(LUẬN văn THẠC sĩ) một số phương pháp giải hệ phương trình và hệ bất phương trình đại số

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HOÀNG THỊ DỊU MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC HÀ NỘI - NĂM 2014 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HOÀNG THỊ DỊU MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ Chuyên nghành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU HÀ NỘI - NĂM 2014 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mục lục LỜI GIỚI THIỆU CÁC DẠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN 1.1 Hệ phương trình tuyến tính 1.2 Hệ phương trình đối xứng 10 1.3 Hệ phương trình dạng hốn vị vịng quanh 18 1.4 Hệ phương trình đẳng cấp 24 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 28 2.1 Phương pháp 28 2.2 Phương pháp đặt ẩn phụ 32 2.3 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số 39 2.4 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức 46 2.5 Phối hợp nhiều phương pháp 55 HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 57 3.1 Phương pháp tham số hóa giải hệ bất phương trình 57 3.2 Hệ phương trình bất phương trình ẩn 60 Kết luận 70 Tài liệu tham khảo 71 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com LỜI GIỚI THIỆU Hệ phương trình chuyên đề quan trọng chương trình học phổ thơng Đề thi đại học năm hầu hết có câu hệ phương trình Đó phần học quan trọng đại số lớp 10 Từ lâu việc tìm cách tổng hợp phương pháp để giải hệ phương trình nhiều người quan tâm Hệ bất phương trình lại lĩnh vực mà người quan tâm Các tài liệu tổng hợp phương pháp giải hệ bất phương trình nói Dựa giúp đỡ dẫn thầy Nguyễn Văn Mậu với tìm tịi tham khảo tơi tổng hợp số phương pháp giải hệ phương trình hệ bất phương trình đại số Ngồi phần mở đầu, phần kết luận chung, danh mục tài liệu tham khảo, cấu trúc luận văn bao gồm có ba chương Chương trình bày số dạng phương pháp cách giải hệ phương trình đại số Chương trình bày số phương pháp ví dụ giải hệ bất phương trình đại số Chương xét hệ chứa tham số hệ bất phương trình ẩn TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Chương CÁC DẠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN 1.1 Hệ phương trình tuyến tính Nhận dạng Xét hệ phương trình  a1 X + b1Y = c1 a2 X + b2Y = c2 Phương pháp giải Thường có ba phương pháp: Cách phương pháp Tư phương trình ta rút ẩn theo ẩn vào phương trình cịn lại Cách phương pháp cộng đại số Cộng trừ vế hai phương trình hợp lý để dễ dàng tìm x y Cách dùng định thức Ta kí hiệu (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so  x + + y(y + x) = 4y (x2 + 1)(y + x − 2) = y (1) Lời giải Hệ  2phương trình tương đương với: x + + y(y + x − 2) = 2y (x2+ 1)(y + x − 2) = y u = x2 + Đặt , (u > 1), hệ trở thành v = y + x −   u + yv = 2y u = 2y − yv (2) ⇔ uv = y (2y − yv)v = y (3) (3) ⇔ yv − 2yv + y = ⇔ y(v − 2v + 1) = ⇔ y(v − 1)2 - Nếu y = 0, vào (2) u = khơng thỏa mãn - Nếu v = 1, ta có y = − x, vào (1) ta x2 + + (3 − x).3 = 4(3 − x) ⇔ x2 + x − = Từ ta tìm hai nghiệm (1; 2), (−2; 5) Bài tốn 2.12 Giải hệ phương trình sau √ √ 2x + y + − x + y = 3x + 2y = Lời giải √ √ Đặt u = 2x + y + 1, v = x + y(u > 0, v > 0) Suy u2 + v = 3x + 2y + Thế vào hệ trở thành  u−v =1 u + v2 = v =u−1 ⇔ u2 − u − = 0 u=2 Từ ta tìm v=1 √ 2x + y + = ⇔ √  x+y =1 2x + y = ⇔ x + y = x=2 ⇔ y = −1 32 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so Vậy nghiệm hệ phương trình (2; −1) Bàitốn 2.13 Giải hệ phương trình sau  x2 + y + x3 y + xy + xy = −  x + y + xy(1 + 2x) = − Lời giải Hệ  cho tương đương với  x2 + y + xy(x2 + y) + xy = − 5  2 x + y + 2x y + xy = −   x2 + y + xy(x2 + y + 1) = − ⇔  2 (x + y) + xy = − Đặt u = x + y; v = xy , thay vào hệ ta được:   u + v(u + 1) = − (1)  u2 + v = − (2) Từ (2) ta có v = −u2 − , vào (1) được: 5 u + (u + 1)(−u2 − ) = − ⇔ u3 + u2 + u = 4 ⇔ 4u3 + 4u2 + u = ⇔ u(2u + 1)2 = TH1: u = suy v = − Từ  r   x = r  25  y = − 16    u = −  x2 + y = − 2 TH2: ⇔ 3   v = − xy = − 2 ( x2 + y = xy = − ⇔ ( y = −x2 x3 =   y = −x2 − ⇔  x(−x − ) = − 2 33 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so ⇔ (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so ( x=1 y = −x − ⇔ ⇔ y=− 2x3 + x − = Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm r r 25 ( ;− ), (1; − ) 16 Bài tốn 2.14 Giải hệ phương trình sau ( x(x + y + 1) − = (x + y)2 − + = x Lời giải Điều kiện: x 6=  x(x + y) + x = Hệ cho tương đương với x2(x + y ) + x2 = Đặt t = x(x + y), hệtrở thành   t+x=3 t+x=3 t+x=3 ⇔ ⇔ 2 t +x =5 (t + x) − 2tx = tx = (   x=2 x=2 x=2 TH1: ⇔ ⇔ t=1 x(x + y) = y=−    x=1 x=1 x=1 TH2: ⇔ ⇔ t=2 x(x + y) = y=1 Vậy hệ có hai nghiệm phân biệt: (2; − ), (1; 1) Bài toán 2.15 Giải hệ phương trình sau  xy + x + = 7y x2y + xy + = 13y ( Lời giải Vì y = không thỏa mãn hệ ta chia hai vế phương trình thứ cho y , chia vế phươngtrình thứ hai cho y hệ tương đương với  x 1 x   x + + = x + + = y y y y ⇔ x x   x2 + + x2 + = 13 + = 13 2 y y y y x Đặt u = x + , v = y y Suy x2 + = u2 − 2v Thay vào hệ ta có y 34 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so  u+v =7 u2 − v = 13 Cộng vế hai phương trình ta u2 + u − 20 =  TH1: u = 4, suy v = Từ  x + = y x   =3 y Từ ta thu hai nghiệm: (3; 1), (1; 3)  TH2: u = −5, suy v = 12 Từ  x + = −5 y x   = 12 y Ta có x, hai nghiệm phương trình X + 5X + 12 = (phương trình vơ y nghiệm) Vậy hệ có hai nghiệm (3; 1), (1; 3) Bài toán 2.16 Giải hệ phương trình sau  √ 2x + y = − 2x − y (1) x2 − 2xy − y = (2) Lời giải √ (1) ⇔ 2x + y + 2x + y − = √ Đặt 2x + y = t(t > 0), vào phương trình ta có t2 + 2t − = ⇔ (t − 1)(t + 3) = ⇔ t = (vì t > 0) Từ suy 2x + y = ⇔ y = − 2x, lại vào phương trình (2) ta x2 + 2x − = ⇔ x = x = −3 Vậy hệ có hai nghiệm (1; −1), (−3; 7) Bài tốn 2.17 Giải hệ phương trình sau  √ (4x + 1)x +√(y − 3) − 2y (1) 4x2 + y + − 4x = (2) Lời giải Điều kiện: x , y √ u2 + , thay vào (1) ta có: Đặt − 2y = u ⇔ − 2y = u ⇔ − y = 35 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so 2(4x2 + 1)x − u(u2 + 1) = ⇔ 8x3 − u3 + 2x − u = ⇔ (2x − u)(4x2 + 2xu + u2 ) + (2x − u) = ⇔ (2x − u)(4x2 + 2xu + u2 + 1) = ⇔ 2x − u = (vì 4x2 + 2xu + u2 + > 0) ⇔ u = 2x √ ⇔ 5 − 2y = 2x  0 x ⇔ − 4x  y = Thế vào phương trình (2) ta √ 25 + − 4x = 7(∗) 4x4 − 6x2 + √ 25 + − 4x [0; ] Xét hàm số f (x) = 4x4 − 6x2 + 4 4 = 4x(4x2 − 3) − √ Ta có f ′ (x) = 16x3 − 12x − √ − 4x − 4x 3 Trên đoạn [0; ]: x > 0, 4x2 − − < 0, 4x(4x2 − 3) < 4 Suy f ′(x) < 1 Mà f = Do x = nghiệm phương trình (∗) Từ 2 y=2 1  ;2 Vậy hệ phương trình có nghiệm Bàitốn 2.18 Giải hệ phương trình sau   =7 4xy + 4(x2 + y ) + (x + y)2   =3 2x + x+y Lời giải Điều kiện: x + y 6=  Hệ cho tương đương với  3(x + y)2 + (x − y)2 + =7 x+y  x + y + +x−y = x+y 36 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so   =u x+y+ Đặt x+y x − y = v (u > 2) Thay  2vào hệ ta2có 3(u − 2) + v = u+ v = 3u2 + (3 − u)2 − 13 = (1) ⇔ v =3−u Giải (1) ta có 3u2 + u2 − 6u + − 13 = ⇔ 2u2 − 3u − = ⇔ u = u = − (loại u > 2) 2  x+y+ =2 Với u = 2, v = 1, ta có x+y x − y =  (x + y)2 − 2(x + y) + = ⇔ x − y =  x+y =1 x=1 ⇔ ⇔ x−y =1 y=0 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (1; 0) Bài  toán 2.19 Giải hệ phương trình x2 y + 2y + x = 4xy x +  2+ x xy y Lời giải Điều kiện: xy 6= Hệ trình tương đương với  phương 1  x + + + =  x x1 y    x+ + =4 x x y 1 Đặt x + = u, + = v , thay vào hệ ta có x  x y u+v =4 u=2 ⇔ uv = v=2 37 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so   x + = Khi x1   + =2 x y  x=1 ⇔ y=1 Vậy hệ phương trình có nghiệm (1; 1) Sau số tốn hệ phương trình sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ Bài  toán 2.20 Giải hệ phương trình (x + y)(1 + xy) = 18xy (x2 + y )(1 + x2 y ) = 208x2y Bài Giải hệ phương trình  toán 2.21  (x + y)(1 + ) = xy  xy + =4 xy Bài 2.22 Giải hệ phương trình  xtốn y  + (x + y) = 15  y x  x2 y    + (x2 + y ) = 85 y x2 2.3 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số Một số hệ phương trình giải phương pháp hàm số Để nhận biết giải phương pháp khơng ta ý hai tính chất sau: - Tính chất 1: Giả sử hàm số y = f (x) đồng biến (hoặc nghịch biến) khoảng (a; b) Khi ta có f (u) = f (v) ⇔ u = v (với u, v ∈ (a; b)) - Tính chất 2: Nếu hàm số y = f (x) tăng (a; b) y = g(x) hàm hàm số giảm (a; b) phương trình f (x) = g(x) có nhiều nghiệm khoảng (a; b) Bài toán 2.23 Giải hệ phương trình sau 38 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so  x − 5x = y − 5y x8 + y = (1) (2) Lời giải Từ phương trình (2) ta suy |x| > 1, |y| > Ta xét hàm số f (t) = t3 − 5t [−1; 1] Ta có f ′(t) = 3t2 − < 0, ∀t ∈ [−1; 1] Do hàm số nghịch biến [−1; 1] Mà theo (1) f (x) = f (y), suy x = y Từ thay y = x vào phương trình (2) ta có x8 + x4 = ⇔√x8 + x4 − = −1 + ⇔ x4 = s2 √ −1 + ⇔x=± Từ trình s hai nghiệm shệ phương s √ s tìm√được √ √ −1 + 5 −1 + −1 + −1 + ; ), (− ;− ) ( 2 2 Bài toán 2.24 Giải hệ phương trình sau  (2x − 3x + 4)(2y − 3y + 4) = 18 (1) x2 + y + xy − 7x − 6y + 14 = (2) (Đề thi chọn đội tuyển trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội) Lời giải Ta xem (2) phương trình bậc hai theo ẩn x x2 + (y − 7)x + y − 6y + 14 = Phương trình có nghiệm x ∆ = (y − 7)2 − 4(y − 6y + 14) = −3y + 10y − > ⇔ y Tương tự ta xem (2) phương trình bậc hai theo ẩn y y + (x − 6)y + x2 − 7x + 14 = Phương trình có nghiệm y 10 ∆ = (x − 6)2 − 4(x2 − 7x + 14) = −3x2 + 16x − 20 > ⇔ x Xét hàm số f (t) = 2t2 − 3t + [1; +∞), ta có f ′(t) = 4t − > 0, t thuộc [1; +∞) Do [1; +∞) hàm số f (t) đồng biến Từ đó, dựa vào điều kiện y ta có f (y) > f (1) = 3, dựa vào điều kiện 39 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so 10 ta có f (x) > f (2) = Suy f (x).f (y) > 6.3 = 18 ⇔ (2x2 − 3x + 4)(2y 2− 3y + 4) > 18 x=2 Mà theo (1) đẳng thức xảy ta phải có y=1  x=2 Thay vào (2) ta có 22 + 12 + 2.1 − 7.2 − 6.1 + 14 = ⇔ = (vơ lý) y=1 Vậy hệ phương trình cho vơ nghiệm 26x6 Bài tốn 2.25 Giải hệ phương trình sau  √ 2(2x + 1) + 2x + = (2y − 3) y−2 √ √ 4x + + 2y + = (1) (2) Lời giải ( x>− Điều kiện: y>2 √ √ (1) ⇔ 2(2x + 1)3 + 2x + = 2(y − 2) y − + y − √ √ ⇔ 2(2x + 1)3 + 2x + = 2( y − 2)3 + y − 2(3) Xét hàm số f (t) = 2t3 + t [0; +∞) Ta có f ′(t) = 6t2 + > 0, t [0; +∞) Suy hàm số đồng biến [0; +∞) √ Theo (3) f (2x + 1) = f ( y − 2), suy √ √ √ √ √ 2x + = y − ⇔ 4x + = 4y − ⇔ 4x + = 4y − Từ thay vào (2) ta √ √ 4y − + 2y + = 6(4) - Nhận thấy y = nghiệm (4) √ √ - Ta xét y > 4y − > 4.6 − √ = 16 suy 4y − > 16 = 2; √ 2y + > 2.6 + = 16 suy 2y = > 16 = √ √ Từ 4y − + 2y + > + = 6, suy y > phương trình (4) vơ nghiệm √ √ - Tương tự xét y < ta có 4y − + 2y + < + = 6, tức y < phương trình (4) vơ nghiệm Vậy y = nghiệm phương trình (4) 1  ;6 Từ đó, nghiệm hệ phương trình cho Bài tốn 2.26 Giải hệ phương trình sau 40 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so √ √  3 1−x−y 2y + 2x − x =√ y = 2x2 − + 2xy + x (1) (2) Lời giải Điều kiện: −1 x √ √ (1) ⇔ 2y − 2(1 − x − 1) − x = − x − y √ √ ⇔ 2y − 2( − x)3 = − x − y √ √ ⇔ 2y + y = 2( − x)3 + − x (3) Xét hàm số f (t) = 2t3 + t R Ta có f ′ (t) = 6t2 + > ∀t, suy hàm số f (t) đồng biến R √ √ Mà theo (3) f (y) = √ f ( − x), suy y = − x, thay vào (2) ta có √ − x = 2x2 − + 2x − x2(4) t Đặt x = cos t, t ∈ [0; π] Ta suy sin t > 0, sin > ∀ ∈ [0; π] Thay vào (4) ta có √ √ 1r − cos t = cos2 t − + cos t − cos2 t √ t ⇔ sin2 = cos 2t + cos t sin2 t √ t ⇔ sin = cos 2t + cos t sin t √ t ⇔ sin = cos 2t + sin 2t √ t √ π ⇔ sin = sin(2t + ) t π ⇔ sin(2t + ) = sin π t ⇔ 2t + = + k2π t π 2t + = π − + k2π (với k ∈ R) π k4π 3π k4π ⇔t=− + t = + 10 3π Vì t ∈ [0; π] nên t nhận giá trị t = 10 √ 3π 3π Khi x = cos , y = sin 10 10 3π √ 3π Vậy hệ cho có nghiệm (cos ; sin ) 10 10 Bài tốn 2.27 Giải hệ phương trình sau 41 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so  x −√ y − = 3x p − 3y x2 + − x2 − 2y − y + = (1) (2) Lời giải   −1 x −1 x Điều kiện: hay 06y62 −1 y − 3 (1) ⇔ x − 3x + = (y − 3y + 3y − 1) − 3y + = ⇔ x3 − 3x = (y − 1)3 − 3(y − 1)(3) Xét hàm số f (t) = t3 − 3t [−1; 1] Ta có f ′(t) = 3t2 − = 3(t2 − 1) 0, t thuộc [−1; 1] Suy hàm số nghịch biến [−1; 1] Mà theo (3) f (x) = f (y − 1), dó phải có x = y − ⇔ y = x + Thay√ y = x + vào p phương trình (2) ta 2 x − 2(x + 1) − (x + 