Luận văn thạc sĩ phương pháp liao nghiên cứu sự ổn định của phương trình vi phân

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN Vũ Thanh Lam PHƯƠNG PHÁP LIAO NGHIÊN CÚU SU ON бNH CUA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC Hà N®i - Năm 2017 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN Vũ Thanh Lam PHƯƠNG PHÁP LIAO NGHIÊN CÚU SU ON бNH CUA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Chuyên ngành: Tốn giai tích Mã so: 60 46 01 02 LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC TS LÊ HUY TIEN LèI CAM ƠN Trưóc trỡnh by nđi dung chớnh cna khúa luắn, em xin bày to lịng biet ơn sâu sac tói TS Lê Huy Tien, ngưịi t¾n tình hưóng dan đe em có the hồn thành lu¾n văn Em xin bày to lịng biet ơn chân thành tói tồn the thay giáo khoa Tốn - Cơ - Tin HQ c, Đai HQc Khoa HQc tn nhiên, Đai HQc Quoc gia H Nđi ó day bao em tắn tình suot q trình HQ c t¾p tai khoa Nhân d%p em xin gui lòi cam ơn chân thành tói thành viên nhóm seminar H¾ đ®ng lnc trưịng Khoa HQ c tn nhiên có nhung góp ý q báu đe em hồn hi¾n lu¾n tot nghiắp ny H Nđi, ngy 05 thỏng 10 năm 2017 HQc viên Vũ Thanh Lam iii Mnc lnc Lài cam ơn i Lài nói đau Chương Kien thÉc chuan b% 1.1 Các khái ni¾m őn đ%nh 1.2 So mũ Lyapunov tính quy 1.3 Hàm Lyapunov 15 1.4 Ky thu¾t tam giác hóa Perron 20 Chương On đ%nh bang phương pháp Liao 25 2.1 Các đ%nh lý őn đ%nh cna Bylov Liao .25 2.2 Mo r®ng đ%nh lý őn đ%nh Liao 28 2.3 Chúng minh ket qua 33 2.3.1 Chúng minh Đ%nh lý 2.2.1 .33 2.3.2 Chúng minh đ%nh lý 2.2.5 40 Ket lu¾n 42 Tài li¾u tham khao 43 LèI NĨI ĐAU Vi¾c nghiên cúu tính őn đ%nh nghi¾m cna phương trình vi phân đưoc nhieu ngưịi quan tâm có nhieu úng dung lĩnh vnc v¾t lý, kinh te, sinh hQc, Có hai phương pháp nghiên cúu sn őn đ%nh nghi¾m phương pháp hàm Lyapunov phương pháp so mũ Lyapunov Đe mo r®ng pham vi úng dung cna nó, nhieu hưóng nghiên cúu mói cna lí thuyet őn đ%nh xuat hi¾n nh¾n đưoc nhieu ket qua thú v% ve ca lý thuyet v ỳng dung Luắn ny e cắp en mđt hưóng tiep c¾n gan liên quan đen phương pháp so mũ Lyapunov Như ta biet, đoi vói h¾ tuyen tính khơng ơ-tơ-nơm xJ = A(t)x, tính âm cna so mũ Lyapunov khơng suy đưoc tính őn đ%nh cna phương trình có nhieu xJ = A(t)x+ f (t, x) Phan ví du cho đieu đưoc GQI Hi¾u úng Perron (xem [12]) Năm 1966, D Bylov (xem [4]) đưa thêm đieu ki¾n tính quy cna h¾ đe đam bao cho tính őn đ%nh cna h¾ vói nhieu Lipschitz đn nho Sau đó, có nhieu no lnc mói địi đe tìm đieu ki¾n đn cho tính őn đ%nh cna phương trình có nhieu cna Ya Pesin [13], S.-T Liao [8], Năm 2006, Xiongping Dai su dung kĩ thu¾t cna Liao đe đưa đieu ki¾n őn đ%nh khác cho trưịng hop nhieu tuyen tính Đieu ki¾n cna X Dai đưoc xem yeu đieu ki¾n cna trưóc cna Bellman [3], đieu ki¾n nh% phân mũ khác đieu ki¾n đn cna Bylov Pesin Muc đích chớnh cna luắn ny l trỡnh by lai mđt so khái ni¾m ban ve lí thuyet őn đ%nh cna phương trình có nhieu ket qua cna X Dai Bo cuc lu¾n văn gom phan mo đau, hai chương, phan ket lu¾n danh muc tài li¾u tham khao Chương Kien thÉc chuan b% Chương đưoc dnh e trỡnh by mđt vi khỏi niắm v ví du phương trình vi phân lí thuyet őn đ %nh so mũ Lyapunov, hàm Lyapunov, tam giác hóa Perron, Chương On đ%nh bang phương pháp Liao Trong chương đe c¾p tói ket qua ve phương pháp cna Liao sn őn đ%nh cna phương trình vói nhieu tuyen tính Lu¾n văn chi tiet hóa chúng minh cna X Dai báo [6] đưoc viet năm 2006 Hà N®i, ngày 05 tháng năm 2017 HQc viên Vũ Thanh Lam Chương Kien thÉc chuan b% Trong chương này, chúng tơi giói thi¾u khái ni¾m ban cna lý thuyet őn đ%nh cho phương trình vi phân tuyen tính khơng ơ-tơ-nơm Trong trình bày m®t so khái ni¾m so cna phương trình vi phân khái ni¾m őn đ%nh, so mũ Lyapunov, hàm Lyapunov, ky thu¾t tam giác hóa Perron, N®i dung cna chương đưoc tham khao sách cna L Ya Adrianova [1], W A Coppel [5] L Bareira C Valls [2] 1.1 Các khái ni¾m on đ%nh Trưóc tiên, ta tìm hieu loai őn đ%nh cna phương trình vi phân Xét phương trình không ô-tô-nôm x˙ (t) = f (t, x), (1.1) t ≥ t0 , đó, hàm f : [t0 , +∞) × Rn → Rn hàm thoa mãn đieu ki¾n can thiet đe (1.1) có nghi¾m Hàm vectơ x : [t0 , +∞) → Rn đưoc GQI nghi¾m cna phương trình (1.1) mien [t0 , +∞) neu hàm kha vi thoa mãn x˙ (t) = f (t, x(t)), t ≥ t0 Khái ni¾m őn đ%nh Lyapunov đưoc đ¾t theo tên nhà tốn HQ c ngưòi Nga, Aleksandr Lyapunov, ngưòi xuat ban cuon sách Bài toán Tőng quát ve sn őn đ%nh chuyen đ®ng vào năm 1892 (xem [9]) Lyapunov ngưịi đau tiên xem xét nhung tính chat đ%nh tính h¾ thong phi tuyen bang lý thuyet őn đ%nh cna h¾ tuyen tính dna vi¾c tuyen tính hóa gan m®t điem cân bang Cơng trình cna ơng ban đau đưoc xuat ban bang tieng Nga sau đưoc d%ch sang tieng Pháp nh¾n đưoc sn ý nhieu năm Sn quan tâm đen đ®t ng®t bat đau thịi kỳ chien tranh lanh sau phương pháp thú hai cna Lyapunov có the áp dung đoi vói sn őn đ%nh cna h¾ thong dan đưịng hàng khơng vũ tru thưịng chúa yeu to phi tuyen mà khơng có the xu lý bang phương pháp khác M®t so lưong lón các báo xuat hi¾n sau o cỏc tap chuyờn ngnh ieu khien v hắ đng lnc (xem [11, 7, 10]) Đ%nh nghĩa 1.1.1 Nghi¾m x(t) cna phương trình (1.1) đưoc GQI őn đ %nh khoang [t0 , ∞) neu vói moi ε > ton tai δ = δ(ε, t0 ) > cho bat kỳ nghi¾m x(t) cna phương trình (1.1) thoa mãn