Thông tin tài liệu
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC VŨ THỊ MỪNG PHÂN LOẠI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THEO PHƯƠNG PHÁP GIẢI CHÚNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: PGS TS Nguyễn Minh Tuấn Hà Nội - 2016 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC VŨ THỊ MỪNG PHÂN LOẠI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THEO PHƯƠNG PHÁP GIẢI CHÚNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 Người hướng dẫn: PGS TS Nguyễn Minh Tuấn Hà Nội - 2016 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Nguyễn Minh Tuấn người tận tình hướng dẫn để em hồn thành luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực luận văn tốt nghiệp Hà Nội, ngày 10 tháng 10 năm 2016 Học viên Vũ Thị Mừng TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mục lục LỜI NÓI ĐẦU Một số kiến thức 1.1 1.2 Các hàm số lượng giác 1.1.1 Hàm số y = sin x y = cos x 1.1.2 Hàm số y = tan x y = cot x 1.1.3 Bài tập Đa thức lượng giác 12 Một số loại phương trình lượng giác 2.1 2.2 2.3 15 Phương trình lượng giác 16 2.1.1 Phương trình lượng giác 16 2.1.2 Các ví dụ 17 2.1.3 Bài tập áp dụng 23 Phương trình a cos x ± b sin x = c 24 2.2.1 Phương pháp giải 24 2.2.2 Các ví dụ 24 2.2.3 Bài tập áp dụng 28 Phương trình lượng giác đối xứng, phản đối xứng sin x cos x TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 28 2.4 2.5 2.3.1 Phương pháp giải 28 2.3.2 Các ví dụ 30 2.3.3 Bài tập áp dụng 35 Phương trình đẳng cấp sin x cos x 35 2.4.1 Phương pháp chung 35 2.4.2 Các ví dụ 36 2.4.3 Bài tập áp dụng 41 Một số phương trình lượng giác có cách giải đặc biệt 42 2.5.1 Tổng hạng tử không âm 42 2.5.2 Phương pháp đánh giá hai vế 45 Một số ứng dụng lượng giác đại số 54 3.1 Giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số 54 3.2 Chứng minh toán đẳng thức bất đẳng thức 64 3.3 Bài toán cực trị 70 3.4 Xác định công thức tổng quát dãy số 74 KẾT LUẬN 82 Tài liệu tham khảo 83 Tài liệu tham khảo 83 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002 LỜI NÓI ĐẦU Hiện với việc đổi toàn diện cách kiểm tra đánh giá lực Bộ Giáo Dục Đào Tạo Chủ trương giảm tải chương trình sách giáo khoa với việc đổi cách thức tổ chức kì thi quốc gia Thì việc trọng rèn luyện phương pháp tự học cần thiết Đối với mơn Tốn cơng việc giáo viên hướng dẫn học sinh công thức để học sinh tự giải tập phát huy tính tích cực học tập học sinh Đối với chương trình tốn trung học phổ thơng phương trình lượng giác nội dung quan trọng kỳ thi tuyển sinh đại học năm có câu giải phương trình lượng giác Việc giảng dạy lượng giác đưa vào chương trình từ lớp 10 bậc trung học phổ thơng, phần kiến thức phương trình lượng giác chiếm vai trị trọng tâm Kèm theo học tốn lượng giác giúp học sinh mở rộng tư lượng giác có nhiều cách giải Số lượng cơng thức lượng giác cần nhớ nhiều địi hỏi học sinh phải làm nhiều tập để nhớ kiến thức Tuy nhiên, thời gian hạn hẹp chương trình phổ thơng, khơng nêu đầy đủ chi tiết tất dạng tốn phương trình Vì học sinh gặp nhiều khó khăn giải tốn nâng cao phương trình lượng giác đề thi Mặc dù có nhiều tài liệu tham khảo lượng giác với nội dung khác nhau, chưa có chuyên đề riêng khảo sát phương trình cách hệ thống Đặc biệt, nhiều dạng tốn đại số lượng giác có quan hệ chặt chẽ, khăng khít với nhau, khơng thể tách rời Nhiều tốn lượng giác cần có trợ giúp đại số, giải tích ngược lại, ta dùng lượng giác để giải số tốn phương trình hệ phương trình đại số thông qua cách đặt ẩn phụ hàm lượng giác Do đó, để đáp ứng nhu cầu giảng dạy, học tập góp phần nhỏ bé vào (LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002 nghiệp giáo dục, luận văn "Phân loại phương trình lượng giác theo phương pháp giải chúng" nhằm hệ thống kiến thức phương trình lượng giác kết hợp với kiến thức đại số, giải tích để tổng hợp, chọn lọc phân loại phương trình theo phương pháp giải chúng Bố cục luận văn bao gồm chương: Chương Một số kiến thức - Nhắc lại kiến thức hàm số lượng giác - Nhắc lại khái niệm đa thức lượng giác số tính chất Chương Một số loại phương trình lượng giác - Phân loại phương trình lượng giác theo phương pháp giải - Một số ví dụ cho phương pháp - Bài tập ứng dụng Chương Một số ứng dụng lượng giác đại số - Trình bày số ứng dụng lượng giác đại số - Trình bày số ví dụ ứng với dạng tốn - Một số tập tương tự Do thời gian thực luận văn khơng nhiều, kiến thức cịn hạn chế nên làm luận văn không tránh khỏi hạn chế sai sót Em mong nhận góp ý ý kiến phản biện quý thầy cô bạn đọc Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 10 tháng 10 năm 2016 Học viên Vũ Thị Mừng (LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002 Chương Một số kiến thức 1.1 Các hàm số lượng giác Nhiều tượng tuần hồn đơn giản thực tế mơ tả hàm lượng giác Chương cung cấp kiến thức hàm số lượng giác, đa thức lượng giác Hình 1.1: Đường trịn lượng giác (LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002 Hàm số y = sin x y = cos x 1.1.1 a) Định nghĩa 1.1.1 • Quy tắc đặt tương ứng số thực x với sin góc lượng giác có số đo rađian x gọi hàm số sin, kí hiệu y = sin x • Quy tắc đặt tương ứng số thực x với cơsin góc lượng giác có số đo rađian x gọi hàm số cơsin, kí hiệu y = cos x Nhận xét • Hàm số y = sin x hàm số lẻ sin(−x) = − sin x với x thuộc R • Hàm số y = cos x hàm số chẵn cos(−x) = cos x với x thuộc R b) Tính tuần hồn Ta biết, với số nguyên k, số k2π thỏa mãn sin(x + k2π) = sin x với x Ngược lại, chứng minh số T cho sin(x + T ) = sin x với x phải có dạng T = k2π, k số nguyên Rõ ràng, số dạng k2π(k ∈ Z), số dương nhỏ 2π Vậy hàm số y = sin x, số T = 2π số dương nhỏ thỏa mãn sin(x + T ) = sin x với x Hàm số y = cos x có tính chất tương tự Ta nói hai hàm số hàm số tuần hồn với chu kì 2π c) Tập giá trị tập xác định - Hàm số y = sin x, y = cos x xác định với x ∈ R nghĩa tập xác (LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002 định hàm số y = sin x, y = cos x D = R - Khi x thay đổi, hàm số y = sin x hàm số y = cos x nhận giá trị thuộc đoạn [−1; 1] Ta nói tập giá trị hàm số y = sin x y = cos x đoạn [−1; 1] d) Vài giá trị đặc biệt 0o x 90o π 180o π 270o 3π 360o 2π cos x -1 sin x -1 1.1.2 Hàm số y = tan x y = cot x a) Định nghĩa 1.1.2 π • Với số thực x mà cos x 6= 0, tức x 6= + kπ (k ∈ Z), ta xác 2n o sin x π định số thực tan x = Đặt D1 = R\ + kπ|k ∈ Z cos x sin x Quy tắc đặt tương ứng số x ∈ D1 với số thực tan x = cos x gọi hàm số tang, kí hiệu y = tan x • Với số thực x mà sin x 6= 0, tức x 6= kπ (k ∈ Z), ta xác định cos x số thực cot x = Đặt D2 = R\{kπ|k ∈ Z} sin x cos x Quy tắc đặt tương ứng số x ∈ D2 với số thực cot x = sin x gọi hàm số cơtang, kí hiệu y = cot x Nhận xét • Hàm số y = tan x hàm số lẻ x ∈ D1 −x ∈ D1 tan x = − tan x • Hàm số y = cot x hàm số lẻ x ∈ D2 −x ∈ D2 cot x = − cot x (LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com sin x + π = |sin 2x| = sin(x + π ) = sin 2x = ⇔ sin(x + π ) = −1 sin 2x = −1 x = x = ⇔ x = x = π + kπ π + l2π −π + mπ −3π + n2π π + l2π (l ∈ Z) π Vậy phương trình có nghiệm là: x = + l2π (l ∈ Z) Ví dụ 2.5.7 Giải phương trình sau: Kết hợp lại ta được: x = (cos2 x + 1 )2 + (sin2 x + ) = 12 + sin y 2 cos x sin x (2.19) Lời giải Vế trái phương trình đánh sau: 1 2 ) + (sin x + ) ] cos2 x sin2 x 25 )2 > (1 + 4)2 = > (1 + 2 2 sin 2x [(cos2 x + Mặt khác vế phải phương trình đánh giá: 12 + 1 25 sin y 12 + = 2 52 (LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002 Do (2.19) xảy cos2 x + = sin2 x + cos2 x sin2 x sin y = ⇒ cos2 x = sin2 x sin y = ⇔ cos 2x = sin y = Từ ta tìm nghiệm (2.19) là: π π x = + k k, l ∈ Z π y = + l2π 53 (LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002 Chương Một số ứng dụng lượng giác đại số 3.1 Giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số Đứng trước phương trình, bất phương trình hệ phương trình ta có nhiều hướng xử lí nâng lũy thừa, đặt ẩn phụ, dùng đẳng thức, Tuy lúc ta áp đặt phương pháp nêu để giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình Có hệ phương trình ẩn mà hai phương trình hệ phương trình có số mũ lớn việc sử dụng phương pháp thông thường đưa ta đến ngõ cụt Nhưng thật may mắn thay số phương trình, bất phương trình hệ phương trình lại có điều kiện bó hẹp biến giúp ta liên tưởng đến số cơng thức lượng giác, từ mà ta tìm phép đặt lượng giác phù hợp Một số phép đặt bản: 54 (LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002 • Dạng 1: Nếu tốn chứa [f (x)]2 + [g(x)]2 = đặt: f (x) = cos t g(x) = sin t • Dạng 2: Nếu tốn chứa √ g(x) = cos t f (x) = sin t a2 − x2 đặt: π π x = |a| sin t, t ∈ [− , ] x = |a| cos t, t ∈ [0, π] 2 √ • Dạng 3: Nếu tốn chứa x2 − a2 đặt: π π |a| π |a| , t ∈ [− , ]\0 x = , t ∈ [0, π]\ sin t 2 cos t √ • Dạng 4: Nếu tốn chứa a2 + x2 đặt: x= π π x = |a| tan t, t ∈ [− , ] x = |a| cot t, t ∈ [0, π] 2 r r a+x a−x • Dạng 5: Nếu tốn chứa đặt: a−x a+x x = a cos 2t • Dạng 6: Nếu toán chứa p (x − a)(b − x) đặt: x = a + (b − a) sin2 t Các ví dụ Ví dụ 3.1.1 Giải phương trình: 4x3 − √ − x2 − 3x = Lời giải Điều kiện − x2 > ⇔ −1 x Với điều kiện ta đặt x = cos t, t ∈ [0; π] Vậy phương trình cho trở thành: cos3 t − p − cos2 t − cos t = 55 (LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002 π − t) (3.1) π 5π Giải phương trình (3.1) kết hợp điều kiện ban đầu ⇒ t = ; t = 8 π 5π Vậy phương trình có nghiệm x = cos x = cos 8 ⇔ cos 3t − sin t = ⇔ cos 3t = cos( Ví dụ 3.1.2 Giải phương trình p p x3 + (1 − x2 )3 = x − 2x2 (3.2) Lời giải Điều kiện − x2 > ⇔ −1 x Đặt x = cos t, t ∈ [0, π] ⇒ sin t > 0, ∀t ∈ [0, π] Khi phương trình (3.2) trở thành: p p cos3 t + (1 − cos2 t)3 = cos t − cos2 t √ ⇔ cos3 t + sin3 t = sin t cos t √ ⇔ (sin t + cos t)(1 − sin t cos t) = sin t cos t (3.3) √ z2 − Đặt z = sin t + cos t, z ∈ [−1, 2] t ∈ [0, π] ⇒ sin t cos t = Phương trình (3.3) trở thành √ z2 − z2 − ) = z(1 − 2 √ √ ⇔ z + 2z − 3z − = √ √ ⇔ (z − 2)(z + 2 + 1) = √ z= √ ⇔ z =1− √ z = −1 − √ Vì z = −1 − −1 nên loại √ sin t + cos t = √ • Với z = ta có sin t cos t = √ Suy cos t nghiệm phương trình x − 2x + = ⇔ x = 2 √ 56 (LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002 • Với z = − √ ta có √ sin t + cos t = − √ sin t cos t = − Suy cos t nghiệm phương trình x2 − (1 − √ 2)x + − √ 2=0⇔x= 1− √ q√ √ ± ( − 1)( + 3) Vậy phương trình (3.2) có nghiệm q√ √ √ √ − ± ( − 1)( + 3) x= ,x = 2 Ví dụ 3.1.3 Giải phương trình 5x + 12x = 13x Lời giải Chia vế cho 13x , ta x x 12 + = 13 13 2 2 12 Do + = nên ∃α ∈ [0, 2π] cho 13 13 sin α = 13 cos α = 12 13 Khi ta có phương trình sinx α + cosx α = Dễ thấy x = nghiệm phương trình Ta chứng minh x = nghiệm phương trình Thật vậy, 57 (LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002 • Nếu x < ta có sinx α > sin2 α ⇔ sinx α + cosx α > cosx α > cos2 α Suy phương trình khơng nghiệm sinx α < sin2 α ⇔ sinx α + cosx α < • Nếu x > ta có cosx α < cos2 α Suy phương trình khơng nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm x = Ví dụ 3.1.4 Giải hệ phương trình p √ x − y + y − x = (1 − x)(1 + y) = Lời giải Điều kiện: x, y ∈ [−1, 1] Với điều kiện đặt x = cos α; y = cos β; α, β ∈ [0, π] Ta có hệ tương đương với hệ sau cos α sin β + cos β sin α = (1 − cos α)(1 + cos β) = α + β = π ⇔ cos β − cos α − cos α cos β − = (3.4) √ Giải (3.4): Đặt cos β − cos α = t (−1 t 2) t2 − Suy − cos β cos α = Thay vào (3.4) ta t+ t2 − −1=0 ⇔t2 + 2t − = ⇒ t = (vì t √ 2) Với t = ta có: cos β − cos α = 58 (LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002 π π ) = sin 4 x = π ⇒α = ⇒ β = ⇒ y = ⇒ sin(α − Vậy nghiệm hệ phương trình cho là: x = y = Ví dụ 3.1.5 Giải hệ phương trình x3 − 3x = y(3x2 − 1) y − 3y = z(3y − 1) z − 3z = x(3z − 1) 1 Lời giải Nhận thấy hệ khơng có nghiệm x = ± √ ; y = ± √ ; z = ± √ 3 Với x, y, z 6= √ ta có hệ tương đương: x3 − 3x y = 3x2 − y − 3y z= 3y − x = z − 3z 3z − Đặt π π x = tan t, t ∈ (− ; ) 2 Với tan t, tan 3t, tan 9t 6= ± √ đó: y= (3.5) tan3 t − tan t = tan 3t tan t − 59 (LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002 z= tan3 3t − tan 3t = tan 9t tan 3t − tan3 9t − tan 9t = tan 27t (3.6) tan2 9t − π Từ (3.5) (3.6) ta được: tan t = tan 27t ⇔ t = k , k ∈ Z 26 π π −26 26 Do t ∈ − ; m x − x2 + Lời giải Điều kiện x π Đặt x = cos2 t, t ∈ [0, ] ta phương trình sin t + cos t > m sin t cos t + (3.10) 61 (LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002 √ u2 − Đặt u = sin t + cos t, u ∈ [1, 2] ⇒ sin t cos t = Khi (3.10) trở thành 2u > m(u2 − 1) + ⇔ 2(u − 1) > m(u2 − 1) (3.11) i) Nếu u = (3.11) ⇔ 2.0 > m.0 (vô lý) Suy bất đẳng thức khơng có nghiệm u = √ ii) Nếu u ∈ (1, 2] ta có u − > 0, u + > nên (3.11) ⇔ m < = f (u) u+1 Bất phương trình cho có nghiệm bất phương trình (3.10) có √ π nghiệm t ∈ [0, ] hay (3.11) có nghiệm u ∈ [1, 2] f (u) Điều kiện cần đủ để xảy điều m < sup √ (1; 2] Vậy bất phương trình cho có nghiệm m < Ví dụ 3.1.8 Giải bất phương trình sau: 3x √ > − 1 − x2 − x2 Lời giải Điều kiện − x2 > ⇔ −1 < x < −π π Đặt x = sin t, t ∈ ( , ) ⇒ cos t > 2 Bất phương trình cho trở thành sin t p −1 > − sin t − sin2 t sin t ⇔ > − ⇔ tan2 t − tan t + > cos t cos t −π π arctan < t < Do bất phương trình cho tương đương 62 (LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002 −π π sin( ) < x < sin π sin(arctan 2) < x < sin √ −1 < x < ⇔ sin(arctan 2) < x < tan(arctan 2) √ = Mặt khác sin(arctan 2) = p + tan2 (arctan 2) Vậy bất phương trình cho có nghiệm là: √ 2 √ < x < −1 < x < Bài tập áp dụng p √ 1) Giải phương trình: x = + − + x p p p √ √ 2) Giải phương trình : + − x2 ( (1 + x)3 − (1 − x)3 ) = + − x2 q 3) Giải hệ phương trình sau: 2x + x2 y = y 2y + y z = z 2z + z x = x 4) Giải hệ phương trình sau: xy + yz + zx = √ x y z 3 + + = − x2 − y2 − z2 5) Cho phương trình: √ 1+x+ √ 8−x+ p (1 + x)(8 − x) a) Giải phương trình m=3 b) Xác định m để phương trình có nghiệm 63 (LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002(LUAN.van.THAC.si).phan.loai.phuong.trinh.luong.giac.theo.phuong.phap.giai.chung002 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com
Ngày đăng: 21/12/2023, 03:43
Xem thêm:
