số phức từ phương diện hình học, đại số, giải tích 1.4 Phương pháp nghiên cứu -Kết hợp linh hoạt phương pháp hình học, đại số giải tích để giải tốn max, mơđun số phức -Phỏng vấn trình độ nhận thức, kỹ giải tốn học sinh -Tổng kết kinh nghiệm, tìm khó khăn, thuận lợi giải toán max, trước sau học phương pháp phân tích 1.5 Những điểm sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh phân tích tốn max, khía cạnh hình học, đại số giải tích Từ giúp học sinh có nhìn tổng quan tốn max, mơđun số phức Trên sở đứng trước tốn max, mơđun số phức học sinh nhanh tróng đưa phương pháp giải phù hợp, tìm kết nhanh Skkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phuc skkn Skkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phuc NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Những kiến thức (Do giới hạn sáng kiến nên khơng trình bày viết này) 2.1.2 Những tập hợp điểm phổ biến Một số quỹ tích nên nhớ Quỹ tích điểm M Biểu thức liên hệ (2) (1)Đường thẳng (1) (2) Đường trung trực đoạn ABvới Đoạn thẳng cho hay , với biểu diễn biểu diễn cho Đường tròn tâm Hình trịn tâm , bán kính , bán kính Hình vành khăn giới hạn hai đường trịn đồn tâm kính , bán Đường líp có hai tiêu điểm hay , tâm tâm đối xứng 2.1.3 Các bất đẳng thức thường gặp dấu xảy dấu xảy dấu xảy dấu xảy Skkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phuc skkn Skkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phuc 2.1.4 Các kiến thức hàm số lượng giác ( Do giới hạn sáng kiến nên khơng trình bày viết này) 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Qua thực tiễn giảng dạy, ôn tập cho hoc sinh thi TN THPT nhận thấy đứng trước tốn max, mơđun số phức nhiều em chưa có hướng giải với lý phần kiến thức phức hợp yêu cầu học sinh phải nắm vững khái niệm số phức, đặc biệt mối liên hệ số phức với hình học Ngồi em cịn phải có kiến thức bất đẳng thức, kiến thức hàm số 2.3 HƯỚNG DẪN HỌC SINH PHÂN TÍCH TÌM LỜI GIẢI CHO BÀI TỐN MAX, MIN VỀ MƠĐUN SỐ PHỨC 2.3.1 Phương pháp phân tích chung: Bước Tìm mối liên hệ phần thực phần ảo số phức z Đây trình tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện tốn Bước Phân tích tốn để tìm phương pháp giải phù hợp: - Chuyển toán tốn hình học, sử dụng khoảng cách hình học để tìm max, - Sử dụng bất đẳng thức để đánh giá - Sử dụng khảo sát hàm số để đánh giá - Sử dụng phương pháp lượng giác hóa để đánh giá Bài tốn Cho số phức cho thỏa mãn số thực Tìm đạt giá trị nhỏ Hướng dẫn học sinh phân tích tìm lời giải Gọi , đó: Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức ta có cách giải toán số thực đường thẳng (d): , từ hình Cách (Hình học) Gọi chiếu điểm biểu diễn (d), ta tìm Cách (Dùng bất đẳng thức) Ta có Skkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phuc skkn Skkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phuc Vậy Hay áp dụng (BĐT Bunhiacopxki), ta có: Cách (Phương pháp hàm số) Ta có Xét hàm số lập bảng biến thiên ta Bài toán Cho số phức thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ Hướng dẫn học sinh phân tích tìm lời giải Gọi , đó: Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức ta có cách giải tốn đường thẳng : , từ Cách (Hình học) Gọi điểm biểu diễn , biểu diễn , nên Cách (Dùng bất đẳng thức) Ta có: Vì Vậy Hay áp dụng (BĐT Bunhiacopxki), ta có: Suy Cách (Phương pháp hàm số) Skkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phuc skkn Skkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phuc Ta có Xét hàm số lập bảng biến thiên ta Bài toán Cho số phức nhỏ nhất, lớn thỏa mãn Tìm số phức có mơđun Hướng dẫn học sinh phân tích tìm lời giải Gọi , đó: Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức đường trịn có phương trình: có tâm , từ ta có cách giải tốn Cách (Hình học) Gọi điểm biểu diễn Phương trình đường thẳng Đường thẳng phương trình: cắt đường trịn hai điểm Ta thấy với điểm M thuộc đường trịn Vậy có tọa độ nghiệm hệ Cách (Dùng bất đẳng thức) * Đặt Ta có: Áp dụng BĐT Bunhia, ta có: Từ suy Vậy , Skkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phuc skkn Skkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phuc * Hay áp dụng (BĐT Bunhiacopxki), ta có: Vì Áp dụng BĐT Bunhia, ta có: Vậy , Cách (Phương pháp lượng giác hóa) Đặt Khi Do , Vậy Bài toán Cho số phức nhỏ nhất, lớn thỏa mãn Tìm số phức có mơđun Hướng dẫn học sinh phân tích tìm lời giải Gọi biểu diễn thỏa mãn đường elip có phương trình Ta có tập hợp Từ ta có cách giải sau: Cách (Hình học) Tập hợp phương trình biểu diễn thỏa mãn đường elip có Tọa độ đỉnh là: Từ ta có: hoặc hay hay Cách (Dùng bất đẳng thức) Skkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phuc skkn Skkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phuc Ta có: Vì nên Vậy , Cách (Phương pháp lượng giác hóa) Đặt Khi Do Vậy , Trên phương pháp chung phân tích tìm lời giải cho tốn max, mơđun số phức Tuy nhiên khơng phải tốn giải nhiều cách khác nói trên, mà tùy học sinh cần tìm phương pháp giải phù hợp Sau tập với phương pháp giải phù hợp cho đặc điểm tốn 2.3.2 Phương pháp hình học Dạng 1: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức đường thẳng Bài toán Cho số phức Ta có quỹ tích điểm thỏa mãn biểu diễn số phức , tìm đường trung trực đoạn với Bài toán Cho số phức thỏa mãn điều kiện Ta có quỹ tích điểm biểu diễn số phức Tìm đường trung trực đoạn với Nhận xét: Skkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phuc 10 skkn Skkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phuc D A H E N Gọi điểm biểu diễn số phức , Ta có: đoạn thẳng Gọi hình chiếu , Suy Bài toán Cho số phức lên nên ta có , ta có Vậy thỏa mãn thuộc Gọi giá trị lớn giá trị nhỏ Tìm Hướng dẫn học sinh phân tích tìm lời giải Gọi điểm biểu diễn ta có: Gọi suy Skkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phuc 12 skkn Skkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phuc Theo hình vẽ, với với hay Vậy Dạng 2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức đường trịn Bài toán Cho số phức thỏa mãn điều kiện Tìm Ta có quỹ tích điểm bán kính đó: biểu diễn số phức đường trịn tâm Lưu ý: Đề cho dạng khác, ta cần thực phép biến đổi để đưa dạng bản, chẳng hạn: Cho số phức thỏa mãn điều kiện Cho số phức thỏa mãn điều kiện (liên hợp vế) thỏa mãn Cho số phức hay Skkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phuc 13 skkn Skkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phuc Bài toán Cho hai số phức Tìm giá trị nhỏ thỏa mãn , Hướng dẫn học sinh phân tích tìm lời giải Ta có tập hợp điểm biểu diễn số phức trịn có tâm , bán kính biểu diễn số phức có tâm , bán kính thỏa mãn đường trịn Nên Suy Bài toán Xét số phức biểu thức đường Tập hợp điểm Khi Ta có: thỏa mãn thẳng hàng thỏa mãn nằm Tìm giá trị nhỏ Hướng dẫn học sinh phân tích tìm lời giải Skkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phuc 14 skkn Skkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phuc Ta có tập hợp điểm đường trịn Gọi thỏa mãn điểm biểu diễn số phức Nhận thấy, điểm tròn biểu diễn số phức nằm đường tròn điểm , mà Khi đó, nằm ngồi đường giao điểm đoạn với Dạng 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức Elip Bài toán Cho số phức Ta có quỹ tích điểm thỏa mãn điều kiện biểu diễn số phức Bài toán 10 Cho số phức Tìm Elip: thỏa Tìm giá trị lớn Hướng dẫn học sinh phân tích tìm lời giải Gọi điểm biểu diễn số phức thỏa mãn Xét Suy Khi thuộc Elip có Skkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phuc 15 skkn Skkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phuc Ta có: , với điểm suy Bài toán 11 Cho hai số phức thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ Hướng dẫn học sinh phân tích tìm lời giải Đặt elip Tập hợp điểm nên tập hợp điểm biểu diễn số phức Đường thẳng biểu diễn số phức thuộc đường thẳng Yêu cầu tốn trở thành tìm giá trị nhỏ thẳng với điểm song song với tiếp xúc với có dạng Đường Với Với Vậy Skkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phuc 16 skkn Skkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phuc 2.3.3 Phương pháp đại số Bài toán Cho số phức thỏa mãn Tìm giá trị lớn Hướng dẫn học sinh phân tích tìm lời giải Ta có: Vậy Bài toán Cho số phức thỏa mãn của Tìm giá trị lớn , giá trị nhỏ Hướng dẫn học sinh phân tích tìm lời giải Ta có: Mặt khác nên Suy Vậy Bài toán Cho số phức biểu thức thỏa mãn Tìm giá trị lớn Hướng dẫn học sinh phân tích tìm lời giải Ta có: Từ ruy Skkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phuc 17 skkn Skkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phuc Vậy 2.3.4 Phương pháp giải tích Bài tốn Cho số phức thỏa mãn Tìm giá trị lớn biểu thức Hướng dẫn học sinh phân tích tìm lời giải Gọi , ta có: Khi Xét hàm số Hàm số liên tục với Vậy ta có: Bài tốn Cho số phức thoả mãn , Gọi và giá trị nhỏ biểu thức Hướng dẫn học sinh phân tích tìm lời giải Thay vào giá trị lớn Tính ta có : Mặt khác Skkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phuc 18 skkn Skkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phuc Đặt nên điều kiện Suy Xét hàm số với với Suy với Suy với Ta có bảng biến thiên Từ bảng biến thiên suy Vậy 2.3.5 Các toán tổng hợp Bài toán Cho số phức thỏa mãn thứ Tìm giá trị nhỏ biểu Hướng dẫn học sinh phân tích tìm lời giải Gọi Ta có: Khi Áp dụng bất đẳng thức : ta có: Skkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phuc 19 skkn Skkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phuc Dấu xảy Xét hàm số , với , ta có: ; Ta có: Suy Do Vậy Bài tốn Cho số phức hay thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ biểu thức Hướng dẫn học sinh phân tích tìm lời giải Gọi , , , , điểm biểu diễn cho số phức , Có Suy độ dài trục nhỏ Có , có chạy có tiêu cự , độ dài trục lớn phương trình tắc , Skkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phuc 20 skkn Skkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phuc Có Áp dụng bất đẳng thức : ta có: Đặt , với Có , Có Có , Suy Đẳng thức xảy 2.4 Hiệu sau thực sáng kiên Trên phương pháp phân tích tìm lời giải cho tốn môđun số phức mà nghiên cứu áp dụng vào thực tế giảng dạy lớp 12G có 46 học sinh, 12A có 41 học sinh (hai lớp khối A) ơn tập cho học sinh cuối khóa năm học 2020-2021 trường THPT Thiệu Hóa Trước dạy phương pháp cho học sinh làm kiểm tra thu kết sau: Điểm Điểm Điểm 5;6 Điểm 7;8 Điểm 9;10 Skkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phuc 21 skkn Skkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phuc Lớp 12A - lần 36,58% 53,66% 9,76% 0% 12G – lần 45,65% 47,83% 6,52 % 0% Sau tơi áp dụng phương pháp phân tích cho lớp 12G tiếp tục cho hai lớp làm kiểm tra thu kết sau: Điểm Lớp Điểm Điểm 5;6 Điểm 7;8 Điểm 9;10 12A - lần (chưa áp dụng phương pháp) 26,83% 43,9 % 29,27 % 0% 0% 19,57 % 52,17 % 28,26% 12G - lần (Đã áp dụng phương pháp) Khi hướng dẫn học sinh lớp 12A áp dụng phương pháp tiếp tục khảo sát lần thu kết bất tốt sau: Điểm Điểm Điểm 5;6 Điểm 7;8 Điểm 9;10 12A - lần 0% 2,44% 58,54% 39,02% 12G – lần 0% 6,52 % 60,87 % 32,61,% Lớp Đây kết đáng mừng, thể học sinh học phương pháp phân tích tốn mơđun số phức mà tơi đúc rút từ kinh nghiệm giảng dạy em vận dụng vào