Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 73 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
I HÅC QC GIA H NËI TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC TÜ NHIN L H×ÌNG THO PH×ÌNG PHP HM V ÙNG DƯNG LUN VN THC Sß KHOA HÅC H NËI - NM 2015 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com I HÅC QC GIA H NËI TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC TÜ NHIN L H×ÌNG THO PH×ÌNG PHP HM V ÙNG DệNG LUN VN THC Sò KHOA HC Chuyản ngnh : Phữỡng phĂp toĂn sỡ cĐp M số : 60460113 NGìI HìẻNG DN KHOA HC PGS.TS Nguyạn ẳnh Sang H NậI - NM 2015 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Möc lửc Lới m Ưu BÊng kẵ hiằu Kián thực chuân b 1.1 CĂc nh lỵ cỡ b£n v· h m kh£ vi 1.1.1 ành ngh¾a iºm cüc trà 1.1.2 nh lỵ Fermat 1.1.3 nh lỵ Rolle 1.1.4 nh lỵ Lagrange 1.1.5 ành lỵ Cauchy 1.2 Cæng thùc Taylor 1.2.1 Cổng thực Taylor vợi số dÔng Lagrange 1.2.2 Cổng thực Taylor vợi số dÔng Peano 1.3 Gẵa tr lợn nhĐt, giĂ tr nhọ nhĐt 1.3.1 ành ngh¾a 1.3.2 Ph÷ìng ph¡p t¼m GTLN, GTNN Ùng dưng ph÷ìng ph¡p h m 6 6 8 11 11 13 14 2.1 Phữỡng phĂp hm giÊi phữỡng trẳnh 14 2.1.1 Ùng dưng cỉng thùc Taylor 14 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 2.1.2 Ùng döng c¡c nh lỵ cỡ bÊn và hm khÊ vi 2.2 Phữỡng phĂp hm giÊi bĐt phữỡng trẳnh 2.2.1 Cì sð ph÷ìng ph¡p 2.2.2 p döng 2.3 Ph÷ìng ph¡p h m chùng minh bĐt ng thực 2.3.1 Cỡ s phữỡng phĂp 2.3.2 p döng 30 51 51 52 57 57 57 GiÊi v biằn luên phữỡng trẳnh v bĐt phữỡng trẳnh chựa tham số 63 3.1 Cỡ s phữỡng phĂp 63 3.2 p döng 64 Kát luên 69 Ti liằu tham kh£o 70 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Lới m Ưu Phữỡng phĂp hm õng mởt vai trỏ quan trồng giÊi tẵch toĂn hồc v thữớng ữủc khai th¡c c¡c k¼ thi Olympic quèc gia, quèc tá, ký thi Olympic sinh viản Ơy l mởt cổng cư r§t hi»u lüc vi»c gi£i c¡c b i to¡n liản quan án sỹ tỗn tÔi nghiằm v cĂc tẵnh chĐt nghiằm cừa cĂc dÔng phữỡng trẳnh, hằ phữỡng trẳnh , bĐt phữỡng trẳnh khĂc Vợi suy nghắ õ,chúng tổi  chồn à ti: "Phữỡng phĂp hm v ựng dửng" lm luên vôn cừa mẳnh Luên vôn ny trẳnh by tữỡng ối Ưy ừ cĂc tẵnh chĐt hm kh£ vi v ùng dưng cõa chóng v o vi»c kh£o sĂt tẵnh chĐt nghiằm phữỡng trẳnh, hằ phữỡng trẳnh ,bĐt phữỡng trẳnh BÊn luên vôn gỗm ba chữỡng, lới m Ưu, kát luên, ti liằu tham khÊo v mửc lửc: Chữỡng : Kián thực chuân b: Chữỡng ny trẳnh by kián thực cƯn thiát cho chữỡng sau nhữ : tẵnh chĐt cỡ bÊn và hm khÊ vi cừa hm mởt bián m trồng tƠm l cĂc nh lỵ cỡ b£n v· h m kh£ vi v cỉng thùc Taylor Ch÷ìng : Nhúng ph÷ìng ph¡p gi£i to¡n câ ùng dưng kát quÊ chữỡng I ta gồi l phữỡng phĂp hm Mửc ẵch chẵnh cừa chữỡng ny l : ng dưng ph÷ìng ph¡p h m º gi£i ph÷ìng TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13 trẳnh, bĐt phữỡng trẳnh, bĐt ¯ng thùc Trong ch÷ìng n y s³ ¡p dưng khai triºn Taylor giÊi phữỡng trẳnh bêc ba, bêc bốn, sỷ dửng tẵnh ỡn iằu, nh lỵ Largange, nh lỵ Cauchy giÊi phữỡng trẳnh, hằ phữỡng trẳnh, bĐt phữỡng trẳnh, bĐt ng thực Chữỡng : GiÊi v biằn luên phữỡng trẳnh, bĐt phữỡng trẳnh chựa tham số: Chữỡng ny trẳnh by cĂc ựng dửng, cĂc phữỡng phĂp giÊi phữỡng trẳnh, bĐt phữỡng trẳnh nhữ chữỡng II cởng thảm mởt vi phữỡng phĂp mợi giÊi v biằn luên phữỡng trẳnh, bĐt phữỡng trẳnh chựa tham số hon thnh luên vôn ny em xin chƠn thnh cÊm ỡn tợi ngữới thƯy kẵnh mán PGS.TS Nguyạn ẳnh Sang  dnh nhiÃu thới gian hữợng dăn, ch dÔy suốt thới gian xƠy dỹng à ti cho án hon thnh luên vôn Em xin chƠn thnh cÊm ỡn tợi c¡c th¦y cỉ khoa To¡n - Cì - Tin hồc, Ban GiĂm Hiằu, Phỏng Sau Ôi hồc trữớng HKHTN  tÔo iÃu kiằn thuên lủi thới gian hồc têp tÔi trữớng Mc dũ  cõ nhiÃu cố gưng thới gian v nông lỹc cỏn hÔn chá nản bÊn luên vôn khổng trĂnh khọi nhỳng thiáu sõt, rĐt mong thƯy cổ v cĂc bÔn gõp ỵ xƠy düng Em xin ch¥n th nh c£m ìn! H Nëi, ng y 25 thĂng nôm 2015 Hồc viản Lả Hữỡng ThÊo (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13 B£ng cĂc kẵ hiằu viát tưt N N Z Z+ Z R R∗ R+ R− i C Tªp c¡c sè tü nhiản Têp cĂc số tỹ nhiản khĂc Têp cĂc số nguyản Têp cĂc số nguyản dữỡng Têp cĂc số nguyản Ơm Têp cĂc số thỹc Têp cĂc số thỹc khĂc Têp cĂc số thỹc dữỡng Têp cĂc số thỹc Ơm ỡn v Êo Têp cĂc số phực (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13 Ch÷ìng Kián thực chuân b 1.1 CĂc nh lỵ cỡ bÊn v· h m kh£ vi 1.1.1 ành ngh¾a iºm cüc trà Cho kho£ng (a, b) ⊂ R , h m sè f : (a, b) → R Ta nâi r¬ng h m f Ôt cữc Ôi a phữỡng (tữỡng ựng cỹc tiu a phữỡng) tÔi x0 (a, b), náu tỗn tÔi mởt sè δ > cho (x0 − δ, x0 + δ) ⊂(a,b) v f (x) ≤ f (x0)(t÷ìng ùng f (x) ≥ f (x0) ) vỵi måi x ∈ (x0 , x0 + ) Cỹc Ôi a phữỡng ho°c cüc tiºu àa ph÷ìng gåi chung l cüc trà cõa h m f iºm (x0, y(x0)) l iºm cüc tr 1.1.2 nh lỵ Fermat Cho khoÊng (a, b) R , h m sè f : (a, b) → R Náu hm số Ôt cỹc tr tÔi x = c v tỗn tÔi f 0(c) thẳ f 0(c) = 1.1.3 nh lỵ Rolle GiÊ sỷ hm f : [a, b] R cõ cĂc tẵnh chĐt: (1)f liản tửc tr¶n [a, b] (2) f kh£ vi kho£ng (a, b) (3) f (a) = f (b) (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13 Khi õ tỗn tÔi ½t nh§t mët iºm c ∈ (a, b) cho f 0(c) = 1.1.4 nh lỵ Lagrange GiÊ sỷ hm f:[a, b] R cõ cĂc tẵnh chĐt: (1) f li¶n tưc tr¶n [a, b] (2) f kh£ vi khoÊng (a, b) Khi õ tỗn tÔi ẵt nhĐt mët iºm c ∈ (a, b) cho : f (b) − f (a) = f (c)(b − a) (1) Nhên xt: nh lỵ Rolle l trữớng hủp c biằt cừa nh lỵ Lagrange Hằ quÊ GiÊ sỷ f : [a, b] → R li¶n tưc tr¶n [a,b] v kh£ vi kho£ng [a,b] Khi â: (a) N¸u f 0(x) = vợi x (a, b) thẳ f l hm hơng trản [a,b] (b) Náu f 0(x) 0(f 0(x) 0) v f 0(x) = tÔi hỳu hÔn im trản (a,b) thẳ f tông (giÊm) thỹc sü tr¶n [a,b] Chùng minh: a) Gi£ sû a ≤ x1 x2 b Theo nh lỵ Lagrange tỗn tÔi c (a, b) cho: f (x2 ) − f (x1 ) = f (c)(x2 − x1 ) (2) V¼ f 0(c) = 0, tø â suy f (x2) = f (x1) Vêy f l hơng số b) Náu f 0(x) vợi mồi x (a, b), thẳ tứ (2) f 0(c) Nản f (x2) − f (x1) ≥ Vªy f l h m t«ng (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13 1.1.5 nh lỵ Cauchy GiÊ sỷ cĂc hm f,g : [a, b] R cõ cĂc tẵnh chĐt : (1) f v g li¶n tưc tr¶n [a,b] (2) f,g khÊ vi trản (a,b) Khi õ tỗn tÔi c (a, b) cho: [f (b) − f (a)]g (c) = [g(b) − g(a)]f (c) (3) Hìn núa, náu g0(x) khĂc vợi mồi x (a, b) thẳ cổng thực (3) cõ dÔng: f (c) f (b) − f (a) = g (c) g(b)g(a) (4) Nhên xt: nh lỵ Lagrange l trữớng hủp riảng cừa nh lỵ Cauchy vợi hm g(x) = x 1.2 Cổng thực Taylor 1.2.1 Cổng thực Taylor vợi số dÔng Lagrange Gi£ sû f : [a, b] → R câ Ôo hm án cĐp (n+1) khoÊng (a,b), x0 (a, b) Khi â, vỵi ∀x ∈ (a, b), ta câ: f (x) = n X f ( k)(x0 ) k=0 k! f (n+1) (c) (x − x0 ) + (x − x0 )n+1 (1.4) (n + 1)! k õ c nơm giỳa x v x0 Nhên xt: Vẳ c nơm giỳa x v x0 nản (1.4) cõ th viát dữợi dÔng sau: f (x) = n X f ( k)(x0 ) k=0 k! f (n+1) (x0 + θ(x − x0 )) (x − x0 ) + (x − x0 )n+1 (1.5) (n + 1)! k (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13 2.3 Ph÷ìng ph¡p h m chựng minh bĐt ng thực 2.3.1 Cỡ s phữỡng ph¡p Trong vi»c chùng minh b§t ¯ng thùc, mët sè bĐt ng thực cƯn chựng minh cõ th sỷ dửng phữỡng phĂp hm theo cĂc bữợc sau Ơy: ã ã t hm phử ữa chựng minh bĐt ng thực và chựng minh bĐt ng thực hm vợi bián chÔy trản kho£ng n o â 2.3.2 p dưng V½ dư Cho a, b, c thuëc (0, 1) Chùng minh r¬ng : a b c + + + (1 − a)(1 − b)(1 − c) < b+c+1 c+a+1 a+b+1 Líi gi£i: X²t h m f (x) = b + xc + + c + xb + + x + cb + +(1−x)(1−b)(1−c) Ta câ : f 0(x) = b + c1 + − (x + cb + 1)2 − (x + bc + 1)2 − (1 − b)(1 − c) 2b 2c + > ∀x ∈ (0, 1) (x + c + 1) (x + b + 1)4 f (x) l hm ỗng bián trản /(0, 1) f ”(x) = Do â N¸u f 0(x) ≤ th¼ : + b + c + b2 c2 max f (x) = f (0) = X²t h m sè f (x) = sin x + tan x − 2xvỵi < x < π2 Ta s³ chùng minh f (x) > Thêt vƠy: f (x) = cos x + −2 cos2 x V¼0 < x < π2 n¶n < cos x < suy cos x > cos2 x r 1 π f (x) > cos2 x + − ≥ cos − = ∀x ∈ (0, ) cos2 x cos2 x Do f 0(x) > vỵi x ∈ (0, π2 ) n¶n f (x) l h m ỗng bián trản (0, ) Suy f (x) > f (0) hay f (x) > hay sin x + tan x > 2x LƯn lữủt thay x bi A,B, C ta ữủc iÃu cƯn chựng minh Vẵ dö ( H khèi A-2012) Cho x, y, z ∈ R thäa m¢n x + y + z = 0.Chùng minh: 3|x−y| + 3|y−z| + 3|z−x| − √ 6x2 + 62 + 6z Lới giÊi: Trữợc hát ta s³ chùng minh 3t > t + ∀t > (*) X²t h m f (t) = 3t − t − tr¶n [0, +∞] Ta câ: f 0(t) = 3tln3 − > ∀t > 59 (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13 Suy f(t) l hm ỗng bián trản [0, +] Khi õ f (t) > f (0) = ⇐ (∗) ÷đc chùng minh p döng (*) ta câ: 3|x−y| + 3|y−z| + 3|z−x| ≥ + |x − y| + |y − z| + |z − x| Sû dưng b§t ¯ng thùc |a| + |b| ≥ |a + b| ta câ : (|x − y| + |y − z| + |z − x|)2 = |x − y|2 + |y − z|2 + |z − x|2 + |x − y|(|y − z| + |z − x|) + |y − z|(|z − x| + |x − y|) + |z − x|(|x − y| + |y − z|) ≥ 2(|x − y|2 + |y − z|2 + |z − x|2 ) Do â: p p |x−y|+|y−z|+|z−x| ≥ (|x − y|2 + |y − z|2 + |z − x|2 ) = 6x2 + 6y + 6z − p M x + y + z = suy |x − y| + |y − z| + |z − x| ≥ 6x2 + 6y2 + 6z √ Suy 3|x−y| + 3|y−z| + 3|z−x| − 6x2 + 62 + 6z ≥ i·u ph£i chùng minh V½ dư Cho a, b > cho a < b Chùng minh r¬ng : b−a b b−a < ln < b a a Líi gi£i: X²t h m sè f (x) = ln x vỵi x > Ta câ : f 0(x) = x1 Theo nh lỵ Largange, tỗn tÔi c ∈ (a, b) cho: f (c) = f (b) − f (a) ln b − ln a b−a b ⇔ = ⇔ = ln b−a c b−a c a Do < a < c < b n¶n ta câ: 1 b−a b−a b−a b−a b b−a < < ⇔ < < ⇔ < ln < b c a b c a b a a Vêy bĐt ng thực ữủc chựng minh 60 (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13 V½ dư Chùng minh b§t ¯ng thùc: x− x3 < sin x 3! x>0 Líi gi£i: B§t ¯ng thùc t÷ìng ÷ìng : x − sin x < x3! t3 X²t h m f (t) = t − sin t v g(t) = 3! kh£ vi tr¶n (0, +∞) x ∈ (0, +) theo nh lỵ Cauchy tỗn tÔi t0 (0, x) cho: Vỵi måi f (t0 ) f (x) − f (0) − cos t0 x − sin x = ⇔ = g (t0 ) g(x) − g(0) t0 x3 3! 2 sin (t0 /2) t0 sin(t0 /2) = V¼ − tcos =( ) c nghiằm úng vợi måi x thuëc [a, b] v ch¿ khi: f (x) > c [a,b] 5) BĐt phữỡng trẳnh f (x) ≤ c nghi»m óng vỵi måi c thc [a, b] v ch¿ khi: max f (x) ≤ c [a,b] 63 (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13 3.2 p dửng Vẵ dử Tẳm m phữỡng tr¼nh câ nghi»m: √ x2 +x+1− p x2 − x + = m Líi gi£i: √ √ °t f (x) = x2 + x + − x2 − x + √ √ − x + − (2x − 1) x2 + x + (2x + 1) x √ √ f (x) = x2 + x + x2 − x + √ √ f (x) = ⇔ (2x + 1) x2 − x + = (2x − 1) x2 + x + 1(vỉ nghi»m) Ta th§y f 0(0) = n¶n f 0(x) > limx→−∞ f (x) = −1 ∀x limx→+∞ f (x) = −1 Do â ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m v ch¿ −1 < m < Vẵ dử Tẳm m phữỡng trẳnh sau câ nghi»m: 2|x2 − 5x + 4| = x2 − 5x + m (1) Líi gi£i: °t t = x2 − 5x + Khi â (1)⇔ 2|t| − t = m − (2) Th§y (2) câ nhiÃu nhĐt nghiằm