(LUẬN án TIẾN sĩ) một số phương pháp tìm điểm bất động chung của một họ ánh xạ không gian62 46 01 02

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN DƯƠNG VIỆT THÔNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ ÁNH XẠ KHƠNG GIÃN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Hà Nội - 2015 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN DƯƠNG VIỆT THƠNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 62460102 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TS Nguyễn Bường GS TSKH Phạm Kỳ Anh Hà Nội - 2015 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng tơi Các kết luận án trung thực chưa cơng bố cơng trình khác NCS Dương Việt Thông TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành hướng dẫn tận tình thầy giáo, GS TS Nguyễn Bường GS TSKH Phạm Kỳ Anh Tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc đến Thầy Các Thầy truyền thụ kiến thức, bước định hướng nghiên cứu, giúp tác giả tiếp cận vấn đề cách tự nhiên để từ chủ động, tự tin suốt trình học tập nghiên cứu Tấm gương nghiên cứu khoa học nghiêm túc bảo ân cần thầy Nguyễn Bường thầy Phạm Kỳ Anh giúp cho tác giả có ý thức trách nhiệm tâm cao hồn thành luận án Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến PGS TSKH Đỗ Hồng Tân dẫn tận tình ý kiến đóng góp q báu Thầy dành cho tác giả suốt thời gian học tập nghiên cứu Tác giả xin chân thành cám ơn TS Nguyễn Thị Thanh Hà, TS Lê Anh Dũng, TS Nguyễn Văn Khiêm TS Nguyễn Thế Vinh động viên góp nhiều ý kiến quý báu suốt thời gian tác giả tham gia Seminar "Một số vấn đề lý thuyết KKM lý thuyết điểm bất động" Bộ mơn Giải tích, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội tổ chức Tác giả xin chân thành cảm ơn phản biện độc lập nhận xét quý báu, nhờ mà thảo lần có cải thiện đáng kể Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban lãnh đạo Bộ mơn Giải tích, Khoa Tốn - Cơ - Tin học, Phòng Đào tạo Sau đại học toàn thể TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com thầy giáo, cô giáo, cán nhân viên Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường ĐHKHTN tạo điều kiện giúp đỡ tác giả suốt thời gian tác giả hồn thành luận án Tác giả xin bày tỏ biết ơn đến Ban giám hiệu Trường Đại học Kinh tế Quốc dân, Thầy Cơ Bộ mơn Tốn bản, Khoa Toán Kinh tế tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành tốt nhiệm vụ học tập, nghiên cứu giảng dạy Nhà trường Xin gửi lời cảm ơn đặc biệt đến toàn thể bạn bè người thân, người động viên, giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận án Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác giả TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Một số ký hiệu chữ viết tắt MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 17 1.1 Giới thiệu hình học khơng gian Banach 17 1.2 Ánh xạ không giãn 21 1.3 Tốc độ hội tụ số phương pháp lặp 27 1.4 Kết luận 37 Chương PHƯƠNG PHÁP LẶP ẨN 38 2.1 Phương pháp lặp ẩn cho nửa nhóm ánh xạ khơng giãn 38 2.2 Phương pháp lặp ẩn cho nửa nhóm ánh xạ giả co chặt 47 2.3 Kết luận 54 Chương PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ GẮN KẾT 56 3.1 Phương pháp xấp xỉ gắn kết cho nửa nhóm ánh xạ không giãn 56 3.2 Phương pháp xấp xỉ gắn kết cho nửa nhóm ánh xạ giả co Lipschitz 67 3.3 Phương pháp xấp xỉ gắn kết ẩn có sai số 74 3.4 Kết luận 82 KẾT LUẬN CHUNG 84 Kết đạt TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 84 (LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02 Kiến nghị số hướng nghiên cứu 84 DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 86 TÀI LIỆU THAM KHẢO 87 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02 (LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02 MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT R tập số thực N tập số tự nhiên ⇀ hội tụ yếu w∗ ⇀ hội tụ * yếu F (T ) tập điểm bất động ánh xạ T ωw (xn ) \ F (T (t)) tập điểm tụ yếu dãy xn tập điểm bất động chung họ ánh xạ {T (t) : t ≥ 0} t≥0 lim = lim sup giới hạn lim = lim inf giới hạn PC (x) hình chiếu x lên tập C X không gian Banach X∗ không gian liên hợp không gian X 2X tập hợp tất tập X 2X tập hợp tất tập X ∗ ∗ δ(ǫ) môđun lồi không gian Banach J ánh xạ đối ngẫu không gian X Jλ = (I + λA)−1 Aλ = (I − Jλ ) λ h., i giải thức toán tử A xấp xỉ Yosida giá trị cặp đối ngẫu tích vơ hướng TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02 (LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02 MỞ ĐẦU Lý thuyết điểm bất động L E J Brouwer khởi xướng năm 1912 đến 100 năm tuổi Đó chương quan trọng Giải tích phi tuyến, sâu sắc lý thuyết, phong phú ứng dụng, gắn liền với tên tuổi nhà Toán học lớn như: E Picard, L E J Brouwer, S Banach, J Schauder, S Kakutani, A N Tikhonov, Ky Fan, F E Browder, Trong sáu thập kỷ qua, nghiên cứu điểm bất động lớp ánh xạ không giãn chủ đề quan tâm rộng rãi giải tích phi tuyến Điều kết nối lý thuyết hình học khơng gian Banach với liên quan lý thuyết toán tử đơn điệu toán tử tăng trưởng Như ta biết ký hiệu X ∗ không gian đối ngẫu không gian Banach X, toán tử đa trị A : X → 2X với miền xác định D(A) gọi đơn điệu ∗ hx∗ − y ∗ , x − yi ≥ ∀x, y ∈ D(A) x∗ ∈ A(x), y ∗ ∈ A(y) Toán tử đa trị A : X → 2X gọi toán tử đơn điệu cực đại A ∗ toán tử đơn điệu X cho với x ∈ X x∗ ∈ X ∗ thỏa mãn hx∗ − y ∗ , x − yi ≥ ∀y ∈ D(A) y ∗ ∈ A(y) x∗ ∈ A(x) Tốn tử đa trị A : X → 2X gọi toán tử tăng trưởng ∀x, y ∈ D(A) x∗ ∈ A(x), y ∗ ∈ A(y) tồn j(x − y) ∈ J(x − y) cho hx∗ − y ∗ , j(x − y)i ≥ TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02 (LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02 Một kiện liên quan toán tử đơn điệu toán tử tăng trưởng chúng trùng khơng gian Hilbert Các tính chất tốn tử đơn điệu toán tử tăng trưởng quan trọng lĩnh vực giải tích số, phương trình đạo hàm riêng, giải tích lồi Điều đặc biệt vi phân hàm lồi toán tử đơn điệu Nhắc lại rằng, không gian Banach X cho hàm f : X → (−∞, +∞], vi phân f toán tử đa trị ∂f : X → 2X xác định ∗ ∂f (x) := {j ∈ X ∗ : f (y) − f (x) ≥ hy − x, ji ∀y ∈ X} ∀x ∈ X Nếu f nửa liên tục lồi thường khơng gian Banach thực phản xạ ∂f đơn điệu cực đại [28] Dễ thấy ∈ ∂f (x) x=argmin{f (y) : y ∈ X} Như vấn đề tìm cực tiểu