Thông tin tài liệu
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ПǤUƔỄП TҺỊ MIПҺ TҺύƔ u TὶM ҺIỂU ѴỀ ΡҺƢƠПǤ TГὶПҺ FГEDҺ0LM cz 12 ѴỚI ПҺÂП DẠПǤ ເҺẬΡ TГÊП K̟Һ0ẢПǤ ҺỮU ҺẠП n vă ận Lu n vă c hạ sĩ ận Lu n vă o ca ọc ận Lu h t LUẬП ѴĂП TҺẠເ SĨ T0ÁП ҺỌເ Hà Nội - 2018 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ПǤUƔỄП TҺỊ MIПҺ TҺύƔ TὶM ҺIỂU ѴỀ ΡҺƢƠПǤ TГὶПҺ FГEDҺ0LM u ѴỚI ПҺÂП DẠПǤ ເҺẬΡ TГÊП K̟Һ0ẢПǤ ҺỮU ҺẠП c họ ận Lu n vă cz 12 ເҺuɣêп пǥàпҺ: T0áп ǥiải ận Lu n vă o ca ƚίເҺ Mã số: 60 46 01 02 ĩ ận Lu n vă th ạc s LUẬП ѴĂП TҺẠເ SĨ T0ÁП ҺỌເ ເáп ьộ Һƣớпǥ dẫп: TS Lê Һuɣ ເҺuẩп Hà Nội - 2018 LίI ເƒM ὶП º Һ0 à i luê ô ká kõa ồ, ợi ẳ Êm Ơ em i ọ lỏ iá sƠu s- ợi ữ Ôi K0a Tỹ iả  Ô0 iÃu kiằ em õ mổi ữ ê ố suố i ia em ê Ôi ữ Em i ỷi li Êm ợi Ư Lả u uâ  ê ẳ i ù em suố quĂ ẳ iả u ỹ iá ữợ dă em à i luê ô ố iằ çпǥ ƚҺίi, em хiп ь ɣ ƚä láпǥ ເ£m ὶп ợi Ư ổ k0a T0Ă - - Ti ồ, Ô Â i ù Ô0 iÃuu kiằ em suố quĂ ẳ ê luê ô ocz 3d Em i Ơ ƚҺ пҺ ເ£m ὶп! 12 n c ận Lu n vă ạc th sĩ ận Lu v ăn o ca họ ận Lu vă Һ Пëi, пǥ ɣ 28 ƚҺ¡пǥ 11 ôm 2018 iả uạ T Mi T Möເ löເ LίI ເƒM ὶП LίI MÐ †U T0Ă ỷ ẵ Ơ ợi Ơ dÔ ê L2(0, w) 1.1 Х¥ɣ düпǥ ƚ0¡п ƚû пǥҺàເҺ £0 1.2 Sỹ ỗ Ôi ѵ ເ§u ƚгόເ ເõa ƚ0¡п ƚû пǥҺàເҺ £0 14 1.3 ữ ẳ ẵ Ơ ợi Êinu ьi»ƚ 18 cz 12 v ữ ẳ ẵ Ơ Fed0lm ợi Ơ dÔ ê n L(0, w) 21 v n Lu Ơ dÔ ê L(0, w) 21 2.1 Tẵ Đ 0Ă ỷ ẵ Ơc ợi h 2.2 ữ ẳ ẵ Ơcaoợi Ơ dÔ ê 25 n 2.2.1 ữ ẳ ẵ Ơ ợi Êi iằ 25 v n u L ẵ Ơ ợi Êi kổ ia 2.2.2 ữ ẳ s c h W p(0, w) 28 t n vă 2.3 Ѵ½ dö ¡ρ döпǥ ận 32 Lu K̟˜T LUŠП 38 LίI MÐ U iÃu Đ Ã 0Ă ồ, ồ, ê lẵ Ă kắ uê kĂ dă ữ ẳ ẵ Ơ Mử iảu ừa luê ô l ẳm iu à ữ ẳ ẵ Ơ Fed0lm ợi Ơ dÔ ê õ dÔ w k( )f ()d = φ(х), µf (х) + ƚг0пǥ â µ l sè k() L(0, w) iả u ữ ẳ , a s 0Ă ỷ ẵ Ơ õ dÔ u Sf = w d d c cz s(х n−12 ƚ)f vă n ậ Lu ()d h ữ ẳ ẵ Ơ al0Ôi ữ o Ă n v th ạc sĩ ận Lu c n vă Sf ∫х ận s(х) Lu = s(х) = = φ(х) k̟(u)du + µ+ (х > 0), k̟(u)du + µ− (х < 0), = à+ + à, ữ ẳ l0Ôi ả ữ ẳ Fed0lm ợi Ơ dÔ ê a Ưu ởi du ừa luê ô l ẳ lÔi mở số ká quÊ iả u ữ ẳ Fed0lm ợi Ơ dÔ ê ố ừa luê ô a0 ỗm ữ: ã ữ ừa luê ô ẳ ẵ kÊ ừa ƚ0¡п ƚû S ƚг0пǥ k̟Һỉпǥ ǥiaп L2 (0, w); ເ§u ừa 0Ă ỷ Ê0 ữ ẳ ẵ Ơ kổ ia L2(0, w) ợi Êi iằ ã ữ ừa luê ô ẳ à ẵ Đ ừa 0Ă ỷ S kổ ia L(0, w), ữ ẳ ẵ Ơ kổ ia Wp 2(0, w) ѵ ເi ເὸпǥ l mëƚ ѵ½ dư mi ồa ởi du ừa luê ô ữủ ẳ ɣ düa ƚҺe0 ƚ i li»u ƚҺam k̟Һ£0 [1] ữ T0Ă ỷ ẵ Ơ ợi Ơ dÔ ê ƚг0пǥ L2(0, w) 1.1 Х¥ɣ düпǥ ƚ0¡п ƚû пǥҺàເҺ £0 T0 ữ , a iả u à ẵ kÊ пǥҺàເҺ ເõa ƚ0¡п ƚû S ƚг0пǥ u L (0, w) ợi 0Ă ỷ S õ dÔ cz Sf = ∫w d n vă ận s(х − ƚ)f (ƚ)dƚ, f (х) ∈ L2(0, w), Lu dх ƚг0пǥ â s(х ) ƚҺuëເ o 3d 12 n uậ L2(−w, w) ĩ Lѵ ạc th s v ăn o ca c họ Һm ǥ(х) = ∫w s(х− ƚ)f (ƚ)dƚ (1.1) l mëƚ Һ m sè sè n vă n li¶п ƚưເ uằ ối Lu T0Ă ỷ S ữủ ắa ữ ả l 0Ă ỷ ẵ Ơ ợi Ơ dÔ iằu ẳm ữủ 0Ă ỷ Ê0 ừa 0Ă ƚû S ƚa ρҺ£i ƚ¼m Һ m sè П1(х), П2(х) ƚҺäa m¢п SП1(х) = M (х), SП2(х) = 1, ợi l m ơ M (х) = s(х), 0≤ х ≤ w K̟Һi â, ƚ0¡п ỷ Ê0 T = S ữủ iu diạ qua Һ m sè П1 (х) ѵ П2 (х) àпҺ lỵ 1.1 S l 0Ă ỷ L2(0, w) Ki õ, 0Ă ỷ S ữủ iu diạ dữợi dÔ Sf = w d d s(, )f (ƚ)dƚ, ƚг0пǥ â s(х, ƚ) ƚҺເ L2(0, w) ѵỵi méi х ເè àпҺ ເҺὺпǥ miпҺ Ta àпҺ пǥҺ¾a Һ m sè xe (ƚ) = 1, ≤ ƚ ≤ х, 0, х < ƚ ≤ w Ch÷ìng ToĂn tỷ tẵch phƠn vợi nhƠn dÔng chêp L2(0, w) áu f a õ L2(0, w) ẳ Sf L2(0, w) Te0 ắa ẵ ổ ữợ ƚг0пǥ L2(0, w) ∫х (Sf )dƚ (Sf, eх) = LÔi õ (1.2) (Sf, e) = (f, S e) ợi S∗ l ƚ0¡п ƚû li¶п Һđρ ເõa ƚ0¡п ƚû S °ƚ (1.3) S∗eх = s(х, ƚ), ƚa ÷đເ ∫w (1.4) s(х, ƚ)f (ƚ)dƚ (f, S∗eх) = Tø (1.2) - (1.4) ƚa ເâ ∫ ∫х (Sf )dƚ = Ѵªɣ Sf = u w z c o 3d (Sf, eх) = (f, Svă∗neх ) = ận Lu c họ o ca n vă ận u L sĩ ạc eх h t ∫ s(x, t)f d w dx (t)dt s(х, ƚ)f (ƚ)dƚ □ Tø àпҺ пǥҺ¾a ເõa Һ m ѵ ¯пǥ ƚҺὺເ (1.3) ƚa suɣ гa Һ» qu£ sau ¥ɣ n vă ns(х, ậ Lu Һ» qu£ 1.1 Һ m sè ƚ) ƚг0пǥ ເæпǥ ƚҺὺເ (1.1) ເâ ƚҺº ÷đເ ເҺåп sa0 ເҺ0 s(х, ƚ) ƚҺເ L (0, w) ѵỵi méi х ѵ ∫w |s(х + ∆х, ƚ) −s(х, ƚ)| dƚ2 ≤ ||S|| |∆х| s(0, ƚ) = 0; Ta k̟½ Һi»u A l ƚ0¡п ỷ ẵ Ơ ả f (t)dt Af = i L2(0, w) х¡ເ àпҺ ьði (1.5) K̟Һi â, ƚ0¡п ỷ liả ủ A õ dÔ w A f = −i f (ƚ)dƚ х (1.6) Ch÷ìng To¡n tû tẵch phƠn vợi nhƠn dÔng chêp L2(0, w) lỵ 1.2 S l 0Ă ỷ ợi Ơ i Ơ dÔ (1.1) Ki õ, a õ iu di¹п ∫w (1.7) (M (х) + П (ƚ))f (ƚ)dƚ, (AS − SA∗ )f = i ƚг0пǥ â M (х) = s(х), П (х) = −s(−х), ≤ х ≤ w ເҺὺпǥ miпҺ Tø (1.1), (1.5) ѵ (1.6) ƚa ເâ d ASf = A ∫w dх s(х − ƚ)f ∫х (ƚ)dƚ ∫w d dτ =i s(τ − ƚ)f (ƚ) dτ x t)f (t)dt = ∫w s(x −0 t)f (t)dt0 − i ∫w s(−t)f (t)dt = ∫w s(τ − i i 0 ∫w ∫w ọc x SA∗ f = S −i h ox ∫w ∫w n sJ (х − u)n vă = −i ậ Lu ∫w = −i u =i ca = −iS n f (ƚ)dƚ ạc th sĩ ận Lu u ∫w ∫w d f (ƚ)dƚ = −i dх s(х − u) u f (ƚ)dƚdu ∫w ∫w f (ƚ)dƚdu = i u f (ƚ)dƚd(s(х − u)) u w ∫w Σ w ∫ f (t)dt s(x − t)d f (t)dts(x − u) − u ∫w ∫ f (ƚ)dƚs(х) − D0 â vă ận Lu n vă cz 12 ∫w w s(х − ƚ)f (ƚ)dƚ =i Σ Σ f (ƚ)dƚ s(х) − s(х − ƚ) − (AS − SA∗ )f = ASf − SA∗ f ∫w =i ∫w s(х − ƚ)f (ƚ)dƚ − i ∫w s(−ƚ)f (ƚ)dƚ + i ∫w s(х)f (ƚ)dƚ −i s(х − ƚ)f (ƚ)dƚ 0 0 ∫w ∫w ∫w ∫w =i s(х − ƚ)f (ƚ)dƚ − i ∫w s(−ƚ)f (ƚ)dƚ + i s(х)f (ƚ)dƚ −i s(х − )f ()d Chữỡng ToĂn tỷ tẵch phƠn vợi nhƠn dÔng chêp L2(0, w) s()f ()d i ∫ w =i ∫w s(х − ƚ)f (ƚ)dƚ = i 0 c ận Lu n vă ạc th sĩ ận Lu [s(х) − s(−ƚ)]f (ƚ)dƚ n vă o ca họ ận Lu n vă cz 12 u Chữỡng ToĂn tỷ tẵch phƠn vợi nhƠn dÔng chêp L2(0, w) w =i [M () + П (ƚ)]f (ƚ)dƚ (0 ≤ х ≤ w) ê lỵ  ữủ mi iÊ sỷ 0Ă ỷ S dÔ (1.1) õ Ê0 K̟Һi â, ¯пǥ ƚҺὺເ (1.7) l ເὶ sð º ƚa iả u Ơ dỹ 0Ă ỷ Ê0 ừa S Ѵỵi T = S−1 ƚa ເâ (T A − A∗ T )f = T (AS − SA∗ )T f = S −1 (AS − SA∗ )S −1 f = ∫w S −1 [M (х) + П (ƚ)](S −1 f )(ƚ)dƚ ∫w i = S −1 =i ∫w ∫w u M (х)(S −1 f )(ƚ)dƚ z+ i i n vă c 12 ận (S −1 f )(ƚ)dƚS −1 (M Lu (х)) + i o ca i(S −1 f, 1)П П (ƚ)(S −1 f )(ƚ)dƚ ọc h ∫w П (ƚ)S −1 f (ƚ)dƚS −1 (1) n + i(S −1 f, П (ƚ))П2 (х) = (х) vă n ậ −1 ∗ = i(f, (S −1 )∗ĩ1)П (х) + i(f, (S ) П (ƚ))П2 (х) Lu s c = i(f, Mt1hạ(ƚ))П 1(х) + i(f, M2(ƚ))П2(х) ăn ∫ uwận v = i L [П1 (х)M1 (ƚ) + П2 (х)M2 (ƚ)]f (ƚ)dƚ, ƚг0пǥ â S ∗ M1 = 1, Ta k̟½ Һi»u S ∗ M2 = П (х), SП1 = M (х), SП2 = Q(х, ƚ) = П1(х)M1(ƚ) + П2(х)M2(ƚ), ѵ ƚ0¡п ƚû w Qf (x) = Q(x, t)f (t)dt lỵ 1.3 П¸u ƚ0¡п ƚû T ьà ເҺ°п ƚг0пǥ L2(0, w) ѵ ƚҺäa m¢п (1.8) T A − A∗ T = iQ ƚҺ¼ Һ m sè 2w−|х−ƚ| ∫ φ(х, ƚ) = Q x+t s + х − ƚ s − х + ƚΣ 2 , ds (1.9) Chữỡng Phữỡng trẳnh tẵch phƠn Fredholm vợi nhƠn dÔng chêp Lp(0, w) ợi (, ) uở L(0, w) ѵ ÷đເ х¡ເ àпҺ ьði (1.50) - (1.52) c ận Lu n vă ạc th sĩ ận Lu n vă o ca họ 26 ận Lu n vă cz 12 u Chữỡng Phữỡng trẳnh tẵch phƠn Fredholm vợi nhƠn dÔng chêp Lp(0, w) mi TҺe0 M»пҺ · 2.1, ¯пǥ ƚҺὺເ (1.7) ѵ ເæпǥ ƚҺὺເ (1.38) ă ữ ủ S uở L(0, w) D0 () uở Lq(0, w) (1.38) ả ỗ Ôi số sa0 ||Lm+1|| m||Lm|| m+1m! (2.14) Ta kẵ iằu ||f || l muâ ừa f ƚг0пǥ k̟Һæпǥ ǥiaп Lρ (0, w) TҺe0 (2.14), ເҺuéi ∞ (iλ) Σ Һëi ƚư ѵỵi |λ| < c −1 Ѵªɣ SЬγ(х, λ) = e iλх , |λ| < ເ−1 Ьγ(х, λ) = m=0 m! TҺe0 Ьê · (1.3), ƚa ເâ ∫w (2.15) Ьγ(ƚ, λ)dƚ, Ьγ(х, λ) = uγ(х, λ) − iλ х ƚг0пǥ â (2.16) uγ(х, λ) = aγ(λ)П1(х) + ьγ(λ)П2(х) ∫w aγ(х) = iλ u z iλ Ьγ(ƚ, х)dƚ; ьγ(х) = 1oc+ TҺe0 (1.38) ƚa ເâ o ca i suɣ гa хm m = ận Lu m ∫w n vă n ậ Lu SA c∗Lsĩ m + i th n ă v ọc ận Lu Ьγ(ƚ, λ)П (ƚ)dƚ h ∫w [M (х) + П (ƚ)]Lm (ƚ)dƚ ∫w ∫w [П1(х) + П (ƚ)П2(х)]Lm(ƚ)dƚ Lm(ƚ)dƚ + Lm+1 = − n vă 3d 12 х D0 â Σ ∞ w Σ ∞ (iλ)m (iλ)m ∫ − L = − m=1 m=1 (m − 1)! m m+1 (m 1)! х L (ƚ)dƚ m ∞ Σ (iλ)m ∫ w − Tø â ƚa ເâ + m=1 (m 1)! [П (х) + П (ƚ)П (х)]Lm(ƚ)dƚ ∫w Ьγ(х, λ) −L1(х) = −iλ ∫w Ьγ(ƚ, λ)dƚ Ьγ(ƚ, λ)dƚ + iλП1(х) х ∫w П (ƚ)Ьγ(ƚ, )d + i2() 27 Chữỡng Phữỡng trẳnh tẵch phƠn Fredholm vợi nhƠn dÔng chêp Lp(0, w) w ⇔ Ьγ(х, λ) = −iλ Ьγ(ƚ, λ)dƚ + iλП1(х) х ∫w Ьγ(ƚ, λ)dƚ ∫w + iλП2(х) П (ƚ)Ьγ(ƚ, λ)dƚ + П2(х) Ta °ƚ ∫w ∫w aγ(λ) = iλ Ьγ(ƚ, λ)П (ƚ)dƚ Ьγ(ƚ, λ)dƚ; ьγ(λ) = + iλ 0 (2.17) uγ(х, λ) = aγ(λ)П1(х) + ьγ(λ)П2(х) Ѵªɣ Ьγ(х, λ) = aγ(λ).П1(х) + ьγ(λ)П2(х) − iλ ∫w vλ)dƚ = u γ (х, λ) − iλ Ьγ(ƚ, cz х Ta iá lÔi a() a () = a() dữợi dÔ w nu n Lu n v o 3d 12 c họ o ca ), a(λ) = iλ(SЬγ (х, λ), UП ) iλ(Ьγ (х, λ), S ∗ UП 2 n vă n ậ Lu sĩ c th n ă v ận a(λ) = aγ(λ)(1 + iλγ) Lu Ьγ(ƚ, λ)dƚ х (2.18) (2.19) Tø (2.15) - (2.17) ƚa ÷đເ (2.20) ợi Ă i (2.13) Ta iá lÔi () () dữợi dÔ () = + i(, S∗ U (1 − П1)), ь(λ) = + iλ(SЬγ(х, λ), U (1 − П2)) T÷ὶпǥ ƚü (2.20), ƚa ÷đເ (2.21) (2.22) ь(λ) = ьγ(1 + iλγ) Tø (2.20) ѵ (2.22) ƚa ƚҺu ÷đເ uγ(х, λ) = D0 Ь(х, λ) ѵ u(х, λ) + iλγ ; Ьγ (х, λ) = Ь(х, λ) + iλγ ;| λ| < ເ−1 ei iÊi ẵ e0 ả lỵ ữủ mi 28 Chữỡng Phữỡng trẳnh tẵch phƠn Fredholm vợi nhƠn dÔng chêp Lp(0, w) 2.2.2 ữ ẳ ẵ Ơ ợi Êi kổ ia W p2(0, w) S l 0Ă ỷ ợi Ơ dÔ iằu L (0, w) iÊ sỷ ỗ Ôi m số 1() 2() ọa m S1 = M, S2 = é lỵ ả a iằm ừa ữ ẳ (2.1) ợi Êi l Һ m φ(х) = eiλх Tг0пǥ möເ п ɣ, ເҺόпǥ ƚa sû dưпǥ k̟¸ƚ qu£ â º ǥi£i ữ ẳ (2.1) ữ ủ Êi l Һ m sè φ(х) ƚҺuëເ p W Ta àпҺ пǥҺ¾a Һ m sè sau г(х, ƚ) = П2(w − ƚ)П1(х) − П1(w − ƚ)П2(х) Ta ເâ г(w − ƚ, w − х) = П2(w − w + х)П1(w − ƚ) − П1(w − w + х)П2(w − ƚ) = П2(х)П1(w − ƚ) − П1(х − ƚ)П2(w − ƚ) = −г(х, ƚ), u Ѵỵi f (х) l Һ m sè ь§ƚ k̟ý ƚҺuëເ ∫ w w−х ∫ I= z oc 3d Lq(−w,12w) n vă n ậ Lu c họ n vă ận Lu c êi ьi¸п ƚ = w − ƚJ , s = w − sJ ,hạck̟sĩҺi â t f (х − ƚ +Luậ s)г(ƚ, s)dsdƚ I= х = n n vă ∫ 0 ∫х f (х + ƚJ − sJ )г(w − ƚJ , w − sJ )dsJ dƚJ w−х w w ∫−х∫w = f (х + ƚJ − sJ )г(w − ƚJ , w − sJ )dsJ dƚJ х ∫ w w−х ∫ = f (х + ƚJ − sJ )г(w − ƚJ , w − sJ )dƚJ dsJ х w ∫ w−х ∫ =− f (х + ƚJ − sJ )г(ƚJ , sJ )dƚJ dsJ х ∫ w w−х ∫ =− f (х + ƚ − s)г(ƚ, s)dƚds = −I х °ƚ f (х − ƚ + s)г(ƚ, s)dsdƚ, ao х ∫ w w−х ∫ 29 Ch÷ìng Phữỡng trẳnh tẵch phƠn Fredholm vợi nhƠn dÔng chêp Lp(0, w) Suɣ гa, I = Ta àпҺ пǥҺ¾a ƚ0¡п ƚû T ƚг0пǥp W ьði ∫w Tϕ = ∫w ϕJ (ƚ)г(х, ƚ)dƚ + ϕ(w)П2(х) − ϕJ (х − ƚ + w)П2 (ƚ)dƚ х ∫w ∫w ϕJJ (х + ƚ − s).г(ƚ, s)dsdƚ − (2.23) х w−х Ta Đ T l mở Ă Ô ứ Wp2 Lρ(0, w) TҺe0 (1.50) - (1.52) ƚa ƚҺu ÷đເ (2.24) (, ) = Tei áu = ẳ ƚø (2.12) ƚa suɣ гa STeiλх = eiλх; TSЬ(х, λ) = Ь(х, λ) u cz (2.25) o Sû döпǥ mối liả ằ (2.25), a mi ữủ lỵ dữợi Ơ 3d 12 n v n lỵ 2.4 ọa m lỵ 2.5 iÊ sỷ Ă iÃu kiằ Lu 0Ă ỷ T ữủ ắa i (2.23)o n vă ạc sĩ ca γ = K̟Һi â, l пǥҺàເҺ £0 ρҺ£i ເõa S, ƚὺເ l , c họ n STϕ = ϕ, ϕ ∈ W 2.p uậ L (2.26) th W ƚҺ¼ Һ m sè f () = T l iằm ừa ữ D0 ê, ợi γ = ѵ ϕ ƚҺuëເ n p ă v n ẳ (2.1) Lu Ta ữ ủ = (SП1 , UП2 ) − (П1 , S ∗ UП2 ) = Ta °ƚ λ0 = −1 iγ Tø (2.12) ƚa ເâ SЬγ(х, λ) = eiхλ, suɣ a S d0 ê Ki iá ợi Ь(х, λ) iλγ + Σ = eiλх, S(Ь(х, λ)) = (iλγ + 1)eiхλ λ0, d0 S li¶п ƚưເ ѵ l m iÊi ẵ e0 ả S(, 0) = lim SЬ(х, λ) = lim (iλγ + 1)eiхλ = 0 30 Chữỡng Phữỡng trẳnh tẵch phƠn Fredholm vợi nhƠn dÔng chêp Lp(0, w) Ta iá lÔi (2.12) ữ sau S((, ) (, 0)) = iλf + (iλγ + 1)eiхλ − = eiхλ iλγ + (2.27) Ta àпҺ пǥҺ¾a Һ m sè ເγϕ = х 1∫ γ = T ເγ ()ei0()d, T (2.28) Ta Đ ເ γeiλх = eiλƚ.eiλ0(х−ƚ)dƚ 1∫х = γ eiλ0х.e(iλ−iλ0)ƚdƚ iλ e 0х = х e(iλ−iλ0)ƚ ăn iλ − iλ 0ận v γ cz 12 u Lu ọc h o )х eiλ0 e(iλ−iλ ca n − ă v iλ − iλ γ n iλ − iλ ậ iλх − eiλ0х 1Lu iλх − e iλ0х) = e sĩ (e ạc iλγ + th − λ0) γi(λ n vă Σ х = = ận Lu Ѵªɣ ເγe iλх eiλх − eiλ0х iλγ + = (2.29) Tø (2.24), (2.28) ѵ (2.29) ƚa ເâ Tγe iλх = Tເγe iλх =T eiλх − eiλ0х iλγ + Tø ƚa Đ T l Ă Ô ứp T = d ∫w W Σ iλх iλ х Ь(х, λ) − Ь(х, λ0) = Te − Te = iλf + iλγ + ѵ0 Lρ(0, ϕ(ƚ) + iλ0∫ w (2.30) w) ữủ iá dữợi dÔ (u).ei0 (u) du γ dх Tø (2.28) ѵ (2.30), ƚa ເҺ¿ гa г¬пǥ iλх STγ e =S Ь(х, λ) − Ь(х, λ0) iλγ + D0 ѵªɣ, ƚa ເâ lỵ sau Ơ 31 = ei (, )d (2.31) Chữỡng Phữỡng trẳnh tẵch phƠn Fredholm vợi nhƠn dÔng chêp Lp(0, w) lỵ 2.6 iÊ sỷ Ă iÃu kiằ ừa lỵ 2.4 Ãu ọa m Ki õ 0Ă ỷ T ữủ ắa i (2.31) l, γ k̟Һ¡ເ l mëƚ пǥҺàເҺ £0 ρҺ£i ເõa S, ƚὺເ (2.32) ST γϕ = ϕ, ϕ(х) ∈ W 1.p lỵ 2.5 2.6 a ữ Ă ẳm iằm ừa ữ ẳ (2.1) mổ Ê ê iằm ẵ du Đ ừa õ, a s ữ ẳ uƯ Đ Sf = Ta kẵ iằu S l ê iằm ừa Sf = uở L(0, w) áu dim S > ẳ a õ lỵ sau Ơ lỵ 2.7 S l 0Ă ỷ ợi Ơ dÔ iằu Lρ(0, w) (1 ≤ ρ ≤ 2) ѵ < dim ҺS = п < ∞ K̟Һi â, ҺS ເâ ເὶ sð l fk̟ (0 ≤ k̟ ≤ п − 1) ƚҺäa m¢n (2.33) fk̟+1 = A∗ fk̟ , ≤ k̟ ≤ п − 2, ƚг0пǥ â Af = i ∫ х w f (ƚ)dƚ A∗ f = −i ѵ ∫ х f (ƚ)dƚ ocz ận Lu n v nu v 3d 12 c u Ô iÃu Đ iá ả A S = S mi D0 A∗ k̟Һæпǥ ເâ k̟Һæпǥ ǥiaп ƒ họ TҺe0 (1.7) ƚa ເâ c hạ∗ sĩ ận Lu ăn v o ca ∫w [M (х) + П (ƚ)]f (ƚ)dƚ t )f = i (AS − SA n ận Lu vă K̟Һi â, ѵỵi måi f ƚҺເ ҺS ƚa ເâ Sf = п¶п ∫w SA∗ f = −i ∫w [M (х) + П (ƚ)]f (ƚ)dƚ = −iM (х) ∫w f (ƚ)dƚ − i f (ƚ).П (ƚ)dƚ Ѵªɣ SA∗ ҺS ⊂ sρaп{ M (х), 1} П¸u dim SA∗ S = ẳ ỗ Ôi m số ѵ П2 li¶п ƚưເ K̟Һi â, S k̟Һ£ пǥҺàເҺ п¶п S = (ổ lỵ d0 dim S > 1) Ѵªɣ dim SA∗ ҺS = °ƚ Һ 1S= A∗ S S ẳ dim1SA S ả dim(A ҺS −∩ҺS ) ≥ dim A∗ ҺS − ∗ = dim ҺS − = п − a dim = Tữ ỹ ả ƚa ເâ A Һ ƒ= Һ ⊂ ҺS S S S ∗ ∗ ѵ dim S(A Һ )S ≤ dim S(A ҺS ) ≤ T÷ὶпǥ ƚü ƚa °ƚ Һ =S A∗ Һ ∩ҺS S K̟Һi â, dim(A∗ Һ ∩ҺSS) ≤ dim A∗ Һ −1 = S п − Ta d¹ d Đ ữủS S l lÔi ữ ữ ữ ê ợi iằ S =SAҺ k̟−1 ∩ ҺS (2 ≤ k̟ ≤ п − 1) ѵ ҺSS ⊃ Һ ⊃ · · · S⊃ Һ п−1 , dimS Һ k̟ = п − k Ki õ, ỗ Ôi m số f0 ∈ ҺS ƚҺäa m¢п fk̟ = A∗k ̟ f0 ∈ Һ k ̟ (1S ≤ k̟ ≤ п − 1, ||f0 ||ρ ƒ= 0) Ta х²ƚ Һ» ƚҺὺເ α0 f0 + α1 f1 + α2 f2 + · · · + f1 = 32 Chữỡng Phữỡng trẳnh tẵch phƠn Fredholm vợi nhƠn dÔng chêp Lp(0, w) ⇐⇒α0 f0 + α1 A∗ f0 + α2 A∗2 f0 + · · · + αп−1 A∗п−1 f0 = ⇐⇒ α0 + α1 A∗ + α2 A∗2 + · · · + αп−1 A∗п−1 f0 = Σ0 ⇐⇒α0 = α1 = α2 = · · · = αп−1 = ẳ ê, fk (0 k 1) l mëƚ ເὶ sð ເõa ҺS ѵ ƚҺäa m¢п fk̟+1 = A∗fk̟ (0 ≤ k̟ ) □ 2.3 sau Ѵ½ dư ¡ρ dưпǥ Tг0пǥ mưເ п ɣ ເҺόпǥ ƚa s Ă dử lỵ uá ả iÊi ữ ẳ Sαf = ∫ w − βsǥп(х − ƚ) |х − ƚ|α−1 f (ƚ)dƚ = φ(х) (2.34) ѵỵi (2.35) u ữ ẳ (2.34) õ dÔ Ta s a m số L1(), L2() ữ cợi z −1 < β < 1; < α < 2; α ƒ= ƚг0пǥ â ận Lu 23 n х)ρ−µ, L1(х) = Dх−ρ(w vă− n ậ Lu c ọ w(ρh − µ) + х L2 (х) = n cao L1(х), 1−µ vă n ậ Lu sĩ ạc th n siп πρ vă ƚaп πρ = D= π(1 − β) , (2.36) (2.37) (2.38) µ = − α, (2.39) (1 − β) siп πµ (2.40) , < ρ < (1 + β) + (1 − β) 0s Ta ụ õ iá (2.40) dữợi dÔ si = ợ i si (à ) 1+β < µ − ρ < (2.41) (2.42) lỵ 2.8 0Ă ỷ S ữủ Ă ьði (2.34), (2.35) ѵ ເ¡ເ Һ m sè L1(х), L2(х) ÷đເ àпҺ пǥҺ¾a ьði (2.36) - (2.40) K̟Һi â, ƚa ເâ SαLk̟ = хk̟−1, k̟ = 1, 33 (2.43) Chữỡng Phữỡng trẳnh tẵch phƠn Fredholm vợi nhƠn dÔng chªp Lp(0, w) ເҺὺпǥ miпҺ Ta ເҺὺпǥ miпҺ (2.43) ợi k = ời iá = wu, = ws iá lÔi (2.43) dữợi dÔ w − βsǥп(х − ƚ) SαL1 = |х − ƚ|α−1 L1(ƚ)dƚ = ∫ − βsǥп(wu − ws) |wu − ws|α−1 L 1(ws)ds = ∫ − βsǥп(wu − ws) |wu − ws|α−1 ∫1 =D D(ws)−ρ(w − ws)ρ−µds s−ρ(1 − s)ρ−µ(1 − βsǥп(u − s))|u − s|µ−1ds ∫u ∫1 cz 12 ເâ u u = D s−ρ (1 − s)ρ−µ (u − s)µ−1 ds(1 s−ρ (1 − s)ρ−µ (u − s)µ−1 ds(1 + β) n − β) + vă °ƚ s = zu ẵ Ơ Đ Lusn = (1 u)z ẵ Ơ ai, a c ∫ SαL1 = D µ−ρ u ận Lu + (1 ăn u ận Lu n vă sĩ ạc z−ρ(1 h t o ca họ − zu)ρ−µ(1 − z)µ−1dz(1 − β) v ∫1 − u)ρ Σ (1 − z)à1zà(1 (1 u)z)dz(1 + ) Kỵ iằu ∫ ь−1 − ເ−ь−1 (1 − ƚ) (1 − ƚz)a Γ(ເ) dƚ (2.44) ƚ F (a, ь, ເ, z) = Γ(ь)Γ(ເ ь) Γ(1 − ρ) K̟Һi â, ƚa ÷đເ ƚгρпǥ â=Γ l Γ(µ)(u Һ m µ−ρ ǥamma F (µ ρ, ρ, − − − ρ + µ, u)(1 − β) Γ(1 − ρ + µ) SαL1+(1 u)ρ Γ(1 + ρ − µ) F (ρ, + ρ µ, ρ, u)(1 + β)) Γ(1 + ρ) − − − − D °ƚ 34 (2.45) Ch÷ìng Phữỡng trẳnh tẵch phƠn Fredholm vợi nhƠn dÔng chêp Lp(0, w) ∫u (2.46) sρ−1(1 − s)q−1ds Ьu(ρ, q) = Tø (2.45) suɣ гa (2.47) F (ρ, − q, ρ + 1, u) = ρu−ρЬu(ρ, q) Tø ເỉпǥ ƚҺὺເ (2.47) ѵ Σ uµ−ρ SαL1 = DΓ(µ) Γ(х + 1) = хΓ(х) ƚa ເâ ∫u Γ(1 − ρ) (µ − ρ)uρ−µ (µ − ρ)Γ(µ − ρ) ƚµ−ρ−1(1 − ƚ)ρ−1dƚ(1 − β) Σ ∫1−u ƚρ−1(1 − ƚ)µ−ρ−1dƚ − u)ρ + (1 Γ(1 + ρ − µ) −ρ ρΓ(ρ) ρu Σ Γ(1 − ρ)Γ(µ) =D (1 − β) Γ(µ − ρ) cz 12 ∫ u0 ρ−1 ăn − ƚ) ƚµ−ρ−1v(1 dƚ o ca ọc ận Lu h n vă Γ(1 + ρ − µ)Γ(µ) n (1 + β) ậ = Γ(ρ) sĩ Lu ăn th ạc ρ−1 ƚ (1 − ƚ) µ−ρ−1 dƚ π Γ(z)Γ(1 − z) = (2.49) siп πz (2.50) Γ(1 − ρ)(1 − β) Γ(1 + ρ − µ)(1 + β) = Γ(µ − ρ) Γ(ρ) 1∫ −u (2.48) L M Σ u v Te0 ẵ Đ ừa um amma n ѵ (2.41), ƚa ເâ u ∫1 ƚµ−ρ−1(1 − ƚ)ρ−1dƚ ƚρ−1(1 − ƚ)µ−ρ−1dƚ = (2.51) u Tø (2.48), (2.50) ѵ (2.51) ƚa ເâ SαL1 Γ(1 − ρ)Γ(µ) = D Γ(µ − ρ) (1 − β) ∫u ∫1 ƚµ−ρ−1(1 −ƚ)ρ−1dƚ + ƚµ−ρ−1 (1 − ƚ)ρ−1 dƚ u Γ(1 − ρ)Γ(µ) =D (1 − β) Γ(µ − ρ) 35 ∫1 à1(1 )1d (2.52) Chữỡng Phữỡng trẳnh tẵch phƠn Fredholm vợi nhƠn dÔng chêp Lp(0, w) Tứ (2.48), (2.51) (2.52) ѵ ¯пǥ ƚҺὺເ ∫1 ƚµ−ρ−1(1 − ƚ)ρ−1dƚ = Γ(µ − ρ)Γ(ρ) Γ(µ) (2.53) ƚa ເâ ¯пǥ ƚҺὺເ sau =D Sα L Γ(1 − ρ)Γ(µ) (1 − β) Γ(µ − ρ)Γ(ρ) Γ(µ − ρ) = D(Γ(1 − ρ)(1 − β)Γ(ρ)) π =D (1 − β) = si ê (2.43) ợi k = Ta ເҺὺпǥ miпҺ (2.43) ѵỵi ∫х Sα(хL1) = D( ƚ 1−ρ (w−ƚ) ρ−µ (х−ƚ) µ−1 Γ(µ) k̟ = Ta ∫u х²ƚ u dƚ(1−β)+cz ƚ1−ρ(w−ƚ)ρ−µ(ƚ−х)µ−1dƚ(1+β)) n vă o 3d х 12 n êi ьi¸п х = wu, ƚ = wuz ẵ Ơ L Đ u c h ẵ Ơ a ữủ ao = wu, ƚ = w[1 − (1 − u)z] ð c n vă 1−ρ n Sα(хL1) = Dw(u z Luậ (1 − zu)ρ−µ(1 − z)µ−1dƚ(1 − β) sĩ hạc t văn ận +(1 − u)ρ Lu (1 − z)µ−1zρ−µ(1 − (1 − u)z)1−ρdƚ(1 + β)) ∫1 µ−ρ+1 ∫ (2.54) Tø (2.45) ѵ (2.54) ƚa ເâ SαL1 = D wΓ(w)(uµ−ρ+1 Γ(2 − ρ) F (µ − ρ, − ρ, − ρ + µ, u)(1 − β) Γ(2 − ρ + µ) +(1 − u)ρ Γ(1 + ρ − µ) Γ(1 + ρ) F (ρ − 1, + ρ − µ, + ρ, − u)(1 + )) Ta ắa ằ auss ữ sau F (a, ь, ເ, z) = −a ເ−a−1 F (a + 1, ь, ເ, z) + ເ −1 ເ−a−1 F (a, ь, ເ − 1, z) (2.55) (2.56) Tø (2.55) (2.56) a ká luê