(LUẬN văn THẠC sĩ) hàm green của phương trình vi phân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC CAO VĂN HỊA HÀM GREEN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - Năm 2016 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TỐN - CƠ - TIN HỌC CAO VĂN HỊA HÀM GREEN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 02 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS LÊ HUY TIỄN Hà Nội - Năm 2016 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Lời cảm ơn Luận văn hồn thành hướng dẫn nhiệt tình TS Lê Huy Tiễn Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc tơi suốt q trình làm luận văn Tơi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Qua đây, xin gửi tới quý thầy cô Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy tham gia giảng dạy khóa cao học 2013 - 2015, lời cảm ơn sâu sắc công lao dạy dỗ suốt trình học tập tơi Trường Tơi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Ban giám hiệu Trường Cao đẳng Dược Phú Thọ tạo điều kiện thuận lợi để tiếp tục học tập nâng cao trình độ Để hồn thành chương trình đào tạo hoàn thiện luận văn này, thời gian vừa qua nhận nhiều giúp đỡ q báu gia đình, thầy bạn bè Đặc biệt, xin gửi lời cảm ơn tới bạn Lê Đức Nhiên giúp đỡ nhiều việc lập trình với phần mềm Maple Nhân dịp này, xin gửi lời cảm ơn tới thầy thành viên nhóm Semina Hệ động lực TS Lê Huy Tiễn Hà Nội, ngày 08 tháng 05 năm 2016 Học viên Cao Văn Hòa TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan Mục lục Mở đầu Hàm Green phương trình vi phân 1.1 Ví dụ cho hàm Green 1.2 Định nghĩa hàm Green 1.3 Sự tồn tính hàm Green 3 12 13 Cơng thức hàm Green cho phương trình vi phân hệ số 2.1 Hàm Green cho phương trình vi phân hệ số 2.2 Trường hợp tuần hoàn 2.3 Sử dụng Maple tính hàm Green 2.3.1 Cơng thức hàm Green cho tốn biên cấp 2.3.2 Cơng thức hàm Green cho tốn biên cấp 21 21 27 28 30 35 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 (LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan Mở đầu Trong giải tích, lý thuyết phương trình vi phân chiếm vị trí quan trọng Với lý thuyết đó, chun ngành giải tích ngày hút nhiều người sâu vào tìm hiểu nghiên cứu Một toán xét đến tốn giá trị biên tuyến tính hai điểm cực a, b Chúng ta biết rằng, tồn nghiệm tốn nói chung khơng đảm bảo Vì vậy, việc phát triển cơng cụ đảm bảo tồn nghiệm, tính tốn xác biểu thức nghiệm tốn giá trị biên tuyến tính hai điểm quan trọng Có số phương pháp để giải toán giá trị biên như: phương pháp khai triển chuỗi, biến đổi Laplace, , theo phương pháp phù hợp tính tốn hàm Green: nói chung, tốn Lu = σ với điều kiện biên nhất, có nghiệm tầm thường σ = , tốn tử tuyến tính liên kết khả nghịch tốn tử nghịch đảo L−1 σ đặc trưng hạt nhân tích phân G(t, s), gọi hàm Green Khi đó, nghiệm toán Lu = σ cho Z b −1 U (t) = L σ(t) := G(t, s)σ(s)ds, t ∈ [a, b] a Lý thuyết hàm Green cơng cụ phân tích phương trình vi phân Ưu điểm hàm Green độc lập với hàm σ Với σ , để thu nghiệm xác, cần tính tích phân