hàm lồi dẫn đến tìm khơng điểm toán tử đơn điệu Mối quan hệ toán tử đơn điệu ánh xạ không giãn dựa kiện sau: T ánh xạ không giãn khơng gian Hilbert A := I − T toán tử đơn điệu tập điểm bất động ánh xạ không giãn T trùng với tập khơng điểm tốn tử đơn điệu H Brezis, M G Crandall A Pazy đưa khái niệm giải thức tốn tử đơn điệu khơng gian Banach [17] Họ thiết lập tính chất giải thức đặc biệt điểm bất động giải thức liên quan đến khơng điểm tốn tử đơn điệu Trong không gian Banach X cho A : X → 2X toán tử đơn điệu cực đại Khi giải thức Jλ tốn tử A ánh xạ đơn trị xác định theo công thức Jλ = (I + λA)−1 , ∀λ > Chúng ta biết A−1 = F (Jλ ) Hơn nữa, Jλ ánh xạ không giãn Suy vấn đề tìm khơng điểm tốn tử đơn điệu cực đại A tương đương với vấn đề tìm điểm bất động ánh xạ không giãn Jλ Giữa lớp ánh xạ khơng giãn tốn tử tăng trưởng lớp ánh xạ giả co Ánh xạ T : X → X không gian Banach X gọi ánh xạ giả co ∀x, y ∈ X tồn j(x − y) ∈ J(x − y) cho hT x − T y, j(x − y)i ≤ kx − yk2 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02 (LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02 Từ bất đẳng thức có (1 − α)kp − qk2 ≤ h(I − f )p − (I − f )q, J(p − q)i ≤ Vậy p = q, tính chứng minh Trong phần lại chứng minh chúng tơi kí hiệu p ∈ F nghiệm (3.20) Bây {xn } bị chặn Thật vậy, cố định x ∈ F , từ phương trình (3.18) ta có kxn − xk2 = αn hf (xn ) − x, J(xn − x)i + (1 − αn )hT (tn )xn − x, J(xn − x)i ≤ αn hf (xn ) − f (x), J(xn − x)i + αn hf (x) − x, J(xn − x)i + (1 − αn )kxn − xk2 ≤ [1 − (1 − α)αn ]kxn − xk2 + αn hf (x) − x, J(xn − x)i Do hf (x) − x, J(xn − x)i 1−α ≤ kf (x) − xkkxn − xk 1−α kxn − xk2 ≤ (3.21) Suy kxn − xk ≤ kf (x) − xk 1−α Chúng khẳng định dãy {xn } compắc tương đối theo dãy Thật vậy, kxn − T (tn )xn k = αn kT (tn )xn − f (xn ) k → n → ∞ (3.22) Chúng chọn dãy {tnj } dương cho tnj → 0, tnj kxnj − T (tnj )xnj k → (3.23) Từ {xn } bị chặn, không tổng quát giả sử tồn dãy {xnj } {xn } hội tụ yếu tới q ∈ D Bây giờ, chứng minh 69 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02 (LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02 q = T (t)q với t > cố định Thật vậy,  kxnj − T (t)xnj k ≤ t tn j  −1 X k=0 kT ((k + 1)tnj )xnj − T (ktnj )xnj k    t tnj xnj − T (t)xnj + T tnj   t M kT (tnj )xnj − xnj k ≤ tnj     t + M T t − tnj xnj − xnj tnj kT (tnj )xnj − xnj k + M max {kT (s)xnj − xnj k} ≤ Mt 0≤s≤tnj tnj với j ∈ N, [t] phần nguyên t Từ (3.23) tính liên tục ánh xạ t 7→ T (t)x, x ∈ K, có lim kxnj − T (t)xnj k = j→∞ Suy T (t)q = q, q ∈ F Trong bất đẳng thức (3.21), có kxnj − qk2 ≤ hf (q) − q, J(xnj − q)i 1−α Từ ánh xạ đối ngẫu J đơn trị liên tục yếu theo dãy từ E vào E ∗ , ta lim kxnj − qk2 ≤ j→∞ lim hf (q) − q, J(xnj − q)i = 0, − α j→∞ nghĩa xnj → q j → ∞ Suy {xn } compắc tương đối theo dãy Tiếp T F (T (t))là nghiệm bất đẳng thức (3.20) theo q ∈ t≥0 T Thật vậy, với x ∈ F (T (t)), từ phương trình (3.18) ta thu t≥0 kxn − xk2 = αn hf (xn ) − x, J(xn − x)i + (1 − αn )hT (tn )xn − x, J(xn − x)i ≤ αn hf (xn ) − xn , J(xn − x)i + αn kxn − xk2 + (1 − αn )kxn − xk2 = αn hf (xn ) − xn , J(xn − x)i + kxn − xk2 70 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02 (LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02 Do (3.24) hf (xn ) − xn , J(x − xn )i ≤ Từ dãy {xn − x} {xn − f (xn )} bị chặn ánh xạ đối ngẫu J đơn trị liên tục yếu theo dãy từ X vào X ∗ , cố định x ∈ F , ta có hf (q) − q, J(x − q)i = lim hf (xnj ) − xnj , J(x − xnj )i ≤ j→∞ Vậy q ∈ T F (T (t))là nghiệm bất đẳng thức (3.20), suy q = p tính t≥0 Như chứng minh {xn } compắc tương đối theo dãy điểm tụ dãy {xn } p Do xn → p n → ∞ Định lý chứng minh Định lý 3.10 Cho X khơng gian Banach phản xạ có ánh xạ đối ngẫu J liên tục yếu theo dãy từ X vào X ∗ , C tập lồi đóng khác rỗng X Giả sử {T (t) : t ≥ 0} nửa nhóm ánh xạ giả co Lipschitz C cho F := ∩ F (T (t)) 6= ∅, f : C → C ánh xạ co với hệ số co α ∈ (0, 1), {αn } t≥0 αn {tn } dãy số thực thỏa mãn < αn < 1, tn > 0, lim tn = lim = n→∞ n→∞ tn Xác định dãy {xn } C xn = αn f (xn ) + (1 − αn )T (tn )xn Giả sử với tập bị chặn D ⊂ C, ta có lim sup kT (s)x − xk = s→0 x∈D Khi dãy {xn } hội tụ mạnh tới p n → ∞, với p nghiệm T F (T (t))của bất đẳng thức biến phân t≥0 với x ∈ h(f − I)p, J(x − p)i ≤ \ F (T (t)) t≥0 Chứng minh Chúng ta chứng minh Định lý 3.9 {xn } bị chặn, {T (tn )xn } {f (xn )} bị chặn 71 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02 (LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02 Bây với t > 0, kT (t)xn − xn k → n → ∞ Thật vậy, ta có kxn − T (tn )xn k ≤ t [ tX ]−1 n k=0 kT ((k + 1)tn )xn − T (ktn )xn k   t + kT tn xn − T (t)xn k tn       t t ≤M kT (tn )xn − xn k + M kT t − tn x n − x n k tn tn αn ≤ M t kf (xn ) − T (tn )xn k tn  + M max{kT (s)xn − xn k : ≤ s ≤ tn } αn = tính liên tục ánh xạ t 7→ T (t)x, x ∈ C, ta điều n→∞ tn cần chứng minh Phần lại định lý chứng minh tương tự Định lý Từ lim 3.9, chúng tơi khơng nhắc lại Điều hồn thành chứng minh Hệ 3.3 Cho X không gian Banach thực phản xạ thỏa mãn điều kiện Opial với chuẩn khả vi Gâteaux đều, C tập lồi đóng khác rỗng X Giả sử {T (t) : t ≥ 0} nửa nhóm ánh xạ giả co Lipschitz C T cho F (T (t)) 6= ∅ thỏa mãn điều kiện (3.19) Giả sử f : C → C t≥0 ánh xạ co với hệ số co α ∈ (0, 1) Giả sử {αn } {tn } dãy số thực thỏa mãn < αn < 1, tn > 0, lim αn = 0, lim inf tn = 0, lim sup tn > 0, n→∞ n→∞ n→∞ lim (tn+1 − tn ) = Xác định dãy {xn } C phương trình (3.18) Khi n→∞ T {xn } hội tụ mạnh tới p điểm F (T (t)) thỏa mãn bất t≥0 đẳng thức (3.20) Hệ 3.4 Giả sử X không gian Banach thực phản xạ thỏa mãn điều kiện Opial với chuẩn khả vi Gâteaux đều, C tập lồi đóng khác rỗng X Giả sử {T (t) : t ≥ 0} nửa nhóm ánh xạ giả co Lipschitz C T cho F (T (t)) 6= ∅ thỏa mãn (3.19) Giả sử f : C → C ánh xạ t≥0 co với hệ số co α ∈ (0, 1) Giả sử {αn } {tn } dãy số thực thỏa mãn αn = Xác định dãy {xn } C < αn < 1, tn > 0, lim tn = lim n→∞ n→∞ tn phương trình (3.18) Khi {xn } hội tụ mạnh tới p điểm 72 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02 (LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02 T F (T (t)) nghiệm bất đẳng thức biến phân (3.20) t≥0 Định lý chứng minh Xu Định lý 3.11 ([102, Định