Đây là tài liệu mình chắc lọc và tìm kiếm trên mạng, mình cảm thấy rất hay và đầy đủ nên muốn chia sẻ cho mọi người. Các bạn có thể liên hệ mình để được tặng miễn phí nhé Phải sống thật thoáng và tình cảm để cuộc sống này ý nghĩ hơn
Trang 1Ph¬ng ph¸p gi¶I bµi to¸n vÒ CON LẮC ĐƠN I.CƠ SỞ LÍ THUYẾT:
1 Con lắc đơn gồm một vật nặng khối lượng m, kích thước nhỏ, treo bằng một sợi dây mảnh không co giãn ( kích thước của vật rất nhỏ so với độ dài của dây, khối lượng của dây rất nhỏ so với m)
2 Lúc chưa dao động, con lắc đứng yên ở vị trí cân bằng, dây treo có phương thẳng đứng Trong quá trình vật dao động, hợp lực tác dụng lên vật theo phương chuyển động là
α
sin
mg
F = −
( α là góc lệch khỏi vị trí cân bằng )
Với dao dộng nhỏ
l
S mg
F = − Phương trình dao động
) sin(
S α Hay α = α0sin(ωt+ ϕ)
Tần số góc
l
g
=
ω l
Chu kì dao động
f g
l
T = 2 π = 1 ( f: tần số dao động ) m
2 cos
1
2
α
α mgl mgl
E t = − = s
Động năng: E d = mv = mω s02 2(ωt+ ϕ)
2 2
cos 2 2
Cơ năng toàn phần
2 2
2 0
2 0
ω s mgl m
E E
E = d + t = =
4 Chu kì của con lắc đơn phụ thuộc vào độ cao ( hoặc độ sâu ) Ở độ cao h, gia tốc trọng trường
2
0 +
=
h R
R
g
g
d
d
h
( Rđlà bán kính trái đất, h là độ cao của vật ( con lắc ) so với mặt đất, Rđ= 6400km,
g0 là gia tốc trọng trường ở mặt đất )
Ở độ sâu d so với mặt đất
2
0 −
=
d R
R g g
d d d
Trang 2Chu kì con lắc đơn phụ thuộc vào nhiệt độ:
l
l = + λ
λ là hệ số nở dài của dây treo con lắc, l0 là độ dài ở 00C, còn l là độ dài ở nhiệt độ
t0C )
5 Nếu ngoài lực căng Tcủa dây treo và trọng lực Pcủa vật, con lắc còn chịu them tác dụng của ngoại lực Fkhông đổi ( lực điện…) thì coi như con lắc chịu tác dụng của trọng lực “hiệu dụng” Ph =P+F( ngoài lực căng T)
Gia tốc
m
P
h
= gọi là gia tốc “hiệu dụng”
m
F
g
g h
+
= Khi đó chu kì dao động của con lắc là:
h
g
l
T = 2 π
II CÁC DẠNG BÀI TẬP:
DẠNG 1: Xác định chu kì ( hoặc độ dài ) của con lắc đơn và sự phụ thuộc chu kì con
lắc đơn vào độ cao và nhiệt độ
BÀI TẬP VÍ DỤ 1: Con lắc của một chiếc đồng hồ quả lắc được coi như một con
lắc đơn có chu kì dao động là 2s ở nhiệt độ 00C và tại nơi có g = 9,81m/s2
a) Tính chiều dài của thanh treo quả lắc
b) Thanh treo quả lắc làm bằng kim loại có hệ số nở dài λ = 1 , 80 10−5K−1.Hỏi nhiệt
độ tăng lên đến 200C thì đồng hồ đó chạy nhanh lên hay chạy chậm đi? Trong một tuần lễ nó chạy nhanh hay chậm bao nhiêu?
c) Đưa đồng hồ lên cao 1km, tại đó nhiệt độ là 00C thì nó chạy nhanh lên hay chạy chậm đi? Trong một ngày nó chạy nhanh chậm bao nhiêu?
GIẢI:
a) Áp dụng công thức tính chu kì
g
l
T = 2π 0 ( 1 )
Ta được: l T 0 , 994m
4 2
2
π
b) Gọi T’ là chu kì con lắc ở 200C và áp dụng công thức về sự dãn nở dài
( 0)
l
l = + λ ta có
Trang 3( )
g
t l
g
l T
0 0
2π = + λ
2 1 1
0 0
'
+
≈ +
≈ +
T
T
:
T >
→ đồng hồ chạy chậm đi
Số lần dao động n mà bây giờ con lắc thực hiện được trong 1 ngày là ( 1 ngày = 24.3600 = 86400s )
) 10 1 (
86400 86400
+
=
=
T T
T
n
Cứ sau một dao động ( Sau một chu kì T’) kim đồng hồ của con lắc vẫn chỉ thời gian biểu kiến là T = 2s, vậy sau n lần dao động ( sau 1 ngày ) đồng hồ chỉ một thời gian biểu kiến là
τ = = 86400( 1 − 10 λ ).T = 86400 ( 1 − 10 λ )
T nT
Nghĩa là đồng hồ ở nhiệt độ t = 200C mỗi ngày chậm là: θ = 86400 − τ = 86400 10 λ,
và trong một tuần lễ đồng hồ chạy chậm
7 θ = 86400 10 λ 7 ≈ 109s
d) Gọi T là chu kì con lắc ở độ cao h = 1km
Ta có:
2
0
0
+
=
=
h R
R g g g
l T
d
d h
h
g g 9 , 81m/s2 ,R d 6400km
Từ 1, 2 ta được:
d d
d
h R
h R g
g T
T' = = + = 1 +
''
Nghĩa là T’’ > T’ : ở trên cao đồng hồ đã chạy chậm đi
Lập luận tương tự như trên, ta tìm được số lần dao động n’ mà con lắc ở trên cao
đã thực hiện được trong một ngày là:
= ≈ −R d
h T
n' 86400'' 86400 1
Và mỗi ngày đồng hồ chạy chậm
R
h
d
5 , 13
86400 ≈
=
θ
Trang 4Bài tập ví dụ 2: Hai con lắc đơn có chiều dài lần lợt là l1; l2và có chu kì dao
động T1,T2 tại một nơi có gia tốc trọng trờng g = 9,81m/s2 Biết rằng cũng tại nơI
đó, con lắc đơn có chiều dài l1+ l2 có chu kì dao động là 4,8s và con lắc đơn có chiều dài l1+ l2 ở chu kì dao động là 1,6s Hãy tính T1,T2, l1và l2
Giải:
áp dụng công thức:
g
l
T = 2 π ta đợc
2
2
4π
gT
l =
Theo đề bài
( ) ( )
T
s T
T
T T T
T T T
gT l l
gT l l
gT l
gT l
2 , 3 6
, 1 8 , 4 2
58 , 3 5 6 , 1 6
, 1 8 , 4 2
6 , 1
8 , 4 4
; 4
4
, 4
2 2 2
2 2
1 2 2
2 1
2 2 4
2 2
2 1
2 2 3
2 2
2 1
2
2 4 2 1 2
2 3 2 1
2
2 2 2 2
2 1 1
=
→
−
=
≈
=
→ +
=
=
=
−
=
= +
→
=
−
= +
=
=
π π
π π
độ dài của con lắc:
l gT 3,18m
4 2
2 1
gT
l 2 , 55
4 2
2 2
π
Bài tập áp dụng:
Bài tập 1: Một con lắc đồng hồ chạy đúng trên mặt đất với chu kì dao động
bằng 2s
a) Đa đồng hồ xuống giếng sâu 100m thì trong một ngày đêm đồng hồ chạy nhanh chậm bao nhiêu?
b) Khi đa đồnh hồ lên cao, nó chạy chậm đi 2,16s mỗi ngày đêm, tính độ cao của
đồng hồ so với mặt đất
Bài tập 2: Một đồng hồ quả lắc chỉ giờ đúng ở mức mặt biển và ở nhiệt độ 180C Thanh treo con lắc có hệ số nở dài λ = 2 10−5K−1.