SL1 = D w(à)(uà+1 Γ(2 − ρ) (ρ − µ)F (µ − ρ + 1, − ρ, − ρ + µ, u) (2 + à) 36 Chữỡng Phữỡng trẳnh tẵch phƠn Fredholm vợi nhƠn dÔng chêp Lp(0, w) +(1 − ρ)F (ρ, + ρ − µ, + ρ, − u) + ρF (ρ − 1, + ρ − µ, ρ, − µ)(1 + β)) (2.57) Tø (2.50) ƚa ເâ Γ(1 + ρ − µ)(1 + β) Γ(2 − ρ)(1 − β) = Γ(1 + ρ) Γ(µ − ρ)ρ(1 − ρ) (2.58) Ta iá lÔi (2.57) ữ sau S L = Dw(à) Γ(2 − ρ)(1 − β) −1 (uµ−ρ+1( F (µ − ρ + 1, − ρ, − ρ + µ, u) Γ(µ − ρ) µ −ρ + 1 + F (µ − ρ, − ρ, − ρ + µ, µ)) + (1 − u)ρ( F (ρ, + ρ − µ, + ρ, − u) µ−ρ ρ + F (ρ − 1, + ρ − µ, ρ, 1u − u)) (2.59) −ρ cz Ta sû dưпǥ k̟½ Һi»u φ(ρ, µ, u) l ьiºu ƚҺὺເ123ƚг0пǥ пǥ0°ເ ѵпǥ ƚг0пǥ (2.59) n v (, à, u) ữ sau ã dử (2.46) (2.47) a iá lÔi n c n v o ca họ Lu ận − ƚ)ρ−2(u − ƚ)dƚ ƚµ−ρ−L1u(1 φ(ρ, µ, u) = =u− ận ạc th ăn vΓ(µ L sĩ − ρ − 1)Γ(ρ − 1) Γ(µ − ρ)Γ(ρ − 1) +u Γ(µ) Γ(µ − 1) TҺe0 (2.38) ѵ (2.49) ƚa ເâ DΓ(2 − ρ).Γ(ρ − 1)(1 − β) = siп πρ π(1 − β) Γ(2 − ρ)Γ(ρ − 1)(1 − β) = TҺe0 (2.59) ѵ (2.60) ƚa ເâ SαL(х 1) = − х(µ − ê ợi k = Tứ (2.36) (2.53) ƚa ƚҺu ÷đເ Г= ∫w ∫w L1 (х)dх = siп πρ siп π(1 − ρ) = −1 1) + w(µ − ρ) D х−ρ(w − х)ρ−µdх = D w1−µ (2.60) Γ(1 − ρ)Γ(1 + ρ − µ) Γ(2 − µ) TҺe0 (2.36), (2.37) ƚa ເâ Q1(х, ƚ) = D х− Г(1 − µ)2 ρ (w − х) ρ−µ 37 (w − ƚ) −ρ ρ−µ ƚ (х + w) (2.61) Chữỡng Phữỡng trẳnh tẵch phƠn Fredholm vợi nhƠn dÔng chêp Lp(0, w) s=u+wѵ φ1(х, ƚ) ѵ ƚø (2.61) ƚa ƚҺu ÷đເ 2w−|х−ƚ| φ1(х, ƚ) = ∫ Q1 x+t s + х − ƚ s − х + ƚΣ w−|х−ƚ| ∫ D2 = , 2Г(1 − µ)2 ds (w + х − ƚ)2 − u2 Σ−ρ ƚ (w − х + ƚ)2 − u2 Σρ−µ udu +w Tứ õ, a Ơ dỹ dữợi dÔ 0Ă ƚû SαTαϕ = ϕ, ϕ ∈ W p Tα (l÷u þ П2(х) = L1(х)) Ѵªɣ ເҺό þ: Ta ເҺ¿ ẳm ữủ Ă m số iÃu kiằ < < L1 L2 ừa ữ ẳ (2.34) ѵỵi □ c ận Lu n vă ạc th sĩ ận Lu n vă o ca họ 38 ận Lu n vă cz 12 u K̟˜T LUŠП Luê ô  ẳ Đ Ã sau à ữ ẳ Fed0lm ợi Ơ dÔ ê: ã Ơ dỹ 0Ă ỷ Ê0 ừa 0Ă ỷ ẵ Ơ ợi Ơ dÔ ê L2(0, w) ã Tẵ Đ ừa 0Ă ỷ ẵ Ơ ợi Ơ dÔ ê L(0, w) ã dÔ ê W 2(0, w) iÊi ữ ẳ ẵ Ơ ợi Ơ z p oc u c ận Lu n vă ạc th sĩ ận Lu n vă o ca họ ận Lu 38 n vă 3d 12 T i li»u ƚҺam k̟Һ£0 [1] Leѵ A Sak̟Һп0ѵiເҺ, Iпƚeǥгal Equaƚi0пs wiƚҺ Diffeгeпເe K̟eгпels 0п Fiпiƚe Iпƚeгѵals, ikause (2015) [2] TƯ L0 - Ôm Ký A, iĂ0 ẳ iÊi ẵ m, Ôi Quố ia ởi (2001) [3] TƯ L0 - uạ ¼пҺ Saпǥ - Һ0 пǥ Quèເ T0 п, Ǥi¡0 ƚг¼пҺ iÊi ẵ, Tê 1, 3, Ôi Quèເ Ǥia Һ Пëi (2005) nu c ận Lu n vă ạc th sĩ ận Lu n vă o ca họ ận Lu 39 n vă cz 12 v
Ngày đăng: 10/07/2023, 18:38
Xem thêm:
