Thiết kế bộ điều khiển, lý thuyết điều khiển tự động

Đặt vấn đề: ▪ Xác định ma trận hàm truyền G(s) của hệ từ mô hình trạng thái thì các điểm cực của hệ chính là giá trị riêng của ma trận A. ▪ Chất lượng hệ thống lại phụ thuộc nhiều vào vị trí của các điểm cực trong mặt phẳng phức. → Vì vậy, để chất lượng hệ thống điều khiển như mong muốn, ta tìm cách can thiệp (thiết kế bộ điều khiển) sao cho các điểm cực của hệ kín ở vị trí tương ứng với chất lượng điều khiển mong muốn.

3.3 Thiết kế điều khiển 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động Nội dung • Bộ điều khiển phản hồi trạng thái gán điểm cực • Bộ quan sát trạng thái • Bộ điều khiển phản hồi đầu 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 3.3.1 Bộ điều khiển phản hồi trạng thái gán điểm cực +Đặt vấn đề: ▪ Xác định ma trận hàm truyền G(s) hệ từ mơ hình trạng thái điểm cực hệ giá trị riêng ma trận A ▪ Chất lượng hệ thống lại phụ thuộc nhiều vào vị trí điểm cực mặt phẳng phức → Vì vậy, để chất lượng hệ thống điều khiển mong muốn, ta tìm cách can thiệp (thiết kế điều khiển) cho điểm cực hệ kín vị trí tương ứng với chất lượng điều khiển mong muốn 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động +Các phương pháp thiết kế o + Thiết kế điều khiển phản hồi trạng thái: ❑Phương pháp trực tiếp ❑Phương pháp Ackermann o + Thiết kế theo nguyên tắc phản hồi tín hiệu 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động Tư tưởng thiết kế hai phương pháp • Giả sử điểm cực mong muốn s1, ……, sn • Phản hồi trạng thái Phản hồi tín hiệu đầu dx = Ax + Bu = Ax + B ( w − Rx ) = ( A − BR ) x + Bw dt Phải giải phương trình để có R det ( sI − ( A − BR )) = ( s − s1 )( s − s2 ) ( s − sn ) Điều kiện: Chỉ cần hệ điều khiển 19/02/2020 ( ) dx = Ax + Bu = Ax + B w − R y = ( A − BRC ) x + Bw dt Tìm ma trận R thỏa mãn det ( sI − ( A − BRC ) ) = ( s − s1 )( s − s2 ) ( s − sn ) Tính điều khiển chưa đủ Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động Phương pháp trực tiếp = Đơn giản , xét hệ vào dx = Ax + Bu ; A  R nxn , B R n dt (1) Tìm điều khiển R = [r1,……., rn] trực tiếp từ phương trình det ( sI − ( A − BR )) = ( s − s1 )( s − s2 ) ( s − sn ) (2) Cách làm: Khai triển hai vế phương trình (2) thành đa thức bậc n Cân hệ số đa thức Giải hệ n phương trình thu tìm r1, ., rn 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động Ví dụ Cho đối tượng có mơ hình trạng thái dx     =  x +   u ; y = x1 − dt   1 x  x =   x2  Hãy xác định điều khiển phản hồi trạng thái R để hệ kín nhận giá trị cho trước s1=-1; s2=-2 làm điểm cực Tìm điều khiển phản hồi trạng thái R = (r1 , r2) cho det(sI-A+BR) = (s+1)(s+2) = s2+3s+2 Ta co   s −1     −1   s det( sI − A + BR ) = det   + r r = det   = s ( s − + r2 ) + r1 +  s −    ( )  r + s − + r 2    1   Cân hệ số ta có hệ Vậy điều khiển R=(1 5) 19/02/2020  r2 − = r =    r1 + =  r1 = Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động Ví dụ • Xét đối tượng SISO có mơ hình trạng thái:  0 0 dx     =  0 1 x +  0u dt   1  −1    • Hãy thiết kế điều khiển để hệ kín nhận chọn ứng điểm cực s0 = −3, s1 = −4 s3 = −5 Giải: Bộ điều khiển R=(r1,r2,r3), hệ kín có đa