(LUẬN văn THẠC sĩ) động học của phương trình komogorov chịu nhiễu markov luận văn ths toán học 60 46 15

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ THỊ MINH THU ĐỘNG HỌC CỦA PHƯƠNG TRÌNH KOLMOGOROV CHỊU NHIỄU MARKOV LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2012 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ THỊ MINH THU ĐỘNG HỌC CỦA PHƯƠNG TRÌNH KOLMOGOROV CHỊU NHIỄU MARKOV Chuyên ngành : Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60 46 15 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TS Nguyễn Hữu Dư Hà Nội - Năm 2012 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mục lục Kiến thức chuẩn bị 1.1 Phương trình Kolmogorov tất định 1.2 Toán tử sinh trình Markov thời gian liên tục 1.2.1 1.2.2 Quá trình Markov Tốn tử sinh nửa nhóm toán tử Markov 11 1.2.3 Toán tử sinh xích Markov với thời gian liên tục 11 1.2.4 Quá trình Markov nghiệm phương trình vi phân 12 1.2.5 Quá trình Markov hai trạng thái 13 Tính chất tiệm cận hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu điện báo 14 2.1 Tính bền vững hệ 14 2.2 Tập ω- giới hạn 22 2.2.1 2.2.2 Trường hợp 1: hai hệ tất định ổn định Trường hợp 2: Một hệ ổn định hệ song ổn định 22 23 2.2.3 Trường hợp 3: Một hệ ổn định toàn cục hệ triệt tiêu 24 Nửa nhóm tính ổn định phân bố 29 2.3 Ứng dụng 3.0.1 Trường hợp 1: Hệ (3.2) (3.3) ổn định tiệm cận toàn cục 3.0.2 Trường hợp 2: Hệ (3.2) ổn định tiệm cận toàn cục (3.3) song ổn 3.0.3 33 35 định 38 Trường hợp 3: Hệ (3.2) ổn định tiệm cận toàn cục tất nghiệm dương hệ (3.3) dần tới điểm biên 39 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 43 i TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).dong.hoc.cua.phuong.trinh.komogorov.chiu.nhieu.markov.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.15(LUAN.van.THAC.si).dong.hoc.cua.phuong.trinh.komogorov.chiu.nhieu.markov.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.15(LUAN.van.THAC.si).dong.hoc.cua.phuong.trinh.komogorov.chiu.nhieu.markov.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.15(LUAN.van.THAC.si).dong.hoc.cua.phuong.trinh.komogorov.chiu.nhieu.markov.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.15 Lời nói đầu Đối với hệ sinh thái sinh học, sinh thái học quần thể học gồm có hai lồi, người ta thường mơ tả chúng mơ hình tốn học dạng hệ phương trình vi phân: x˙ = x f (x, y) , y˙ = yg (x, y) , (1) x(t) y(t) mật độ quần thể loài thời điểm t f (x, y) , g (x, y) tốc độ tăng trưởng bình qn lồi Thông thường, hệ gọi hệ Kolmogorov Các hệ kiểu Kolmogorov mơ hình thông dụng để mô tả phát triển quần thể hệ mà tốc độ tăng trưởng bình qn lồi phụ thuộc vào quy mơ quần thể hai lồi Mơ hình kiểu Kolmogorov quan trọng quỹ đạo xuất phát góc phần tư thứ mặt phẳng ln nằm mặt phẳng (tức x (0) > 0, y (0) > 0) x (t) > 0, y (t) > 0) với t > 0) Nói cách khác miền góc phần tư thứ mặt phẳng bất biến hệ (1) Đã có nhiều cơng trình nghiên cứu động lực học quần thể thông qua nghiên cứu nghiệm dương, chẳng hạn tính bền vững đều, diệt vong hay giới nội toàn cục (xem [10, 13, 20, 11]) Cách mô tả hệ theo phương trình dựa vào giả thiết lồi sống mơi trường khơng thay đổi Do đó, tốc độ tăng trưởng f (x, y) , g (x, y) hàm tất định Tuy nhiên, rõ ràng điều nói chung khơng phù hợp thực tế phải tính đến biến động mơi trường mà gây tác động mạnh đến tính động lực học phát triển bền vững quần thể Sự biến đổi mơi trường thể yếu tố ngẫu nhiên điều quan trọng phải mô tả chúng dạng phương trình ngẫu nhiên Tuy vậy, hệ Kolmogorov tất định (1) nghiên cứu với lịch sử lâu dài hệ Kolmogorov ngẫu nhiên lại chưa đề cập nhiều tài liệu toán học khơng có cơng trình nghiên cứu phương diện thống kê Ở đây, đề cập đến nỗ lực theo hướng này, báo báo hay Arnold [5], tác giả sử dụng lý thuyết trình chuyển động Brown để nghiên cứu quỹ đạo mẫu phương trình Đối với mơ hình phân nhánh mơi trường biến thiên, tham khảo [2, 3, 18, vv ] Một cách trình bày tương đối hệ thống vấn đề đưa [1] Gần đây, [16] xem xét ảnh (LUAN.van.THAC.si).dong.hoc.cua.phuong.trinh.komogorov.chiu.nhieu.markov.