Luận văn thạc sĩ động học của phương trình komogorov chịu nhiễu markov lvts vnu

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN LÊ TH̟± M ̟ IN̟H̟ TH̟U Đ®N̟G H̟0C CÛA PH̟ƯƠN̟G TRÌN̟H̟ K̟0LM ̟ 0G0R0V CH̟±U N̟H̟IEU M ARK0V LUắN VN THAC S KH0A H0C H Nđi - N̟ăm̟ 2012 LÊ TH̟± M ̟ IN̟H̟ TH̟U Đ®N̟G H̟0C CÛA PH̟ƯƠN̟G TRÌN̟H̟ K̟0LM ̟ 0G0R0V CH̟±U N̟H̟IEU M ̟ ARK̟0V Ch̟uyên̟ n̟gàn̟h̟ : Lý th̟uyet xác suat th̟0n̟g k̟ê t0án̟ H̟QC M ̟ ã s0: 60 46 15 LU¾N̟ VĂN̟ TH̟AC SĨ K̟H̟0A H̟0C N̟GƯŐI H̟ƯŐN̟G DAN̟ K̟H̟0A H̟0C: GS.TS N̟guyen̟ H̟uu Dư H̟à N̟®i - N̟ăm̟ 2012 M̟n̟c ln̟c K̟ien̟ th̟Éc ch̟uan̟ b% 1.1 Ph̟ươn̟g trìn̟h̟ K̟0lm̟0g0r0v tat đ%n̟h̟ 1.2 T0án̟ tu sin̟h̟ cua q trìn̟h̟ M̟ark̟0v th̟ịi gian̟ liên̟ tn̟c 1.2.1 Quá trìn̟h̟ M̟ark̟0v 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5 5 9 T0án̟ tu sin̟h̟ cua n̟ua n̟h̟óm̟ t0án̟ tu M̟ark̟0v 11 T0án̟ tu sin̟h̟ cua xích̟ M̟ark̟0v vói th̟ịi gian̟ liên̟ tn̟c 11 Quá trìn̟h̟ M̟ark̟0v n̟h̟ư n̟gh̟i¾m̟ cua ph̟ươn̟g trìn̟h̟ vi ph̟ân̟ 12 Quá trìn̟h̟ M̟ark̟0v h̟ai tran̟g th̟ái .13 Tín̟h̟ ch̟at ti¾m̟ c¾n̟ cua h̟¾ ph̟ươn̟g trìn̟h̟ can̟h̟ tran̟h̟ K̟0lm̟0g0r0v ch̟%u n̟h̟ieu đi¾n̟ bá0 14 2.1 Tín̟h̟ ben̟ vun̟g cua h̟¾ 14 2.2 T¾p ω- giói h̟an̟ 22 2.2.1 Trưàn̟g h̟ap 1: cá h̟ai h̟¾ tat đ%n̟h̟ őn̟ đ%n̟h̟ .22 2.2.2 Trưàn̟g h̟ap 2: M̟®t hắ n %nh v mđt hắ s0ng n %nh 23 2.2.3 Trng hap 3: Mđt hắ n %nh t0n cnc v mđt hắ triắt tiờu 24 2.3 N̟ua n̟h̟óm̟ tín̟h̟ 0n̟ đ%n̟h̟ tr0n̟g ph̟ân̟ b0 29 Ún̟g dn̟n̟g 3.1.1 3.1.2 3.1.3 33 Trưàn̟g h̟ap 1: H̟¾ (3.2) (3.3) őn̟ đ%n̟h̟ ti¾m̟ c¾n̟ t0àn̟ cn̟c 35 Trưàn̟g h̟ap 2: H̟¾ (3.2) őn̟ đ%n̟h̟ ti¾m̟ c¾n̟ t0àn̟ cn̟c (3.3) s0n̟g őn̟ đ%n̟h̟ 38 Trưàn̟g h̟ap 3: H̟¾ (3.2) őn̟ đ%n̟h̟ ti¾m̟ c¾n̟ t0àn̟ cn̟c tat cá n̟gh̟i¾m̟ dươn̟g cua h̟¾ (3.3) dan̟ tái m̟®t điem̟ trên̟ biên̟ 39 K̟et lu¾n̟ 41 Tài li¾u th̟am̟ k̟h̟a0 43 i Lèi n̟ói đau Đ0i vói h̟ ¾ sin̟h̟ th̟ái tr0n̟g sin̟h̟ H̟QC, sin̟h̟ th̟ái H̟QC quan̟ th̟e H̟QC g0m̟ có h̟ai l0ài, n̟gưịi ta th̟ưịn̟g m̟ơ ta ch̟ún̟g ban̟g m̟ơ h̟ìn̟h̟ t0án̟ H̟QC dưói dan̟g h̟ ¾ ph̟ươn̟g trìn̟h̟ vi ph̟ân̟: x˙ = x f (x, y) , y˙ = yg (x, y) , (1) tr0n g y(t) quan cua tùn g ̟ l0ài điem f (x, đư0c y) , gGQI (x, y)các đ th tnv t0c đ tănx(t) tùn Th̟̟ ơn g th̟tai ưịnth h̟ ¾ h̟ư v¾y ̟ g trư0n ̟ g bìnlà ̟ h̟ mqn ̟ cua ̟ g̟ el0ài ̟ g,̟ ịicác h̟ ¾ K̟0lm̟0g0r0v Các h̟ ¾ k̟ieu K̟0lm̟0g0r0v m̟ơ h̟ìn̟h̟ th̟ôn̟g dn̟n̟g n̟h̟at đe m̟ô ta sn̟ ph̟át trien̟ cua quan the tr0ng mđt h ắ m t0c đ tng trư0n̟g bìn̟h̟ qn̟ cua m̟ői l0ài ph̟n̟ th̟u®c và0 quy m̟ơ quan̟ th̟e cua ca h̟ai l0ài M̟ơ h̟ìn̟h̟ k̟ieu K̟0lm̟0g0r0v quan̟ TRQNG̟ m̟ői quy đa0 xuat ph̟át tr0n̟g góc ph̟an̟ tư th̟ú n̟h̟at cua m̟¾t ph̟an̟g th̟ì ln̟ n̟am̟ tr0n̟g m̟¾t ph̟an̟g n̟ày (túc n̟eu x (0) > 0, y (0) > 0) th̟ì x (t) > 0, y (t) > 0) vói M̟QI t > 0) N̟ói cách̟ k̟h̟ác m̟ien̟ tr0n̟g cua góc ph̟an̟ tư th̟ú n̟h̟at cua m̟¾t ph̟an̟g bat bien̟ đ0i vói h̟¾ (1) Đã có rat n̟h̟ieu cơn̟g trìn̟h̟ n̟gh̟iên̟ cúu ve đ®n̟g ln̟c HQ̟ C quan̟ th̟e th̟ơn̟g qua n̟gh̟iên̟ cúu n̟gh̟i¾m̟ dươn̟g, ch̟an̟g h̟an̟ n̟h̟ư tín̟h̟ ben̟ vun̟g eu, sn diắt v0ng hay v sn giúi n t0àn̟ cn̟c (xem̟ [10, 13, 20, 11]) trưịn k̟h̟hơn th̟ e0 đ0i.ph D0 đó, t0c̟ hđ® tăn g trư0n f (x,gia y)th,̟ iet g (x, ̟ ay ̟ tat đ%n̟h̟m ̟ Cách dn̟a̟ gvà0 cácy)l0ài s0n̟hg̟ àm tr0n ̟ m̟̟ ơg ta ̟ ¾̟ gth ̟ ươn ̟ g trìn ̟ ̟ ̟ đeu ̟g m̟®t Tuy n̟h̟iên̟, rõ ràn̟g ran̟g đieu n̟ói ch̟un̟g k̟h̟ơn̟g ph̟ù h̟0p tr0n̟g th̟n̟c te b0i ch̟ún̟g ta ph̟ai tín̟h̟ đen̟ sn̟ bien̟ đ®n̟g cua m̟ơi trưịn̟g m̟à có th̟e gây n̟h̟un̟g tác đ®n̟g m̟an̟h̟ đen̟ tín̟h̟ đ®n̟g ln̟c H̟QC cũn̟g n̟h̟ư sn̟ ph̟át trien̟ ben̟ vun̟g cua quan̟ th̟e Sn̟ bien̟ đ0i cua m̟ơi trưịn̟g có th̟e đư0c th̟e h̟i¾n̟ n̟h̟ư yeu t0 n̟gau n̟h̟iên̟ đieu quan̟ TRQNG̟ ch̟ún̟g ta ph̟ai m̟ô ta ch̟ún̟g dan̟g ph̟ươn̟g trìn̟h̟ n̟gau n̟h̟iên̟ Tuy v¾y, tr0n̟g k̟h̟i h̟ ¾ K̟0lm̟0g0r0v tat đ%n̟ h̟ (1) đư0c n̟gh̟iên̟ cúu vói m̟®t l%ch̟ su lâu dài th̟ì h̟ ¾ K̟0lm̟0g0r0v n̟gau n̟h̟iên̟ lai ch̟ưa đe c¾p n̟h̟ieu tr0n̟g tài li¾u t0án̟ HQ̟ C h̟au n̟h̟ư k̟h̟ơn̟g có cơn̟g trìn̟h̟ n̟à0 n̟gh̟iên̟ cúu ve ph̟ươn̟g di¾n̟ th0ng kờ õy, chỳng tụi e cắp en mđt tr0n̟g n̟h̟un̟g n̟ő ln̟c đau tiên̟ th̟e0 h̟ưón̟g n̟ày, bá0 bá0 rat h̟ay cua Arn̟0ld [5], tr0n̟g tác gia su dn̟n̟g lý th̟uyet ve q trìn̟h̟ ch̟uyen̟ đ®n̟g Br0wn̟ đe n̟gh̟iên̟ cúu quy đa0 m̟au cua ph̟ươn̟g trìn̟h̟ Đ0i vói m̟ơ h̟ìn̟h̟ ph̟ân̟ n̟h̟án̟h̟ tr0n̟g m̟®t m̟ơi trưịn̟g bien̟ th̟iên̟, ch̟ún̟g ta có th̟e th̟am̟ k̟h̟a0 [2, 3, 18, vv ] M̟®t cách̟ trìn̟h̟ bày tươn̟g đ0i h̟¾ th̟0n̟g ve van̟ đe n̟ày đư0c đưa tr0n̟g [1] Gan̟ đây, [16] xem̟ xét an̟h̟ MUC LUC h̟ư0n̟g cua ca h̟ai l0ai n̟h̟ieu trìn̟h̟ ch̟uyen̟ đ0i M̟ark̟0v 0n̟ trang tỏc đng lờn hắ (1), A B0br0wski tr0ng [8] su dn̟n̟g n̟ua n̟h̟óm̟ M̟ark̟0v đe n̟gh̟iên̟ cúu sn̟ 0n̟ đ%n̟h̟ cua ph̟ân̟ ph̟0i dùn̟g cua h̟¾ n̟gau n̟h̟iên̟ (1); W Sh̟en̟, Y Wan̟g tr0n̟g [19] n̟gh̟iên̟ cúu h̟¾ K̟0lm̟0g0r0v can̟h̟ tran̟h̟ n̟gau n̟h̟iên̟ th̟ơn̟g qua ph̟ươn̟g ph̟áp tích̟ l¾ch̟ Tr0n̟g trưịn̟g h̟0p đơn̟ gian̟ n̟h̟at, ch̟ún̟g ta gia su đieu k̟i¾n̟ m̟ơi trưịn̟g có th̟e ch̟uyen̟ đ0i n̟gau n̟h̟iên̟ giua h̟ai tran̟g th̟ái, ví dn̟: tran̟g th̟ái n̟ón̟g lan̟h̟, tran̟g th̟ái k̟h̟ơ ưót N̟h̟ư ch uyen h̟ai tr0nsu = ̟ {+, h̟ai̟ g ph tu ̟ m Vói ̟ đ0i ̟ g th g m đtmtắp an trờn th v¾y, ch̟ún ta có th̟ ̟ e gia có ®t nh̟ ̟h0p bá0 −} an̟h̟ có h̟ư0n đen ìn̟h̟ tran ban̟̟ gg ̟ g tran ̟ ieuEđi¾n ̟ h̟các cách̟ đieu k̟i¾n̟ m̟ơi trưịn̟g k̟h̟ien̟ ch̟0 m̟ơ h̟ìn̟h̟ th̟ay đ0i tù h̟ ¾ tr0n̟g tran̟g th̟ái + vúi h ắ tr0ng trang khỏc nhau, đng lnc HQ C cua h̟ ¾ tr0n̟g m̟ơ h̟ìn̟h̟ k̟h̟ác n̟h̟au Sn̟ ch̟uyen̟ đ0i n̟gau n̟h̟iên̟ cua th̟ái − n̟gư0c lai Tr0n̟g [7], tác gia n̟gh̟iên̟ cúu h̟¾ can̟h̟ tran̟h̟ c0 đien̟ vói n̟h̟ieu đi¾n̟ bá0 Các tác gia ch̟i ran̟g t¾p ω-giói h̟an̟ cua n̟gh̟i¾m̟ đ0i vói h̟¾ rat ph̟úc tap ó thnh cụng tr0ng viắc mụ ta mđt s0 h̟0p c0n̟ cua t¾p ω- giói h̟an̟ M̟n̟c đích̟ cua ch̟ún̟g k̟h̟ái quát n̟h̟un̟g k̟et qua n̟ày ban̟g cỏch xột mđt hắ t0ng quỏt v se mụ ta đay đu tat ca t¾p ω- giói h̟an̟ cua n̟gh̟i¾m̟ cua ph̟ươn̟g trìn̟h̟ Ch̟ún̟g tơi cũn̟g ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ran̟g t¾p ω- giói h̟an̟ cua tat ca n̟gh̟i¾m̟ dươn̟g n̟h̟ư n̟h̟au n̟ó h̟ap th̟n̟ tat ca n̟gh̟i¾m̟ dươn̟g k̟h̟ác H̟ơn̟ n̟ua, ch̟ún̟g tơi m̟u0n̟ xa h̟ơn̟ ban̟g cách̟ n̟gh̟iên̟ cúu m̟®t s0 tín̟h̟ ch̟at cua ph̟ân̟ ph̟0i dùn̟g Ch̟ún̟g ch̟i ran̟g ph̟ân̟ ph̟0i dùn̟g (n̟eu n̟ó t0n̟ tai) se có m̟¾t đ v mắt đ ny hỳt tat ca cỏc phõn ph̟0i k̟h̟ác Đe làm̟ đư0c đieu đó, ch̟ún̟g tơi đưa th̟am̟ s0 λ1, λ2 n̟h̟ư n̟gưõn̟g ph̟át trien̟ cua h̟¾ M̟¾c dù ch̟ưa đưa đư0c bieu th̟úc h̟ien̟ đe tìm̟ giá tr% λ1 , λ2 , n̟h̟ưn̟g ch̟ún̟g ta có th̟e de dàn̟g ưóc lư0n̟g ch̟ún̟g ban̟g ph̟ươn̟g ph̟áp m̟ô ph̟0n̟g th̟ôn̟g qua h̟ ¾ s0 Các th̟am̟ s0 n̟ày đón̟g m̟®t vai trị quan̟ TRQN̟G tr0n̟g th̟n̟c te ban̟g cách̟ ph̟ân̟ tích̟ h̟ ¾ s0, ch̟ún̟g ta h̟ieu đư0c dán̟g đi¾u đng HQC cua h ắ Luắn 0c chia lm ch̟ươn̟g: Ch̟ươn̟g I: Các k̟ien̟ th̟úc ch̟uan̟ b% N̟®i dun̟g cua ch̟ươn̟g n̟ày đưa m̟®t s0 k̟h̟ái n̟i¾m̟ ban̟ ve m̟ơ h̟ìn̟h̟ can̟h̟ tran̟h̟ cua h̟ ¾ K̟0lm̟0g0r0v tat đ%n̟ h̟ cũn̟g n̟h̟ư tín̟h̟ ch̟at quan̟ TRQNG̟ cua trìn̟h̟ M̟ark̟0v h̟uu h̟an̟ tran̟g th̟ái vói th̟ịi gian̟ liên̟ tn̟c Ch̟ươn̟g II: Tín̟h̟ ch̟at ti¾m̟ c¾n̟ cua h̟¾ ph̟ươn̟g trìn̟h̟ can̟h̟ tran̟h̟ K̟0lm̟0g0r0v ch̟%u n̟h̟ieu M̟ark̟0v Ch̟ươn̟g n̟ày ch̟u yeu dn̟a trên̟ n̟ ®i dun̟g cua bá0 [23] Tr0n̟g ch̟ươn̟g n̟ày, ch̟ún̟g m̟ô ta quy a0 đng HQ C cua cỏc nghiắm dng đ0i vói l0ai h̟ ¾ can̟h̟ tran̟h̟ ch̟ %u sn tỏc đng cua tieng 0n iắn bỏ0 Nú ch0 th̟ay ran̟g t¾p ω- giói h̟an̟ h̟ap th̟n̟ tat ca n̟gh̟i¾m̟ dươn̟g Ch̟ún̟g tơi cũn̟g xét trưịn̟g h̟0p cn̟ th̟e ve dán̟g đi¾u cua n̟gh̟i¾m̟ cua h̟ ¾ K̟0lm̟0g0r0v ch̟ %u n̟h̟ieu M̟ark̟0v Ch̟ươn̟g III: Ún̟g dn̟n̟g và0 m̟ơ h̟ìn̟h̟ h̟¾ ph̟ươn̟g trìn̟h̟ can̟h̟ tran̟h̟ c0 đien̟ Ch̟ươn̟g n̟ày đe c¾p đen̟ dán̟g đi¾u cua n̟gh̟i¾m̟ cua h̟ ¾ ph̟ươn̟g trìn̟h̟ can̟h̟ tran̟h̟ c0 đien̟ L0tk̟a- V0lterra dưói tác đ®n̟g cua n̟h̟ieu M̟ark̟0v Các m̟ơ h̟ìn̟h̟ c0 đien̟ n̟ày có th̟e xem̟ th̟í dn̟ cn̟ th̟e m̟in̟h̟ HQ̟ A k̟et qua tr0n̟g Ch̟ươn̟g II Lèi cam̟ ơn̟ Ban̟ lu¾n̟ văn̟ n̟ày đư0c h̟0àn̟ th̟àn̟h̟ dưói sn̟ h̟ưón̟g dan̟ n̟gh̟iêm̟ k̟h̟ac ch̟i ba0 t¾n̟ tìn̟h̟ cua GS TS N̟guyen̟ H̟uu Dư Th̟ay dàn̟h̟ n̟h̟ieu th̟ịi gian̟ h̟ưón̟g dan̟ cũn̟g n̟h̟ư giai đáp th̟ac m̟ac cua tr0n̟g su0t trìn̟h̟ làm̟ lu¾n̟ văn̟ Tơi m̟u0n̟ bày t0 lịn̟g biet ơn̟ sâu sac đen̟ n̟gưịi th̟ay cua m̟ìn̟h̟ Qua đây, tơi xin̟ gui tói th̟ay K̟h̟0a T0án̟-Cơ-Tin̟ H̟QC, Trưòn̟g Đai H̟QC K̟h̟0a H̟QC Tn̟ n̟h̟iên̟, Đai H̟QC Qu0c gia H̟à N̟®i, cũn̟g n̟h̟ư th̟ay th̟am̟ gia gian̟g day lóp ca0 HQ ̟ C T0án̟ k̟h̟óa 2010- 2012, đ¾c bi¾t th̟ay N̟guyen̟ H̟ai Đăn̟g, gian̟g viên̟ k̟h̟0a t0án̟ sin̟h̟ th̟ái HQ̟ C m̟ơi trưịn̟g, lịi cam̟ ơn̟ sâu sac n̟h̟at đ0i vói cơn̟g la0 day dő, ch̟i dan̟ n̟h̟i¾t tìn̟h̟ tr0n̟g su0t k̟h̟óa HQ̟ C th̟ịi gian̟ làm̟ lu¾n̟ văn̟ Tơi cũn̟g xin̟ gui lịi cam̟ ơn̟ tói an̟h̟ ch̟ % em̟ H̟QC viên̟ đ0n̟g k̟h̟óa em̟ sin̟h̟ viên̟ n̟ăm̟ cu0i k̟h̟0a T0án̟- Cơ- Tin̟ cua trưòn̟g giúp đõ rat n̟h̟i¾t tìn̟h̟ đe tơi h̟0àn̟ th̟àn̟h̟ ban̟ lu¾n̟ văn̟ n̟ày Tơi xin̟ cam̟ ơn̟ gia đìn̟h̟, ban̟ bè tat ca MQI ngũi ó quan tõm, ta0 ieu kiắn, đng viên̟ c0 vũ tơi đe tơi có th̟e h̟0àn̟ th̟àn̟h̟ nhiắm cua mỡnh H nđi, thỏng 12 nm 2012 N̟gưài làm̟ lu¾n̟ văn̟ Lê Th̟% M̟in̟h̟ Th̟u Ch̟ươn̟g K̟ien̟ th̟Éc ch̟uan̟ b% 1.1 Ph̟ươn̟g trìn̟h̟ K̟0lm̟0g0r0v tat đ%n̟h̟ Giah̟¾ su sin x(t), ̟ s0 lư0n m̟ői tai̟ gth̟cùn ịi ̟ điem ̟ ̟ ®t ̟ g ̟ cácóth̟he̟ aicua ún̟g0n g)̟ đ%n Xét ̟ hm gian l0ài s0nl0ài g m̟̟ ®tt m̟ơif (tươn trưịn̟̟ gg ̟ h̟ thy(t) ̟ đơn ̟ g0m ̟ g tr0n tươn̟g đ0i tý l¾ tăn̟g trư0n̟g cua l0ài th̟ú n̟h̟at (tươn̟g ún̟g l0ài th̟ú 2); tr0n̟g f , g h̟ai h̟àm̟ cua h̟ai bien̟ x y N̟h̟ư th̟e, ch̟ún̟g ta có th̟e m̟ơ ta sn̟ ph̟át trien̟ cua h̟¾ b0i ph̟ươn̟g trìn̟h̟: dx dy = x f (x, y) , = yg (x, y) (1.1) t t d d Gia th̟iet tr0n̟g ph̟ươn̟g trìn̟h̟ (1.1) tý l¾ tăn̟g h̟0¾c giam̟ cua s0 lư0n̟g cá th̟e tr0n̟g quan̟ th̟e k̟h̟ôn̟g ph̟n̟ th̟u®c và0 th̟ịi gian̟ ran̟g s0 lư0n̟g quan̟ th̟e đu lón̟ đe ta xem̟ x y s0 th̟n̟c k̟h̟ôn̟g âm̟ k̟h̟ôn̟g ch̟%u sn̟ tỏc đng ngau nhiờn Hắ (1.1) 0c GQI l h ¾ K̟0lm̟0g0r0v Tr0n̟g t0àn̟ b® Lu¾n̟ văn̟ n̟ày, ch̟ún̟g tơi luôn̟ đưa gia th̟iet f , g cùn̟g vói đa0 h̟àm̟ b¾c n̟h̟at cua ch̟ún̟g xác đ%n̟ h̟ liên̟ tn̟c vói MQ ̟ I giá tr% k̟h̟ơn̟g âm̟ cua x y ph̟ươn̟g trìn̟h̟ (1.1) ln̟ t0n̟ tai n̟gh̟i¾m̟ xác đ%n̟h̟ trên̟ [0, ∞) (d0 n̟h̟at) N̟h̟ị tín̟h̟ n̟h̟at n̟gh̟i¾m̟ cua h̟¾, de dàn̟g th̟ay ran̟g góc ph̟an̟ tư th̟ú n̟h̟at R+2 = {(u, v) : u “ 0, v “ 0} cua m̟¾t ph̟an̟g R2 bat bien̟ Túc n̟eu x(0) “ 0, y(0) “ th̟ì x(t) “ 0, y(t) “ vói M̟QI t > Tươn̟g tn̟ n̟h̟ư v¾y ph̟an̟ tr0n̟g in̟t R+2 = {(u, v) : u > 0, v > 0} cũn̟g se bat bien̟ Tùy th̟e0 tùn̟g t0án̟ cn̟ th̟e ch̟ún̟g ta se đưa đieu k̟i¾n̟ b0 sun̟g cn̟ th̟e ch̟0 h̟ai h̟àm̟ f g M̟0i quan̟ h̟¾ giua l0ài có th̟e có ch̟ia làm̟ ba l0ai ch̟ín̟h̟: a) L0ài th̟ú n̟h̟at g¾p k̟h̟ó k̟h̟ăn̟, l0ài th̟ú h̟ai g¾p thuắn l0i, d0 cú sn hiắn diắn cua mđt yeu t0 n̟à0 k̟h̟ác (quan̟ h̟¾ l0ài săn̟ m̟0i vói c0n̟ m̟0i), Chương Kien thúc chuan b % b) Ca h̟ai l0ài đeu g¾p k̟h̟ó k̟h̟ăn̟ b0i sn̟ hiắn diắn cua mđt l0i cũn lai (mụ hỡnh canh tran̟h̟), c) Ca h̟ai l0ài đeu g¾p th̟u¾n̟ l0i b0i sn hiắn diắn cua mđt l0i khỏc (mụ hỡnh cđng sinh) Tr0ng t0n bđ Luắn ny chỳng ta chi xét m̟ơ h̟ìn̟h̟ can̟h̟ tran̟h̟ Đó trưịn̟g h̟0p m̟à ca h̟ai l0ài s0n̟g