lý 4.2]) Cho C tập lồi đóng khác rỗng không gian Banach trơn X T : C → C ánh xạ không giãn với tập điểm bất động khác rỗng, f : C → C ánh xạ co Nếu dãy {xn } bị chặn thỏa mãn lim kxn − T xn k = 0, n→∞ lim suphf (p) − p, j(xn − p)i ≤ 0, n→∞ với p nghiệm F (T ) bất đẳng thức biến phân h(f − I)p, j(x − p)i ≤ ∀x ∈ F (T ) (3.25) Định lý 3.12 Cho C tập lồi đóng khác rỗng khơng gian Banach trơn X T : C → C ánh xạ giả co liên tục với tập điểm bất động khác rỗng, f : C → C ánh xạ co với hệ số co α ∈ (0, 1) Giả sử {αn } dãy số thực thỏa mãn < αn < 1, lim αn = Xác định dãy {xn } C n→∞ xn = αn f (xn ) + (1 − αn )T xn Khi {xn } hội tụ mạnh đến điểm bất động p nghiệm F (T ) bất đẳng thức biến phân (3.25) Chứng minh Tương tự chứng minh Định lý 3.9, kết luận được: i) Các dãy {xn }, {T xn }, {f (xn )} bị chặn; ii) lim kxn − T xn k = n→∞ Đặt A = (2I − T )−1 , từ Bổ đề 1.7 có F (T ) = F (A), A ánh xạ không giãn từ C vào C lim kxn − Axn k = n→∞ Bởi Định lý 3.11, với ánh xạ không giãn A, ta lim suphf (p) − p, J(xn − p)i ≤ 0, n→∞ 73 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02 (LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02 với p ∈ F (A) = F (T ) nghiệm bất đẳng thức biến phân (3.25) Cuối cùng, xn → p (n → ∞) Thật vậy, kxn − pk2 = αn hf (xn ) − p, J(xn − p)i + (1 − αn )hT xn − p, J(xn − p)i ≤ αn hf (xn ) − f (p), J(xn − p)i + αn hf (p) − p, J(xn − p)i + (1 − αn )kxn − pk2 Suy kxn − pk2 ≤ hf (p) − p, J(xn − p)i 1−α Do lim sup kxn − pk2 = Vậy kết luận chứng minh n→∞ 3.3 Phương pháp xấp xỉ gắn kết ẩn có sai số Năm 2008, Y Hao [44] nghiên cứu dãy lặp ẩn có sai số cho họ hữu hạn ánh xạ giả co Lipschitz {T1 , T2 , , TN } không gian Banach sau: x0 ∈ K, xn = αn xn−1 + βn Tn xn + γn un ∀n ≥ 1, (3.26) với n = n mod N , {αn }, {βn } {γn } dãy (0, 1) cho αn + βn + γn = un dãy bị chặn C Định lý hội tụ yếu Hao chứng minh không gian Banach lồi Năm 2010, X Qin S Y Cho [73] nghiên cứu phương pháp xấp xỉ gắn kết (3.26) cho nửa nhóm ánh xạ giả co Lipschitz khơng gian Banach phản xạ họ thu định lý hội tụ yếu tới điểm bất động chung nửa nhóm ánh xạ giả co Lipschitz Năm 2011, R P Agarwal, X Qin S M Khang [6] chứng minh phương pháp xấp xỉ (11) hội tụ mạnh đến điểm bất động chung nửa nhóm ánh xạ giả co Lipschitz Với ý tưởng đó, chúng tơi nghiên cứu phương pháp xấp xỉ ẩn gắn kết có sai số x0 ∈ C, xn = αn f (xn ) + βn T (tn )xn + γn un , 74 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02 (LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02 cho nửa nhóm ánh xạ khơng giãn nửa nhóm ánh xạ giả co Lipschitz {T (t) : t ≥ 0} thu định lý hội tụ yếu Sau kết mà công bố Định lý 3.13 Cho X không gian Banach phản xạ thỏa mãn điều kiện Opial, C tập lồi đóng khác rỗng X Giả sử {T (t) : t ≥ 0} nửa T F (T (t)) 6= ∅ f : C → C ánh nhóm ánh xạ khơng giãn C cho t≥0 xạ co với hệ số co α ∈ (0, 1) Xác định dãy {xn } C xn = αn f (xn ) + βn T (tn )xn + γn un (3.27) với {αn }, {βn } {γn } dãy (0, 1), tn > {un } dãy bị chặn C Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: a) αn + βn + γn = ∀n ≥ 1; αn + γ n = b) lim tn = lim n→∞ n→∞ tn Khi {xn } hội tụ yếu tới điểm bất động chung nửa nhóm {T (t) : t ≥ 0} Chứng minh Đầu tiên, dễ thấy {xn } xác định tốt Bây cố định T p∈ F (T (t)) có t≥0 kxn − pk ≤ αn kf (xn ) − f (p)k + αn kf (p) − pk + βn kT (tn )xn − pk + γn kun − pk ≤ ααn kxn − pk + αn kf (p) − pk + βn kxn − pk + γn kun − pk Do kxn − pk ≤ kf (p) − pk + kun − pk 1−α Điều suy dãy {xn } bị chặn, {T (tn )xn } {f (xn )} bị chặn Từ {xn } bị chặn không tổng quát giả sử có dãy {xnj } {xn } mà hội tụ yếu tới q ∈ C Bây giờ, chứng minh q = T (t)q 75 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02 (LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02 với t > cố định Thật vậy,  t tn j  −1 X kxnj − T (t)qk ≤ kT ((k + 1)tnj )xnj − T (ktnj )xnj k k=0       t t tnj xnj − T tnj q + T tnj tnj    t + T tnj q − T (t)q tnj t ≤ kT (tnj )xnj − xnj k + kxnj − qk tnj     t q − q + T t − s j tn j
αn + γnj ≤t j kf (xnj − T (tnj )xnj k + kunj − T (tnj )xnj k tnj + kxnj − qk + max {kT (s)q − qk} 0≤s≤tnj với j ∈ N, có lim inf kxnj − T (t)qk ≤ lim inf kxnj − qk n→∞ n→∞ Do T (t)q = q nghĩa q ∈ T F (T (t)) Vì khơng gian X thỏa mãn điều kiện t≥0 Opial nên tập điểm tụ yếu ωw (xn ) tập điểm Điều hoàn thành chứng minh định lý Định lý 3.14 Cho X không gian Banach phản xạ thỏa mãn điều kiện Opial, C tập lồi đóng khác rỗng X Giả sử {T (t) : t ≥ 0} nửa nhóm ánh xạ giả co Lipschitz C cho F := ∩ F (T (t)) 6= ∅ f : C → C t≥0 ánh xạ co với hệ số α ∈ (0, 1) Giả sử với tập bị chặn K ⊂ C, lim sup kT (s)x − xk = s→0 x∈K (3.28) Xác định dãy {xn } C xn = αn f (xn ) + βn T (tn )xn + γn un (3.29) với {αn }, {βn } {γn } dãy (0, 1), tn > {un } dãy bị chặn C Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: 76 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02 (LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02 a) αn + βn + γn = ∀n ≥ 1; b) lim αn = lim γn = 0; n→∞ n→∞ c) lim inf tn = 0, lim sup tn > 0, lim (tn+1 − tn ) = n→∞ n→∞ n→∞ Khi dãy {xn } hội tụ yếu đến điểm bất động chung nửa nhóm {T (t) : t ≥ 0} Chứng minh Đầu tiên, {xn } xác định tốt Thật với n ≥ 1, xác định ánh xạ Sn : C → C Sn x = αn f (x) + βn T (tn )x + γn un ∀x ∈ K Chúng ta thấy Sn giả co liên tục mạnh với n ≥ Thật vậy, với x, y ∈ C, ta có hSn x − Sn y, j(x − y)i = βn hT (tn )x − T (tn )y, j(y − x)i ≤ βn kx − yk2 Bởi [39, Bổ đề 2] tồn điểm xn với n ≥ cho xn = αn f (xn ) + βn T (tn )xn + γn un Nghĩa dãy {xn } xác định tốt Cố định p ∈ F , có kxn − pk2 = αn hf (xn ) − p, j(xn − p)i + βn hT (tn )xn − p, j(xn − p)i + γn hun − p, j(xn − p)i ≤ αn hf (xn ) − f (p), j(xn − p)i + αn hf (p) − p, j(xn − p)i + βn kxn − pk2 + γn kun − pkkxn − pk ≤ ααn kxn − pk2 + αn kf (p) − pkkxn − pk + βn kxn − pk2 + γn kun − pkkxn − pk Do αn γn kf (p) − pk + kun − pk (1 − α)αn + γn (1 − α)αn + γn kf (p) − pk + kun − pk ≤ 1−α kxn − pk ≤ 77 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02 (LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02 Điều suy dãy {xn } bị chặn, {T (tn )xn } {f (xn )} bị chặn Chúng ta có kxn − T (tn )xn k ≤ αn kf (xn ) − T (tn )xn k + γn kun − T (tn )xn k Do kxn − T (tn )xn k → n → ∞ (3.30) Chúng ta chọn dãy {tnj } số thực dương cho tnj → 0, tnj kxnj − T (tnj )xnj k → (3.31) Vì {xn } bị chặn, khơng tổng qt giả sử có dãy {xnj } dãy {xn } mà hội tụ yếu tới q ∈ K Bây giờ, chứng minh q = T (t)q với t > cố định Thật vậy,  kxnj − T (t)xnj k ≤ t tn j  −1 X k=0 kT ((k + 1)tnj )xnj − T (ktnj )xnj k    t tnj xnj − T (t)xnj + T tnj   t ≤ M kT (tnj )xnj − xnj k tnj     t x − x t + M T t − n n n j j j tnj ≤ Mt kT (tnj )xnj − xnj k + M max {kT (s)xnj − xnj k} 0≤s≤tnj tnj với j ∈ N Từ (3.31) tính liên tục ánh xạ t 7→ T (t)x, x ∈ K, ta có lim kxnj − T (t)xnj k = j→∞ Suy T (t)q = q, q ∈ F Mặt khác, khơng gian Banach X thỏa mãn điều kiện Opial, nên tập điểm tụ yếu ωw (xn ) tập điểm Điều hoàn thành chứng minh định lý  78 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02 (LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02 Tiếp theo chúng tơi trình bày định lý hội tụ yếu khác nửa nhóm ánh xạ giả co Lipschitz không gian Hilbert, kết mở rộng Định lý 3.13 từ nửa nhóm ánh xạ khơng giãn sang nửa nhóm ánh xạ giả co Lipschitz Định lý 3.15 Cho X không gian Banach, C tập lồi đóng khác rỗng X Giả sử {T (t) : t ≥ 0} nửa nhóm ánh xạ giả co Lipschitz từ C vào cho F := ∩ F (T (t)) 6= ∅ f : C → C ánh xạ co với hệ số co t≥0 α ∈ (0, 1) Xác định dãy {xn } C xn = αn f (xn ) + βn T (tn )xn + γn un (3.32) với {αn }, {βn } {γn } dãy (0, 1) cho αn + βn + γn = 1, tn > {un } dãy bị chặn C Khi dãy {xn } xác định (3.32) bị chặn Chứng minh Đầu tiên, {xn } xác định tốt Với n ≥ 1, xác định ánh xạ Sn : C → C Sn x = αn f (x) + βn T (tn )x + γn un ∀x ∈ C Chúng ta thấy Sn ánh xạ giả co mạnh liên tục với n ≥ Thật vậy, với x, y ∈ C có hSn x − Sn y, j(x − y)i = αn hf (x) − f (y), j(x − y)i + βn hT (tn )x − T (tn )y, j(y − x)i ≤ (ααn + βn )kx − yk2 Bởi Định lý 1.16 có điểm bất động xn với n ≥ cho xn = αn f (xn ) + βn T (tn )xn + γn un 79 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02 (LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02 Nghĩa là, dãy {xn } xác định tốt Cố định p ∈ F , có kxn − pk2 = αn hf (xn ) − p, j(xn − p)i + βn hT (tn )xn − p, j(xn − p)i + γn hun − p, j(xn − p)i ≤ αn hf (xn ) − f (p), j(xn − p)i + αn hf (p) − p, j(xn − p)i + βn kxn − pk2 + γn kun − pkkxn − pk ≤ ααn kxn − pk2 + αn kf (p) − pkkxn − pk + βn kxn − pk2 + γn kun − pkkxn − pk Do αn γn kf (p) − pk + kun − pk (1 − α)αn + γn (1 − α)αn + γn kf (p) − pk + kun − pk ≤ 1−α kxn − pk ≤ Điều suy dãy {xn } bị chặn dãy {T (tn )xn }, {f (xn )} bị chặn Định lý 3.16 Cho X không gian Banach, C tập lồi đóng khác rỗng X Giả sử {T (t) : t ≥ 0} nửa nhóm ánh xạ giả co Lipschitz từ C vào cho F := ∩ F (T (t)) 6= ∅ f : C → C ánh xạ co với hệ t≥0 số co α ∈ (0, 1) Giả sử với tập bị chặn K ⊂ C ta có: lim sup kT (s)x − xk = s→0 x∈K (3.33) Xác định dãy {xn } C xn = αn f (xn ) + βn T (tn )xn + γn un (3.34) với {αn }, {βn } {γn } dãy (0, 1) cho αn + βn + γn = 1, tn > αn + γ n = Khi {un } dãy bị chặn C Giả sử lim tn = lim n→ n→∞ tn lim kT (t)xn − xn k = ∀t ≥ n→∞ Chứng minh Từ {T (t) : t ≥ 