Mã sửa lỗi reed solomon reed solomon đặc biệt được sử dụng từ mã QR hoặc mã vạch đến giao tiếp vệ tinh

Mã sửa lỗi Reed-Solomon I Giới thiệu sơ lược Mã sửa lỗi nói chung sử dụng rộng rãi cho độ tin cậy khả phục hồi, chí để giảm độ trễ tăng thơng lượng Reed-Solomon đặc biệt sử dụng từ mã QR mã vạch đến giao tiếp vệ tinh Nó khơng phục hồi liệu cách xóa nhanh chóng, cịn sửa lỗi liệu xác định phần liệu cụ thể xấu bị hỏng Đó lý đĩa CD DVD bị trầy xước hoạt động Ma.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinhMa.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinhMa.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinhMa.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinh Đầu tiên tóm tắt nhanh đa thức Không thể thảo luận điều liên quan đến mã hóa mà không chạm vào chủ đề đa thức.Một đa thức f(x) bậc n đa thức trông này: F(x)= Thông tin tối thiểu để xác định đa thức: Bất kỳ hàm đa thức bậc n−1được xác định n điểm mà nằm đa thức Ma.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinhMa.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinhMa.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinhMa.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinh Ma.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinhMa.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinhMa.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinhMa.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinh Đây ví dụ đa thức bậc 3,f(x)= , đánh giá với giá trị x={−1;0;1;2} : Ta có điểm (−1;-7), (0;2), (1;1), (2;−4) điền giá trị vào f(x) ta có hệ phương trình sau: Chúng ta sử dụng thuật tốn Gaussian Lagrange ta tính kết (=(2,3,−5,1) =>f(x)= Ma.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinhMa.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinhMa.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinhMa.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinh Ma.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinhMa.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinhMa.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinhMa.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinh II Reed Solomon Mã hóa thơng qua đánh giá đa thức Tạo thông tin dư thừa cách đánh giá đa thức nhiều giá trị x thực cần thiết Thông tin dư thừa cho phép tìm thấy gốc giá trị trường hợp từ mã bị hỏng trình truyền Đặc tả giaoq thức • Đồng ý bảng chữ • Đồng ý độ dài k từ thơng điệp • Đồng ý độ dài n từ mã.(Sự khác biệt độ dài từ mã từ tin nhắn dài dư thừa ký hiệu bị hỏng sửa lỗi nhiều hơn.) • Đồng ý cách số đa thức p(x) nên xây dựng từ ký hiệu từ thơng điệp • Đồng ý giá trị x để đánh giá đa thức p(x) • Đồng ý từ mã hình thành cách đánh giá p(x) với số lượng x thỏa thuận bước trước Ma.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinhMa.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinhMa.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinhMa.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinh Ma.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinhMa.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinhMa.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinhMa.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinh Ví Dụ Encoder • Thơng điệp gốc là: (2;3;-5;1) • Tạo đa thức p(x) = (k=4) • Đánh giá đa thức giá trị x={-1;0;1;2;3;4} (n=6) (4,-2) • Ta điểm: (−1;-7), (0;2), (1;1), (2;−4), (3;−7), ( 4;−2) • Suy từ mã là: (-7;2;1;−4;−7;−2) (3; -7) Decoder • Nhận ký hiệu từ mã Nếu khơng có lỗi, (-7;2;1;−4;−7;−2) • Lấy số ký hiệu nhận liên kết chúng với giá trị tương ứng x Nếu lấy ký hiệu từ mã đầu tiên, nhận (−1;-7), (0;2), (1;1), (2;−4) • Sử dụng điểm để rút hệ số đa thức p(x) sử dụng máy phát Chúng ta sử dụng thuật toán Gaussian Lagrange kết hệ số (2;3;-5;1) ->Các hệ số ký hiệu thơng điệp gốc! Nếu nhận bị lỗi đoạn từ mã sửa lỗi ký hiệu Ma.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinhMa.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinhMa.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinhMa.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinh Ma.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinhMa.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinhMa.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinhMa.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinh Một lỗi đơn giản giải mã REED SOLOMON Để sửa tối đa s ký hiệu cần 2s ký hiệu dư thừa Ví dụ trên, có ký hiệu dư thừa thêm vào, cho phép sửa ký hiệu bị hỏng • Giả sử giải mã nhận từ mã (-7;2;6;−4;−7;−2) (Ký tự thứ bị đổi thành 1, có lỗi) • Liên kết ký hiệu với giá trị tương ứng x ta có điểm: (−1;-7), (0;2), (1;6), (2;−4), (3;−7), ( 4;−2) • Từ tọa độ này, lập tất kết hợp điểm • Từ kết hợp ta suy hệ số Ma.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinhMa.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinhMa.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinhMa.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinh Ma.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinhMa.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinhMa.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinhMa.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinh Một lỗi đơn giản giải mã REED SOLOMON (−1;-7),(0;2),(1;6),(2;−4)→(2;8;−5 / 2;−3/2) (−1;-7),(0;2),(1;6),(3;−7)→(2;27/4 ;−5/2;−1/4) (−1;-7),(0;2),(1;6),(4;−2)→(2,;19/3 ;−5/2;1/6) (−1;-7),(0;2),(2;−4),(3;−7)→(2;3;−5 ;1) (−1;-7),(0;2),(2;−4),(4;−2)→(2;3;−5 ;1) (−1;-7),(0;2),(3;−7),(4;−2)→(2;3;−5 ;1) (−1;-7),(1;6),(2;−4),(3;−7)→(19/2; 17/4;−10;9/4) (−1;-7),(1;6),(2;−4),(4;−2)→(26/3; 14/3;−55/6;11/6) (−1;-7),(1;6),(3;−7),(4;−2)→(7;61/ 12;−15/2;17/12) (−1;-7),(2;−4),(3;−7),(4;−2)→(2;3;− 5;1) (0;2),(1;6),(2;−4),(3;−7)→(2;18;−35 / 2;7 / 2) (0;2),(1;6),(2;−4),(4;−2)→(2;49/3 ;−15;8/3) (0;2),(1;6),(3;−7),(4;−2)→(2;13;−65 / 6;11 / 6) (0;2),(2;−4),(3;−7),(4;−2)→(2;3;−5 ;1) (1;6),(2;−4),(3;−7),(4;−2)→(2;3;−5 ;1) Ma.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinhMa.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinhMa.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinhMa.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinh Ma.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinhMa.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinhMa.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinhMa.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinh Một lỗi đơn giản giải mã REED SOLOMON • Các hệ số (2;3;−5;1) xuất đến lần Tất kết khác khác với nhau, (2;3;−5;1) kết xác!  Kết Luận Đây thuật tốn sửa lỗi đơn giản, khơng phải sử dụng được, ví dụ nhỏ có ký hiệu ký hiệu dư thừa mà cần đa thức Trong thực tế có nhiều ký hiệu ta cần đa thức, số lớn nên khơng thực tế Rõ ràng cần có thuật toán tốt nhiều để làm cho giải mã ReedSolomon trở nên hữu ích May mắn thuật tốn tồn tại: “Một từ mã chuỗi hệ số đa thức” Ma.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinhMa.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinhMa.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinhMa.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinh Ma.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinhMa.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinhMa.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinhMa.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinh III Một từ mã chuỗi hệ số đa thức  Một thơng điệp có k ký hiệu, cần n ký hiệu để tạo thành từ mã (n>k) Nếu từ mã bao gồm hệ số đa thức, cần tạo đa thức s(x) bậc = (n−1) Dưới số thuộc tính mong muốn cho s(x): • k hệ số phải giống với ký hiệu từ thơng điệp để tạo mã có hệ thống • Khi s(x) đánh giá (n−k) giá trị x, kết phải Sau cách để tạo đa thức với thuộc tính này: Ma.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinhMa.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinhMa.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinhMa.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinh Ma.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinhMa.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinhMa.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinhMa.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinh • Tạo đa thức p(x) với ký hiệu ()như hệ số, giống trước • Tạo đa thức gọi generator polynomial g( x)=(x−)(x−) (x−) Như trước đây, giá trị( , , )là tham số cố định giao thức thỏa thuận mã hóa giải mã trước Tuy nhiên, lần có (n−k) giá trị , nhiều có ký hiệu dư thừa • Thực phân chia đa thức , cho p(x) =q(x)g( x)+r(x) q(x) thương số phép chia; r(x) phần dư phép chia • Xác định đa thức s(x)=p(x) − r(x) • Ở giải mã nhận đa thức s’(x), thay giá trị vào s’(x), s’()=0 từ mã nhận khơng bị lỗi, khác có lỗi Khi xảy lỗi ta sử dụng thuật toán Peterson thuật tốn Berlekamp–Massey để sửa lỗi Ma.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinhMa.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinhMa.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinhMa.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinh Ma.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinhMa.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinhMa.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinhMa.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinh Ví dụ Ta lấy lại đa thức ví dụ trước  Encoder • Từ thông điệp chuyển đổi thành đa thức p(x)= • Hãy sử dụng = 1và = gốc generator polynomial: g(x)=(x−1)(x−2) = − 3x + • Chia p(x) g(x) Nó trả về: - + +2 = Chúng quan tâm đến phần cuối cùng, phần cịn lại r(x)=(18−17x) • s(x)=p(x) − r(x) s(x)=(2 + - + )−18+17x • Từ mã (2;3;−5;1;−18;17) • Là bước xác minh, bạn điền giá trị vào s(x) Nó có kết Ma.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinhMa.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinhMa.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinhMa.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinh Ma.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinhMa.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinhMa.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinhMa.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinh  Decoder Bây thực bước giải mã có lỗi • • • • • • • Từ mã nhận là(2,3,−4,1,−18,17) Ký hiệu thứ ba thay đổi từ -5 thành -4 Đa thức nhận s′(x) s′(x) = + - + + 18−17x Điền vào gốc g(x), 2, thành s′(x) để tìm kết quả: s′(1)=1vàs′(2)=16 Các kết 0, có lỗi ! Có ký hiệu dư thừa, số lượng ký hiệu bị hỏng tối đa mà khơi phục Cách đơn giản để tìm ký hiệu bị hỏng xem qua tất khả xem liệu có nhận phương trình quán hay không Giống này: Giả sử hệ số sai, tất người khác Trong trường hợp đó, ẩn số, tất hệ số khác biết đến:s(x)= + −4+ −18+17x Nếu điền vào x = 1, nhận được: +3−4+1−18+17=0→ = Cho x = 2: 4+24−64+32−18+34=0→ =3/4 Chúng ta có giá trị mâu thuẫn cho , kết luận khơng phải hệ số bị hỏng Ma.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinhMa.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinhMa.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinhMa.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinh Ma.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinhMa.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinhMa.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinhMa.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinh • Chúng ta làm tương tự cho tất hệ số khác Đối với tất chúng, bạn nhận giá trị mâu thuẫn, ngoại trừ : Cho x = 1: + 3+ +1−18+17=0→ =−5 Cho x = 2: + 24 + 16+32−18+34=0→ =−5 Các giá trị phù hợp! • Từ mã nhận được sửa thành(2,3,−5,1,−18,17) Từ tin nhắn từ ký hiệu từ mã Ma.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinhMa.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinhMa.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinhMa.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinh Ma.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinhMa.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinhMa.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinhMa.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinh Ma.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinhMa.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinhMa.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinhMa.sua.loi.reed.solomon.reed.solomon.dac.biet.duoc.su.dung.tu.ma.QR.hoac.ma.vach.den.giao.tiep.ve.tinh