a) Khi nhiệt độ hạ xuống đến 80C thì đồng hồ vẫn chỉ giờ đúng Giải thích hiện tợng
và tính độ cao của đỉnh núi đó so với mức mặt biển
PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
1 Áp dụng cụng thức
g
l
T = 2 π , khi biết chu kỡ dao động của con lắc, ta tớnh được chiều dài con lắc, và ngược lại, khi biết l ta tớnh được T cũng cú trường hợp, nếu đo được T và l tại một nơi nào đú ta sẽ tớnh được giỏ trị của gia tốc trọng trường tại nơi đặt con lắc
Trang 52 Dựa vào công thức l =l0(1 + λt0)ta tính được chiều dài con lắc ở một nhiệt độ
nhất định, từ đó ta tính được chu kì dao động T’ của con lắc ở nhiệt độ đó Từ
đó nếu T’ > T thì chu kì dao động bây giờ lớn hơn trước , nghĩa là đồng hồ (quả lắc đồng hồ) chạy chậm đi Còn nếu T’ < T thì đồng hồ chạy nhanh lên
3 Cũng như vậy dựa vào công thức tính gia tốc trọng trường gh ở độ cao h so với mặt đất (hoặc gia tốc trọng trường gd ở độ sâu d so với mặt đất) ta tính được chu kì dao động T’’ của con lắc ở độ cao h (hoặc ở độ sâu d) Từ đó ta thấy ở
độ cao h T’’ > T, nghĩa là ở độ cao h so với mặt đất đồng hồ chạy chậm lại ( và một cách tương tự, ở độ sâu d đồng hồ chạy nhanh hơn )
4 Để xác định xem đồng hồ chạy nhanh hay chậm bao nhiêu trong một khoảng thời gian nhất định ( trong một ngày, 1 tuần lễ, trong một tháng…), phải xác định số lần dao độngn mà can lắc đã thực hiện trong khoảng thời gian ∆t
( bằng cách tính thương của n và T’ (hoặc T’’): '
T
t
n= ∆
Và lưu ý rằng cứ sau một dao động ( Sau một chu kì T’ hoặc T’’) kim đồng
hồ của con lắc vẫn chỉ thời gian biểu kiến là T = 2s, từ đó tìm được là: sau n lần dao động đó đồng hồ đã chỉ một thời gian biểu kiến bằng nT Từ đó xác định được rằng trong khoảng thời gian ∆t đồng hồ đã chạy chậm ( hoặc nhanh ) là
1 '
T
T t nT
t− = ∆ −
∆
5 Khi giải các bài toán về con lắc đơn ta thường sử dụng các công thức gần đúng:
nx x
n
n
±
≈
±
±
=
±
1 1
1
1 1
Khi x << 1
6 Khi tính toán bằng số cần chú ýđến đơn vị đo các đại lượng và phải đổi các dữ liệu cho trong đề về các đơn vị SI, trước khi thay chúng vào các công thức tính
DẠNG 2: Xác định chu kì dao động của con lắc bằng phương pháp trùng phùng BÀI TẬP VÍ DỤ 1: Cho một con lắc đơn, có chu kì T chưa biết, dao động trước
mặt một con lắc đồng hồ có chu kì T0 = 2s Con lắc đơn dao động chậm hơn con lắc
Trang 6đồng hồ một chỳt nờn cú những lần hai con lắc chuyển động cựng chiều và trựng với nhau tại vị trớ cõn bằng của chỳng ( gọi là những lần trựng phựng ) Quan sỏt cho thấy khoảng thời gian giữa hai lần trựng phựng lien tiếp bằng 7 phỳt 30 giõy Hóy tớnh chu
kỡ T của con lắc đơn và độ dài của con lắc đơn Cho biết g = 9,8m/s2.
GIẢI:
Vỡ con lắc đơn dao động chậm hơn con lắc đồng hồ ( nghĩa là trong cựng một khoảng thời gian số dao động của nú nhỏ hơn số dao động của con lắc đồng hồ ), cho nờn, trong khoảng thời gian θ = 7 phỳt 30 giõy = 450 giõy nếu con lắc đơn thực hiện được
n dao động thỡ con lắc đồng hồ thực hiện được ( n + 1 ) dao động ta cú:
1 1
0
0
−
=
=
+
=
=
T T n
T n nT
θ θ θ
Hay θ
1 1 1
0
−
=
T T
T
T
448
450 2
0
−
=
θ
θ
Từ cụng thức
g
l
T = 2 π tỡm được độ dài của con lắc đơn
l gT 1 00m
4 2
2
≈
= π
Bài tập ví dụ 2: Cho một con lắc đồng hồ có chu kì T0 = 2s và một con lắc đơn dài 1m có chu kì T cha biết Con lắc đơn dao động nhanh hơn con lắc đồng hồ một chút Dùng phơng pháp trùng phùng ngời tag hi đợc khoảng thời gian giữa hai lần trùng phùng liên tiếp bằng 8 phút20 giây.Hãy tính chu kì T của con lắc đơn và gia tốc trọng trờng tại nơi quan sát
Giải:
Ta có:
θ
θ θ
1
1
1
500 ,
1
0
0
+
=
→
= +
=
T
T
s T
n
nT
Hay
2 2
2
0 0
/ 939 , 9 4
992 , 1 2 500
2 500
s m T
g
s T
T
T
≈
=
= + +
=
π
θ
θ
Bài tập áp dụng: Cho một con lắc đơn dao động trớc mặt một con lắc của đồng
hồ gõ giây ( có chu kì dao động là 2s )
Trang 7Con lắc đơn dao động chận hơn con lắc đồng hồ một chút nên có những lần hai con lắc đó chuyển động cùng chiều và đi qua vị trí cân bằng cùng một lúc ( gọi là những lần trùng phùng) Quan sát cho thâý hai lần trùng phùng kế tiếp cách nhau 9 phút 30giây
a) Tính chu kì dao động của con lắc đơn
b) Biết độ dài của con lắc đơn là 1m, hãy xác định gia tốc rơi tự do g
PHƯƠNG PHáP GIảI:
Đõy là bài toỏn về phương phỏp trựng phựng, nhờ đú cú thể đo được chu chu kỡ dao động của con lắc ( hoặc gia tốc trọng trường ) Nội dung của bài toỏn là: cho hai con lắc ( Một con lắc cú chu kỡ T0 đó biết và một con lắc cú chu kỡ T cần cỏc định ) dao động trong hai mặt phẳng thẳng đứng, song song, trước mặt người quan sỏt Chỳng được bố trớ sao cho người quan sỏt ghi được những lần chỳng đi qua vị trớ cõn bằngcựng một lỳc và cựng chiều ( những lần trựng phựng ) Gọi θ là khoảng thời gian giữa hai lần trựng phựng liờn tiếp
Nếu T < T0 thỡ con lắc cú chu kỡ T cần xỏc định sẽ thực hiện được nhiều lần dao động hơn con lắc cú chu kỡ T0 một đơn vị, và ta cú
θ =nT0 =(n+ 1)T
Ngược lại, nếu chu kỡ T > T0 ta lại cú
θ =nT =(n+1 T) 0
Từ đú suy ra:
θ
θ 1 1 1
1 1 1
0
0
−
=
+
=
T T
T T
Từ đú ta xỏc định được T ( theo T0 và θ ) và ỏp dụng cụng thức
g
l
T = 2 π ta sẽ xỏc
định được độ dài l ( khi biết g ) hoặc gia tốc trọng trường g( khi biết l )
DẠNG 3: Xỏc định chu kỡ dao động của con lắc đơn chịu tỏc dụng của ngoại lực
(ngoài trọng lực)
BÀI TẬP VÍ DỤ 1: Một con lắc đơn gồm một quả cầu nhỏ cú khối lượng m = 100g
mang điện tớch q= + 10-5C, được treo bằng một sợi dõy cú độ dài l Đặt con lắc vào trong một điện trường đều mà vộc tơ cường độ điện trường Ehướng thẳng đứng lờn trờn và cú độ lớn E = 100V/cm Hóy xỏc định chu kỡ dao động của con lắc, biết gia
Trang 8tốc trọng trường g = 9,80m/s2 và khi khụng cú điện trường thỡ chu kỡ dao động của con lắc bằng 1,4s
giải:
Con lắc dao động trong trọng trường và điện trường; trường này tổng hợp cú tớnh chất hoàn toàn giống như trọng trường nờn được gọi là “trọng trường hiệu dụng” và
ta cú thể coi con lắc chịu tỏc dụng của “trọng trường hiệu dụng”
P' =P+F với F = qE
Gọi g' là gia tốc trọng trờng hiệu dụng ( gọi tắt là “gia tốc hiệu dụng”)
Ta có
m
F P m
P
g
= ' = +
m
E q g g
' = + (1) Chọn trục xx’ hớng thẳng đứng xuống dới và chiếu đẳng thức véc tơ (1) xuống trục
xx’ ta đợc
m
qE g
g' = −
Do đó chu kì dao động T’ củacon lắc bây giờ bằng
' 2 '
g
l
T = π
Biết
g
l
T = 2 π ta có
m
qE g
g g
g
T
T
−
=
'
Thay số ta đợc 1m/s2
m
qE = với E = 100V/cm = 104 V/m
s T
T
T
T
48 , 1
06
,
1
06 1 1
8
,
9
8
,
9
'
'
≈
=
≈
−
=
Bài tập ví dụ 2: Một con lắc đơn gồm một quả cầu nhỏ bằng kim loại có khối
l-ợng
m = 40g đợc treo vào một sợi dây dài 1,2m, tại nơI mà g = 9,8m/s2
a) tính chu kì dao động của con lắc
b) Tích điện cho quả cầu một điện tích q = + 104C rồi cho nó dao động trong điện tr-ờng đều có ctr-ờng độ E = 10V/cm Hãy xác định vịo trí cân bằng và chu kì dao động của con lắc trong hai trờng hợp: vectơ Ehớng thẳng đứng xuống dới, vectơ E hớng nằm ngang
Giải:
Trang 9a) s
g
l
8 , 9
2 , 1 28 , 6
= π
b) E = 10V/cm = 1000 V/m
4 3 2 , 4 / 2
04 ,
0
10 10
s m m
qE = − =
Trờng hợp 1: Con lắc có vị trí cân bằng theo phơng thẳng đứng và có chu kì
m
qE g
l
5 , 2 8 , 9
2 , 1 28 , 6 2
+
= +
= π
Trờng hợp 2: ở vị trí cân bằng dây treo con lắc có phơng nghiêng một góc αso với phơng thẳng đứng, với
0 , 255
8 , 9 04 , 0
10
10 4 3
≈
=
P
F
tgα
Chu kì của con lắc là:
2 2 '
g
l
T = π
Với ' 2 2 ≈10,14
+
=
m
qE g
g
Suy ra T2 ≈ 2,16s
Bài tập áp dụng:
Bài tập 1: Một con lắc đơn có chu kì dao động T = 1,5s tại nơi có gia tốc trọng trờng
g = 9,80m/s2 Treo con lắc vào trần một thang máy Hãy tính chu kì của con lắc trong các trờng hợp:
a) Thang máy đi lên nhanh dần đều với gia tốc 0,6m/s2
b) Thang máy đi lên chậm dần đều với gia tốc 0,6m/s2
c) Thang máy chuyển động đều
Bài tập 2: Một con lắc đơn có chu kì dao động T = 2s tại nơi có gia tốc trọng trờng
g = 10m/s2 Treo con lắc vào trần một thang máy
a) Tìm chu kì dao động của con lắc trong trờng hợp thang máy đi lên: nhanh dần đều với gia tốc a = 0,2m/s2, chậm dần đều với gia tốc a = 0,2m/s2, đều
b) Hỏi nh câu 1 trong trờng hợp thang máy đi xuống
c) Để chu chu kì dao động của con lắc giảm 2% so với lúc thang máy đứng yên thì thang máy phải chuyển động với gia tốc bằng bao nhiêu Hãy nói rõ tính chất chuyển
động của thang máy khi đó
Phơng pháp giải:
1 Nếu ngoài lực căng T và trọng lực P con lắc còn chịu thêm tác dụng của một ngoại lực Fkhông đổi thì coi nh con lắc chịu tác dụng của “trọng lực hiệu dụng”
F
P
P' = + Gọi g' là gia tốc trọng trờng hiệu dụng ( gọi tắt là “gia tốc hiệu dụng”)
Trang 10Ta có
m
F P m
P g
= ' = +
m
E q g g
' = +