bat thúc ǁx(t0) − x(t0)ǁ < δ ton tai [t0, ∞) thoa mãn ǁx(t) − x(t)ǁ < ε, vói MQI t > t0 Nói cách khác, nghi¾m x(t) őn đ%nh, neu nghi¾m x(t) gan vói o thịi điem ban đau t0 bat kì se hồn nam ong ε nho tùy ý đưoc đnng quanh nghi¾m x(t) (xem Hình 1.1) Hình 1.1: Nghi¾m x(t) őn đ%nh Hình 1.2: Nghi¾m x(t) őn đ%nh ti¾m c¾n Neu ngồi nghi¾m x(t) thoa mãn limǁx(t)− x(t) = ǁ ta nói x(t) őn đ%nh ti¾m c¾n (xem Hình (1.2)) t→∞ Đ%nh nghĩa 1.1.2 Nghi¾m x(t) cna phương trình (1.1) đưoc GQI őn đ %nh mũ (hay cịn GQI co khơng đeu) neu ton tai hang so α > cho vói MQI t0 , ton tai so N = N (t0 ) cho ǁx(t) − x(t)ǁ ≤ Ne−α(t−t0)ǁx(t0) − x(t0)ǁ x(t) nghi¾m phương trình cho x(t0) = x0 Neu đ%nh nghĩa so N oc cHQN đc lắp vúi t0 , thỡ ta GQI x(t) őn đ%nh mũ đeu (hay GQI co đeu) Ví dn 1.1.3 Xét phương trình = Khi đó, ta có nghi¾m tőng qt x(t) ≡ x˙ c vói c hang so thnc tùy ý Rõ ràng nghi¾m tam thưịng x(t) = őn đ %nh (xem Hình 1.3) vói MQI ε > 0, vói cách cHQN δ = ε, neu vói bat kì nghi¾m x(t) thoa mãn |x(t0 ) − x(t0 )| ≤ δ |x(t) − x(t)| = |x(t0) − x(t0)| ≤ δ = ε Hình 1.3: Nghi¾m tam thưịng x ≡ cna Ví du 1.1.3 őn đ%nh khơng őn đ%nh ti¾m c¾n Tuy nhiên, nghi¾m tam thưịng khơng őn đ%nh ti¾m c¾n boi neu cHQN y(t) ≡ δ/2 lim| x(t)− x(t) = δ/2 > | Ví dn 1.1.4 Nghi¾m x(t) = cna phương trình x˙ = −x őn đ%nh ti¾m c¾n (xem Hình 1.4) Th¾t v¾y, MQI nghi¾m bat kỳ khác đeu có dang x(t) = x(t0 )e−t t→∞ Do đó, vói MQI ε > 0, ta cHQN δ = εet0 Khi đó, vói MQI nghi¾m mà | x(t0 )−x(t0 )| ≤ δ x(t0)e.−t ≤ εet0 e.−t ≤ εe−(t−t0) ≤ ε |x(t) − x(t)| = Hơn the nua, lim |x(t) − x(t)| = lim x(t0)e−t = t→∞ t→∞ Do đó, nghi¾m tam thưịng őn đ%nh ti¾m c¾n Hình 1.4: Nghi¾m tam thưịng cna Ví du 1.1.4 őn đ%nh ti¾m c¾n Ví dn 1.1.5 Xét phương trình x˙ = [sin log(t + 1) + cos log(t + 1) − α]x √ vói α > Rõ ràng, nghiắm cna phng trỡnh cú dang x(t) = x0 e t0 t (sin log(t+1)+cos log(t+1)−α)dt M¾t khác, ta có ưóc lưong sin log(t + 1) + cos log(t + 1) = √ √ π sin log(t + 1) + Σ ≤ T ... Perron, phương pháp đe đưa h¾ phương trình vi phân tuyen tính bat kì ve dang phương trình đưịng chéo vói cách tiep c¾n bang phương pháp su dung cơng cu cna đai so tuyen tính Cu the, ta có quy trình. .. HOC KHOA HOC TU NHIÊN Vũ Thanh Lam PHƯƠNG PHÁP LIAO NGHIÊN CÚU SU ON бNH CUA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Chuyên ngành: Tốn giai tích Mã so: 60 46 01 02 LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA... mđt vi khỏi niắm v ví du phương trình vi phân lí thuyet őn đ %nh so mũ Lyapunov, hàm Lyapunov, tam giác hóa Perron, Chương On đ%nh bang phương pháp Liao Trong chương đe c¾p tói ket qua ve phương