tương ứng mà khơng cần phát triển tính tốn Tuy nhiên, biểu thức chi tiết hàm Green nói chung phức tạp, việc tính tốn thực theo kỹ thuật khó Đây lý mà nội dung luận văn ngồi việc trình bày lại báo [5] đưa số ví dụ hàm Green, cịn bước đầu sử dụng phần mềm Maple để tính hàm Green số trường hợp Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn gồm (LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan chương: Chương 1: Hàm Green phương trình vi phân Trong chương này, chúng tơi trình bày số ví dụ hàm Green cho phương trình vi phân cấp phương trình vi phân cấp hai Sau đó, chúng tơi trình bày định nghĩa, tồn tính hàm Green phương trình vi phân tuyến tính cấp n điều kiện biên tuyến tính Chương 2: Cơng thức hàm Green cho phương trình vi phân hệ số Mục đích chương xây dựng cơng thức tính hàm Green cho phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng, sử dụng phần mềm Maple để tính hàm Green số trường hợp (LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan Chương Hàm Green phương trình vi phân Trong chương này, chúng tơi trình bày số ví dụ hàm Green cho phương trình vi phân cấp phương trình vi phân cấp hai Sau đó, chúng tơi trình bày định nghĩa, tồn tính hàm Green phương trình vi phân tuyến tính cấp n điều kiện biên tuyến tính 1.1 Ví dụ cho hàm Green Ví dụ 1.1 Cho m ∈ R, f hàm liên tục, xét phương trình: u0 (t) + mu(t) = f (t), t ∈ [0, 1] (1.1) với điều kiện biên : u(0) − u(1) = Trước tiên, ta tìm nghiệm phương trình (1.1) Nhân hai vế phương trình (1.1) với emt ta có emt u0 (t) + memt u(t) = emt f (t)
d mt e u(t) = emt f (t), t ∈ [0, 1] dt Tích phân hai vế, ta có emt u(t) − u(0) = Zt ems f (s)ds, t ∈ [0, 1] (LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan  u(t) = e−mt u(0) + Zt  ems f (s)ds , t ∈ [0, 1] u(t) = e−mt u(0) + Zt e−m(t−s) f (s)ds Thay vào điều kiện biên u(0) − u(1) = , ta có: Z −m u(0) − (e u(0) + e−m(1−s) f (s)ds) = Z 10 (1 − e−m )u(0) = e−m(1−s) f (s)ds Do với m 6= u(0) = − e−m Z e−m(1−s) f (s)ds Thay vào biểu thức u(t) ta Z Z t −m(t+1−s) u(t) = e f (s)ds + e−m(t−s) f (s)ds −m 1−e Z0 Z0 1 e−m(t+1−s) f (s)ds + e−m(t−s) χ(0,t) f (s)ds u(t) = −m 1−e 0 Z u(t) = G(t, s)f (s)ds G(t, s) =   e−m(t+1−s) 1−e−m  e−m(t+1−s) 1−e−m , + e−m(t−s) , với < s < t < với < t < s < Khi m = 0, điều kiện để phương trình có nghiệm R1 f (s)ds = 0 Bài tốn đưa Ví dụ 1.1 có cách nhìn khác sau:  Đặt X = u ∈ C ([0, 1]) , u(0) = u(1) Xét toán tử L : X → C([0, 1]) (LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan xác định Lu(t) = u0 (t) + mu(t), t ∈ [0, 1] Khi đó, phương trình (1.1) tương đương với Lu = f Nếu u nghiệm R1 −1 u = L f = G(t, s)f (s)ds Sự tồn nghiệm phương trình (1.1) tương đương với tính khả nghịch tốn tử L Một câu hỏi tự nhiên đặt là: hàm G(t, s) có tính chất gì, tồn tính hàm Hơn nữa, trường hợp tổng qt cơng thức G(t, s) Dưới ta trả lời câu hỏi cho trường hợp đặc biệt, hàm Green cho phương trình vi phân cấp hai Xét tốn giá trị ban đầu L[y] = f (x), y(x0 ) = α, y (x0 ) = β (1.2) Với L toán tử vi phân d2 y dy L[y] = + a1 (x) + a0 (x)y dx dx (1.3) Nếu a1 a0 hàm liên tục (1.2) tồn nghiệm Xét toán toán giá trị biên tổng quát L[y] = f (x), Ba (y) = 0, Bb (y) = 0, (1.4) Ba (y) = α1 y(a) + β1 y (a) Bb (y) = α2 y(b) + β2 y (b) (1.5) Nếu chọn β1 = β2 = α1 = α2 = điều kiện y y triệt tiêu a b Nếu chọn α1 = α2 = β1 = β2 = y (a) = y (b) = Các điều kiện tổng quát áp đặt a b liên quan tới y y Khơng giống tốn giá trị ban đầu, tốn giá trị biên khơng tồn nghiệm, chẳng hạn xét phương trình y 00 + y = f (x), y(0) = y(π) = (1.6) (LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan Nhân phương trình với sin x lấy tích phân, ta có Z π Z π Z π f (x) sin xdx = y 00 (x) sin xdx + y(x) sin xdx 0 = y (x) sin x |π0 − Zπ y (x) cos xdx + = −y(x) cos x |π0 − Zπ y(x) sin xdx Zπ Zπ y(x) sin xdx + y(x) sin xdx (1.7) = (1.8) Do đó, điều kiện cần để (1.6) có nghiệm Z π f (x) sin xdx = (1.9) Điều kiện khơng thỏa mãn với f (x) (ví dụ: f (x) = x) Bây giờ, giải thích làm để tìm nghiệm tốn giá trị ban đầu chúng tồn Cơng cụ chủ yếu hàm Green Một hàm Green xây dựng hai nghiệm độc lập y1 , y2 phương trình L[y] = (1.10) Chính xác hơn, y1 nghiệm toán giá trị ban đầu L[y] = 0, y(a) = β1 , y (a) = −α1 (1.11) y2 nghiệm toán L[y] = 0, y(b) = β2 , , y (b) = −α2 (1.12) Do nghiệm thỏa mãn Ba [y1 ] = Bb [y2 ] = (1.13) Bổ đề 1.1 Hàm u thỏa mãn L[u] = Ba [u] = (1.14) u = λy1 , λ ∈ R (LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com y1 c2 (x) = y10 y1 f y (x)f (x) = y2 W (y1 , y2 )(x) y20 (1.18) Từ c1 (x) = − x Z a y2 (s)f (s) ds, c2 (x) = W (y1 , y2 )(s) Z a x y1 (s)f (s) ds W (y1 , y2 )(s) (1.19) Do ta có nghiệm riêng Z x Z x y2 (s)f (s) y1 (s)f (s) yp (x) = − ds.y1 (x) + ds.y2 (x) a W (y1 , y2 )(s) a W (y1 , y2 )(s) Z x (y1 (s)y2 (x) − y1 (x)y2 (s))f (s) = ds (1.20) W (y1 , y2 )(s) a (LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan Đạo hàm yp (x) ta có yp0 (x) Z x y1 (x)f (x) y1 (s)f (s) = y2 (x) + ds.y20 (x) W (y1 , y2 )(x) W (y1 , y2 )(s) Z ax y2 (x)f (x) y2 (s)f (s) − y1 (x) − ds.y10 (x) W (y1 , y2 )(x) a W (y1 , y2 )(s) Z x 0 y1 (s)y2 (x) − y1 (x)y2 (s) f (s)ds = W (y1 , y2 )(s) a (1.21) Suy yp (a) = yp0 (a) = Ba (yp ) = α1 yp (a) + β1 yp0 (a) = (1.22) Mặt khác Bb [yp ] = α2 yp (b) + β2 yp0 (b) Z b y1 (s)y2 (b) − y1 (b)y2 (s) f (s)ds = α2 W (y1 , y2 )(s) a Z b y1 (s)y20 (b) − y10 (b)y2 (s) + β2 f (s)ds W (y1 , y2 )(s) a Z b y1 (s)(α2 y2 (b) + β2 y20 (b)) − y2 (s)(α2 y1 (b) + β2 y10 (b)) = f (s)ds W (y1 , y2 )(s) a Z b y1 (s)Bb [y2 ] − y2 (s)Bb [y1 ] = f (s)ds W (y1 , y2 )(s) a Z b y2 (s)f (s) = −Bb [y1 ] ds 6= (1.23) a W (y1 , y2 )(s) Như nghiệm riêng yp thỏa mãn điều kiện biên a không thỏa mãn điều kiện biên b Để điều kiện biên b thỏa mãn, trở lại nghiệm tổng quát phương trình L[y] = f (x) Nghiệm có dạng y(x) = Ay1 (x) + By2 (x) + yp (x) (1.24) (LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).ham.green.cua.phuong.trinh.vi.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com