thức đặc tính  s 0  0 0       det( sI − A + BR) = det   s  −  0  +   ( r1 r2   0 s   −1            r3 )    −1  s    = det  s −1  = s ( s ( s − + r3 ) + r2 − ) + r1 + = s + ( r3 − 3) s + ( r2 − ) s + r1 + r +1 r − s − + r  3 1 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động (1) • Với điểm cực mong muốn ta có: ( s − s1 )( s − s2 )( s − s3 ) = ( s + 3)( s + 4)( s + 5) = 60 + 47 s + 12 s + s (2) Cân hệ số (1) (2) ta có hệ phương trình  r1 + = 60  r1 = 59   r2 − = 47 −  r2 = 49  r − = 12  r = 15  3 Vậy điều khiển phản hồi trạng thái cần tìm là: R = (59 , 49 , 15) 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động Ví dụ Cho đối tượng có mơ hình trạng thái  −1   dx     = dt   −4  x +1u  0     x1    x =  x2  x   3 y=x Hãy xác định điều khiển phản hồi trạng thái R để hệ kín nhận giá trị cho trước s1=s2=-1 s3=-2 làm điểm cực Giải: • Tìm điều khiển R = 𝑟1 𝑟2 𝑟3 cho 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 10  −1   sT A = ( −3 )   = ( −5 3) ;  −4     −1   sT A3 = ( −7 )   = ( 12 −7 )  −4     −1   sT A2 = ( −5 3)   = (8 −7 )  −4     Để gán điểm cực s1 = s2 = −1; s3 = −2 ( s − s1 )( s − s2 )( s − s3 ) = ( s + 1) ( s + 2) = + 5s + s + s 2 ~ ~ ~ a = 2, a1 = 5; a = Ta sử dụng điều khiển phản hồi trạng thái R tìm theo n −1 ~ R = a s A + s A T i T n i i =0 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 24 ~ a sT = ( −3 ) = ( −6 ) ; ~ a1 sT A = ( −5 3) = ( 25 −25 15 ) ; ~ a sT A2 = ( −7 ) = ( 32 −28 16 ) sT A3 = ( 12 −7 ) Vậy điều khiển R ~ ~ ~ R = a s + a1 s A + a sT A2 + sT A3 T T = ( −6 ) + ( 25 −25 15 ) + ( 32 −28 16 ) + ( 12 −7 ) ; → R = ( 75 -66 39 ) 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 25 b Sơ đồ hệ thống có điều khiển R dx = Ax + Bu = Ax + B ( w − Rx ) = ( A − BR ) x + Bw   dt  y = Cx  Ta có bậc tương đối đối tượng kiểm tra CAkB ≠ với k= 0,1,… Với k=0 ta có: 1   CB = (1 0 )   =  0   Vậy bậc tương đối đối tượng Để kiểm tra bậc tương đối r có điều khiển R ta tìm k để C(A-BR)kB ≠ với k= 0,1,… Suy r-1 = k 1 Với k = ta có:   CB = (1 0 )   =  0   Vậy k= suy r=1 ; mắc thêm điều khiển R không làm thay đổi Bậc tương đối đối tượng 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 26 + Ưu nhược điểm phương pháp Ackermann • Ưu điểm: – Đơn giản – Chỉ cách tìm điều khiển phản hồi trạng thái R cách tổng quát • Nhược điểm: – Chỉ áp dụng cho hệ có đầu vào 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 27 Sử dụng Matlab xác định hàm truyền đạt biết hệ phương trình trạng thái A=[1 -1;0 0;1 -4 3]; B=[1;1;0]; C=[1,0,0]; D = 0; [num,den]=ss2tf(A,B,C,D); Gd=tf(num,den) R=[75,-66,39]; Q= A-B*R [num,den]=ss2tf(Q,B,C,D); Gk=tf(num,den) 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 28 3.3.2 Bộ quan sát trạng thái Tại cần quan sát trạng thái? • Khơng phải lúc đo tất trạng thái hệ.Hơn nữa, chi phí đắt Ví dụ: cơng suất khơng đo trực tiếp mà phải thơng qua dịng điện điện áp • Số biến trạng thái đo thuật tốn điều khiển cần tới giá trị nhiều biến trạng thái =) cần tới quan sát trạng thái tính tốn, xấp xỉ biến trạng thái không đo 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 29 + Bộ quan sát Luenberger Tư