Nh vậy khi có thêm ngoại lực không đổi tác dụng thì chu kì dao động của con lắc đợc xác định bằng công thức:
' 2 '
g l T = π
2 Nếu ngoại lực Fhớng thẳng đứng lên trên ta có:
g T T m F g g F P P' = − → ' = − < ; ' >
Nếu ngoại lực Fhớng thẳng đứng xuống dới
T T g m F g g F P P' = + → ' = + < ; ' <
Còn nếu F có phơng nằm ngang thì ở vị trí cân bằng
dây treo của con lắc lệch với phơng thẳng đứng một góc α
Trọng lực hiệu dụng:
P' = P2 +F2
Suy ra:
' ' 2 2
+
=
=
m
F g m
P
g
Góc lệch α đợc xác định bởi
P
F
tgα =
Nếu F có phơng bất kì thì ở vị trí cân bằng dây treo của con lắc lệch theo phơng của hợp lực F và P Biết phơng của lực F( biết góc giữa F và g), dựa vào hệ thức lợng trong tam giác tạo bởi F và P, ta sẽ tìm đợc P’ và góc giữa P'và P, từ đó suy ra g’ và
vị trí cân bằng mới của con lắc, do đó tính đợc chu kì T’
3 Các ngoại lực Fthờng gặp là:
a) Lực điện trờng F=q E, trong đó E đợc cho biết trong đề bài ( cả độ lớn và hớng ),
hoặc tính từ công thức
d
U
E= trong trờng hợp điện trờng trong khoảng không gian giữa hai bản tụ điện
b) Lực đẩy Acsimet FA = DVg
c) Lực từ
d) Lực quán tính: Khi con lắc treo trong một hệ chuyển động với gia tốc a, nó chịu tác dụng của lực F=−m a, có hớng ngợc với a và có độ lớn ma
4 Chú ý quy đổi về hệ đơn vị SI và các đại lợng đã cho trong đề
Trang 11dạng 4: Dựa vào sự biến đổi năng lợng của con lắc để xác định vận tốc của con lắc
và lực căng của dây treo
Bài tập ví dụ1: Một con lắc đơn gồm một quả cầu có khối lợng 200g treo vào sợi
dây không dãn dài 1m
Kéo con lắc lệch khỏi phơng thẳng đứng một góc 0
α rồi buông ra không có vận tốc đầu
a) Tính vận tốc của quả cầu và lực căng T của dây treo khi góc lệch của con lắc ( li độ góc ) bằng α Vận tốc của quả cầu đạt giá trị cực đại tại vị trí nào của con lắc ? Hãy tính vận tốc cực đại đó Lực căng T đạt giá trị cực đại tại vị trí nào? Tính lực căng cực
đại
b) Bây giờ ngời ta đóng một cáI đinh nằm ngang tại một điểm ở dới điểm treo trên phơng thẳng đứng và cách điểm treo một đoạn bằng 40cm, để cho dây treo va vào
đấy Kéo con lắc lệch khỏi phơng thẳng đứng một góc 0
α nh trên Hãy mô tả chuyển động của con lắc khi đó và tính góc lệch cực đại của con lắc khi treo va vào
đinh
Bỏ qua mọi ma sát lấy g = 9,8m/s2
Giải:
a) Theo định luật bảo toàn cơ năng thì khi quả cầu đi từ vị trí M0 đến vị trí M thế năng của nó giảm đi bao nhiêu thì động năng của nó tăng lên đúng bấy nhiêu Ta có:
2
2
mv mgh=
Với h = OH – OH0 = l(cosα - cosα 0) 0 45 0
Từ đó suy ra:
v= 2gl(cos - cos α 0) ( 1 ) α
Theo công thức (1) ta tính vận tốc của quả cầu đạt l giá trị cực đại khi α = 0, tức là khi con lắc đi qua H0 M0
vị trí cân bằng Khi đó ta có h
vmax = 2gl( 1 − cos α0) ≈ 1 , 61m/s H M
Quả cầu chịu tác dụng của trọng lực P và lực căng T Phân tích P làm hai thành phần: P1 theo phơng của dây P2 theo phơng vuông góc với dây Vì quả cầu dao động trên một cung tròn nên hợp lực T+P1 là lực truyền cho nó gia tốc hớng tâm, do đó ta có:
l
v m P
T − cos α = 2