0} nửa nhóm ánh xạ giả co Lipschitz, với 80 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02 (LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02 t > ta có: kxn − T (t)xn k ≤ t [ tX ]−1 n k=0 kT ((k + 1)tn )xn − T (ktn )xn k    t x − T (t)x t + T n n n tn   t ≤ L(ktn )kT (tn )xn − xn k tn        t t +L T t− tn tn x n − x n tn tn   t kT (tn )xn − xn k + max {kxn − T (s)xn k} ≤ sup{L(t)} 0≤s≤tn tn t≥0   αn + γ n ≤ sup{L(t)} tM + max {kxn − T (s)xn k} , 0≤s≤tn tn t≥0  t với tn  phần nguyên t , tn M = max{sup{kf (xn ) − T (tn )xn k}, sup{kun − T (tn )xn k}} < ∞ n≥0 n≥0 αn + γ n = lim sup kT (s)x − xk = cho tập n→∞ n→∞ s→0 x∈K tn bị chặn K ⊂ C Từ lim tn = lim lim kT (t)xn − xn k = n→∞ (3.35) ∀t ≥ Bây giờ, chúng tơi xin trình bày định lý hội tụ yếu không gian Banach Định lý 3.17 Cho X không gian Banach phản xạ thỏa mãn điều kiện Opial, C tập lồi đóng khác rỗng X Giả sử {T (t) : t ≥ 0} nửa nhóm ánh xạ giả co Lipschitz từ C vào cho F := ∩ F (T (t)) 6= ∅ t≥0 f : C → C ánh xạ co với hệ số α ∈ (0, 1) Giả sử với tập bị chặn K ⊂ C ta có lim sup kT (s)x − xk = (3.36) s→0 x∈K Xác định dãy {xn } C xn = αn f (xn ) + βn T (tn )xn + γn un (3.37) 81 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02 (LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02 với {αn }, {βn } {γn } dãy (0, 1) cho αn +βn +γn = ∀n ≥ 1, αn + γ n tn > {un } dãy bị chặn C Giả sử lim tn = lim = Khi n→ n→∞ tn dãy {xn } hội tụ yếu đến điểm bất động chung nửa nhóm {T (t) : t ≥ 0} Chứng minh Từ {xn } bị chặn, không tổng quát ta giả sử có dãy {xnj } dãy {xn } hội tụ yếu tới q ∈ C Từ (3.35) ta có lim kxnj − T (t)xnj k = j→∞ Bởi Định lý 1.20 T (t)q = q, q ∈ F Mặt khác, từ X thỏa mãn điều kiện Opial ta thấy ωw (xn ) tập điểm Chứng minh định lý hồn thành Sau chúng tơi trình bày ví dụ minh họa cho định lý mục Ví dụ 3.2 Cho A ma trận cấp n × n u véctơ n chiều với thành phần hàm số Xét phương trình vi phân với điều kiện ban đầu · u(0) = x, u(t) = Au(t) (3.38) Nghiệm phương trình u(t, x) = etA x, với etA hàm mũ ma trận [xem, 13] Họ tham số {etA }t≥0 nửa nhóm ma trận " Đặc biệt, # giả sử A ma trận cấp × sau A = −2 −1 Hiển nhiên u(t, x) = etA x nghiệm (3.38) Với t ≥ −2 " # cos t − sin t x ∈ R2 , T (t) : R2 → R2 xác định T (t)x = e−2t x sin t cos t Dễ thấy u(t, x) = T (t)x {T (t) : t ≥ 0} nửa nhóm ánh xạ giả co Lipschitz R2 mà thỏa mãn (3.36) 3.4 Kết luận Trong Chương nghiên cứu phương pháp lặp xấp xỉ gắn kết để tìm điểm bất điểm bất động chung cho họ nửa nhóm ánh xạ khơng giãn họ nửa nhóm ánh xạ giả co Chúng thu định 82 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02 (LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02 lý hội tụ mạnh định lý hội tụ yếu đến điểm bất động chung, kết kết hướng nghiên cứu Cuối chương đề xuất phương pháp lặp xấp xỉ gắn kết có sai số để tìm điểm bất động chung họ nửa nhóm ánh xạ khơng giãn Các kết Chương công bố báo [5, 6] 83 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02(LUAN.an.TIEN.si).mot.so.phuong.phap.tim.diem.bat.dong.chung.cua.mot.ho.anh.xa.khong.gian62.46.01.02