làm tập tốt Trong buổi sinh hoạt chun mơn tơi có trao đổi với đồng nghiệp đồng nghiệp góp ý, đánh giá sáng kiến có tính vận dụng thực tiễn cao Sáng kiến tơi nội dung bổ ích sinh hoạt chuyên môn tổ đồng nghiệp đưa vào áp dụng cho kết tốt Skkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phuc 22 skkn Skkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phuc KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Sáng kiên kinh nghiệm viết từ thực tiễn giảng dạy nhiều năm lớp 12 Tôi theo dõi rút kinh nghiệm từ năm học 2016-2017 Năm học 2020-2021 tiến hành áp dụng khảo sát giảng dạy hai lớp 12A 12G Kết khảo sát cho thấy hiệu phương pháp mà tơi trình bày sáng kiên cao Do giới hạn sáng kiến nên nhiều vấn đề chưa rộng trình bày viết Sáng kiến đề cập vấn đề số phức, lại vấn đề phổ biến đề ôn luyện thi TN THPT vấn đề gây khó khăn cho nhiều học sinh Chính đề tài đồng nghiệp đánh giá cao đưa vào áp dụng giảng dạy 3.2 Kiến nghị Trong chương trình tốn phổ thơng, tốn số phức nói chung tốn max, mơ đun số phức nói riêng tốn học sinh học cuối lớp 12 thời gian tìm hiểu loại tốn Hầu hết học sinh gặp khó khăn tiếp cận với tốn max, môđun số phức Để giúp học sinh biết cách phân tích tìm lời giải đồng thời biết vận dụng cách linh hoạt kiến thức để giải nhiều dạng tốn khác tơi xin nêu số giải pháp đề nghị sau: Skkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phuc 23 skkn Skkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phuc Bước 1: Hệ thống hóa kiến thức khái niệm số phức, mối liên hệ số phức với hình học, biểu diễn hình học số phức kiến thức bất đẳng thức, bất đẳng thức môđun số phức, kiến thức hàm số Bước 2: Hướng dẫn học sinh biết cách phân tích tìm lời giải tốn điển hình vể dạng tốn max, mơđun số phức Bước 3: Giúp em rèn luyện kĩ phân tích, vận dụng kiến thức hình học, đại số giải tích cách linh hoạt từ tìm lơì giải phù hợp cho tốn, đặc biệt toán tổng hợp nâng cao Gợi mở cho học sinh hướng phát triển, mở rộng toán Trên số ý kiến nhỏ tơi qua q trình giảng dạy tốn max, mơđun số phức lớp 12 THPT hướng dẫn học sinh cuối khóa ơn tập Rất mong nhận góp ý thầy giáo đọc giả Xin chân thành cảm ơn Sáng kiến kinh nghiệm tơi trình bày ý tưởng hình thành trình giảng dạy trải nghiệm thực tế, qua kết học tập học sinh, cam đoan sáng kiến kinh nghiệm cá nhân tự nghiên cứu Nếu sai xin hồn tồn chịu trách nhiệm Thiệu Hóa, ngày 24 tháng năm 2022 Tác giả Lê Văn Thượng XÁC NHẬN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC TRƯỜNG THPT THIỆU HÓA CHỦ TỊCH Skkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phuc 24 skkn Skkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phuc TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa, sách tập toán lớp 12- Nhà xuất Giáo dục Bài tập dại số giải tích 12 nâng cao – Nhà xuất Giáo dục Đề thi Đại học năm – Bộ giáo dục Đào tạo Phân loại phương pháp giải toán Đại số Tổ hợp Số phức - NXB Đại học Quốc gia Hà nội – Th S Lê Thị Hương, Th S Nguyễn Kiếm, Th S Hồ Xuân Thắng 18 chủ đề giải tích 12- Nhóm biên soạn sách bỗ trợ giáo dục OLYMPIC, chủ biên: Nguyễn Tất Thu- Nguyễn Văn Dũng Tài liêu mạng: Chuyên đề cực trị số phức Danh mục sáng kiến đạt giải Sở GD&ĐT đánh giá xếp loại: Ứng dụng đạo hàm giải biện luận phương trình, bất phương trình hệ phương trình - Được hội đồng khoa học ngành đánh giá xếp loại B Năm học 2010 – 2011 Skkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phuc 25 skkn Skkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phuc Skkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phucSkkn.huong.dan.hoc.sinh.phan.tich.tim.phuong.phap.giai.phu.hop.cho.cac.bai.toan.max min.ve.modun.so.phuc
Ngày đăng: 27/12/2023, 01:43
Xem thêm:
