(LUẬN văn THẠC sĩ) phương pháp liao nghiên cứu sự ổn định của phương trình vi phân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Vũ Thanh Lam PHƯƠNG PHÁP LIAO NGHIÊN CỨU SỰ ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2017 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Vũ Thanh Lam PHƯƠNG PHÁP LIAO NGHIÊN CỨU SỰ ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS LÊ HUY TIỄN Hà Nội - Năm 2017 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới TS Lê Huy Tiễn, người tận tình hướng dẫn để em hồn thành luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thành viên nhóm seminar Hệ động lực trường Khoa học tự nhiên có góp ý quý báu để em hoàn luận văn tốt nghiệp Hà Nội, ngày 05 tháng 10 năm 2017 Học viên Vũ Thanh Lam i TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan Mục lục Lời cảm ơn i Lời nói đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các khái niệm ổn định 1.2 Số mũ Lyapunov tính quy 1.3 Hàm Lyapunov 15 1.4 Kỹ thuật tam giác hóa Perron 20 Chương Ổn định phương pháp Liao 25 2.1 Các định lý ổn định Bylov Liao 25 2.2 Mở rộng định lý ổn định Liao 28 2.3 Chứng minh kết 33 2.3.1 Chứng minh Định lý 2.2.1 33 2.3.2 Chứng minh định lý 2.2.5 40 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 ii (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan LỜI NÓI ĐẦU Việc nghiên cứu tính ổn định nghiệm phương trình vi phân nhiều người quan tâm có nhiều ứng dụng lĩnh vực vật lý, kinh tế, sinh học, Có hai phương pháp nghiên cứu ổn định nghiệm phương pháp hàm Lyapunov phương pháp số mũ Lyapunov Để mở rộng phạm vi ứng dụng nó, nhiều hướng nghiên cứu lí thuyết ổn định xuất nhận nhiều kết thú vị lý thuyết ứng dụng Luận văn đề cập đến hướng tiếp cận gần liên quan đến phương pháp số mũ Lyapunov Như ta biết, hệ tuyến tính khơng ơ-tơ-nơm x0 = A(t)x, tính âm số mũ Lyapunov khơng suy tính ổn định phương trình có nhiễu x0 = A(t)x+f (t, x) Phản ví dụ cho điều gọi Hiệu ứng Perron (xem [12]) Năm 1966, D Bylov (xem [4]) đưa thêm điều kiện tính quy hệ để đảm bảo cho tính ổn định hệ với nhiễu Lipschitz đủ nhỏ Sau đó, có nhiều nỗ lực đời để tìm điều kiện đủ cho tính ổn định phương trình có nhiễu Ya Pesin [13], S.-T Liao [8], Năm 2006, Xiongping Dai sử dụng kĩ thuật Liao để đưa điều kiện ổn định khác cho trường hợp nhiễu tuyến tính Điều kiện X Dai xem yếu điều kiện trước Bellman [3], điều kiện nhị phân mũ khác điều kiện đủ Bylov Pesin Mục đích luận văn trình bày lại số khái niệm lí thuyết ổn định phương trình có nhiễu kết X Dai Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương Kiến thức chuẩn bị Chương dành để trình bày (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan vài khái niệm ví dụ phương trình vi phân lí thuyết ổn định số mũ Lyapunov, hàm Lyapunov, tam giác hóa Perron, Chương Ổn định phương pháp Liao Trong chương đề cập tới kết phương pháp Liao ổn định phương trình với nhiễu tuyến tính Luận văn chi tiết hóa chứng minh X Dai báo [6] viết năm 2006 Hà Nội, ngày 05 tháng năm 2017 Học viên Vũ Thanh Lam (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, giới thiệu khái niệm lý thuyết ổn định cho phương trình vi phân tuyến tính khơng ơ-tơ-nơm Trong trình bày số khái niệm sở phương trình vi phân khái niệm ổn định, số mũ Lyapunov, hàm Lyapunov, kỹ thuật tam giác hóa Perron, Nội dung chương tham khảo sách L Ya Adrianova [1], W A Coppel [5] L Bareira C Valls [2] 1.1 Các khái niệm ổn định Trước tiên, ta tìm hiểu loại ổn định phương trình vi phân Xét phương trình khơng ơ-tơ-nơm x(t) ˙ = f (t, x), t ≥ t0 , (1.1) đó, hàm f : [t0 , +∞) × Rn → Rn hàm thỏa mãn điều kiện cần thiết để (1.1) có nghiệm Hàm vectơ x : [t0 , +∞) → Rn gọi nghiệm phương trình (1.1) miền [t0 , +∞) hàm khả vi thỏa mãn x(t) ˙ = f (t, x(t)), t ≥ t0 Khái niệm ổn định Lyapunov đặt theo tên nhà toán học người Nga, Aleksandr Lyapunov, người xuất sách Bài toán Tổng quát ổn định chuyển động vào năm 1892 (xem [9]) Lyapunov người xem (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan xét tính chất định tính hệ thống phi tuyến lý thuyết ổn định hệ tuyến tính dựa việc tuyến tính hóa gần điểm cân Cơng trình ơng ban đầu xuất tiếng Nga sau dịch sang tiếng Pháp nhận ý nhiều năm Sự quan tâm đến đột ngột bắt đầu thời kỳ chiến tranh lạnh sau phương pháp thứ hai Lyapunov áp dụng ổn định hệ thống dẫn đường hàng không vũ trụ thường chứa yếu tố phi tuyến mà không xử lý phương pháp khác Một số lượng lớn các báo xuất sau tạp chí chun ngành điều khiển hệ động lực (xem [11, 7, 10]) Định nghĩa 1.1.1 Nghiệm x(t) phương trình (1.1) gọi ổn định khoảng [t0 , ∞) với ε > tồn δ = δ(ε, t0 ) > cho nghiệm x(t) phương trình (1.1) thỏa mãn bất đẳng thức kx(t0 ) − x(t0 )k < δ tồn [t0 , ∞) thỏa mãn kx(t) − x(t)k < ε, với t > t0 Nói cách khác, nghiệm x(t) ổn định, nghiệm x(t) gần với thời điểm ban đầu t0 hoàn nằm ống ε nhỏ tùy ý đựng quanh nghiệm x(t) (xem Hình 1.1) Hình 1.1: Nghiệm x(t) ổn định Hình 1.2: Nghiệm x(t) ổn định tiệm cận (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan Nếu nghiệm x(t) thỏa mãn lim kx(t) − x(t)k = t→∞ ta nói x(t) ổn định tiệm cận (xem Hình (1.2)) Định nghĩa 1.1.2 Nghiệm x(t) phương trình (1.1) gọi ổn định mũ (hay cịn gọi co khơng đều) tồn số α > cho với t0 , tồn số N = N (t0 ) cho kx(t) − x(t)k ≤ N e−α(t−t0 ) kx(t0 ) − x(t0 )k x(t) nghiệm phương trình cho x(t0 ) = x0 Nếu định nghĩa số N chọn độc lập với t0 , ta gọi x(t) ổn định mũ (hay gọi co đều) Ví dụ 1.1.3 Xét phương trình x˙ = Khi đó, ta có nghiệm tổng quát x(t) ≡ c với c số thực tùy ý Rõ ràng nghiệm tầm thường x(t) = ổn định (xem Hình 1.3) với ε > 0, với cách chọn δ = ε, với nghiệm x(t) thỏa mãn |x(t0 ) − x(t0 )| ≤ δ |x(t) − x(t)| = |x(t0 ) − x(t0 )| ≤ δ = ε Hình 1.3: Nghiệm tầm thường x ≡ Ví dụ 1.1.3 ổn định không ổn định tiệm cận (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan Tuy nhiên, nghiệm tầm thường không ổn định tiệm cận chọn y(t) ≡ δ/2 lim |x(t) − x(t)| = δ/2 > t→∞ Ví dụ 1.1.4 Nghiệm x(t) = phương trình x˙ = −x ổn định tiệm cận (xem Hình 1.4) Thật vậy, nghiệm khác có dạng x(t) = x(t0 )e−t Do đó, với ε > 0, ta chọn δ = εet0 Khi đó, với nghiệm mà |x(t0 )−x(t0 )| ≤ δ (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan Khi  f (x, y) =  −x + y −x − y   Trước tiên, ta xét f (x, y) = ⇔   −x + y = ⇔ x = y =  −x − y = Vậy phương trình có điểm cân (0, 0) Tiếp theo, ta xét phiếm hàm V (x, y) = x2 + y Rõ ràng (i) V (0, 0) = 0, V (x, y) = x2 + y > với (x, y) 6= (0, 0) (ii) V˙ (x, y)2x · x˙ + 2y · y˙ = 2x(−x + y) + 2y(−x − y ) = −2(x2 + y ) ≤ Vậy điểm cân (0, 0) ổn định (xem Hình 1.6) Hình 1.6: Trường vectơ điểm cân cho Ví dụ 1.3.3 Ví dụ 1.3.4 Xét phương trình   x0  y = y − xy = −x3 16 (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan Giải f (x, y) = ⇔   y − xy = ⇔ x = y =  −x3 = Vậy phương trình có điểm cân (0, 0) Xét phiếm hàm V (x, y) = x4 + 2y ta có: (i) V (0, 0) = 0, V (x, y) = x4 + 2y > ∀(x, y) 6= (0, 0) (ii) V˙ (x, y) = 4x3 x0 + 4yy = 4x3 (y − xy ) + 4y(−x3 ) = −4x2 y ≤ Vậy điểm cân (0, 0) ổn định (xem Hình 1.7) Hình 1.7: Trường vectơ điểm cân cho Ví dụ 1.3.4 Ví dụ 1.3.5   x0 = x2 − x − y  y = x có điểm cân (0, 0) Để xét ổn định tiệm cận ta xét hàm V (x, y) = x2 + xy + y Khi đó, ta thu (i) V (0, 0) = 0, V (x, y) = x +
y 2 + 3y > với (x, y) 6= (0, 0) 17 (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com  (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan (ii) V˙ (x, y) = 2xx˙ + xy ˙ + xy˙ + 2y y˙ = −(x2 + xy + y ) + 2x3 + x2 y Rõ ràng tồn số a, b > cho −a(x2 + y ) ≤ −(x2 + xy + y ) ≤ −b(x2 + y ) Do 2x3 + x2 y → (x, y) → (0, 0) nên x2 + y V˙ (x, y) −(x2 + xy + y ) 2x3 + x2 y = + x2 + y x2 + y x + y2 Từ đó, −a − ε < V˙ (x, y) < −b + ε < với (x, y) đủ nhỏ x2 + y Cho nên V˙ (x, y) < với (x, y) đủ nhỏ (x, y) 6= (0, 0) Vậy điểm cân (0, 0) ổn định tiệm cận (xem Hình 1.8) Hình 1.8: Trường vectơ điểm cân cho Ví dụ 1.3.5 Ví dụ 1.3.6 Cho phương trình   x0 = 3x + y  y = −2y + x2 có điểm cân (0, 0) Ta xét hàm V (x, y) = x2 − y Rõ ràng 18 (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan (i) V (0, 0) = 0, V˙ (x, y) = 2xx˙ − 2y y˙ = 6x2 + 4y + 2xy − 2x2 y 2xy − 2x2 y → (x, y) → (0, 0) (do bậc tử cao bậc mẫu) Ta có 6x2 + 4y Khi đó, V˙ (x, y) → (x, y) → (0, 0) 6x2 + 4y Điều suy V˙ (x, y) > với (x, y) thuộc lân cận đủ nhỏ (0, 0) (ii) Với lân cận (0, 0) tồn điểm (x, y) cho V (x, y) = x2 − y > Do đó, nghiệm tầm thường khơng điểm ổn định (xem Hình 1.9) Hình 1.9: Trường vectơ điểm cân cho Ví dụ 1.3.6 Nhận xét 1.3.7 Đối với lớp định phương trình vi phân thường, tồn hàm Lyapunov điều kiện đủ cho ổn định Trong đó, khơng có kỹ thuật tổng quát để xây dựng hàm Lyapunov cho phương trình vi phân thường, nhiều trường hợp cụ thể, việc xây dựng hàm Lyapunov biết đến Ví dụ, hàm bậc hai đủ cho hệ thống với 19 (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan trạng thái; lời giải bất đẳng thức ma trận tuyến tính đặc biệt cung cấp hàm Lyapunov cho hệ thống tuyến tính; định luật bảo tồn thường sử dụng để xây dựng hàm Lyapunov cho hệ thống vật lý 1.4 Kỹ thuật tam giác hóa Perron Trước vào kĩ thuật tam giác hóa Perron, ta nhắc lại khái niệm đại số tuyến tính Định nghĩa 1.4.1 Ma trận vuông giá trị thực U (cấp n) gọi ma trận trực giao ma trận chuyển vị U T ma trận nghịch đảo, nghĩa U T U = U U T = I Dưới số tính chất ma trận trực giao Tính chất 1.4.2 Cho U ma trận trực giao cỡ n × n Khi đó, khẳng định i) Với x, y ∈ Rn U bảo tồn tích vơ hướng chúng, tức hU x, U yi = hx, yi ii) U ma trận trực chuẩn iii) U chéo hóa (tức U đồng dạng với ma trận đường chéo) Như hệ định lí phổ (spectral theorem), U phân tích thành dạng U = V DV T V ma trận trực giao D ma trận đường chéo iv) U có định thức ±1 20 (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan v) Các không gian riêng ứng với giá trị riêng U trực giao với Tập hợp ma trận trực giao cỡ n × n với phép tốn nhân ma trận lập thành nhóm gọi nhóm trực giao Ta kí hiệu nhóm trực giao O(n) nhóm nhóm tuyến tính tổng qt GL(n) Ví dụ 1.4.3 Xét ma trận  U = cos α sin α − sin α cos α   Rõ ràng,  U −1 =  cos α sin α − sin α cos α −1  =  cos α − sin α sin α cos α   = UT Do đó, ma trận U trực giao Trong phần này, ta tập trung tìm hiểu kỹ thuật tam giác hóa Perron, phương pháp để đưa hệ phương trình vi phân tuyến tính dạng phương trình đường chéo với cách tiếp cận phương pháp sử dụng công cụ đại số tuyến tính Cụ thể, ta có quy trình để tam giác hóa phương trình tuyến tính Cho A(t) hàm ma trận cỡ n × n liên tục nửa đường thẳng [t0 , +∞) ký hiệu X(t) = {x1 (t) | · · · | xn (t)} ma trận nghiệm phương trình vi phân tuyến tính x0 = A(t)x (1.7) Bằng phép trực giao hóa Gram-Schmidt cột X(t), bắt đầu với cột đầu tiên, ta thu hệ vectơ sở ξ1 = x1 , e1 = ξ1 /||ξ1 || ξ2 = x2 − (x2 , e1 )e1 , e2 = ξ2 /||ξ2 || ξn = xn − n−1 P (xn , es )es , en = ξn /||ξn || s=1 21 (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan Rõ ràng, (ei , ej ) = δij , nghĩa ta thu ma trận U (t) = {e1 | · · · | en } ma trận trực giao U T U = E Giải ngược hệ ta thu x1 = ||ξ1 ||e1 , x2 = (x2 , e1 )e1 + ||ξ2 ||e2 , xn = n−1 X (xn , es )es + ||ξn ||en s=1 Điều dẫn đến X(t) = U (t)Y (t) với Y (t) có dạng  ||ξ || (x2 , e1 )    ||ξ2 || Y (t) =     (xn , e1 )    (xn , e2 )      ||ξn || (1.8) Hơn nữa, Y (t) ma trận nghiệm phương trình y = B(t)y, (1.9) B = U −1 AU − U −1 U = Y˙ Y −1 ma trận tam giác với đường chéo số thực Kết luận Bằng phép đổi biến x = U (t)y, ta thay phương trình (1.7) phương trình dạng tam giác (1.9) Ví dụ 1.4.4 Xét phương trình   −2 + cos t − sin t cos t  x x˙ =  −2 − sin t cos t −2 + sin2 t (1.10) 22 (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan Bằng tính tốn trực tiếp, ta có hệ nghiệm phương trình   t/2 −t e cos t e sin t  X(t) = (x1 (t), x2 (t)) =  t/2 −t −e sin t e cos t Dưới quy trình trực giao hóa Gram-Schmidt hệ vectơ cột X(t) ξ1 = x1 = (et/2 cos t, −et/2 sin t) Trực chuẩn vectơ ξ1 dẫn đến ! t/2 t/2 ξ1 −e sin t e cos t ,p e1 = = p t/2 t/2 t/2 ||ξ1 || (e cos t) + (−e sin t) (e cos t)2 + (−et/2 sin t)2 = (cos t, − sin t) ξ2 = x2 − (x2 , e1 )e1 = (e−t sin t, e−t cos t) − (e−t sin t cos t − e−t cos t sin t)(cos t, − sin t) = (e−t sin t, e−t cos t) Trực chuẩn vectơ ξ2 dẫn đến   ξ2 e−t cos t e−t sin t e2 = = p ,p ||ξ2 || (e−t sin t)2 + (e−t cos t)2 (e−t sin t)2 + (e−t cos t)2 = (sin t, cos t) Sử dụng công thức (1.8) ta thu  Y (t) =  e t/2 0 e−t   Do đó, với phép đổi biến x = U (t)y với U (t) ma trận trực giao   cos t sin t  U (t) =  − sin t cos t phương trình (1.10) trở thành phương trình y˙ = B(t)y 23 (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan với B(t) ma trận tam giác có dạng  0  −1 t/2 t/2 e e   B(t) = Y˙ Y −1 =  −t −t e e    t/2 −t/2 1/2e e   = −t t −e e   1/2  = −1 24 (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan Chương Ổn định phương pháp Liao Phương pháp Liao năm 1973 [8] đưa điều kiện đủ cho tính ổn định phương trình có nhiễu mà khơng cần dùng tính quy Bylov [4] trước Sau này, X Dai [6] sử dụng lại phương pháp Liao để đưa điều kiện yếu cho tính ổn định cho nhiễu tuyến tính Vì ta xét ổn định mũ (nói chung không đều) nên để đơn giản, giả sử t0 = Trước tiên, ta nêu lại kết trước Bylov Liao cho tính ổn định 2.1 Các định lý ổn định Bylov Liao Mục tham khảo chủ yếu tài liệu [8] [4] Xét phương trình vi phân tuyến tính dx = A(t)x ((t, x) ∈ R+ × Rn ), dt (A) A(t) hàm giá trị ma trận cỡ n × n, liên tục bị chặn R+ Xét phương trình (A) có nhiễu dx = A(t)x + f (t, x) ((t, x) ∈ R+ × Rn ), dt (A + f ) f (t, x) hàm liên tục giá trị véctơ thực n-chiều, phi tuyến tuyến tính theo biến x ∈ Rn , với f (t, 0) = Một tốn 25 (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan nghiên cứu rộng rãi lý thuyết ổn định Lyapunov điều kiện λ+ (v; A) < (với v (6= 0) ∈ Rn ) có suy nghiệm tầm thường xf (t) = phương trình nhiễu (A + f ) ổn định mũ ổn định tiệm cận hay không? Với phương trình nhiễu phi tuyến (A + f ), điều sau: λ+ (v; A) < (với v (6= 0) ∈ Rn ) (C1 ) kf (t, x)k ≤ Kkxk1+α (K > 0, α > 0) (C2 ) và thêm giả thiết quy tiến (forward regularity), ta có định lý tiếng sau Bylov [4] Định lý 2.1.1 (Bylov) Giả sử phương trình (A) quy tiến mũ Lyapunov λ+ (v; A) thỏa mãn điều kiện (C1 ) với véctơ khác không v ∈ Rn Nếu tồn lân cận Rn Bζn (0) = {x ∈ Rn : kxk < ζ} cho với t ∈ R+ điều kiện (C2 ) với x ∈ Bζn (0), nghiệm xf (t) = phương trình (A + f ) ổn định mũ theo nghĩa Lyapunov Định nghĩa 2.1.2 Cho tập A ⊂ R+ Ta gọi bán kính phủ r (covering radius) tập A infimum tất số r0 cho điểm y ∈ R+ , tồn x ∈ A cho y ∈ B(x, r) Tập A gọi tập trù mật tương đối R+ bán kính phủ A hữu hạn Ví dụ 2.1.3 Tập số tự nhiên N trù mật tương đối R+ Theo kỹ thuật tam giác hóa Perron, khơng tính tổng quát, ta giả sử A(t) ma trận tam giác Để thuận tiện, liệt kê số giả thiết dùng phần 26 (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan A(t) = (Ajk (t)) hàm liên tục giá trị ma trận thực n × n xác định R+ cho Ajk (t) = (1 ≤ k < j ≤ n) kAk := sup kA(t)k < ∞ t∈R+ (C1∗ ) Tồn dãy trù mật tương đối R+ , cụ thể {Ts }∞ : = T0 < T1 < T2 < T3 < cho s−1 X χ+ (A) := lim sup max ∗ 1≤k≤n s→+∞ Ts (Z Ts0 +1 ) Akk (t)dt < (C2∗ ) Ts0 s =0 Hơn nữa, tồn dãy trù mật tương đối R+ , cụ thể {Tbs }∞ : = Tb0 < Tb1 < Tb2 < Tb3 < cho s−1 X ð+ (A) := lim inf ∗ s→+∞ T bs 1≤k≤n s =0 (C1∗ ) Chú ý lim sup t→+∞ (C2∗ ) (Z Tbs0 +1 ) Akk (t)dt > b2∗ ) (C Tbs0 suy hệ (A) co không đều, tức log kxa (t; v)k = λ+ (v; A) < (với v (6= 0) ∈ Rn ) t Ngoài điều kiện (C1∗ ) (C2∗ ) thể tính yếu Bây phát biểu định lý Liao ổn định Lyapunov Định lý 2.1.4 (Liao) Giả sử điều kiện (C1∗ ) (C2∗ ) bên thỏa mãn cho phương trình (A) Nếu f (t, x) = (f (t, x), , f n (t, x))T ∈ Rn ∂f liên tục theo (t, x) ∈ R+ × Rn ∂(x , , xn ) (C3∗ ) kf (t, x)k = o(kxk) liên tục với t ∈ R+ (C4∗ ) nghiệm xf (t) = phương trình (A + f ) ổn định tiệm cận ổn định mũ theo nghĩa Lyapunov 27 (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan So sánh điều kiện Định lý ổn định 2.1.1 2.1.4, ta thấy (C1 ) + tính quy ↔ (C2∗ ) (C2 ) ↔ (C3∗ ) + (C4∗ ) 2.2 Mở rộng định lý ổn định Liao Mục nội dung luận văn nhằm trình bày lại kết tính ổn định cho phương trình (A) viết Xiongping Dai [6] Ta có định lí Định lý 2.2.1 Giả sử hệ vi phân tuyến tính dx = A(t)x ((t, x) ∈ R+ × Rn ) dt (A) thỏa mãn điều kiện (C1∗ ) (C2∗ ) Khi đó, với ε > cho trước, tồn số δ > cho với hệ vi phân tuyến tính dx = B(t)x ((t, x) ∈ R+ × Rn ) dt (B) B(t) liên tục theo t ∈ R+ , sup kB(t) − A(t)k < δ t∈R+ λ+ (x0 ; B) = lim sup t→+∞ log kxB (t; x0 )k < χ+ ∗ (A) + ε t với x0 ∈ Rn khác khơng, x(t) = xB (t; x0 ) nghiệm phương trình (B) thỏa mãn điều kiện ban đầu x(0) = x0 Ví dụ 2.2.2 Xét phương trình  t −arctan(t) −  + t2 x˙ =  f (t)      x t − arctan(t) + + t2 (2.1) 28 (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan với f (t) hàm bị chặn R+ Rõ ràng, ma trận hệ số thỏa mãn điều kiện (C1∗ ) Đối với điều kiện (C2∗ ), ta xét dãy trù mật tương đối {Ts }∞ R+ , ta có ước lượng (Z ) s−1 Ts0 +1 X χ+ max Akk (t)dt ∗ (A) = lim sup 1≤k≤n s→+∞ Ts Ts0 s =0 (   ) Z Ts0 +1 s−1 X t = lim sup − arctan(t) + dt 2 + t s→+∞ Ts T s s =0   s−1 1 X Ts0 +1 − (tarctan(t))|Ts0 = lim sup s→+∞ Ts s =0   1 π = lim sup − Ts arctanTs = − < s→+∞ Ts Do với ε > 0, tồn số δ(ε) cho phương trình có dạng   t −arctan(t) − + ε1 a11 (t) f (t) + ε2 a12 (t)   + t2   x˙ =   x, t − arctan(t) + + ε3 a22 (t) + t2 (2.2) (trong đó, a11 (t), a12 (t), a22 (t) hàm bị chặn ε1 , ε2 , ε3 số đủ nhỏ cho sup ||A(t) − B(t)|| ≤ δ với A(t), B(t) ma trận hệ số t∈R+ phương trình (2.1) (2.2)) có số mũ Lyapunov thỏa mãn λ+ (x0 ; (2.2)) = lim sup t→+∞ π log kxB (t; x0 )k < − + ε < 0, t với x0 ∈ Rn khác khơng Ví dụ 2.2.3 Xét phương trình   −a f (t)  x x˙ =  sin log t + cos log t − (2.3) với f (t) hàm bị chặn R+ a số dương thỏa mãn a < − √ Rõ ràng, ma trận hệ số thỏa mãn điều kiện (C1∗ ) Đối với điều kiện (C2∗ ), ta √ thấy a < − 2, −a > √ − ≥ sin log t + cos log t − 29 (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan Xét dãy trù mật tương đối {Ts }∞ R+ , ta có ước lượng (Z ) s−1 Ts0 +1 X χ+ max Akk (t)dt ∗ (A) = lim sup 1≤k≤n s→+∞ Ts Ts0 s =0 ( ) Z Ts0 +1 s−1 X (−a)dt = lim sup s→+∞ Ts Ts0 = lim sup s→+∞ = lim sup s→+∞ Ts s =0 s−1 X {−a(Ts0 +1 − Ts0 )} s0 =0 {−aTs } = −a < Ts Do với ε > 0, tồn số δ(ε) cho phương trình có dạng   −a + ε1 a11 (t) f (t) + ε2 a12 (t)  x, x˙ =  sin log t + cos log t − + ε3 a22 (t) (2.4) (trong đó, a11 (t), a12 (t), a22 (t) hàm bị chặn ε1 , ε2 , ε3 số đủ nhỏ cho sup ||A(t) − B(t)|| ≤ δ với A(t), B(t) ma trận hệ số t∈R+ phương trình (2.1) (2.2)) có số mũ Lyapunov thỏa mãn λ+ (x0 ; (2.4)) = lim sup t→+∞ log kxB (t; x0 )k < −a + ε < 0, t với x0 ∈ Rn khác không Ta ý rằng, hai ví dụ trên, phương trình ban đầu x˙ = A(t)x có số b∗ ) hệ nhiễu tuyến tính mũ Lyapunov âm, với điều kiện (C1∗ ) (C đủ nhỏ có số mũ Lyapunov âm Ví dụ R Bellman b2∗ ) định lí khơng cịn rằng, khơng có điều kiện (C Ví dụ 2.2.4 (xem [3], Định lí 2.5) Xét hệ phương trình   −a  x, x˙ =  sin log t + cos log t − 2a với số a thỏa mãn < 2a < + eπ/2 30 (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.liao.nghien.cuu.su.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com