Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 51 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Bùi Thị Oanh PHƯƠNG PHÁP NGHIỆM TRÊN NGHIỆM DƯỚI GIẢI BÀI TỐN DIRICHLET ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học PGS TS HOÀNG QUỐC TOÀN HÀ NỘI - 2014 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mục lục Mở đầu Cơ sở tốn học 1.1 Khơng gian Sobolev 1.1.1 Khái niệm không gian Sobolev 1.1.2 Không gian H01 (Ω) H −1 (Ω) 1.2 Toán tử vi phân đạo hàm riêng elliptic tuyến tính cấp hai 1.3 Bài tốn Dirichlet phương trình Laplace 1.3.1 Phương trình Laplace 1.3.2 Nguyên lý cực đại cực tiểu 1.3.3 Bất đẳng thức Harnack 1.3.4 Toán tử −∆ toán Dirichlet 1.3.5 Các tính chất toán tử −∆ 1.4 Phương pháp biến phân ứng dụng vào toán Dirichlet đối phương trình elliptic nửa tuyến tính với 14 Nghiệm nghiệm phương pháp lặp đơn điệu không gian Banach 2.1 Tập hợp nón thứ tự 2.2 Phương pháp nghiệm nghiệm phép xấp xỉ liên tiếp 2.3 Áp dụng vào phương trình vi phân 2.3.1 Bài tốn Dirichlet phương trình vi phân nửa tuyến tính 2.3.2 Ví dụ 6 10 10 11 11 11 13 Phương pháp nghiệm nghiệm tốn biên Dirichlet nửa tuyến tính tốn tử Laplace 3.1 Phương pháp nghiệm trên, nghiệm 3.2 Phương pháp nghiệm yếu, nghiệm yếu 3.3 Một số ví dụ áp dụng phương pháp nghiệm nghiệm vào toán biên Elliptic nửa tuyến tính Kết luận 16 16 19 22 22 24 27 27 33 40 49 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Tài liệu tham khảo 50 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mở đầu Trong luận văn chúng tơi tìm hiểu nghiên cứu về: "Phương pháp nghiệm nghiệm giải tốn Dirichlet phương trình Elliptic" Ngun tắc phương pháp dựa vào nguyên lý cực đại nghiệm phương trình elliptic Bản luận văn gồm ba chương gồm phần kiến thức hai chương chính: Chương Cơ sở tốn học Trong chương này, số kiến thức nhắc lại Đó là: - Khơng gian Sobolev - Tốn tử vi phân đạo hàm riêng Elliptic tuyến tính cấp hai - Bài tốn Dirichlet phương trình Laplace: Phương trình Laplace, nguyên lý cực đại cực tiểu, bất đẳng thức Harnck, tốn tử −∆ tính chất toán tử −∆ - Phương pháp biến phân ứng dụng vào tốn Dirichlet phương trình elliptic nửa tuyến tính Chương Nghiệm nghiệm phương pháp lặp đơn điệu không gian Banach Ở chương này, luận văn vào trình bày khái niệm tập hợp nón thứ tự, từ dẫn đến phương pháp nghiệm nghiệm phương pháp xấp xỉ liên tiếp Thơng qua tác giả luận văn có số ví dụ minh họa áp dụng vào phương trình vi phân để giải tốn Dirichlet phương trình vi phân nửa tuyến tính Chương Phương pháp nghiệm nghiệm tốn biên Dirichlet nửa tuyến tính tốn tử Laplace Ở chương này, luận văn đề cập hai mảng: Nghiệm trên, nghiệm nghiệm yếu, nghiệm yếu Trong chương giới thiệu khái niệm TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic "nghiệm nghiệm dưới" tốn Dirichlet phương trình Laplace, chứng minh định lý phương pháp nghiệm nghiệm Và đưa số ví dụ áp dụng phương pháp nghiệm nghiệm nghiệm vào toán biên elliptic nửa tuyến tính Mặc dù thân cố gắng nghiêm túc học tập nghiên cứu khoa học thời gian có hạn, kiến thức thân cịn hạn chế nên q trình thực luận văn không tránh khỏi sơ suất Rất mong nhận góp ý thầy bạn Tôi xin chân thành cảm ơn (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lịng kính trọng lịng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Hoàng Quốc Toàn Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc tơi suốt q trình tơi thực đề tài Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy Khoa Tốn - Cơ - Tin học, Phòng Sau đại học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội; thầy tham gia giảng dạy khóa cao học 2011-2013 tạo điều kiện thuận lợi cho hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn gia đình ln động viên tơi suốt trình học tập làm luận văn Hà Nội, tháng 11 năm 2014 Học viên Bùi Thị Oanh (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic Chương Cơ sở tốn học 1.1 1.1.1 Khơng gian Sobolev Khái niệm không gian Sobolev Giả sử Ω miền bị chặn Rn , với biên ∂Ω Ký hiệu C0∞ (Ω) khơng gian tuyến tính hàm ϕ(x) khả vi vơ hạn có giá compact Ω Rõ ràng: C0∞ (Ω) ⊂ Wk,p (Ω) Giả sử Ω ⊂ Rn miền mở liên thông, ta định nghĩa không gian Sobolev: W k,p (Ω) = {u ∈ Lp (Ω) : Dα (u) ∈ Lp (Ω), ∀α :| α |≤ k} với chuẩn : kukpWk,p = X kDα ukpLp |α|≤k kukpWk,+∞ = M ax kDα ukL+∞ |α|≤k Ta ý phép đạo hàm hàm suy rộng liên tục theo nghĩa hội tụ yếu L1loc (Ω) Nhiều tính chất khơng gian Lp (Ω) không gian W k,p (Ω) Nhận xét 1.1 • Với p = : H k (Ω) = W k,2 (Ω), k = 1, 2, không gian Hilbert (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic • H (Ω) ≡ L2 (Ω) Định lý 1.1 Với k ∈ N, ≤ p ≤ +∞, W k,p (Ω) không gian Banach Không gian W k,p (Ω) không gian phản xạ < p < +∞ Hơn W k,2 (Ω) khơng gian Hilbert với tích vô hướng: XZ Dα uDα vdx hu, viWk,2 = |α|≤k Ω Với ≤ p ≤ +∞, W k,p (Ω) không gian tách Định lý 1.2 Định lý nhúng Sobolev Giả sử Ω ⊂ Rn miền bị chặn với biên Lipchitz, k ∈ N, ≤ p ≤ +∞ Khi đó: np ta có phép nhúng: W k,p (Ω) ,→ Lq (Ω) liên n − kp n.p tục phép nhúng compact q < n − k.p k n ii) Nếu ≤ m < k − < m + 1, ≤ α ≤ k − m − phép nhúng liên tục p p n k,p m,α W (Ω) ,→ C (Ω) phép nhúng compact α < k − m − p i) Nếu k, p < n, ≤ q ≤ Tính compact phép nhúng W k,p (Ω) ,→ Lq (Ω) hệ định lý Rellich KondraKov Nhận xét 1.2 Định lý nhúng Sobolev với không gian W k,p (Ω) miền Ω bị chặn 1.1.2 Không gian H01 (Ω) H −1 (Ω) Giả sử Ω miền bị chặn RN với biên ∂Ω Ký hiệu C0∞ (Ω) khơng gian tuyến tính hàm ϕ(x) khả vi vơ hạn có giá compact Ω Trong C0∞ (Ω) ta đưa vào tích vơ hướng chuẩn sau: (ϕ1 , ϕ2 ) = R Dϕ1 Dϕ2 dx, với ϕ1 (x), ϕ2 (x) ∈ C0∞ (Ω) (1.1) Ω (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic kϕkH01 (Ω) = R |Dϕ|2 dx, ϕ(x) ∈ C0∞ (Ω) (1.2) Ω Dϕ véc tơ đạo hàm (hay vectơ gradient) hàm ϕ(x), x ∈ Ω Dϕ = ( ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ , , , ) ∂x1 ∂x2 ∂xn Dϕ1 Dϕ2 = |Dϕ| = n X ∂ϕ1 ∂ϕ2 i=1 n X i=1 ∂xi ∂xi (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic Hàm u ∈ C (Ω) ∩ C(Ω) gọi nghiệm toán (3.1) u vừa nghiệm vừa nghiệm toán (3.1) Định lý 3.1 Cho U nghiệm U nghiệm toán (3.1) cho U ≤ U Ω Khi ta có khẳng định sau: i) Tồn nghiệm u toán (3.1) thỏa mãn: U ≤ u ≤ U ii) Tồn nghiệm nhỏ u nghiệm lớn u toán (3.1) thuộc đoạn [U ; U ] Trước chứng minh định lý 3.1 ta có nhận xét sau đây: Chú ý 3.1 Sự tồn nghiệm nhỏ u nghiệm lớn u định lý hiểu rằng: hai nghiệm tạo nên cặp thứ thự nghiệm - nghiệm tốn (3.1) Trên thực tế xảy tốn (3.1) có nghiệm nghiệm khơng thuộc đoạn [U ; U ] xảy trường hợp tốn (3.1) khơng có nghiệm lớn khơng có nghiệm nhỏ Chú ý 3.2 Nói chung giả thiết U ≤ U khơng phải lúc xảy mà cịn xảy theo chiều ngược lại Tức U ≥ U Ω Sau ví dụ nhỏ chứng minh cho điều này: Ví dụ 3.1 Xét toán giá trị riêng: ( −∆u = λu Ω u = ∂Ω (3.4) 28 (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic Chúng ta biết tất nghiệm tốn có dạng u = C.e1 C số thực, e1 hàm không triệt tiêu Ω Khi ta giả thiết e1 (x) > với x ∈ Ω Chọn U = e1 U = −e1 Thì U nghiệm U nghiệm toán (2.1) U ≥ U Chứng minh định lý 3.1 Đặt: g(x, u) = f (x, u) + a.u a số thực Ta chọn a ≥ đủ lớn cho ánh xạ: R u 7−→ g(x, u) tăng đoạn [U (x); U (x)] Nên với x ∈ Ω ta có a ≥ a ≥ max{−fu (x, u) : x ∈ Ω u ∈ [U (x); U (x)]} Với cách chọn a trên, ta lấy dãy hàm un ∈ C (Ω) ∩ C(Ω), n = 1, 2, cho: • u0 = U • Với n ≥ un nghiệm tốn tuyến tính : ( −∆un + a.un = g(x, un−1 ) Ω un = ∂Ω (3.5) Với dãy hàm un ∈ C (Ω) ∩ C(Ω) lấy ta dãy hàm un dãy đơn điệu giảm bị chặn Tức là: U ≤ ≤ un+1 ≤ un ≤ ≤ u1 ≤ u0 = U Để tính chất này, ta chủ yếu sử dụng nguyên lý cực đại Trước hết ta chứng minh U ≥ u1 Thật vậy, U nghiệm toán (3.1) nên: ( −∆U ≥ f (x, U ) Ω U ≥ ∂Ω (3.6) Vì u1 nghiệm phương trình tuyến tính ( −∆u1 + a.u1 = g(x, u0 ) = g(x, U ) Ω u1 = ∂Ω (3.7) 29 (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic Lấy (3.6) trừ (3.7) ta được: ( −∆U + ∆u1 − a.u1 ≥ f (x, U ) − g(x, U ) Ω U − u1 ≥ ∂Ω (3.8) Mà f (x, U ) = g(x, U ) − a.U nên ( −∆(U − u1 ) + a(U − u1 ) ≥ g(x, U ) − g(x, U ) = Ω U − u1 ≥ ∂Ω (3.9) Theo nguyên lý cực đại ta có U ≥ u1 Ω Lại có U nghiệm nên: ( −∆U ≤ f (x, U ) Ω U ≤ ∂Ω (3.10) Lấy (3.10) trừ (3.7) ta được: ( −∆U + ∆u1 − a.u1 ≤ f (x, U ) − g(x, U ) Ω U ≤ = u1 ∂Ω (3.11) Hay ( −∆(U − u1 ) + a(U − u1 ) ≤ g(x, U ) − g(x, U ) Ω U ≤ = u1 ∂Ω (3.12) Do tính đơn điệu tăng hàm g đoạn [U (x); U (x)] nên U ≤ U kéo theo g(x; U ) ≤ g(x; U ) Điều dẫn đến: ( −∆(U − u1 ) + a(U − u1 ) ≤ Ω U ≤ = u1 ∂Ω (3.13) 30 (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic Theo nguyên lý cực đại ta có: U ≤ u1 Ω Bây ta giả sử có: U ≤ un ≤ un−1 ≤ u1 ≤ u0 = U Tiếp theo ta chứng minh: U ≤ un+1 ≤ un Vì un+1 , un nghiệm tốn tuyến tính sau đây: ( −∆un+1 + a.un+1 = g(x, un ) Ω un+1 = ∂Ω ( −∆un + a.un = g(x, un−1 ) Ω un = ∂Ω (3.14) (3.15) Lấy (3.15) trừ (3.14) sử dụng tính đơn điệu tăng hàm g ta được: ( −∆(un − un+1 ) + a.(un − un+1 ) = g(x; un−1 ) − g(x; un ) Ω un − un+1 ≥ ∂Ω (3.16) Theo nguyên lý cực đại un ≥ un+1 Ω Tiếp tục lấy (3.10) trừ (3.14) ta có: ( −∆(U − un+1 ) + a.(U − un+1 ) ≤ g(x, U ) − g(x, un ) Ω U − un+1 ≤ ∂Ω (3.17) Theo nguyên lý cực đại ta được: U ≤ un+1 Như dãy {un } đơn điệu giảm bị chặn đoạn [U (x); U (x)] Lúc tồn hàm số u cho với x cố định, x ∈ Ω dãy un (x) & u(x) n −→ +∞ Ta đặt gn (x) := g(x; un ) Khi ta thấy dãy gn (x) bị chặn L∞ (Ω) tức bị chặn Lp (Ω) với < p < ∞ 31 (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic Từ (3.5) ta có ( −∆un + a.un = gn−1 (x) Ω un = ∂Ω (3.18) Theo ước lượng chuẩn Schauder dãy {un } bị chặn W 2,p (Ω) với < p < ∞ Vì không gian W 2,p (Ω) nhúng liên tục không gian C 1,α (Ω) với α = 1− p > N 2p N Do un bị chặn C 1,α (Ω) Tiếp tục dùng ước lượng chuẩn không gian Holder ta suy un bị chặn C (Ω) Khi tồn dãy hội tụ u C (Ω) Do dãy đơn điệu nên ta giả thiết dãy un hội tụ C Cho n −→ ∞ từ tốn (3.5) ta nhận được: ( −∆u + a.u = g(x, u) Ω u = ∂Ω (3.19) Vậy u nghiệm toán (3.1) Ta chứng minh điều kiện ii) Lấy u ∈ (U ; U ) nghiệm tốn (3.1) Khi u U tạo nên cặp nghiệm - nghiệm toán (3.1) Nên khoảng (u; U ) ta lại chọn dãy đơn điêụ giảm un với u0 = U với n ≥ un nghiệm tốn: ( −∆un + a.un = g(x, un−1 ) Ω un = ∂Ω (3.20) Theo cách chứng minh phần (i) : u ≤ ≤ un ≤ ≤ u1 ≤ u0 = U Khi ta tìm nghiệm lớn tốn (3.1) với u ∈ (u; U ) mà u nghiệm nên ∀u u ≤ u 32 (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic Tương tự với cặp U u nghiệm nghiệm toán (3.1) Nên khoảng (U ; u) ta tìm nghiệm u nhỏ Như ta chứng minh tồn nghiệm u nhỏ nghiệm u lớn toán (3.1) thuộc đoạn [U ; U ] 3.2 Phương pháp nghiệm yếu, nghiệm yếu Giả sử Ω miền bị chặn Rn , ta xét toán Dirichlet: ( −∆u = f (x; u) Ω u = ∂Ω Hàm u ∈ C (Ω) ∩ C(Ω) nghiệm tốn (3.1) Định nghĩa 3.2 • Một hàm U ∈ C(Ω) gọi nghiệm yếu toán (3.1) U ≤ ∂Ω R Ω [U (−∆ϕ) − f (x; U )ϕ]dx ≤ (3.21) với ϕ ∈ C0∞ (Ω) thỏa mãn ϕ ≥ Ω • Một hàm U ∈ C(Ω) gọi nghiệm yếu toán (3.1) U ≥ ∂Ω R Ω [U (−∆ϕ) − f (x; U )ϕ]dx ≥ (3.22) với ϕ ∈ C0∞ (Ω) thỏa mãn ϕ ≥ Ω Trong trường hợp tương ứng với nghiệm tốn (3.1) ta có khái niệm nghiệm yếu sau: 33 (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic Định nghĩa 3.3 Một hàm u ∈ C(Ω) gọi nghiệm yếu toán (3.1) u vừa nghiệm yếu trên, vừa nghiệm yếu toán (3.1) Như vậy, hàm u ∈ C(Ω) nghiệm yếu toán (3.1) u = ∂Ω R Ω [u(−∆ϕ) − f (x; u)ϕ]dx = (3.23) với ∀ϕ ∈ C0∞ (Ω) Nhận xét 3.1 Nếu u, u ∈ C (Ω) từ định nghĩa ta suy ra: −∆u ≥ f (x; U ) −∆u ≤ f (x; U ) Ω Ta có định lý: Định lý 3.2 Giả thiết : f :Ω×R→R hàm liên tục cho ánh xạ u 7→ f (., u) + a.u hàm tăng với số thực a Giả thiết tồn nghiệm yếu U nghiệm yếu U toán (3.1) cho U ≤ U Ω Khi ta có: 2,p (i) Tồn nghiệm yếu u toán (3.1) thỏa mãn U ≤ u ≤ U u ∈ Wloc (Ω) với p ∈ [1; +∞) (ii) Tồn nghiệm yếu nhỏ u nghiệm yếu lớn u toán (3.1) thuộc đoạn [U ; U ] Chứng minh Việc chứng minh định lý lặp lại bước giống chứng minh định lý 3.1 Dưới ta đưa lập luận khác để chứng minh định lý nhờ vào lý thuyết tới hạn phiếm hàm khả vi không gian Banach 34 (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic Đặt : f (x; t) U (x) < t < U (x), x ∈ Ω f0 (x; t) = f (x; U (x)) t ≥ U (x), x ∈ Ω f (x; U (x)) t ≤ U (x), x ∈ Ω f0 : Ω × R −→ R liên tục bị chặn Ru Đặt: F0 (x; u) = f0 (x; t)dt Ta có: | F0 (x, u) |≤ c | u |, x ∈ Ω ( −∆u = f0 (x, u), x ∈ Ω u = 0, x ∈ ∂Ω (3.24) (3.25) Khi phiếm hàm lượng liên kết với tốn xác định sau: E0 (u) = R 1R | ∇u |2 dx − Ω F0 (x; u)dx Ω (3.26) Phiếm hàm E0 : H01 (Ω) −→ H −1 (Ω) có tính chất sau đây: Rõ ràng E0 (u) xác định với u10 (Ω) Ta ta E0 (u) nửa liên tục yếu tức là: Nếu: um * u0 (yếu) H01 (Ω) E0 (u0 ) ≤ lim inf E0 (um ) m→∞ Thật phiếm hàm : R 1 J0 (uν ) = |∇u| dx = Ω kuk2H01 (Ω) nửa liên tục yếu H01 (Ω) tính nửa liên tục yếu chuẩn Ngồi ta áp dụng cơng thức Lagrange, ta có: Z Z [F0 (x, um ) − F0 (x, u)] dx = Ω f0 (x, u0 + θ(um − u0 )).(um − u0 )dx Ω Chú ý phép nhúng H01 (Ω) −→ L2 (Ω) compact nên dãy {um } hội tụ (mạnh) đến u0 L2 (Ω) 35 (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic Do f0 (x, t) bị chặn, ta suy ra: Z f (x, u0 + θ(um − u0 )).(um − u0 )dx = lim m→+∞ Ω Z lim Z F (x, um )dx = m→+∞ Ω F (x, u0 )dx Ω Từ suy E0 (u) nửa liên tục yếu H01 (Ω) Mặt khác: u ∈ H01 (Ω) E0 (u) ≥ ≥ ≥ 2 kuk2H01 (Ω) − c R |u| dx Ω kuk2H01 (Ω) − c1 kukL2 (Ω) kuk2H01 (Ω) − c2 kukH01 (Ω) Từ ta suy ra: lim kuk→+∞ E0 (u) = +∞ hay nói cách khác E0 (u) thỏa mãn điều kiện (tính Coercive) H01 (Ω) E0 khả vi Fréchet H01 (Ω) đạo hàm Fréchet E0 : H01 (Ω) −→ H −1 (Ω) xác định theo công thức: (E0 (u), ϕ) = R Du.Dϕdx − R f (x, u).ϕdx (3.27) Ω Ω với u ∈ H01 (Ω) ϕ(x) ∈ C0∞ (Ω) Nếu u0 ∈ H01 (Ω) cho: (E0 (u0 ), ϕ) = 0, ∀ϕ ∈ C0∞ (Ω) ta nói u0 điểm tới hạn E0 Khi u0 nghiệm yếu toán (3.1) Thật vậy, áp dụng cơng thức Green ta có: Z Z Du0 Dϕdx = − Ω Z u0 div(Dϕ)dx = − Ω u0 ∆ϕdx Ω 36 (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic Do đó, từ đẳng thức: Z Z Du0 Dϕdx − (E0 (u0 ), ϕ) = Ω f (x, u).ϕdx = Ω Ta có: Z [u0 (−∆ϕ) − f (x, u).ϕ]dx = 0, ∀ϕ ∈ C0∞ (Ω) Ω ⇒ u0 nghiệm yếu toán (3.25) Tiếp tục ta chứng minh phiếm hàm E0 có điểm tới hạn u0 ∈ H01 (Ω) Khi u0 nghiệm yếu toán (3.1) thỏa mãn điều kiện: U ≤ u0 ≤ U Ω Thật vậy: Vì E0 thỏa mãn điều kiện bị chặn H01 (Ω) nên tồn cận α= inf u∈H01 (Ω) E(u) (3.28) Khi tồn dãy cực tiểu hóa {um } ⊂ H01 (Ω) cho: α = lim E(um ) m→∞ (3.29) Do E0 thỏa mãn điều kiện H01 (Ω) nên {um } dãy bị chặn H01 (Ω) Do H01 (Ω) không gian phản xạ nên tồn dãy {umk }∞ k=1 dãy 1 {um }∞ m=1 hội tụ yếu H0 (Ω) đến hàm u0 ∈ H0 (Ω) umk * u0 (k → +∞) H01 (Ω) Do phép nhúng H01 (Ω) vào L2 (Ω) compact nên dãy {umk } hội tụ mạnh đến u0 L2 (Ω) lim k(umk − u0 )kL2 (Ω) = k→∞ 37 (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic Do tính nửa liên tục yếu E0 ta có: α ≤ E0 (u0 ) ≤ lim infE0 (umk ) ≤ lim E0 (umk ) = α k→+∞ k→∞ Từ suy : α = E0 (u0 ) = Z Z |∇u0 | dx − Ω F0 (x, u0 )dx Ω Do E0 khả vi Fréchet H01 (Ω) đạt cực tiểu u0 ∈ H01 (Ω) nên: (E0 (u0 ), ϕ) = 0, ∀ϕ ∈ C0∞ (Ω) Điều có nghĩa u0 điểm tới hạn E0 (u) u0 nghiệm yếu toán (3.25) −∆u0 = f0 (x, u0 ) D0 (Ω) (3.30) Mặt khác U nghiệm yếu (3.31) −∆U ≤ f (x, U ) Từ (3.30) (3.31) ta có: −∆(U − u0 ) ≤ f (x, U ) − f (x, u0 ) D (Ω) (3.32) Nhân hai vế (3.32) với (U − u0 )+ tích phân hai vế Ω ta có: R −∆(U − u0 ).(U − u0 )+ dx ≤ Ω R (U − u0 )+ (f (x, U ) − f (x, u0 ))dx (3.33) Ω ta ký hiệu: ( v + (x) = v(x) v(x) > 0 v(x) ≤ 38 (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic ( v − (x) = v(x) v(x) < 0 v(x) ≥ v(x) = v + (x) + v − (x), x ∈ Ω Áp dụng công thức Green từ (3.33) ta nhận được: R ∇(−u0 ).∇(−u0 )+ dx ≤ Ω R (−u0 )+ (f (x, ) − f (x, u0 ))dx (3.34) Ω Từ (3.33) (3.34) ta có: R |∇(−u0 )+ |2 dx ≤ Ω R (−u0 )+ (f (x, ) − f (x, u0 ))dx (3.35) Ω Theo định nghĩa f0 thì: Z (−u0 )+ (f (x, ) − f (x, u0 ))dx ≤ Ω Do đó: ∇(U − u0 )+ = Ω Từ suy ra: (U − u0 )+ số Ω, (U − u0 )+ ≡ Ω Vậy (U − u0 )+ ≤ Ω ⇒ U − u0 ≤ ⇒ U ≤ u0 Ω Tương tự ta chứng minh u0 ≤ U Ω Hay: U ≤ u0 ≤ U Ω Vì u0 ∈ U , U nên f0 (x, u0 ) = f (x, u0 ) Ω Do u0 nghiệm yếu toán (3.1) ( −∆u = f (x, u) Ω u = ∂Ω 39 (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic 3.3 Một số ví dụ áp dụng phương pháp nghiệm nghiệm vào tốn biên Elliptic nửa tuyến tính Ta xét toán: ( −∆u = f (x, u) Ω u = ∂Ω (3.36) Định lý 3.3 Giả sử f ∈ C α (Ω) với α ∈ (0; 1) với (x; u) ∈ Ω × R f (x, u).signu ≤ a | u | +C với a < (3.37) tốn (3.36) tồn nghiệm u cực tiểu toàn cục nghiệm u cực đại toàn cục Chứng minh Khơng tính tổng qt, ta giả sử C > Ta chọn nghiệm U toán (3.36) nghiệm tốn ( −∆U − a.U = C Ω U = ∂Ω (3.38) C lấy cho: C ≥ C + sup |g| Ω Từ điều kiện a < nên theo nguyên lý cực đại ta U ≥ Ta đặt U = −U nghiệm toán (3.36), nên U ≤ U Theo định lý 3.1 tồn nghiệm nhỏ u nghiệm lớn u thuộc khoảng (U ; U ) Với nghiệm u toán (3.36) ta chứng minh rằng: u ≤ u ≤ u Tức phải chứng minh: U ≤ u ≤ U 40 (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic Bây ta chứng minh u ≤ U Ta ký hiệu: Ω0 = {x ∈ Ω; u(x) > 0} Khi ta có: U − u = U ≥ ∂Ω0 Mặt khác −∆(U − u) − a(U − u) = −∆U − a.U − (−∆u − a.u) ≥ C − f (x; u) + a.u ≥ Ω0 Nên ta có : ( −∆(U − u) − a(U − u) ≥ Ω0 U − u ≥ ∂Ω0 Áp dụng nguyên lý cực đại ta U − u ≥ Ω0 hay u ≤ U Ω0 Do U = −U U ≥ nên U ≤ u ≤ U Chúng ta xét toán : −∆u = f (u) Ω u = ∂Ω u > Ω (3.39) Trong đó: (3.40) f (0) = lim sup u→+∞ f (u) u < λ1 (3.41) Từ điều kiện (3.41) suy ra: f (u) ≤ a.u + C, ∀u ≥ 0, a < λ1 C > Dễ thấy U = nghiệm toán (3.39) Chọn U nghiệm toán: ( −∆U − a.U = C Ω U = ∂Ω 41 (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic ta lấy nghiệm nhỏ u nghiệm lớn u ≥ Tuy nhiên ta chưa thể có u > Điều khẳng định định lý sau: Định lý 3.4 Giả sử f thỏa mãn điều kiện (3.40), (3.41) (3.42) f (0) > λ1 tốn (3.39) tồn nghiệm lớn u cho u > Ω Chứng minh Để chứng minh định lý ta cần toán (3.39) tồn nghiệm U nghiệm U cho < U ≤ U Khi theo định lý 3.1 tồn nghiệm u nhỏ nghiệm u lớn thuộc đoạn [U ; U ] Thật vậy, cho U = εϕ1 ϕ1 > hàm riêng thứ ứng với giá trị riêng thứ λ1 toán tử −∆ H01 (Ω) Với ε > đủ nhỏ ta cần chứng minh εϕ1 thỏa mãn hai điều kiện: a ε.ϕ1 nghiệm yếu toán (3.39) b ε.ϕ1 ≤ U Ta chứng minh điều kiện a Ta biết rằng: 0 f (εϕ1 ) = f (0) + εϕ1 f (0) + o(εϕ1 ) = εϕ1 f (0) + o(εϕ1 ) f (0) = Mặt khác từ điều kiện (3.42) f (0) > λ1 nên có: λ1 ≤ f (0) + o(1) hay ελ1 ϕ1 ≤ εϕ1 f (0) + o(εϕ1 ) (3.43) 42 (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.nghiem.tren.nghiem.duoi.giai.bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com