(Luận văn thạc sĩ) phương pháp hàm sinh trong việc giải các bài toán tổ hợp

BË GIO DƯC V€ €O T„O TR×ÍNG „I HÅC QUY NHÌN PHAN THÀ H„NH h PH×ÌNG PHP H€M SINH TRONG VI›C GIƒI CC B€I TON TÊ HÑP LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC B¼nh ành - 2020 BË GIO DƯC V€ €O T„O TR×ÍNG „I HÅC QUY NHÌN PHAN THÀ H„NH h PH×ÌNG PHP H€M SINH TRONG VI›C GIƒI CC BI TON Tấ HẹP Chuyản ngnh : Phữỡng phĂp ToĂn sỡ cĐp M số : 8460113 Ngữới hữợng dăn : PGS.TSKH HNH V‹N NG‚I i Mưc lưc Mð ¦u 1 Mởt số kián thực chuân b 1.1 CĂc nguyản lỵ côn bÊn cừa tờ hủp ám 1.1.1 Nguyản lỵ cởng 1.1.2 Nguyản lỵ nhƠn 1.1.3 Nguyản lỵ bũ trứ Nhúng sè tê hđp c«n b£n 11 h 1.2 1.2.1 Ho¡n 11 1.2.2 Ch¿nh hñp 12 1.2.3 Tê hñp 13 H m sinh v cĂc tẵnh chĐt 2.1 2.2 2.3 15 Hm sinh chi lơy thøa h¼nh thùc 15 2.1.1 ành ngh¾a 15 2.1.2 CĂc tẵnh chĐt cì b£n cõa h m sinh chi lơy thøa h¼nh thùc 19 2.1.3 T½ch cõa c¡c h m sinh chi lơy thøa h¼nh thùc 20 2.1.4 Hđp cõa c¡c h m sinh chi lơy thøa h¼nh thùc 22 Hm sinh dÔng mô 25 2.2.1 ành ngh¾a 25 2.2.2 Tẵch cừa cĂc hm sinh dÔng mụ 27 2.2.3 Hñp cõa c¡c h m sinh dÔng mụ 31 Hm sinh dÔng a thực 37 ii 2.3.1 ành ngh¾a 37 2.3.2 CĂc tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa hm sinh dÔng a thực 38 2.3.3 Tẵch cừa cĂc hm sinh dÔng a thùc 38 T¼m hiºu h» thèng nhỳng ựng dửng hm sinh giÊi mởt số dÔng to¡n tê hđp 3.1 45 Ùng dưng h m sinh tẳm cổng thực tữớng minh cừa mởt dÂy số truy hỗi 46 3.2 3.3 Mët sè b i tªp câ líi gi£i 46 3.1.2 Mët sè b i tªp tü gi£i 51 Ùng döng h m sinh chùng minh ¯ng thùc tê hñp 52 3.2.1 Mët sè b i tªp câ líi gi£i 52 3.2.2 Mët sè b i tªp tü gi£i 59 Ùng döng h m sinh c¡c b i to¡n sè håc tê hñp 59 3.3.1 Mët sè b i tªp câ líi gi£i 59 3.3.2 Mët sè b i tªp tü gi£i 69 h 3.4 3.1.1 Ùng döng h m sinh º ¸m c¡c b i to¡n tê hđp 70 3.4.1 Mët sè b i tªp câ líi gi£i 70 3.4.2 Mët sè b i tªp tü gi£i 75 Kát luên 77 Ti liằu tham khÊo 78 iii Líi cam oan Tỉi xin cam oan luªn vôn vợi à ti Phữỡng phĂp hm sinh viằc giÊi cĂc bi toĂn tờ hủp l cổng trẳnh nghiản cựu khoa hồc cừa tổi dữợi sỹ hữợng dăn cừa PGS TSKH Huýnh Vôn NgÂi, nởi dung khổng chp cừa bĐt ký v chữa tứng ữủc cổng bố dữợi bĐt kẳ hẳnh thực no, cĂc kát quÊ khổng phÊi cừa riảng tổi Ãu ữủc trẵch dăn nguỗn gốc ró rng Bẳnh nh, ngy 05 thĂng 08 nôm 2020 Sinh viản thỹc hiằn h Phan Th HÔnh iv Lới cÊm ỡn Luên vôn vợi à ti Phữỡng phĂp hm sinh vi»c gi£i c¡c b i to¡n tê hđp ÷đc thỹc hiằn v hon thnh tÔi Trữớng Ôi hồc Quy Nhỡn dữợi sỹ hữợng dăn cừa PGS TSKH Huýnh Vôn NgÂi Qua Ơy, tổi xin ữủc gỷi lới cÊm ỡn sƠu sưc án thƯy, ngữới  tên tẳnh ch dÔy, giúp ù v truyÃn Ôt kián thực suốt thới gian nghiản cựu v hon thnh luên vôn Tổi cụng xin gỷi lới cÊm ỡn án Phỏng o tÔo Sau Ôi hồc, Khoa ToĂn quỵ ThƯy, Cổ giÊng dÔy lợp cao hồc Phữỡng phĂp ToĂn sỡ cĐp Khõa 21  tÔo h iÃu kiằn thuên lủi cho tổi quĂ trẳnh hồc têp v thỹc hiằn à ti Cuối cũng, tổi xin gỷi lới cÊm ỡn án gia ẳnh, ngữới thƠn v bÔn b  ởng viản giúp tổi hon thnh tốt luên vôn ny Mc dũ luên vôn ữủc thỹc hiằn vợi sỹ cố gưng cừa bÊn thƠn iÃu kiằn thới gian cõ hÔn, trẳnh ở kián thực v kinh nghiằm nghiản cựu cỏn hÔn chá nản luên vôn khõ trĂnh khọi nhỳng thiáu sõt Tổi rĐt mong nhên ữủc nhỳng gõp ỵ cừa quỵ ThƯy, Cổ  luên vôn ữủc hon thiằn hỡn M Ưu Lỵ thuyát tờ hủp õng vai trỏ quan trång To¡n håc Phê thỉng, nh§t l  c¡c kẳ thi hồc sinh giọi ToĂn Olympic hơng nôm Viằc giÊi cĂc bi toĂn tờ hủp cƯn cõ tữ to¡n håc cao v  ÷đc gi£i theo nhi·u ph÷ìng ph¡p khĂc Mội phữỡng phĂp Ãu cõ nhỳng lủi thá v nt c sưc riảng Mởt nhỳng phữỡng phĂp húu hi»u nh§t º gi£i c¡c b i to¡n tê hđp â l  ph÷ìng ph¡p h m sinh Ph÷ìng ph¡p h m sinh vứa hiằn Ôi v nhanh chõng, khổng ch ựng dửng h nhiÃu cĂc bi toĂn rới rÔc Ngoi ra, h m sinh câ thº ¡p döng cho c¡c b i to¡n ám, hm sinh cho cĂc hằ số nh thực ữủc suy tứ nh lỵ nh thực, tẳm cổng thực tữớng minh tứ cổng thực truy hỗi cừa dÂy số b¬ng h m sinh v  chùng minh ¯ng thùc tê hđp Nhí sû dưng ph÷ìng ph¡p h m sinh v  ¡p dưng chuéi Maclaurin, c¡c b i to¡n n y câ thº gi£i quy¸t mởt cĂch nhanh chõng, ỡn giÊn chự khổng phực tÔp bơng cĂch giÊi cờ in XuĐt phĂt tứ nhỳng nởi dung trẳnh by trản Ơy v mong muốn tẳm hiu sƠu hỡn và nhỳng vĐn à ny, chúng tổi  lỹa chồn à ti luên vôn thÔc sắ Phữỡng phĂp h m sinh vi»c gi£i c¡c b i to¡n tê hñp Luên vôn ny nhơm mửc ẵch tẳm hiu phữỡng phĂp hm sinh lỵ thuyát tờ hủp Hỡn nỳa, h m sinh l  mët cỉng cư húu hi»u v  quan trồng Tờ hủp ỗng thới, chúng tổi cụng nghiản cùu mët sè ùng dưng cõa ph÷ìng ph¡p h m sinh viằc ữa lới giÊi cho mởt số vĐn à tờ hủp Ngoi phƯn M Ưu, Kát luên v Ti liằu tham khÊo, nởi dung chẵnh cừa luên vôn ữủc trẳnh by ba chữỡng Chữỡng Mởt số kián thực chuân b Trong chữỡng ny, chúng tổi s trẳnh by mởt số kián thực chuân b bao gỗm mởt số nh nghắa, nh lỵ, mằnh Ã, bờ Ã, hằ quÊ, liản quan án nhỳng số tờ hủp côn bÊn v cĂc nguyản lỵ côn b£n cõa tê hđp ¸m º bê trđ cho c¡c nởi dung ữủc trẳnh by chữỡng v chữỡng Chữỡng Hm sinh v cĂc tẵnh chĐt Trong chữỡng ny, chúng tổi giợi thiằu ba dÔng hm sinh â l  h m sinh chi lơy thøa h¼nh thùc, h m sinh dÔng mụ v hm sinh dÔng a thực, tiáp theo l cĂc tẵnh chĐt côn bÊn cừa cĂc hm sinh õ l tẵch v hủp cừa ba loÔi hm sinh trản Chữỡng Tẳm hiu hằ thống nhỳng ựng dửng hm sinh giÊi mởt số dÔng toĂn tờ hủp Chữỡng ny gỗm mởt số bi têp, vẵ dử sỷ dửng phữỡng phĂp hm sinh  giÊi cĂc dÔng to¡n sau Ùng dưng h m sinh t¼m cỉng thực tữớng minh cừa mởt dÂy số truy h hỗi Ùng döng h m sinh chùng minh ¯ng thùc tê hđp Ùng dưng h m sinh c¡c b i to¡n sè håc tê hđp Ùng dưng h m sinh º ¸m c¡c b i to¡n tê hđp Chữỡng Mởt số kián thực chuân b Trong chữỡng n y chóng tỉi tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m v  kát quÊ cỡ bÊn chuân b cho cĂc chữỡng sau cừa luên vôn Ton bở cĂc kián thực chữỡng ny ữủc tham khÊo v trẵch dăn tứ cĂc ti liằu [1], [2], [7] h 1.1 CĂc nguyản lỵ côn bÊn cừa tờ hủp ám 1.1.1 Nguyản lỵ cởng nh nghắa 1.1.1 (Nguyản lỵ cởng) GiÊ sỷ cõ n cổng vi»c T1 , T2 , , Tn , â T1 câ a1 c¡ch thüc hi»n, T2 câ a2 c¡ch thüc hi»n, , Tn câ an c¡ch thüc hi»n Gi£ sû khæng câ hai cổng viằc no cõ th lm ỗng thới Khi õ, sè c¡ch º l m mët k cỉng vi»c tr¶n l  a1 + a2 + · · · + an Nguyản lỵ cởng ữủc phĂt biu theo ngổn ngỳ tªp hđp sau: Cho S l  mët tªp hđp Gi£ sû {A1 , A2 , , An } l mởt phƠn hoÔch trản S , tực n S l  S = Ai v  Ai ∩ Aj = ∅, ∀i 6= j, ≤ i, j ≤ n Khi â, i=1 |S| = |A1 | + |A2 | + · · · + |An |, â |S| ữủc gồi l số phƯn tỷ cừa têp S Cho mởt têp S vợi |S| = n, số tĐt cÊ cĂc têp cừa S gỗm têp rộng v chẵnh nõ l 2n nh lỵ 1.1.1 Vẵ dử 1.1.1 [PEA Math Materials, by Richard Parris] Trữợc Ơy, Rick cõ th m từ ỗ têp gym cừa mẳnh, ph£i nhỵ tê hđp sau Hai sè c¡c số cừa dÂy ba số hÔng l 17 v 24,  quản số thự ba v khổng biát thự tỹ cừa cĂc số Cõ 40 khÊ nông xÊy vợi số thự ba Họi mữới giƠy mội lƯn thỷ, tối a bao lƠu thỷ hát mồi khÊ nông  m ữủc cỷa từ? Líi gi£i X²t tªp hđp câ thº x£y cõa tê hñp Khi â, A1 = {(x, 17, 24)|1 ≤ x ≤ 40} , A2 = {(x, 24, 17)|1 ≤ x ≤ 40} , A3 = {(17, x, 24)|1 ≤ x ≤ 40} , A4 = {(24, x, 17)|1 ≤ x ≤ 40} , h A5 = {(17, 24, x)|1 ≤ x ≤ 40} , A6 = {(24, 17, x)|1 x 40} Dạ thĐy, mội têp cõ 40 phƯn tỷ p dửng nguyản lỵ cëng, ta câ 40.6 = 240 tê hñp º thû v tối a cƯn 40 phút  thỷ hát Tuy nhiản, mởt viằc quan trồng b bọ qua Ăp dửng nguyản lỵ cởng l cĂc têp Ai phƠn hoÔch, tực l Ai Aj = vợi i 6= j, ≤ i, j ≤ Trong v§n · n y, tê hñp (17, 17, 24) thuëc c£ hai têp A1 v A3 Tữỡng tỹ, mội tờ hủp (17, 24, 17), (24, 17, 17), (17, 24, 24), (24, 17, 24), (24, 24, 17) cụng lƯn lữủt thuởc hai têp têp v ữủc ám hai lƯn Do â, ta ch¿ câ 240 − = 234 tê hđp º thû v  c¥u tr£ líi óng l  39 phút 1.1.2 Nguyản lỵ nhƠn nh nghắa 1.1.2 (Nguyản lỵ nhƠn) GiÊ sỷ  hon thnh mởt cổng viằc H c¦n thüc hi»n n cỉng vi»c nhä l  H1 , H2 , , Hn , â H1 câ a1 c¡ch thüc hi»n, H2 câ a2 c¡ch thüc hi»n sau ¢ ho n th nh cỉng vi»c H1 , , Hn câ