1)2 + = x + 1− √ ⇔ x2 − − x2 + = √ ⇔ x2 + = − x2 ⇔ x4 + 4x2 + = − 4x2 ⇔ x4 + 8x2 = ⇔ x = (thỏa mãn) Suy y = (thỏa mãn) Vậy hệ phương trình có nghiệm (0; 1) Bài tốn 2.28 Giải hệ phương trình sau √  x + px2 − 2x + = 3y−1 + y + y − 2y + = 3x−1 + Lời giải Đặt − = u, y − = v thay vào hệ đề ta có  x√ u + √ u2 + = 3v (1) v + v + = 3u Trừ √ vế hai phương trình √ ta vđược u u + u + + = v +√ v + + (2) Xét hàm số f (t) = t + t2 + + 3t t + ln 3.3t Ta có f ′ (t) = + √ t +1 √ t > Từ suy f ′ (t) > 0∀t Vì t2 + > −t nên + √ t +1 Mà theo (2) f (u) = f (v) nên suy u = v , vào (1) ta có √ u u + u2 + = 42 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so √ ⇔ ln(u + √u2 + 1) = u ln ⇔ ln(u + u2 + 1) − u ln = 0(3) Ta thấy u = nghiệm √ phương trình (3) Xét hàm số g(u) = ln(u + u2 + 1) − u ln 1 − ln < 0, ∀u (vì √ > 1) Ta có f ′ (u) = √ u2 + u2 + Từ g(u) hàm số nghịch biến Do u = nghiệm (3) Ta tìm nghiệm hệ phương trình cho (1; 1) Bàitốn 2.29 Giải hệ phương trình sau x3 − 3x2 = y − 3y − x−2 y−1 + logx = (x − 2014)2015 logy y−1 x−2 Lời giải (1) (2)   x>2 0 x2013, đẳng thức xảy x = |x| = y − y 2015 = y (1 − y 2007) > ⇔ y > y 2015, đẳng thức xảy y = |y| = z 10 − z 2017 = z 10 (1 − z 2007) > ⇔ z 10 > z 2017, đẳng thức xảy z = |z| = Cộng vế bất đẳng thức ta suy = x6 + y + z 10 > x2013 + y 2015 + z 2017 = Do đẳng thức phải xảy ra, tức  6đó dấu 2007 x (1 − x ) = y (1 − y 2007) =  10 z (1 − z 2007) = Kết hợp với (1), (2) ta thu nghiệm hệ phương trình (x; y; z) = (1; 0; 0), (0; 1; 0), (0; 0; 1) Bài  toán 2.36 Giải hệ phương trình sau 3(x + y) = 2|xy + 1| (1) 3 3 9(x + y ) = |x y + 1| Lời giải Ta có |x3y + 1| = |(xy + 1)(x2y − xy + 1)| = |(xy + 1)|.|x2y − xy + 1| = |(xy + 1)|.|(xy + 1)2 − 3xy| 9 Suy |(xy + 1)|.|(xy + 1)2 − 3xy| = (x + y)[ (x + y)2 − 3xy] = (x + y)(3x2 + 2xy + 3y ) (2) (3) Ta chứng minh 9(x3 + y ) > (x + y)(3x2 + 2xy + 3y ) Thật 9(x3 + y ) > (x + y)(3x2 + 2xy + 3y ) ⇔ 8(x3 + y ) > (x + y)(3x2 + 2xy + 3y ) 45 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so ⇔ 5(x3 + y ) > 5(x2y + xy 2) ⇔ 5(x + y)(x2 − 2xy + y ) > ⇔ 5(x + y)(x − y)2 >, điều theo (1) (x + y) > (x − y)2 > Điều (2), (3) chứng tỏ đẳng thức xảy ra, x = y Thay y = x vào (1) ta có phương trình √ 3± 2 6x = 2(x + 1) ⇔ x − 3x + = ⇔ x = √ √ 3− 3+ ;x = y = Vậy hệ có hai nghiệm x = y = 2 Bài 2.37 Giải hệ phương trình sau  tốn x +y =2 (1) 2 x − 2x + 2x = y (2) Lời giải Hệ trình tương đương với  4phương x +y x − 2x2 + 2x − = y − x4 + y = ⇔ (x − 1)(x2 − x + 1) = y − Ta xét trường hơp sau: TH1 Nếu x > (x − 1)(x2 − x + 1) > Do y − > ⇔ y > 1, suy y > Từ mâu thuẫn với phương trình (1) Do hệ vơ nghiệm Nếu x = 1, thay vào hệ đề ta  TH2 y =1 ⇔ y = ±1 y2 = TH3 Nếu < x < (x − 1)(x2 − x + 1) < 0.Do y − < ⇔ y < Tương tự TH1, ta suy mâu thuẫn với phương trình (1) Do hệ vơ nghiệm TH4 Nếu x < x3 − 2x2 + 2x < Do y < 0, vơ lý Vậy hệ cho có nghiệm (x; y) = (1; 1), (1; −1) Bài toán 2.38 Giải hệ phương trình sau 46 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.va.he.bat.phuong.trinh.dai.so