nản phữỡng trẳnh t = x2 − 5x + ph£i câ nghi»m ph¥n bi»t.Tùc t > −9 Khi â (2) t÷ìng ÷ìng vỵi : t ≥ t = m − ⇔m>4 Ho°c : t < t = − m > −9 4 ⇔m< 43 64 (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13 Vêy phữỡng trẳnh cõ nghiằm náu m > hoc m < 43 Vẵ dử GiÊi v biằn luên theo m số nghiằm cừa phữỡng trẳnh : x+m =m x2 + Líi gi£i: Ta câ: √ √ x+m + − 1)m ⇔ x( x2 + + 1) = x2 m = m ⇔ x = ( x x2 + x=0 √ ⇔ x2 + + f (x) = =m x X²t f 0(x) = 2√−12 < ∀x 6= x x +1 limx→−∞ f (x) = −1 limx→+∞ f (x) = limx→0+ f (x) = +∞ limx→0− f (x) = Vêy: Vợi mồi m thẳ phữỡng trẳnh cõ nghiằm x = Vợi m thuởc (0,1) phữỡng trẳnh cõ thảm nghiằm x > Vợi m thuởc (-1,0) phữỡng trẳnh cõ thảm nghiằm x < Vẵ dử GiÊi v biằn luƠn phữỡng trẳnh: 2x +2mx+4 − 22x +4mx+1 = x2 + 2mx − Lới giÊi: Phữỡng trẳnh tữỡng ữỡng: 2x +2mx+4 − 22x +4mx+1 = 2x2 + 4mx + − (x2 + 2mx + 4) 65 (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13 °t u = 2x2 + 4mx + v = x2 + 2mx + indent Khi â 2v − 2u = u − v ⇔ 2u + u = 2v + v ⇔ u = v (Do f (t) = 2t + t l hm ỗng bián) Ta suy 2x2 + 4mx + = x2 + 2mx + ⇔ x2 + 2mx = Vêy vợi mồi m phữỡng trẳnh luổn cõ nghiằm x = m m2 + Vẵ dử Tẳm m bĐt phữỡng tr¼nh sau câ nghi»m thuëc [0, + √3]: p m( x2 − 2x + + 1) + x(2 − x) ≤ (1) Líi gi£i: √ °t t = x2 − 2x + ≥ suy −x(x − 2) = t2 − Ta câ t0 = √ 2x − , t0 = ⇔ x = x − 2x + Lªp b£ng bián thiản: Tứ bÊng bián thiản suy t ≤ t2 − 2 Khi â b§t phữỡng trẳnh (1) tr thnh : m(t+1) t ⇔ m ≤ t + = f (t) (2) Ta câ f 0(t) = t (t++2t1)+2 > ∀t ∈ [1, 2] Do â f (t) l hm ỗng bián Vêy (1) cõ nghiằm thuởc [0, + th¼ (2) câ nghi»m t thuëc [1,2] Tùc : m ≤ max f (t) = f (2) = [1,2] 66 (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13 Vẵ dử Tẳm cĂc giĂ tr cừa m bĐt phữỡng trẳnh sau cõ nghi»m: mx − √ x − ≤ m + (1) Líi gi£i: √ °t t = x − ≥ ⇐ x = t2 + B§t phữỡng trẳnh (1) tr thnh: m(t2 + 3) t ≤ m + ⇔ m ≤ t+1 = f (t) (2) t2 + 2 Câ :f 0(t) = −t(t−+2t1)+2 = ⇔ t = −1 ± Lªp bÊng bián thiản: BĐt phữỡng trẳnh (1) cõ nghiằm v ch bĐt phữỡng trẳnh (2) cõ nghi»m t thuëc [0,+∞] Tùc l : m ≤ max f (t) = f (1 + √ √ 3) = [0,+] 3+1 Vẵ dử Tẳm k hằ bĐt phữỡng trẳnh sau cõ nghiằm : |x − 1|3 − 3x − k < (1) log2 x2 + log2 (x − 1)3 ≤ (2) Líi gi£i: i·u ki»n : x > Khi x > th¼ (2)⇔ log2 x + log2 (x − 1) ≤ ⇔ x(x − 1) ≤ ⇔ 67 (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13 x2 − x − ≤ ⇔ −1 ≤ x ≤ V¼ x > < x BĐt phữỡng trẳnh (1) (x − 1)3 − 3x < k °t f (x) = (x − 1)3 − 3x câ f 0(x) = 3(x − 1)2 − = 3x(x − 2) Vỵi < x ≤ ⇐ f 0(x) ≤ Suy hm f(x) nghch bián trản (1,2] Khi õ min(1,2]f (x) = f (2) = −5 º h» câ nghiằm thẳ k > Bi têp tham khÊo bi têp Tẳm m phữỡng trẳnh sau cõ nghiằm: √ √ √ √ x x + x + 12 = m( − x + − x) √ ¡p sè m ∈ [2( 15 − √ 12), 12] Bi têp (Khối A -2007) Tẳm m phữỡng tr¼nh sau câ nghi»m thùc: p √ √ x − + m x + = x2 − ¡p sè −1 < m ≤ 31 Bi têp Tẳm m bĐt phữỡng trẳnh nghiằm úng vỵi måi x thc R: m4x + (m − 1)2x+2 + m − > ¡p sè m > 68 (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13 Kát luên Sau thới gian hồc têp tÔi khoa ToĂn - Cỡ - Tin hồc, Trữớng Ôi hồc Khoa hồc Tỹ nhiản, HQG H Nởi ữủc cĂc thƯy cổ trỹc tiáp giÊng dÔy v hữợng dăn c biằt l PGS.TS Nguyạn ẳnh Sang, em  hon thnh luên vôn vợi à ti "Phữỡng phĂp hm v ựng dửng" Luên vôn  Ôt ữủc mởt số kát quÊ: Luên vôn  khai thĂc ữủc cĂc ựng dửng cừa phữỡng phĂp hm vo giÊi cĂc bi toĂn chữỡng trẳnh toĂn håc phê thỉng kh¡ hi»u qu£ v líi gi£i µp, tÔo ữủc niÃm am mả tẳm tỏi v sĂng tÔo hồc têp toĂn cừa hồc sinh Luên vôn  hằ thống hõa v phƠn loÔi ữủc cĂc dÔng toĂn cỡ bÊn vợi nhiÃu vẵ dử minh hồa Ăp dửng phữỡng phĂp giÊi phong phú km theo cĂc bi têp tham khÊo ữủc trẵch tứ cĂc kẳ thi giọi toĂn quốc gia, thi olympic toĂn quốc tá, thi Ôi hồc, vẳ vêy bÊn luên vôn cõ th lm ti liằu tham khÊo cho hồc sinh cĂc lợp chuyản toĂn phờ thổng v sinh viản nôm nhĐt cĂc trữớng khoa hồc cỡ bÊn Luên vôn  th hiằn ữủc hữợng nghiản cựu, sĂng tÔo mởt số phữỡng phĂp ựng dửng cõa ph÷ìng ph¡p h m Hi»n ph÷ìng ph¡p h m cỏn cõ nhiÃu ựng dửng khĂc nỳa cƯn ữủc nghiản cùu 69 (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13 Ti liằu tham khÊo Tiáng viằt [1.] Tổ Vôn Ban, GiÊi tẵch nhỳng bi têp nƠng cao, NXB GiĂo Dửc, 2005 [2.] TrƯn ực Long, Nguyạn ẳnh Sang, Hong Quốc Ton, GiĂo trẳnh giÊi tẵch, Bi têp giÊi tẵch I, II, NXB HQG H Nởi, 2007 [3.] Nguyạn Vôn Mêu, Mởt số chuyản à giÊi tẵch bỗi dữùng hồc sinh giäi trung håc phê thỉng, NXB Gi¡o Dưc, 2010 [4.] Nguyạn Vôn Mêu, DÂy số v Ăp dửng, a thực v ¡p döng, NXB Gi¡o Döc, 2004 [5.] o n Quýnh, TrƯn Nam Dụng, Nguyạn Vụ Lữỡng, ng Hũng Thưng, Ti liằu chuyản à toĂn Ôi số v giÊi tẵch 11, NXB GiĂo Dửc, 2010 [6.] TÔp chẵ toĂn hồc tuời tr´, C¡c b i thi olympic to¡n trung håc phê thæng Vi»t Nam, NXB Gi¡o Dưc, 2007 [7] Phịng ùc Th nh, Luên vôn : ng dửng Ôo hm giÊi cĂc b i to¡n phê thỉng, 2011 Ti¸ng anh [8.] W.J.Kackor , M.T.Nowark, Problem in mathematical analysis I, Real number, Sequences and Series, AMS, 2000 [11] W.J.Kackor, M.T.Nowak, Problem in mathematical analysis II, Real number, Con-tinuity and differentiation, AMS, 2001 70 (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13 (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.ham.va.ung.dung.13