tr0n̟g m̟®t vùn̟g lãn̟h̟ th̟0 can̟h̟ tran̟h̟ n̟h̟au ve n̟gu0n̟ th̟úc ăn̟ h̟ay m̟ôi trưịn̟g M̟ơ h̟ìn̟h̟ t0án̟ H̟QC đau tiên̟ n̟gh̟iên̟ cúu h̟i¾n̟ tư0n̟g n̟ày đư0c đưa b0i V0lterra (1927) đưa n̟h̟ieu k̟et lu¾n̟ b0 ích̟ ve sn̟ ph̟át trien̟ cua tùn̟g l0ài Ő ch̟ún̟g xét m̟ô h̟ìn̟h̟ can̟h̟ tran̟h̟ t0n̟g quát h̟ơn̟ (1.1) c0 gan̟g đat đư0c k̟et lu¾n̟ tươn̟g tn̟ Đe m̟ơ ta m̟ơ h̟ìn̟h̟ có tín̟h̟ ch̟at can̟h̟ tran̟h̟, ch̟ún̟g ta đưa gia th̟iet sau ve h̟àm̟ f g : a) Sn̟ gia tăn̟g cua m̟®t tr0n̟g h̟ai quan̟ th̟e ta0 m̟®t sn̟ sn̟t giam̟ ve t0c đ® tăn̟g trư0n̟g cua ca h̟ai quan̟ th̟e; d0 ta có ∂f ∂x ∂g < 0, g (0, 0) > n̟h̟atc) M đ%n đó,n̟gay t0n̟ca tai sa0 f ̟ e(0, =̟ gn̟eu(C, ̟ , d0 ̟ 0̟ g th k̟h̟i Arat n̟h̟0,Ccũn tăn̟gA)th̟êm đat 0) đen̟=m̟®t ̟ ői̟ hquan ̟ th̟e, ̟ g k̟hch ̟ ơn k̟ích̟ cõ tr0nd) n̟̟ h̟0, t0n tai̟ tăn B ̟ D̟ th sa0 (B,̟ h̟ 0) = cag k̟(0, =̟ g cá ̟g M quan th̟e d0 k̟h̟ơn g k̟ích n̟gay h̟i s0D) lư0n ̟ őirat ̟ g th ̟ e̟ làm ̟ ưócchn̟ ̟ 0h̟atf đ%n th̟e N̟ói ch̟un̟g, h̟ai đưòn̟g c0n̟g f = g = có th̟e có bat k̟ỳ s0 lư0n̟g điem̟ ch̟un̟g K̟h̟i đó, góc ph̟an̟ tư th̟ú n̟h̟at cua h̟ ¾ TQA đ® (x, y) se đư0c ch̟ia th̟àn̟h̟ k̟h̟u vn̟c: k̟h̟u vn̟c I có f > 0, g > 0; k̟h̟u vn̟c II có f < 0, g < k̟h̟u vn̟c III có f g < N̟h̟un̟g k̟h̟u vn̟c đư0c bieu dien̟ b0i bieu đ0 tr0n̟g h̟ìn̟h̟ Tat ca đưịn̟g c0n̟g tích̟ ph̟ân̟ xuat ph̟át tù k̟h̟u vn̟c I II cu0i cùn̟g và0 k̟h̟u vn̟c III K̟̟ h¾n b0iđ0an các̟ đưịn f = th 0̟ u®c , g =và0 0, b0i bênh̟ ̟ àm tr0n ̟ u ̟ ̟ c III ̟ h̟ th ̟ h̟ ̟ g c0n b% ch b0i h̟aiđư0c đưịn̟hg̟ ìnc0n AD BC.̟ gTùy đ0 th cua ̟ ̟ g̟ àn ̟ % điem ̟ f̟ g g, điem̟ tr0n̟g k̟h̟u vn̟c n̟ày h̟ơn̟ điem̟ trên̟ biên̟ K̟h̟u vnc III ny cú the 0c chia thnh mđt h0ắc nhieu c0n, mi ny cđng vúi nhung iem biên̟ ta0 th̟àn̟h̟ m̟®t k̟h̟u vn̟c nvà0 =̟m axim =m =̟ cmc0n um̟th,̟ úc y =taim̟m axim um̟, ̟ tùy ̟ ó xc0n ̟ g̟ gún ̟ , yđưịn ̟ im̟̟ um ̟ , h̟̟ 0¾c ̟ in̟̟ im ;̟ tat ca̟ um g tích ph̟ântươn k̟̟ hg̟ uxvn k̟ ̟ et cânth ̟ ̟ ginc0n ̟ tr0n ̟ ®t̟ điem ̟ ̟ u®c ban̟g cua H̟ìn̟h̟ vi¾c n̟h̟un̟g điem̟ tr0n̟g cua k̟h̟u vn̟c c0n̟ f > 0, g < h̟0¾c f < 0, g > Ví dn̟, tr0n̟g trưịn̟g h̟0p cua h̟ìn̟h̟ 1, D m̟®t điem̟ cân̟ ban̟g cua m̟®t k̟h̟u vn̟c c0n̟ R m̟®t điem̟ cân̟ ban̟g cua th các̟ kk̟̟ hh̟̟ ác u vnCó đieu ày̟ gxay ch k̟h̟ ̟ an i ̟m à̟ đưòn f = k0̟ h̟và g̟ c=III ̟ óm ̟ c c0n ̟ n̟này, ̟ g c0n ̟ g̟ cua có̟ u®c m̟®tvà0 k̟h̟un̟hvn th̟e, ch̟ac ,̟ m ®t vài điem u ̟ c̟ c0n ̟ h̟ưn ̟ g k̟hn̟ ̟ ôn k̟h̟ôn̟g đ0an̟ trùn̟g n̟h̟au Tr0n̟g trưòn̟g h̟0p n̟ày, đưòn̟g c0n̟g tích̟ ph̟ân̟ xuat ph̟át tù k̟h̟u vn̟c I II đen̟ đ0an̟ trùn̟g n̟h̟au n̟ày th̟ì dùn̟g lai M̟®t ví dn̟ m̟in̟h̟ HQ̟ A đơn̟ gian̟ có th̟e ch̟0 ta biet rat n̟h̟ieu th̟ơn̟g tin̟ ve dán̟g đi¾u giói h̟an̟ cua đưịn̟g c0n̟g tích̟ ph̟ân̟ Ví dn̟ n̟h̟ư n̟h̟un̟g đưịn̟g c0n̟g tr0n̟g h̟ìn̟h̟ đư0c sa0 ch̟ép tr0n̟g h̟ìn̟h̟ 2, dau cua h̟àm̟ f g đư0c bieu dien̟ b0i véc tơ đơn̟ v% s0n̟g s0n̟g vói trn̟c Tr0n̟g k̟h̟u vn̟c I, ch̟ún̟g ta có f > g > d0 đó, vói th̟ịi gian̟ n̟gày càn̟g tăn̟g, đưịn̟g c0n̟g tích̟ ph̟ân̟ tr0n̟g k̟h̟u vn̟c n̟ày đư0c giói h̟an̟ tr0n̟g góc ph̟an̟ tư xác đ%n̟ h̟ b0i véc tơ đơn̟ v% n̟h̟ư th̟e h̟i¾n̟ tr0n̟g h̟ìn̟h̟ Đe m̟in̟h̟ H̟QA cn̟ th̟e, ta h̟ãy xét k̟h̟u vn̟c c0n̟ đư0c giói h̟an̟ b0i điem̟ Q R; rõ ràn̟g tù véc tơ ta th̟ay, Q m̟®t điem̟ cân̟ ban̟g k̟h̟ơn̟g 0n̟ đ%n̟ h̟ R m̟®t điem̟ cân̟ ban̟g 0n̟ đ %n̟ h̟ Ch̟ú ý ran̟g, đưòn̟g c0n̟g tích̟ ph̟ân̟ bat k̟ỳ qua k̟h̟u vn̟c h̟ìn̟h̟ ch̟u n̟h̟ ¾t xq1 Q∞ cu0i cùn̟g ph̟ai k̟et th̟úc tai điem̟ R Các đưịn̟g c0n̟g tích̟ ph̟ân̟ qua k̟h̟u vn̟c h̟ìn̟h̟ ch̟u n̟h̟¾t yq2 Q∞ k̟h̟ơn̟g ba0 giị đen̟ đư0c R, n̟h̟ưn̟g đen̟ D Dán̟g đi¾u cua đưịn̟g c0n̟g tích̟ ph̟ân̟ tr0n̟g k̟h̟u vn̟c cịn̟ lai cua góc ph̟an̟ tư th̟ú n̟h̟at ph̟ai đư0c xác đ%n̟ h̟ ban̟g cách̟ ph̟ân̟ tích̟ ch̟i tiet