Luận văn thạc sĩ động học của phương trình komogorov chịu nhiễu markov lvts vnu

Ph̟ươn̟g trìn̟h̟ K̟0lm̟0g0r0v tat đ%n̟h̟

0n̟ đ%n̟h̟ Gia su x(t), y(t) là s0 lư0n̟g cá th̟e cua m̟ői l0ài tai th̟òi điem̟ t và f (tươn̟g ỳn̟g g) Xột m̟đt h̟ắ sin̟h̟ th̟ỏi đơn̟ gian̟ g0m̟ cú h̟ai l0ài s0n̟g tr0n̟g cựn̟g m̟đt m̟ụi trưũn̟g tươn̟g đ0i là tý lắ tăn̟g trư0n̟g cua l0ài th̟ỳ n̟h̟at (tươn̟g ỳn̟g l0ài th̟ỳ 2); tr0n̟g đú f , g là h̟ai h̟àm̟ cua h̟ai bien̟ x và y.

N̟h̟ư th̟e, ch̟ỳn̟g ta cú th̟e m̟ụ ta sn̟ ph̟ỏt trien̟ cua h̟ắ b0i cỏc ph̟ươn̟g trỡn̟h̟: dx dy dt = x f (x, y) , dt = yg (x, y) (1.1)

Gia th̟iet tr0n̟g cỏc ph̟ươn̟g trỡn̟h̟ (1.1) là tý lắ tăn̟g h̟0ắc giam̟ cua s0 lư0n̟g cỏc cỏ th̟e tr0n̟g quan̟ th̟e k̟h̟ôn̟g ph̟n̟ th̟u®c và0 th̟òi gian̟ và ran̟g s0 lư0n̟g các quan̟ th̟e đu lón̟ đe ta xem̟ x và y là các s0 th̟n̟c k̟h̟ôn̟g âm̟ và k̟h̟ôn̟g ch̟%u sn̟ tác đ®n̟g n̟gau n̟h̟iên̟.

Tr0n̟g t0àn̟ bđ Luắn̟ văn̟ n̟ày, ch̟ỳn̟g tụi luụn̟ đưa ra gia th̟iet là f , g cựn̟g vúi đa0 h̟àm̟ bắc n̟h̟at cua ch̟ỳn̟g xỏc đ%n̟h̟ và liờn̟ tn̟c vúi M̟QI giỏ tr% k̟h̟ụn̟g õm̟ cua x và y và ph̟ươn̟g trỡn̟h̟ (1.1) luụn̟ t0n̟ tai n̟gh̟iắm̟ xỏc đ%n̟h̟ trờn̟ [0, ∞) (d0 đú là duy n̟h̟at) N̟h̟ũ tớn̟h̟ duy n̟h̟at n̟gh̟iắm̟ cua h̟ắ, de dàn̟g th̟ay ran̟g gúc ph̟an̟ tư th̟ỳ n̟h̟at R 2 = {(u, v) : u “ 0, v “ 0} cua m̟ắt ph̟an̟g R 2 là bat bien̟ Tỳc là n̟eu x(0) “ 0, y(0) “ 0 th̟ỡ x(t) “ 0, y(t) “ 0 vúi M ̟QI t > 0 Tươn̟g tn̟ n̟h̟ư vắy ph̟an̟ tr0n̟g in̟t R 2 = {(u, v) : u > 0, v > 0} cũn̟g se bat bien̟.

Tựy th̟e0 tựn̟g bài t0ỏn̟ cn̟ th̟e ch̟ỳn̟g ta se đưa ra cỏc đieu k̟iắn̟ b0 sun̟g cn̟ th̟e ch̟0 h̟ai h̟àm̟ f và g.

M̟0i quan̟ h̟ắ giua cỏc l0ài cú th̟e cú ch̟ia làm̟ ba l0ai ch̟ớn̟h̟: a) L0ài th̟ỳ n̟h̟at gắp k̟h̟ú k̟h̟ăn̟, l0ài th̟ỳ h̟ai gắp th̟uắn̟ l0i, d0 cú sn̟ h̟iắn̟ diắn̟ cua m̟đt yeu t0 n̟à0 đú k̟h̟ỏc (quan̟ h̟ắ l0ài săn̟ m̟0i vúi c0n̟ m̟0i),

6 b) Ca h̟ai l0ài đeu gắp k̟h̟ú k̟h̟ăn̟ b0i sn̟ h̟iắn̟ diắn̟ cua m̟đt l0ài cũn̟ lai (m̟ụ h̟ỡn̟h̟ can̟h̟ tran̟h̟), c) Ca h̟ai l0ài đeu gắp th̟uắn̟ l0i b0i sn̟ h̟iắn̟ diắn̟ cua m̟đt l0ài k̟h̟ỏc (m̟ụ h̟ỡn̟h̟ cđn̟g sin̟h̟) Tr0n̟g t0àn̟ bđ Luắn̟ văn̟ n̟ày ch̟ỳn̟g ta ch̟i xột cỏc m̟ụ h̟ỡn̟h̟ can̟h̟ tran̟h̟ Đú là trưũn̟g h̟0p m̟à ca h̟ai l0ài s0n̟g tr0n̟g m̟®t vùn̟g lãn̟h̟ th̟0 và can̟h̟ tran̟h̟ n̟h̟au ve n̟gu0n̟ th̟úc ăn̟ h̟ay m̟ụi trưũn̟g M̟ụ h̟ỡn̟h̟ t0ỏn̟ H̟QC đau tiờn̟ n̟gh̟iờn̟ cỳu h̟iắn̟ tư0n̟g n̟ày đư0c đưa ra b0i V0lterra (1927) và đó đưa ra n̟h̟ieu k̟et luắn̟ b0 ớch̟ ve sn̟ ph̟ỏt trien̟ cua tựn̟g l0ài Ő đõy ch̟ún̟g tôi xét m̟ô h̟ìn̟h̟ can̟h̟ tran̟h̟ t0n̟g quỏt h̟ơn̟ (1.1) và c0 gan̟g đat đư0c k̟et luắn̟ tươn̟g tn̟. Đe m̟ô ta m̟ô h̟ìn̟h̟ có tín̟h̟ ch̟at can̟h̟ tran̟h̟, ch̟ún̟g ta đưa ra các gia th̟iet sau ve các h̟àm̟ f và g : a) Sn̟ gia tăn̟g cua m̟®t tr0n̟g h̟ai quan̟ th̟e ta0 ra m̟®t sn̟ sn̟t giam̟ ve t0c đ® tăn̟g trư0n̟g cua ca h̟ai quan̟ th̟e; d0 đó ta có

∂x ∂y + b) N̟eu ca h̟ai quan̟ th̟e đeu rat n̟h̟0, ca h̟ai tăn̟g trư0n̟g, th̟ì f (0, 0) > 0 và g (0, 0) > 0 n̟h̟at đ%n̟h̟, d0 đó, t0n̟ tai A và C sa0 ch̟0 f (c) M̟ői quan̟ th̟e, n̟gay ca k̟h̟i rat n̟h̟0, cũn̟g k̟h̟ôn̟g th̟e tăn̟g th̟êm̟ n̟eu đat đen̟ m̟®tk̟ích̟ cõ 0, A) = g (C, 0) = 0. tr0n̟g đó rat n̟h̟0, d0 đó t0n̟ tai B và D sa0 ch̟0 f (B, 0d) M̟ői quan̟ th̟e k̟h̟ôn̟g th̟e làm̟ tăn̟g k̟ích̟ th̟ưóc n̟h̟at đ%n̟h̟ n̟gay ca k̟h̟i s0 lư0n̟g cáth̟e ) = g (0, D) = 0. N̟ói ch̟un̟g, h̟ai đưòn̟g c0n̟g f = 0 và g = 0 có th̟e có bat k̟ỳ s0 lư0n̟g điem̟ ch̟un̟g. K̟h̟i đú, gúc ph̟an̟ tư th̟ỳ n̟h̟at cua h̟ắ TQA đđ (x, y) se đư0c ch̟ia th̟àn̟h̟ 3 k̟h̟u vn̟c: k̟h̟u vn̟c

I có f > 0, g > 0; k̟h̟u vn̟c II có f < 0, g < 0 và k̟h̟u vn̟c III có f g < 0 N̟h̟un̟g k̟h̟u vn̟c đó đư0c bieu dien̟ b0i bieu đ0 tr0n̟g h̟ìn̟h̟ 1

Tat ca các đưòn̟g c0n̟g tích̟ ph̟ân̟ xuat ph̟át tù k̟h̟u vn̟c I và II cu0i cùn̟g đi và0 k̟h̟u vn̟c III K̟h̟u vn̟c III đư0c h̟ìn̟h̟ th̟àn̟h̟ b0i các đưòn̟g c0n̟g f = 0 , g = 0, b0i các điem̟ bên̟ tr0n̟g b% ch̟ắn̟ b0i h̟ai đưũn̟g c0n̟g đú và đ0an̟ AD và BC Tựy th̟uđc và0 đ0 th̟% cua cỏc h̟àm̟ f và g, các điem̟ tr0n̟g k̟h̟u vn̟c n̟ày ít h̟ơn̟ các điem̟ trên̟ biên̟ K̟h̟u vn̟c III n̟ày có th̟e đư0c ch̟ia th̟àn̟h̟ m̟đt h̟0ắc n̟h̟ieu tắp c0n̟, m̟ői tắp n̟ày cđn̟g vúi n̟h̟un̟g điem̟ biờn̟ ta0 th̟àn̟h̟ m̟đt k̟h̟u vn̟c n̟ú x = m̟axim̟um̟, y = m̟in̟im̟um̟, h̟0ắc tươn̟g ỳn̟g x = m̟in̟im̟um̟, y = m̟axim̟um̟, tựy th̟uđc và0 c0n̟; tat ca các đưòn̟g c0n̟g tích̟ ph̟ân̟ tr0n̟g k̟h̟u vn̟c c0n̟ k̟et th̟úc tai m̟®t điem̟ cân̟ ban̟g cua

H̟ìn̟h̟ 1 viắc n̟h̟un̟g điem̟ tr0n̟g cua k̟h̟u vn̟c c0n̟ là f > 0, g < 0 h̟0ắc f < 0, g > 0 Vớ dn̟, tr0n̟g trưòn̟g h̟0p cua h̟ìn̟h̟ 1, D là m̟®t điem̟ cân̟ ban̟g cua m̟®t k̟h̟u vn̟c c0n̟ và R là m̟®t điem̟ cân̟ ban̟g cua th̟u®c và0 n̟h̟óm̟ các k̟h̟u vn̟c c0n̟ n̟ày, đieu n̟ày xay ra k̟h̟i m̟à đưòn̟g c0n̟g f = 0 và g = 0 có m̟®t k̟h̟u vn̟c c0n̟ k̟h̟ác Có th̟e, n̟h̟ưn̟g k̟h̟ôn̟g ch̟ac ch̟an̟, m̟®t vài điem̟ cua k̟h̟u vn̟c III k̟h̟ôn̟g đ0an̟ trùn̟g n̟h̟au Tr0n̟g trưòn̟g h̟0p n̟ày, đưòn̟g c0n̟g tích̟ ph̟ân̟ xuat ph̟át tù k̟h̟u vn̟c

I và II đen̟ đ0an̟ trùn̟g n̟h̟au n̟ày th̟ì dùn̟g lai.

M̟đt vớ dn̟ m̟in̟h̟ H̟QA đơn̟ gian̟ cú th̟e ch̟0 ta biet rat n̟h̟ieu th̟ụn̟g tin̟ ve dỏn̟g điắu giúi h̟an̟ cua đưòn̟g c0n̟g tích̟ ph̟ân̟ Ví dn̟ n̟h̟ư n̟h̟un̟g đưòn̟g c0n̟g tr0n̟g h̟ìn̟h̟ 1 đư0c sa0 ch̟ép tr0n̟g h̟ìn̟h̟ 2, 0 đây dau cua các h̟àm̟ f và g đư0c bieu dien̟ b0i 2 véc tơ đơn̟ v% s0n̟g s0n̟g vói các trn̟c Tr0n̟g k̟h̟u vn̟c I, ch̟ún̟g ta có f > 0 và g > 0 và d0 đó, vói th̟òi gian̟ n̟gày càn̟g tăn̟g, các đưòn̟g c0n̟g tích̟ ph̟ân̟ tr0n̟g k̟h̟u vn̟c n̟ày đư0c giói h̟an̟ tr0n̟g góc ph̟an̟ tư xác đ%n̟h̟ b0i 2 vộc tơ đơn̟ v% n̟h̟ư th̟e h̟iắn̟ tr0n̟g h̟ỡn̟h̟ 2. Đe m̟in̟h̟ H̟QA cn̟ th̟e, ta h̟ãy xét k̟h̟u vn̟c c0n̟ đư0c giói h̟an̟ b0i điem̟ Q và R; rõ ràn̟g tù các véc tơ ta th̟ay, Q là m̟®t điem̟ cân̟ ban̟g k̟h̟ôn̟g 0n̟ đ%n̟h̟ và R là m̟®t điem̟ cân̟ ban̟g 0n̟ đ

%n̟h̟ Ch̟ỳ ý ran̟g, đưũn̟g c0n̟g tớch̟ ph̟õn̟ bat k̟ỳ đi qua k̟h̟u vn̟c h̟ỡn̟h̟ ch̟u n̟h̟ắt xq 1 Q ∞ và cu0i cựn̟g ph̟ai k̟et th̟ỳc tai điem̟ R Cỏc đưũn̟g c0n̟g tớch̟ ph̟õn̟ đi qua k̟h̟u vn̟c h̟ỡn̟h̟ ch̟u n̟h̟ắt yq 2 Q ∞ k̟h̟ụn̟g ba0 giũ đen̟ đư0c R, n̟h̟ưn̟g đen̟ D Dỏn̟g điắu cua cỏc đưũn̟g c0n̟g tớch̟ ph̟õn̟ tr0n̟g các k̟h̟u vn̟c còn̟ lai cua góc ph̟an̟ tư th̟ú n̟h̟at ph̟ai đư0c xác đ%n̟h̟ ban̟g cách̟ ph̟ân̟ tích̟ ch̟i tiet.

K̟et luắn̟, k̟h̟i cỏc đưũn̟g c0n̟g f = 0 và g = 0 k̟h̟ụn̟g gia0 n̟h̟au, m̟đt l0ài se t0n̟ tai, cn̟ th̟e

H̟ìn̟h̟ 2 f = 0 và g = 0 cat n̟h̟au tai m̟®t điem̟, k̟h̟i đó n̟eu B > C th̟ì ch̟i có m̟®t tr0n̟g h̟ai l0ài s0n̟g là, l0ài th̟ỳ n̟h̟at t0n̟ tai n̟eu B > C h̟0ắc l0ài th̟ỳ h̟ai t0n̟ tai n̟eu B < C K̟h̟i cỏc đưũn̟g c0n̟g các đưòn̟g c0n̟g f = 0 và g = 0 cat n̟h̟au tai n̟h̟ieu điem̟, có th̟e ca h̟ai l0ài đeu có k̟h̟a n̟ăn̟g sút, tựy th̟uđc và0 cỏc đieu k̟iắn̟ ban̟ đau; cũn̟ n̟eu B < C th̟ỡ ca h̟ai l0ài cựn̟g s0n̟g sút K̟h̟i c0n̟g f = 0 cú cựn̟g h̟0ắc lún̟ h̟ơn̟ ve đđ d0c (tr0n̟g giỏ tr% tuyắt đ0i) s0 vúi cỏc gia0 điem̟ giua s0n̟g sút ca0 tựy th̟uđc và0 cỏc đieu k̟iắn̟ ban̟ đau N̟h̟ỡn̟ ch̟un̟g, cỏc gia0 điem̟ giua các đưòn̟g các đưòn̟g c0n̟g g = 0, n̟h̟un̟g điem̟ đó cùn̟g n̟h̟au t0n̟ tai.

K̟h̟a n̟ăn̟g s0n̟g sót cua ca h̟ai l0ài có m̟âu th̟uan̟ vói n̟guyên̟ tac can̟h̟ tran̟h̟ l0ai trù cua V0lterra h̟ay k̟h̟ụn̟g? Tr0n̟g ý n̟gh̟ĩa t0ỏn̟ H̟QC, n̟eu h̟ai l0ài tươn̟g tỏc th̟e0 cỏc đieu k̟iắn̟ cua V0lterra, k̟h̟i đó ch̟i có m̟®t l0ài s0n̟g sót Tuy n̟h̟iên̟, m̟ô h̟ìn̟h̟ V0lterra là đơn̟ gian̟ n̟h̟at, và k̟h̟i xem̟ xét m̟®t h̟ìn̟h̟ th̟úc ch̟un̟g cua các ph̟ươn̟g trìn̟h̟ tăn̟g trư0n̟g dân̟ s0 th̟ì ta th̟ay có m̟®t l0at các ph̟ươn̟g th̟úc ch̟0 sn̟ ph̟át trien̟ cua h̟ai l0ài can̟h̟ tran̟h̟ Th̟n̟c te, k̟h̟ôn̟g k̟h̟ó k̟h̟ăn̟ đe tìm̟ đư0c m̟®t m̟ô h̟ìn̟h̟ ch̟i h̟ơi ph̟úc tap h̟ơn̟ V0lterra m̟à ch̟0 ph̟ép ca h̟ai l0ài t0n̟ tai Đó là m̟ô h̟ìn̟h̟ K̟0lm̟0g0r0v.

 x˙(t) = f (x, y) , y˙(t) = g (x, y) , tr0n̟g đú f , g : R 2 → R 2 cú m̟đt tran̟g th̟ỏi cõn̟ ban̟g (x ∗ , y ∗ ) trỏ th̟àn̟h̟ őn̟ đ%n̟h̟ tiắm̟ cắn̟ t0àn̟ cn̟c, cú n̟gh̟ĩa là, (x ∗ , y ∗ ) őn̟ đ%n̟h̟ và vỏi trờn̟ [0, ∞) M ̟ QI n̟gh̟iắm̟ duy n̟h̟at (x (t) , y (t)) xỏc đ%n̟h̟

T0án̟ tu sin̟h̟ cua quá trìn̟h̟ M̟ark̟0v th̟òi gian̟ liên̟ tn̟c

Quá trìn̟h̟ M̟ark̟0v

M̟n̟c đích̟ cua ph̟an̟ n̟ày là trìn̟h̟ bày van̟ tat ve quá trìn̟h̟ M̟ark̟0v.

Gia su (Ω, F, (F t ) t“0 , P) là m̟®t k̟h̟ôn̟g gian̟ xác suat vói LQC th̟0a m̟ãn̟ các đieu k̟iắn̟ th̟ụn̟g th̟ưũn̟g, tỳc là (F t ) t“0 là dũn̟g tăn̟g cỏc σ− đai s0 c0n̟ cua F và F là đay đu th̟e0 P. trên̟ (Ω, F, P), lay giá tr% tr0n̟g R d vói d “ 1 Ch̟i s0 t đư0c GQI là th̟òi gian̟ N̟h̟ư th̟e m̟®t quỏ M̟đt quỏ trỡn̟h̟ n̟gau n̟h̟iờn̟ d− ch̟ieu {X t , t “ 0} là m̟đt tắp h̟0p cỏc bien̟ n̟gau n̟h̟iờn̟, xác đ%n̟h̟ trìn̟h̟ n̟gau n̟h̟iên̟ có th̟e xem̟ là m̟®t án̟h̟ xa

X : Ω × [0, ∞) → R d sa0 ch̟0 vói m̟ői t ta có X t là F - đ0 đư0c.

Vói m̟ői ω ∈ Ω, án̟h̟ xa t → X t (ω) đư0c GQI là quy đa0 m̟au cua quá trìn̟h̟ n̟gau n̟h̟iên̟ X t

N̟eu vói xác suat 1, các quy đa0 m̟au cua (X t ) là các h̟àm̟ liên̟ tn̟c th̟ì ta GQI n̟ó là quá trìn̟h̟ n̟gau n̟h̟iên̟ liên̟ tn̟c.

N̟eu vói xác suat 1, các quy đa0 là n̟h̟un̟g h̟àm̟ h̟an̟g tùn̟g k̟h̟úc th̟ì ta GQI (X t ) là quá trìn̟h̟ bưóc n̟h̟ay.

N̟eu vói m̟ői t, bien̟ n̟gau n̟h̟iên̟ X t là F t - đ0 đư0c th̟ì quá trìn̟h̟ (X t ) đư0c GQI là F t − ph̟ù h̟0p.

Quá trìn̟h̟ n̟gau n̟h̟iên̟ (X t ) đư0c GQI là có tín̟h̟ m̟ark̟0v (GQI tat là quá trìn̟h̟ M̟ark̟0v) n̟eu n̟ú th̟0a m̟ón̟ đieu k̟iắn̟ sau

P(X t ∈ B|F s ) = P(X t ∈ B|X s ) , ∀0 ™ s < t, ∀ B ∈ B d (1.3) Tín̟h̟ M̟ark̟0v (1.3) có th̟e đư0c ph̟át bieu m̟®t cách̟ h̟ìn̟h̟ th̟úc n̟h̟ư sau:

N̟eu tran̟g th̟ỏi cua quỏ trỡn̟h̟ tai m̟đt th̟ài điem̟ cn̟ th̟e s (h̟iắn̟ tai) đó biet, th̟ỡ th̟ụn̟g tin̟ bő sun̟g ve dỏn̟g điắu cua quỏ trỡn̟h̟ tai th̟ài điem̟ r < s (quỏ k̟h̟ỳ) k̟h̟ụn̟g ỏn̟h̟ h̟ưỏn̟g đen̟ xác suat cua quá trìn̟h̟ tai th̟ài điem̟ t > s (tr0n̟g tươn̟g lai). Đắt

P(s, x, t, B) = P(X t ∈ B|X s = x) , ∀0 ™ s < t, ∀ B ∈ B d và GQI n̟ó là h̟àm̟ xác suat ch̟uyen̟ cua quá trìn̟h̟ m̟ark̟0v X t

Quỏ trỡn̟h̟ M̟ark̟0v (X t ) đư0c GQI là th̟uan̟ n̟h̟at n̟eu P(s, x, t, B) ch̟i ph̟n̟ th̟uđc và0 h̟iắu s0 th̟òi gian̟ t −s, có n̟gh̟ĩa là

Ch̟0 (X t ) là m̟®t quá trìn̟h̟ M̟ark̟0v th̟uan̟ n̟h̟at vói ph̟ân̟ b0 ban̟ đau ν 0 K̟h̟i đó, ph̟ân̟ ph̟0i xác suat cua bien̟ n̟gau n̟h̟iên̟ X t tai th̟òi điem̟ t đư0c ch̟0 b0i

R d P (t, x, B) ν 0(dx), (1.4) vúi M̟QI tắp c0n̟ B ∈ B d Tr0n̟g đú,

H̟àm̟ P : [0; ∞) × R d × B d → [0; 1] có tín̟h̟ ch̟at sau:

(ii) B ›→ P (s, x, B) là m̟®t đ® đ0 xác suat vói s ∈ [0, ∞) c0 đ%n̟h̟ và x ∈ R d c0 đ%n̟h̟.

(iv) Th̟0a m̟ãn̟ ph̟ươn̟g trìn̟h̟ Ch̟apm̟an̟- K̟0m̟0g0r0v

Ta n̟úi ran̟g quỏ trỡn̟h̟ M̟ark̟0v (X t ) cú ph̟õn̟ ph̟0i dựn̟g à, n̟eu

Tự (1.4) ta th̟ay n̟eu quỏ trỡn̟h̟ m̟ark̟0v (X t ) cú ph̟õn̟ ph̟0i dựn̟g à và X 0 cũn̟g cú ph̟õn̟ ph̟0i à th̟ỡ X t cú ph̟õn̟ ph̟0i xỏc suat à vúi M̟QI t H̟ơn̟ n̟ua, tr0n̟g trưũn̟g h̟0p n̟ày quỏ trỡn̟h̟ (X t ) se làquỏ trỡn̟h̟ dựn̟g, tỳc là vúi M̟QI 0 ™ t 1 < t 2 < ã ã ã < t n̟ và h̟ > 0 ta cú bien̟ n̟gau n̟h̟iờn̟ n̟ ch̟ieu

(X t 1 +h̟ , X t 2 +h̟ , , X tn̟ +h̟ ) có cùn̟g ph̟ân̟ ph̟0i vói bien̟ n̟gau n̟h̟iên̟ (X t 1 , X t 2 , , X tn̟ ).

1.2.2 T0án̟ tE sin̟h̟ cua n̟Ea n̟h̟óm̟ các t0án̟ tE M̟ark̟0v

M̟ői m̟®t quá trìn̟h̟ M̟ark̟0v th̟uan̟ n̟h̟at có th̟e gán̟ m̟®t n̟ua n̟h̟óm̟ các t0án̟ tu M̟ark̟0v

R d u (y) P (t, x, dy) , (1.7) vói u : R d → R là các h̟àm̟ đ0 đư0c giói n̟®i và E x [u (X t )] là k̟ỳ vQN̟G cua có đieu k̟iắn̟ trờn̟ X 0 = x Th̟e0 đ%n̟h̟ n̟gh̟ĩa t0ỏn̟ tu T 0 là t0ỏn̟ tu đ0n̟g n̟h̟at Tự ph̟ươn̟g trỡn̟h̟ Ch̟apm̟an̟-

K̟0m̟0g0r0v ta th̟ay H̟Q {T t , t “ 0} và có tín̟h̟ ch̟at n̟ua n̟h̟óm̟, túc là,

Ta đ%n̟h̟ n̟gh̟ĩa t0án̟ tu sin̟h̟ L cua quá trìn̟h̟ M̟ark̟0v th̟uan̟ n̟h̟at X t b0i đa0 h̟àm̟ cua t0án̟ tu {T t , t “ 0} tai điem̟ t

M̟ien̟ xỏc đ%n̟h̟ D L cua t0ỏn̟ tu L là m̟đt tắp c0n̟ cua k̟h̟ụn̟g gian̟ cỏc h̟àm̟ vụ h̟ưún̟g đ0 đư0c b% ch̟ắn̟ xỏc đ%n̟h̟ trờn̟ R d đe ch̟0 giúi h̟an̟ tr0n̟g (1.8) t0n̟ tai.

1.2.3 T0án̟ tE sin̟h̟ cua xích̟ M̟ark̟0v véi th̟èi gian̟ liên̟ tn̟c tắp k̟h̟ụn̟g quỏ đem̟ đư0c J K̟h̟i đú th̟ay h̟àm̟ xỏc suat ch̟uyen̟ P(t, x, B) vúi x ∈ R d , B

∈ B d Gia su {ξ t , t “ 0} là m̟đt xớch̟ M̟ark̟0v th̟ũi gian̟ liờn̟ tn̟c, tỳc n̟ú ch̟i n̟h̟ắn̟ giỏ tr% tr0n̟g m̟®t ta ch̟i can̟ biet h̟àm̟ pi, j(t) = P(t, i, { j}), i, j ∈ J vì k̟h̟i đó P(t, i, B) = ∑ j∈B pi, j(t), i ∈ J H̟ơn̟ n̟ua, tr0n̟g trưòn̟g h̟0p n̟ày

Ph̟õn̟ ph̟0i xỏc suat à(ã) là ph̟õn̟ ph̟0i dựn̟g n̟eu n̟ú th̟0a m̟ón̟ ph̟ươn̟g trỡn̟h̟ à( j) = ∑ p i, j (t)à(i), j ∈ J. i∈J

Tr0n̟g trưòn̟g h̟0p n̟ày, đe xác đ%n̟h̟ t0án̟ tu sin̟h̟ L ta ch̟i can̟ biet đai lư0n̟g a i = lim̟ p i, j ( t ) − δ i , j

, j t↓ t tr0n̟g đú δ i, j là k̟ý h̟iắu K̟r0n̟eck̟er.

N̟eu k̟ý h̟iắu P(t) là m̟a trắn̟ xỏc suat ch̟uyen̟, P(t) = (p i, j (t)), k̟h̟i đú

P (t + u) = P (u) P (t) = P (t) P (u) Đắt A = (a i, j ) ta có dP dt = AP.

N̟eu tắp J là h̟uu h̟an̟ th̟ỡ cỏc giúi h̟an̟ tr0n̟g (1.9) luụn̟ t0n̟ tai H̟ơn̟ n̟ua, d0

∑ p i j (t) = 1 vói M ̟ QI i ∈ J, j∈J n̟ên̟ ta có

Tr0n̟g trưòn̟g h̟0p n̟ày, t0án̟ tu sin̟h̟ cua xích̟ M̟ark̟0v (ξ t ) ch̟0 b0i

T0ỏn̟ tu L xỏc đ%n̟h̟ trờn̟ tat ca cỏc h̟àm̟ xỏc đ%n̟h̟ trờn̟ J, n̟h̟ắn̟ giỏ tr% trờn̟ R. ph̟0i dựn̟g là φ = {φ (i) : i ∈ J th̟ỡ n̟ú là n̟gh̟iắm̟ cua ph̟ươn̟g trỡn̟h̟ đai s0 Ph̟õn̟ ph̟0i dựn̟g đ0i vúi xớch̟ M̟ark̟0v h̟uu h̟an̟ tran̟g th̟ỏi luụn̟ t0n̟ tai N̟eu k̟ý h̟iắu ph̟õn̟

1.2.4 Quỏ trỡn̟h̟ M̟ark̟0v n̟h̟ư là n̟gh̟iắm̟ cua ph̟ươn̟g trỡn̟h̟ vi ph̟õn̟

Xét ph̟ươn̟g trìn̟h̟ dX t

= f (X t , ξ t ) (1.10) dt th̟ỏi (a i j ) và f (x, i) là h̟àm̟ th̟0a m̟ón̟ đieu k̟iắn̟ Lipch̟itz th̟e0 x, đeu th̟e0 i ∈ J K̟h̟i đú n̟gưũi Tr0n̟g đú ξ t là quỏ trỡn̟h̟ M̟ark̟0v lay giỏ tr% tr0n̟g tắp đem̟ đư0c J vúi m̟a trắn̟ ch̟uyen̟ tran̟g ta đã ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ran̟g quá trìn̟h̟ (X t , ξ t ) là m̟®t quá trìn̟h̟ M̟ark̟0v vói t0án̟ tu sin̟h̟ du

L u(x, i) = f (x, i) dx +a i j u(x, j), xác đ%n̟h̟ trên̟ lóp h̟àm̟ u(x, i), k̟h̟a vi liên̟ tn̟c th̟e0 x j∈J

Ph̟õn̟ ph̟0i dựn̟g cua quỏ trỡn̟h̟ (X t , ξ t ) n̟eu t0n̟ tai và cú h̟àm̟ m̟ắt đđ φ (x, i) k̟h̟a vi th̟ỡ n̟ó se th̟0a m̟ãn̟ ph̟ươn̟g trìn̟h̟ F0ck̟er-Plan̟ck̟

1.2.5 Quá trìn̟h̟ M̟ark̟0v h̟ai tran̟g th̟ái

Ch̟0 (Ω, F, P) là m̟đt k̟h̟ụn̟g gian̟ xỏc suat th̟0a m̟ón̟ cỏc đieu k̟iắn̟ th̟ụn̟g th̟ưũn̟g và (ξ t ) t“ 0 là m̟đt quỏ trỡn̟h̟ M̟ak̟0v, xỏc đ%n̟h̟ trờn̟ (Ω, F, P), lay giỏ tr% tr0n̟g tắp h̟0p g0m̟ 2 ph̟an̟ tu, k̟ớ α β h̟iắu E = {+; −} Gia su ran̟g (ξ t ) cú cưũn̟g đđ xỏc suat ch̟uyen̟ tự + → − và − → + vúi α > 0, β > 0 Quá trìn̟h̟ (ξ t ) có ph̟ân̟ ph̟0i dùn̟g: p = lim̟ P ξ = + t→∞

Quy đa0 cua (ξ t ) là n̟h̟un̟g h̟àm̟ h̟an̟g tùn̟g k̟h̟úc và liên̟ tn̟c ph̟ai Gia su

0 = τ 0 < τ 1 < τ 2 < < τ n̟ < là các bưóc n̟h̟ay cua quá trìn̟h̟ ξ t Đắt σ 1= τ 1 −τ 0; σ 2= τ 2 −τ 1; ; σ n̟ = τ n̟ −τ n̟−1; σ 1 = τ 1 là lan̟ đau tiên̟ (ξ t ) đi ra tù tran̟g th̟ái ban̟ đau, σ 2 là th̟òi gian̟ tiep th̟e0 m̟à quá trìn̟h̟ (ξ t ) di ch̟uyen̟ tự tran̟g th̟ỏi đau tiờn̟ N̟gưũi ta ch̟ỳn̟g m̟in̟h̟ đư0c (σ k̟ ) ∞ là dóy đđc lắp vúi đieu k̟iắn̟ biet đư0c ch̟uői (ξ τ ) ∞ Ch̟ỳ ý ran̟g n̟eu ta biet đư0c ξ 0 th̟ỡ se biet đư0c ξ τ n̟ vỡ quỏ k̟ k̟=1 trỡn̟h̟ (ξ t ) ch̟i lay 2 giỏ tr% D0 đú, (ξ k̟ ) ∞ là m̟đt dóy cỏc bien̟ n̟gau n̟h̟iờn̟ đđc lắp cú đieu k̟iắn̟, lay giỏ tr% tr0n̟g [0, ∞) H̟ơn̟ th̟e n̟ua, n̟eu ξ 0 = + th̟ỡ σ 2n̟+ 1 cú ph̟õn̟ ph̟0i m̟ũ vúi m̟ắt đđ α1[0,∞) e −αt và σ 2n̟ cú ph̟õn̟ ph̟0i m̟ũ vúi m̟ắt đđ β 1[0,∞) e −βt N̟gư0c lai, n̟eu ξ 0 = − th̟ỡ σ 2n̟ cú ph̟õn̟ ph̟0i m̟ũ vúi m̟ắt đđ α1[0,∞) e −αt và σ 2n̟+1 cú ph̟õn̟ ph̟0i m̟ũ vúi m̟ắt đđ β 1[0,∞) e −βt

Tớn̟h̟ ch̟at tiắm̟ cắn̟ cua h̟ắ ph̟ươn̟g trìn̟h̟ can̟h̟ tran̟h̟ K̟0lm̟0g0r0v ch̟%u n̟h̟ieu điắn̟ bỏ0

Ch̟0 (ξ t ) là quỏ trỡn̟h̟ M̟ark̟0v 2 tran̟g th̟ỏi n̟h̟ắn̟ giỏ tr% tr0n̟g tắp E = {+, −} Xột ph̟ươn̟g trìn̟h̟ K̟0lm̟0g0r0v:

Tr0n̟g đó, a (±, x, y) , b (±, x, y) xác đ%n̟h̟ trên̟ E × R 2 , lay giá tr% tr0n̟g R là k̟h̟a vi liên̟ tn̟c tr0n̟g (x, y) ∈ R 2 , R 2 = {(x, y) : x “ 0, y “ 0}.

Dưúi tỏc đđn̟g cua tien̟g 0n̟ (ξ t ), h̟ắ ph̟ươn̟g trỡn̟h̟ (2.1) ch̟uyen̟ đ0i qua lai giua h̟ai h̟ắ

Ta cũn̟g gia th̟iet ran̟g tr0n̟g ca 2 h̟ắ (2.2) và (2.3), cỏc h̟ắ s0 a (±, x, y) , b (±, x, y) th̟0a m̟ón̟ các gia th̟iet sau:

Chương 2 Tớnh chat tiắm cắn cua hắ phương trỡnh canh tranh Kolmogorov ch%u nhieu điắn bỏo.

Gia su h̟ắ (2.2) cú m̟đt n̟gh̟iắm̟ duy n̟h̟at (x + (t, x 0 , y 0 ) , y + (t, x 0 , y 0 )), k̟ớ h̟iắu là (x + (t) , y + (t)) (tươn̟g tn̟ vúi (2.3) cú n̟gh̟iắm̟ duy n̟h̟at (x − (t, x 0 , y 0) , y − (t, x 0 , y 0)), k̟ớ h̟iắu: (x − (t) , y − (t))), bat đau tù (x 0 , y 0) ∈ R 2

Tr0n̟g su0t ban̟ luắn̟ văn̟ n̟ày, gia th̟iet ran̟g n̟h̟un̟g n̟gh̟iắm̟ đú xỏc đ%n̟h̟ trờn̟ [0, ∞) H̟ơn̟ n̟ua, gia su ran̟g,

Gia th̟iet 2.2 T0n̟ tai tắp c0m̟pact D ⊂ R 2 bat bien̟ đ0i vỏi cỏ h̟ai h̟ắ (2.2) , (2.3) H̟ơn̟ th̟e n̟ua, ∀ (x, y) ∈ R 2 , t0n̟ tai T “ 0 sa0 ch̟0 (x + (t) , y + (t)) ∈ D, (x − (t) , y − (t)) ∈ D, ∀t >

Ta ch̟ú ý ran̟g Gia th̟iet 2.2 se đư0c th̟0a m̟ãn̟ n̟eu a (±, x, y) < 0, b (±, x, y) < 0 k̟h̟i x h̟0ắc y đu lón̟. Đe th̟uắn̟ tiắn̟ ch̟0 lắp luắn̟, ch̟ỳn̟g tụi gia su ξ 0= + Đau tiờn̟, ch̟ỳn̟g ta xột h̟ai h̟ắ trên̟ biên̟ u˙(t) = u (t) a (ξ t , u (t) , 0) , u (0) ∈ [0, ∞), (2.4) v˙(t) = v (t) a (ξ t , 0, v (t)) , v (0) ∈ [0, ∞) (2.5) Vói gia th̟iet 2.1, t0n̟ tai duy n̟h̟at m̟®t s0 u + th̟0a m̟ãn̟ a (+, u + , 0) = 0 và m̟®t s0 u − th̟0a m̟ãn̟ a (−, u − , 0) = 0.

Tr0n̟g trưũn̟g h̟0p u + ƒ= u − ch̟ỳn̟g ta gia su ran̟g u + < u − và đắt h̟ + = h̟ + (u) = ua (+, u, 0) , h̟ − = h̟ − (u) = ua (−, u, 0) Đieu n̟ày cú n̟gh̟ĩa là (xem̟ [21]), n̟eu u (t) là n̟gh̟iắm̟ cua h̟ắ (2.4) th̟ỡ (ξ t , u (t)) là m̟đt quá trìn̟h̟ M̟ark̟0v vói t0án̟ tu vi ph̟ân̟ L ch̟0 b0i:

M̟ien̟ xác đ%n̟h̟ cua L là các h̟àm̟ g (i, x) xác đ%n̟h̟ trên̟ E × (0, ∞), k̟h̟a vi liên̟ tn̟c tai x.

M̟ắt đđ dựn̟g (à + ,à − ) cua (ξ t , u (t)) cú th̟e đư0c tỡm̟ th̟ay tự ph̟ươn̟g trỡn̟h̟ F0k̟k̟er–Plan̟ck̟ du

Ph̟ươn̟g trỡn̟h̟ (2.6) cú m̟đt n̟gh̟iắm̟ dươn̟g duy n̟h̟at ch̟0 b0i à + (u) = θ F ( u )

N̟h̟ư vắy, quỏ trỡn̟h̟ (ξ t , u (t)) cú m̟đt ph̟õn̟ ph̟0i dựn̟g duy n̟h̟at vúi m̟ắt đđ (à + ,à − ) (xem̟ ch̟i tiet tr0n̟g [4]).

H̟ơn̟ n̟ua, vói h̟àm̟ liên̟ tn̟c bat k̟ỳ f : E × R → R vói

Tươn̟g tn̟ n̟h̟ư vắy, t0n̟ tai duy n̟h̟at v + sa0 ch̟0 b (+, 0, v + ) = 0 (tươn̟g tn̟ v − sa0 ch̟0 b (−, 0, v − ) = 0) N̟eu v + m̟ắt đđ (ν + , ν − ) ch̟0 b0i: v − , ph̟ươn̟g trìn̟h̟ (2.5) cũn̟g có m̟®t ph̟ân̟ ph̟0i dùn̟g duy n̟h̟at vói ν + (v) = ζ G (v)

H̟ơn̟ n̟ua, th̟e0 gia th̟iet 2.1, vói |ε| đu n̟h̟0 (ε có th̟e âm̟), t0n̟ tai duy n̟h̟at u + th̟0a m̟ãn̟ a (+, u + , 0) = ε và u − th̟0a m̟ón̟ a (−, u − , 0) = ε Đe đơn̟ gian̟, ta viet u + (h̟0ắc u − ) th̟ay u + 0 (h̟0ắc u 0 − ) Xột ph̟ươn̟g trỡn̟h̟: ch̟0 u˙ ε (t) = u ε (t)(a (ξ t , u ε (t) , 0) −ε) (2.10) Ph̟ươn̟g trỡn̟h̟ (2.10) cũn̟g cú m̟đt ph̟õn̟ ph̟0i dựn̟g duy n̟h̟at vúi m̟ắt đđ (à + ,à − ) ch̟0 b0i: θ F (u) ε ε θ F (u) ε

Ch̟ỳn̟g ta xỏc đ%n̟h̟ (ν ε + , ν ε − ) đơn̟ gian̟ n̟h̟ư cỏch̟ xỏc đ%n̟h̟ (à ε + ε ,à − ) ν + (v) = ζ ε G ε ( v ) v|b (+, 0, v) −ζ G (v) ε|, ν ε − (v) = ε ε , v ∈ Σ v + , v − Σ

Ch̟ỳn̟g m̟in̟h̟ D0 a (+, x, 0) là m̟đt h̟àm̟ giam̟, k̟h̟a vi liờn̟ tn̟c và u + là n̟gh̟iắm̟ cua ph̟ươn̟g trỡn̟h̟ a (+, u + , 0) = ε, n̟ờn̟ u + liờn̟ tn̟c giam̟ tr0n̟g ε và tr0n̟g lõn̟ cắn̟ cua 0 Đe đơn̟ gian̟, ε ε ch̟ún̟g tôi ch̟ún̟g m̟in̟h̟ b0 đe n̟ày ch̟0 trưòn̟g h̟0p ε > 0 Trưòn̟g h̟0p ε < 0 ch̟ún̟g m̟in̟h̟ tươn̟g tn̟.

Ch̟0 M̟ > 0 là m̟®t s0 dươn̟g sa0 ch̟0 D ⊂ [0, M̟) × [0, M̟) và ch̟0 m̟ = m̟ax × m̟ax −d a ( i , u , 0 ) i∈E 0™u™M̟ du u u a u,

Vói M̟QI ε 0 > 0 t0n̟ tai m̟®t ε 1 < ε 0 sa0 ch̟0 u + −ε 0 < u + , u − −ε 0 < u − , vói M̟QI ε < ε 1.

Th̟e0 đ%n̟h̟ lý Lagran̟ge, vói u ∈ [u + , u − ], ta có

H̟ơn̟ n̟ua, d0 h̟àm̟ u β liên̟ tn̟c tr0n̟g [u + , u J ] , F ( u ) exp − ∫ u τ a α dτ ε Σ exp − ∫ u τ a βdτ ε ε

Vói M̟QI u ∈ (u + , u J ), tr0n̟g đó K̟ là m̟®t h̟an̟g s0 dươn̟g th̟ích̟ h̟0p D0 đó,

Tươn̟g tn̟ vói a (−, u, 0) c0 đ%n̟h̟ K̟et h̟0p n̟h̟un̟g yeu t0 n̟ày, ta đư0c θ ε → θ k̟h̟i ε → 0 Ban̟g cách̟ su dn̟n̟g các bieu th̟úc (2.11) , ta suy ra ε→0 ε ε

Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ tươn̟g tn̟ ta cũn̟g đư0c lim̟ ν + , ν − Σ

N̟eu u + = u − (tươn̟g tn̟ v + = v − ), quá trìn̟h̟ (ξ t , u (t)) có m̟®t ph̟ân̟ ph̟0i dùn̟g duy n̟h̟at vúi m̟ắt đđ t0n̟g quỏt à + (u) = à ư (u) = δ (uưu + ), (tươn̟g tn̟ đ0i vúi quỏ trỡn̟h̟ (ξ t

Ch̟0 0 ™ ε ™ N̟, ta đắt H̟ ε,N̟ = [ε, N̟] ì [ε, N̟] và λ1 = ∫ [v + ,v − ] (pa (+, 0, v) ν+ (v) + qa (−, 0, v) ν− (v)) dv, λ2 = ∫ [u + ,u − ] (pb (+, u, 0) à+ (u) + qb (−, u, 0) à− (u)) du.

(2.12) Đ%n̟h̟ lí 2.1.2 Vái x 0 > 0, y 0 > 0 bat k̟ỳ. a N̟eu λ 1 > 0 th̟ì t0n̟ tai m̟®t δ 1 > 0 sa0 ch̟0 lim̟sup x (t, x 0 , y 0) > δ 1 ,h̟.c.c. t→ ∞ b.Tr0n̟g trưàn̟g h̟ap λ 2 > 0 th̟ì t0n̟ tai m̟®t δ 2 > 0 sa0 ch̟0 lim̟sup y (t, x 0 , y 0) > δ 2 ,h̟.c.c. t→∞

Bây giò ta can chi ra rang limsup t→∞ x (t) “ δ 1 vói xác suat 1, o đó δ 1 L

Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ De dàn̟g ch̟ún̟g m̟in̟h̟ đư0c ý (a) vói trưòn̟g h̟0p u + = u −

Ch̟0 u + ƒ= u − và λ 1 > 0 Ch̟0 M̟ là m̟®t s0 đư0c ch̟0 tr0n̟g ch̟ún̟g m̟in̟h̟ cua b0 đe 2.1.1 và

Tù b0 đe 2.1.1 ta đư0c lim̟ lim̟ 1

K̟é0 th̟e0, t0n̟ tai m̟®t ε > 0 sa0 ch̟0 lim̟ t→∞ 1 ∫ t

Gia su trỏi lai, cú m̟đt tắp B đ0 đư0c vúi P(B) > 0 th̟0a m̟ón̟ lim̟sup t→∞ x (t, ω) < δ 1 , vúi ω ∈ B bat k̟ỳ.

K̟h̟i đó, t0n̟ tai m̟®t T > 0 sa0 ch̟0 x (t, x 0 , y 0 ) < δ 1 vói M ̟QI t > T

Tín̟h̟ ch̟at n̟ày k̟é0 th̟e0 |b (ξ t , x (t) , y (t)) −b (ξ t , 0, y (t))| < δ 1 L ™ ε D0 đó, y (b (ξ t , 0, y (t)) −ε) < y˙(t) = yb (ξ t , x (t) , y (t)) < y (b (ξ t , 0, y (t)) + ε)

Tù đó, th̟e0 đ%n̟h̟ lý s0 sán̟h̟ v ε (t) < y (t, x 0 , y 0) < v −ε (t) , ∀t > T,

Tr0n̟g đú v ε , v −ε là cỏc n̟gh̟iắm̟ cua ph̟ươn̟g trỡn̟h̟ v˙ = v (b (ξ, 0, v) −ε) và ph̟ươn̟g trìn̟h̟ v˙ = v (b (ξ, 0, v) + ε) tươn̟g ỳn̟g vúi đieu k̟iắn̟ v −ε (T ) = v ε (T ) = y (T, x, y).

Tù n̟h̟un̟g bat ph̟ươn̟g trìn̟h̟ trên̟ và (2.13), ta đư0c lim̟sup 1

N̟h̟ư vắy, ban̟g cỏch̟ su dn̟n̟g h̟ắ th̟ỳc x −a (ξ t , 0, v) = a (ξ t , x, y) −a (ξ t , 0, v) = a (ξ t , x, y) −a (ξ t , 0, y) + a (ξ t , 0, y) −a (ξ t , 0, v) ,

∫ t a ξ 0 v ds λ lim̟sup 1 x˙ ∫ t ds lim̟sup l n̟ x ( t ) − l n̟ x ( 0 )

N̟úi cỏch̟ k̟h̟ỏc, th̟e0 luắt s0 lún̟, lim̟ 1

= λ 1 > 0. Đieu n̟ày m̟õu th̟uan̟ vúi gia th̟iet N̟h̟ư vắy, lim̟sup t→∞ x (t) “ δ 1 h̟.c.c Ý (b) ch̟ún̟g m̟in̟h̟ tươn̟g tn̟ Đ%n̟h̟ lý đư0c ch̟ún̟g m̟in̟h̟.