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.15(LUAN.van.THAC.si).dong.hoc.cua.phuong.trinh.komogorov.chiu.nhieu.markov.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.15(LUAN.van.THAC.si).dong.hoc.cua.phuong.trinh.komogorov.chiu.nhieu.markov.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.15(LUAN.van.THAC.si).dong.hoc.cua.phuong.trinh.komogorov.chiu.nhieu.markov.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.15 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).dong.hoc.cua.phuong.trinh.komogorov.chiu.nhieu.markov.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.15(LUAN.van.THAC.si).dong.hoc.cua.phuong.trinh.komogorov.chiu.nhieu.markov.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.15(LUAN.van.THAC.si).dong.hoc.cua.phuong.trinh.komogorov.chiu.nhieu.markov.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.15(LUAN.van.THAC.si).dong.hoc.cua.phuong.trinh.komogorov.chiu.nhieu.markov.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.15 MỤC LỤC hưởng hai loại nhiễu trình chuyển đổi Markov ồn trắng tác động lên hệ (1), A Bobrowski [8] sử dụng nửa nhóm Markov để nghiên cứu ổn định phân phối dừng hệ ngẫu nhiên (1); W Shen, Y Wang [19] nghiên cứu hệ Kolmogorov cạnh tranh ngẫu nhiên thông qua phương pháp tích lệch Trong trường hợp đơn giản nhất, giả sử điều kiện mơi trường chuyển đổi ngẫu nhiên hai trạng thái, ví dụ: trạng thái nóng lạnh, trạng thái khơ ướt Như vậy, giả sử có nhiễu điện báo ảnh hưởng đến mơ hình cách chuyển đổi hai trạng thái tập hợp E = {+, −} có hai phần tử Với trạng thái khác nhau, động lực học hệ mơ hình khác Sự chuyển đổi ngẫu nhiên điều kiện môi trường khiến cho mô hình thay đổi từ hệ trạng thái + với hệ trạng thái − ngược lại Trong [7], tác giả nghiên cứu hệ cạnh tranh cổ điển với nhiễu điện báo Các tác giả tập ω-giới hạn nghiệm hệ phức tạp thành công việc mô tả số tập hợp tập ω- giới hạn Mục đích chúng tơi khái quát kết cách xét hệ tổng quát mô tả đầy đủ tất tập ω- giới hạn nghiệm phương trình Chúng tơi chứng minh tập ω- giới hạn tất nghiệm dương hấp thụ tất nghiệm dương khác Hơn nữa, muốn xa cách nghiên cứu số tính chất phân phối dừng Chúng phân phối dừng (nếu tồn tại) có mật độ mật độ hút tất phân phối khác Để làm điều đó, chúng tơi đưa tham số λ1 , λ2 ngưỡng phát triển hệ Mặc dù chưa đưa biểu thức hiển để tìm giá trị λ1 , λ2 , dễ dàng ước lượng chúng phương pháp mô thông qua hệ số Các tham số đóng vai trị quan trọng thực tế cách phân tích hệ số, hiểu dáng điệu động học hệ Luận văn chia làm chương: Chương I: Các kiến thức chuẩn bị Nội dung chương đưa số khái niệm mô hình cạnh tranh hệ Kolmogorov tất định tính chất quan trọng q trình Markov hữu hạn trạng thái với thời gian liên tục Chương II: Tính chất tiệm cận hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu Markov Chương chủ yếu dựa nội dung báo [23] Trong chương này, mô tả quỹ đạo động học nghiệm dương loại hệ cạnh tranh chịu tác động tiếng ồn điện báo Nó cho thấy tập ω- giới hạn hấp thụ tất nghiệm dương Chúng xét trường hợp cụ thể dáng điệu nghiệm hệ Kolmogorov chịu nhiễu Markov (LUAN.van.THAC.si).dong.hoc.cua.phuong.trinh.komogorov.chiu.nhieu.markov.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.15(LUAN.van.THAC.si).dong.hoc.cua.phuong.trinh.komogorov.chiu.nhieu.markov.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.15(LUAN.van.THAC.si).dong.hoc.cua.phuong.trinh.komogorov.chiu.nhieu.markov.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.15(LUAN.van.THAC.si).dong.hoc.cua.phuong.trinh.komogorov.chiu.nhieu.markov.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.15 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).dong.hoc.cua.phuong.trinh.komogorov.chiu.nhieu.markov.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.15(LUAN.van.THAC.si).dong.hoc.cua.phuong.trinh.komogorov.chiu.nhieu.markov.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.15(LUAN.van.THAC.si).dong.hoc.cua.phuong.trinh.komogorov.chiu.nhieu.markov.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.15(LUAN.van.THAC.si).dong.hoc.cua.phuong.trinh.komogorov.chiu.nhieu.markov.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.15 MỤC LỤC Chương III: Ứng dụng vào mơ hình hệ phương trình cạnh tranh cổ điển Chương đề cập đến dáng điệu nghiệm hệ phương trình cạnh tranh cổ điển Lotka- Volterra tác động nhiễu Markov Các mơ hình cổ điển xem thí dụ cụ thể minh họa kết Chương II (LUAN.van.THAC.si).dong.hoc.cua.phuong.trinh.komogorov.chiu.nhieu.markov.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.15(LUAN.van.THAC.si).dong.hoc.cua.phuong.trinh.komogorov.chiu.nhieu.markov.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.15(LUAN.van.THAC.si).dong.hoc.cua.phuong.trinh.komogorov.chiu.nhieu.markov.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.15(LUAN.van.THAC.si).dong.hoc.cua.phuong.trinh.komogorov.chiu.nhieu.markov.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.15 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).dong.hoc.cua.phuong.trinh.komogorov.chiu.nhieu.markov.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.15(LUAN.van.THAC.si).dong.hoc.cua.phuong.trinh.komogorov.chiu.nhieu.markov.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.15(LUAN.van.THAC.si).dong.hoc.cua.phuong.trinh.komogorov.chiu.nhieu.markov.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.15(LUAN.van.THAC.si).dong.hoc.cua.phuong.trinh.komogorov.chiu.nhieu.markov.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.15 Lời cảm ơn Bản luận văn hoàn thành hướng dẫn nghiêm khắc bảo tận tình GS TS Nguyễn Hữu Dư Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc suốt q trình làm luận văn Tơi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy Qua đây, tơi xin gửi tới thầy Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy tham gia giảng dạy lớp cao học Tốn khóa 2010- 2012, đặc biệt thầy Nguyễn Hải Đăng, giảng viên khoa tốn sinh thái học mơi trường, lời cảm ơn sâu sắc công lao dạy dỗ, dẫn nhiệt tình suốt khóa học thời gian làm luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn tới anh chị em học viên đồng khóa em sinh viên năm cuối khoa Tốn- Cơ- Tin trường giúp đỡ nhiệt tình để tơi hồn thành luận văn Tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè tất người quan tâm, tạo điều kiện, động viên cổ vũ tơi để tơi hồn thành nhiệm vụ Hà nội, tháng 12 năm 2012 Người làm luận văn Lê Thị Minh Thu (LUAN.van.THAC.si).dong.hoc.cua.phuong.trinh.komogorov.chiu.nhieu.markov.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.15(LUAN.van.THAC.si).dong.hoc.cua.phuong.trinh.komogorov.chiu.nhieu.markov.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.15(LUAN.van.THAC.si).dong.hoc.cua.phuong.trinh.komogorov.chiu.nhieu.markov.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.15(LUAN.van.THAC.si).dong.hoc.cua.phuong.trinh.komogorov.chiu.nhieu.markov.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.15 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).dong.hoc.cua.phuong.trinh.komogorov.chiu.nhieu.markov.