tưởng thiết kế Xét đối tượng hợp thức chặt với mơ hình trạng thái: dx = Ax + Bu  dt   y = Cx + Du  thiết kế quan sát trạng thái Luenberger sử dụng khâu có mơ hình: dz = Az + Bu + L ( y − Cz − Du ) dt (1) Làm quan sát để có z  x khoảng thời gian đủ ngắn T hay ||e(t)|| =||x(t)−z(t)||  với tT (2) Nhiệm vụ xác định L (1) để có (2) 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 30 • Trước hết ta lập sai lệch : e(t) = x(t)−z(t) • Mơ hình e: de d ( x − z) = = A( x − z) − L ( y − Cz − Du ) dt dt = A( x − z) − L ( Cx + Du − Cz − Du ) = ( A − LC ) e có nghiệm e(t) = e(A-LC)te(0) Từ suy e(t) →0  A-LC bền Giá trị riêng A-LC xa trục ảo bên trái e(t) →0 nhanh 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 31 Thuật toán - Cho trước s1, s2,…, sn đủ xa phía trái trục ảo - Tìm L từ phương trình det(sI-(A-LC)) = (s-s1)(s-s2)…(s-sn) với s - So sánh việc tìm L cho A-LC nhận điểm cho trước làm điểm cực tương đương với việc tìm LT để (A-LC)T nhận điểm cho trước làm điểm cực - Do việc tìm L toán thiết kế điều khiển phản hồi trạng thái LT cho đối tượng đối ngẫu 𝑑𝑥 = 𝐴𝑇 𝑥 + 𝐶 𝑇 𝑢 ൞ 𝑑𝑡 𝑦 = 𝐵𝑇 𝑥 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 32 Ví dụ • Cho đối tượng 𝑑𝑥 = 𝑥+ 𝑢 −3 −5 ൞ 𝑑𝑡 𝑦= 𝑥 • Hãy xác định quan sát trạng thái Luenberger để tính xấp xỉ z=x trạng thái đối tượng với hai điểm cực cho trước 1 = 2 = -10 Giải: • Chuyển mơ hình đối tượng đối ngẫu ta có 𝑑𝑥 −3 = 𝑥+ 𝑢 −5 ൞ 𝑑𝑡 𝑦= 𝑥 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 33 Ví dụ • Khi tốn trở thành thiết kế điều khiển phản hồi trạng thái R cho đối tượng đối ngẫu • Để hệ kín nhận 1 = 2 = -10 làm điểm cực det ( sI-AT+CTR)=(s+10)2 Det 𝑠 + 𝑟1 −1 𝑟2 + =(𝑠 + 𝑟1 ) 𝑠 + + 𝑟2 + = 𝑠 + 𝑟1 + 𝑠 + 5𝑟1 + 𝑟2 + 𝑠+5 = 𝑠 + 20𝑠 + 100 Cân hệ số ta có hệ: 𝑟1 + = 20 𝑟1 = 15 ⟺ቊ ቊ 𝑟2 = 22 5𝑟1 + 𝑟2 + = 100 Vậy R=(15 , 22) suy quan sát L=RT= 19/02/2020 15 22 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 34 3.3.3 Bộ điều khiển phản hồi đầu Tại cần điều khiển phản hồi đầu ra? • Dùng điều khiển phản hồi trạng thái cần phải đo tín hiệu trạng thái> Tuy nhiên thực tế nhiều trạng thái khơng đo Cịn tín hiệu đầu ln đo • Đó tốn tìm điều khiển R phản hồi đầu cho đối tượng: dx = A x + Bu  dt   y = Cx  ARnn, BRnm, CRrn cho hệ kín thu với mơ hình:  dx  = ( A − BR) x + Bw  dt  y = Cx  có điểm cực s1 ,  , sn giá trị cho trước 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 35 3.3.3 Bộ điều khiển phản hồi đầu • Sử dụng thêm quan sát trạng thái với điều khiển phản hồi trạng thái để có điều khiển phản hồi đầu • Sơ đồ cấu trúc 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 36 • Sử dụng quan sát Luenberger ta có sơ đồ cấu trúc Thường chọn giá trị riêng A-LC xa trục ảo nhiều so với giá trị riêng A-BR 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 37 +Ngun lý tách • Mơ hình trạng thái hệ kín • Hệ kín ổn định A -BR A -LC ổn định • Đa thức đặc tính hệ kín: Ak(s) = det(sI-(A-BR)).det(sI-(A-LC)) • Ở hệ tuyến tính việc thiết kế điều khiển phản hồi đầu tách thành hai toán riêng: thiết kế quan sát trạng thái L thiết kế điều khiển phản hồi trạng thái R 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 38