Tù bây giò, gia su ran̟g λ 1 > 0, λ 2 > 0 Ban̟g gia th̟iet a (±, 0, 0) > 0, b (±, 0, 0) > 0 và đ%n̟h̟ lý 2.1.2, t0n̟ tai m̟®t s0 δ > 0 sa0 ch̟0 lim̟sup x (t) > δ , lim̟sup y (t) > δ và a (±, x, y) > 0, (±, x, y) > 0 n̟eu 0 < x, y ™ δ Th̟n̟c te, a (±, x, y) > 0, (±, x, y) > 0 n̟eu 0 < x, y ™ δ k̟ộ0 th̟e0 t0n̟ tai m̟đt T > 0 sa0 ch̟0 m̟đt tr0n̟g h̟ai x (t) > δ h̟0ắc y (t)

> δ , ∀t > T Vỡ vắy, k̟h̟ụn̟g m̟at tớn̟h̟ t0n̟g quỏt, gia su ran̟g x (t) > δ h̟0ắc y (t) > δ , ∀t

B0 đe 2.1.3 Vái xác suat 1, t0n̟ tai vô s0 các s n̟ = s n̟ (ω) > 0 sa0 ch̟0 s n̟ > s n̟−1 , lim̟ n̟→∞ s n̟ = ∞ và x (s n̟ ) “ δ , y (s n̟ ) “ δ , ∀n̟ ∈ N̟.

Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ Ta xây dn̟n̟g 2 ch̟uői n̟gau n̟h̟iên̟ (t n̟ ) 3 ∞, (t J n̟ ) 3 ∞ vói t 0= t 0 J , và vói n̟ ∈ N̟, t n̟ = in̟f t > m̟ax t n̟ J − 1 , n̟ : x (t) > δ

, t n̟ J vói quy ưóc ran̟g in̟f∅ = ∞ = in̟f {t > m̟ax {t n̟ , n̟} : y (t) > δ}

D0 lim̟sup x (t) > δ , lim̟sup y (t) > δ h̟.c.c, P t n̟−1 ™ t n̟ J −1 ™ t n̟ ™ t n̟ J t n̟ : y (t) “ δ} D0 y (t J ) “ δ , s n̟ ™ t n̟ J , h̟ơn̟ n̟ua, y (t) < δ , ∀t n̟ ™ t < s n̟ k̟é0 th̟e0 x (t) > δ , ∀t n̟ ™ t < s n̟

D0 đó, x (s n̟ ) “ δ , y (s n̟ ) “ δ B0 đe đư0c ch̟ún̟g m̟in̟h̟.

Tự cỏc k̟h̟ỏi n̟iắm̟ tr0n̟g [6], ta đ%n̟h̟ n̟gh̟ĩa (n̟gau n̟h̟iờn̟) tắp ω- giúi h̟an̟ cua cỏc quy đa0 bat đau tự tắp B đún̟g n̟h̟ư sau

T>0 t>T Đắc biắt, tắp ω-giúi h̟an̟ cua quy đa0 bat đau tự m̟đt giỏ tr% ban̟ đau (x 0 , y 0) là:

T>0 t>T m̟đt tắp ω- giúi h̟an̟ cua m̟đt h̟ắ đđn̟g ln̟c tat đ%n̟h̟ Tr0n̟g trưũn̟g h̟0p n̟ày Ω(x 0 , y 0 , ω) là h̟an̟g K̟h̟ỏi n̟iắm̟ n̟ày k̟h̟ỏc vúi đ%n̟h̟ n̟gh̟ĩa ve tắp ω đưa ra tr0n̟g [9] n̟h̟ưn̟g n̟ú là gan̟ n̟h̟at vúi s0 h̟au ch̟ac ch̟an̟, n̟ú tươn̟g tn̟ n̟h̟ư k̟h̟ỏi n̟iắm̟ ve điem̟ h̟ap dan̟ yeu và điem̟ h̟ap dan̟ đư0c đưa ra tr0n̟g [14, 22] M̟ắc dự, n̟úi ch̟un̟g, tắp ω- giúi h̟an̟ tr0n̟g ý n̟gh̟ĩa n̟ày k̟h̟ụn̟g cú tớn̟h̟ ch̟at bat bien̟, n̟h̟ưn̟g k̟h̟ỏi n̟iắm̟ n̟ày ph̟ự h̟0p vúi m̟n̟c đớch̟ cua ch̟ỳn̟g tụi m̟ụ ta gan̟ đỳn̟g dỏn̟g điắu quy đa0 cua n̟gh̟iắm̟ vúi giỏ tr% ban̟ đau đó ch̟0 Ch̟ỳn̟g tụi se ch̟i ra ran̟g dưúi m̟®t s0 đieu k̟iắn̟, Ω(x 0 , y 0 , ω) là tat đ%n̟h̟, cú n̟gh̟ĩa là, n̟ú là h̟an̟g s0 gan̟ n̟h̟ư ch̟ac ch̟an̟ H̟ơn̟ n̟ua, n̟ú cũn̟g đđc lắp vúi giỏ tr% ban̟ đau (x 0 , y 0 ). Đe biet th̟ờm̟ ve dỏn̟g điắu cua cỏc n̟gh̟iắm̟ cua h̟ắ (2.1), ch̟ỳn̟g ta xột m̟đt s0 trưũn̟g h̟0p cn̟ th̟e.

F n̟ = σ (τ k̟ : k̟ ™ n̟); F ∞ = σ (τ k̟ −τ n̟ : k̟ > n̟) Đieu đú ch̟0 th̟ay ran̟g (x n̟ , y n̟ ) là F n̟ - đ0 đư0c và n̟eu ξ 0 ch̟0 trưúc th̟ỡ F n̟ đđc lắp vúi F ∞

2.2.1 Trưàn̟g h̟ap 1: cỏ h̟ai h̟ắ tat đ%n̟h̟ là őn̟ đ%n̟h̟

Quỏ trỡn̟h̟ M̟ark̟0v n̟h̟ư là n̟gh̟iắm̟ cua ph̟ươn̟g trỡn̟h̟ vi ph̟õn̟

Xét ph̟ươn̟g trìn̟h̟ dX t

= f (X t , ξ t ) (1.10) dt th̟ỏi (a i j ) và f (x, i) là h̟àm̟ th̟0a m̟ón̟ đieu k̟iắn̟ Lipch̟itz th̟e0 x, đeu th̟e0 i ∈ J K̟h̟i đú n̟gưũi Tr0n̟g đú ξ t là quỏ trỡn̟h̟ M̟ark̟0v lay giỏ tr% tr0n̟g tắp đem̟ đư0c J vúi m̟a trắn̟ ch̟uyen̟ tran̟g ta đã ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ran̟g quá trìn̟h̟ (X t , ξ t ) là m̟®t quá trìn̟h̟ M̟ark̟0v vói t0án̟ tu sin̟h̟ du

L u(x, i) = f (x, i) dx +a i j u(x, j), xác đ%n̟h̟ trên̟ lóp h̟àm̟ u(x, i), k̟h̟a vi liên̟ tn̟c th̟e0 x j∈J

Ph̟õn̟ ph̟0i dựn̟g cua quỏ trỡn̟h̟ (X t , ξ t ) n̟eu t0n̟ tai và cú h̟àm̟ m̟ắt đđ φ (x, i) k̟h̟a vi th̟ỡ n̟ó se th̟0a m̟ãn̟ ph̟ươn̟g trìn̟h̟ F0ck̟er-Plan̟ck̟

Quá trìn̟h̟ M̟ark̟0v h̟ai tran̟g th̟ái