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.15(LUAN.van.THAC.si).dong.hoc.cua.phuong.trinh.komogorov.chiu.nhieu.markov.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.15(LUAN.van.THAC.si).dong.hoc.cua.phuong.trinh.komogorov.chiu.nhieu.markov.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.15(LUAN.van.THAC.si).dong.hoc.cua.phuong.trinh.komogorov.chiu.nhieu.markov.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.15 Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Phương trình Kolmogorov tất định Xét hệ sinh thái đơn giản gồm có hai lồi sống môi trường tương đối ổn định Giả sử x(t), y(t) số lượng cá thể loài thời điểm t f (tương ứng g) tỷ lệ tăng trưởng loài thứ (tương ứng lồi thứ 2); f , g hai hàm hai biến x y Như thế, mơ tả phát triển hệ phương trình: dx dy = x f (x, y) , = yg (x, y) dt dt (1.1) Giả thiết phương trình (1.1) tỷ lệ tăng giảm số lượng cá thể quần thể không phụ thuộc vào thời gian số lượng quần thể đủ lớn để ta xem x y số thực không âm không chịu tác động ngẫu nhiên Hệ (1.1) gọi hệ Kolmogorov Trong toàn Luận văn này, đưa giả thiết f , g với đạo hàm bậc chúng xác định liên tục với giá trị không âm x y phương trình (1.1) ln tồn nghiệm xác định [0, ∞) (do nhất) Nhờ tính nghiệm hệ, dễ dàng thấy góc phần tư thứ R2+ = {(u, v) : u > 0, v > 0} mặt phẳng R2 bất biến Tức x(0) > 0, y(0) > x(t) > 0, y(t) > với t > Tương tự phần int R2+ = {(u, v) : u > 0, v > 0} bất biến Tùy theo toán cụ thể đưa điều kiện bổ sung cụ thể cho hai hàm f g Mối quan hệ loài có chia làm ba loại chính: a) Lồi thứ gặp khó khăn, lồi thứ hai gặp thuận lợi, có diện yếu tố khác (quan hệ lồi săn mồi với mồi), (LUAN.van.THAC.si).dong.hoc.cua.phuong.trinh.komogorov.chiu.nhieu.markov.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.15(LUAN.van.THAC.si).dong.hoc.cua.phuong.trinh.komogorov.chiu.nhieu.markov.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.15(LUAN.van.THAC.si).dong.hoc.cua.phuong.trinh.komogorov.chiu.nhieu.markov.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.15(LUAN.van.THAC.si).dong.hoc.cua.phuong.trinh.komogorov.chiu.nhieu.markov.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.15 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).dong.hoc.cua.phuong.trinh.komogorov.chiu.nhieu.markov.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.15(LUAN.van.THAC.si).dong.hoc.cua.phuong.trinh.komogorov.chiu.nhieu.markov.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.15(LUAN.van.THAC.si).dong.hoc.cua.phuong.trinh.komogorov.chiu.nhieu.markov.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.15(LUAN.van.THAC.si).dong.hoc.cua.phuong.trinh.komogorov.chiu.nhieu.markov.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.15 Chương Kiến thức chuẩn bị b) Cả hai loài gặp khó khăn diện lồi cịn lại (mơ hình cạnh tranh), c) Cả hai loài gặp thuận lợi diện lồi khác (mơ hình cộng sinh) Trong tồn Luận văn xét mơ hình cạnh tranh Đó trường hợp mà hai lồi sống vùng lãnh thổ cạnh tranh nguồn thức ăn hay mơi trường Mơ hình tốn học nghiên cứu tượng đưa Volterra (1927) đưa nhiều kết luận bổ ích phát triển lồi Ở chúng tơi xét mơ hình cạnh tranh tổng quát (1.1) cố gắng đạt kết luận tương tự Để mơ tả mơ hình có tính chất cạnh tranh, đưa giả thiết sau hàm f g : a) Sự gia tăng hai quần thể tạo sụt giảm tốc độ tăng trưởng hai quần thể; ta có ∂f ∂f < 0, < 0, ∂x ∂y ∂g ∂g < < 0, ∂x ∂y ∀x, y ∈ R2+ b) Nếu hai quần thể nhỏ, hai tăng trưởng, f (0, 0) > g (0, 0) > c) Mỗi quần thể, nhỏ, tăng thêm đạt đến kích cỡ định, đó, tồn A C cho f (0, A) = g (C, 0) = d) Mỗi quần thể làm tăng kích thước định số lượng cá thể nhỏ, tồn B D cho f (B, 0) = g (0, D) = Nói chung, hai đường cong f = g = có số lượng điểm chung Khi đó, góc phần tư thứ hệ tọa độ (x, y) chia thành khu vực: khu vực I có f > 0, g > 0; khu vực II có f < 0, g < khu vực III có f g < Những khu vực biểu diễn biểu đồ hình Tất đường cong tích phân xuất phát từ khu vực I II cuối vào khu vực III Khu vực III hình thành đường cong f = , g = 0, điểm bên bị chặn hai đường cong đoạn AD BC Tùy thuộc vào đồ thị hàm f g, điểm khu vực điểm biên Khu vực III chia thành nhiều tập con, tập cộng với điểm biên tạo thành khu vực con; tất đường cong tích phân khu vực kết thúc điểm cân x = maximum, y = minimum, tương ứng x = minimum, y = maximum, tùy thuộc vào (LUAN.van.THAC.si).dong.hoc.cua.phuong.trinh.komogorov.chiu.nhieu.markov.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.15(LUAN.van.THAC.si).dong.hoc.cua.phuong.trinh.komogorov.chiu.nhieu.markov.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.15(LUAN.van.THAC.si).dong.hoc.cua.phuong.trinh.komogorov.chiu.nhieu.markov.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.15(LUAN.van.THAC.si).dong.hoc.cua.phuong.trinh.komogorov.chiu.nhieu.markov.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.15 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).dong.hoc.cua.phuong.trinh.komogorov.chiu.nhieu.markov.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.15(LUAN.van.THAC.si).dong.hoc.cua.phuong.trinh.komogorov.chiu.nhieu.markov.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.15(LUAN.van.THAC.si).dong.hoc.cua.phuong.trinh.komogorov.chiu.nhieu.markov.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.15(LUAN.van.THAC.si).dong.hoc.cua.phuong.trinh.komogorov.chiu.nhieu.markov.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.15 Chương Kiến thức chuẩn bị Hình việc điểm khu vực f > 0, g < f < 0, g > Ví dụ, trường hợp hình 1, D điểm cân khu vực R điểm cân khu vực khác Có thể, khơng chắn, vài điểm khu vực III không thuộc vào nhóm khu vực này, điều xảy mà đường cong f = g = có đoạn trùng Trong trường hợp này, đường cong tích phân xuất phát từ khu vực I II đến đoạn trùng dừng lại Một ví dụ minh họa đơn giản cho ta biết nhiều thông tin dáng điệu giới hạn đường cong tích phân Ví dụ đường cong hình chép hình 2, dấu hàm f g biểu diễn véc tơ đơn vị song song với trục Trong khu vực I, có f > g > đó, với thời gian ngày tăng, đường cong tích phân khu vực giới hạn góc phần tư xác định véc tơ đơn vị thể hình Để minh họa cụ thể, ta xét khu vực giới hạn điểm Q R; rõ ràng từ véc tơ ta thấy, Q điểm cân không ổn định R điểm cân ổn định Chú ý rằng, đường cong tích phân qua khu vực hình chữ nhật xq1 Q∞ cuối phải kết thúc điểm R Các đường cong tích phân qua khu vực hình chữ nhật yq2 Q∞ không đến R, đến D Dáng điệu đường cong tích phân khu vực cịn lại góc phần tư thứ phải xác định cách phân tích chi tiết Kết luận, đường cong f = g = khơng giao nhau, lồi tồn tại, cụ thể (LUAN.van.THAC.si).dong.hoc.cua.phuong.trinh.komogorov.chiu.nhieu.markov.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.15(LUAN.van.THAC.si).dong.hoc.cua.phuong.trinh.komogorov.chiu.nhieu.markov.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.15(LUAN.van.THAC.si).dong.hoc.cua.phuong.trinh.komogorov.chiu.nhieu.markov.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.15(LUAN.van.THAC.si).dong.hoc.cua.phuong.trinh.komogorov.chiu.nhieu.markov.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.15 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Z u− −ε0 F (u) F (u) ε du − du u+ +ε0 u |a (+, u, 0) − ε| u+ +ε0 u |a (+, u, 0)| Z u+ +ε Z u+ +ε0 Fε (u) F (u) + + du − du u |a (+, u, 0) − ε| u |a (+, u, 0)| uε u+