Mẫu khảo sát
Một số lớp 12, trường THPT chuyên Trần Phú, Hải Phòng.
Vấn đề nghiên cứu
+ Các kĩ năng tìm GTLN, GTNN của một biểu thức?
+ Giải pháp rèn luyện kĩ năng tìm GTLN, GTNN của một biểu thức cho học sinh khá, giỏi cuối cấp THPT?
Để nâng cao kỹ năng giải toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất cho học sinh khá, giỏi cuối cấp Trung học phổ thông, việc hệ thống hóa các dạng toán và kỹ năng cần thiết là rất quan trọng Bên cạnh đó, cần có các biện pháp rèn luyện phù hợp nhằm giúp học sinh nắm vững và áp dụng hiệu quả các phương pháp tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức.
+ Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu lí luận về rèn luyện kĩ năng giải toán, về dạy học giải bài tập toán học
Phương pháp điều tra quan sát được áp dụng thông qua các mẫu phiếu điều tra nhằm khảo sát tình hình dạy và học về việc tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một biểu thức Nghiên cứu này tập trung vào kỹ năng tìm GTLN và GTNN trong chương trình lớp cuối cấp trung học phổ thông (THPT).
Phương pháp thực nghiệm sư phạm bao gồm việc soạn thảo và giảng dạy các giáo án thực nghiệm nhằm tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một biểu thức, áp dụng cho một số lớp chuyên và lớp cuối cấp THPT Đánh giá kết quả thực nghiệm và tính khả thi, hiệu quả của đề tài là những yếu tố quan trọng trong quá trình này.
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận văn gồm 3 chương:
Chương 1 Kĩ năng giải toán Chương 2 Giải pháp rèn luyện kĩ năng tìm GTLN, GTNN của một biểu thức cho học sinh khá, giỏi cuối cấp THPT
Chương 3 Thực nghiệm sư phạm
KĨ NĂNG GIẢI TOÁN 1.1 Quan niệm về kĩ năng, kĩ năng giải toán
1.1.1 Quan niệm về kĩ năng, kĩ năng giải toán
Kỹ năng có thể được định nghĩa khác nhau tùy thuộc vào các khía cạnh như tâm lý, hành vi, năng lực vận dụng và giáo dục Mỗi phương diện này mang đến một cái nhìn riêng về bản chất và vai trò của kỹ năng trong cuộc sống và công việc.
Kỹ năng được định nghĩa là khả năng sử dụng thông tin, tri thức và khái niệm đã có để nhận diện các thuộc tính của sự vật và giải quyết thành công các nhiệm vụ lý luận hoặc thực hành Nó không chỉ là việc áp dụng kiến thức vào thực tế mà còn là nghệ thuật vận dụng hiểu biết để đạt được mục tiêu cá nhân Hơn nữa, kỹ năng còn được xem là tổng hợp của các thói quen nhất định và khả năng làm việc có phương pháp.
Trong luận văn này, chúng tôi quan niệm:
Kĩ năng là khả năng áp dụng tri thức, bao gồm khái niệm, định lí, thuật giải và phương pháp, để giải quyết các nhiệm vụ cụ thể Do đó, tri thức, bao gồm tri thức về sự vật và tri thức phương pháp, đóng vai trò là nền tảng quan trọng cho việc phát triển kĩ năng.
Từ quan niệm về kĩ năng, chúng tôi quan niệm về kĩ năng giải toán như sau:
Trong Toán học, kĩ năng được định nghĩa là khả năng giải quyết các bài toán, thực hiện chứng minh và phân tích phê phán các lời giải Kĩ năng giải bài tập toán của học sinh thể hiện qua việc sử dụng một cách sáng tạo và có mục đích những kiến thức toán học đã học để giải quyết các bài toán.
1.1.2 Điều kiện để có kĩ năng
Muốn có kĩ năng về hành động nào đó chủ thể cần phải:
- Có kiến thức để hiểu được mục đích của hành động, biết được điều kiện, cách thức để đi đến kết quả, để thực hiện hành động
- Tiến hành hành động đó với yêu cầu của nó
- Đạt được kết quả phù hợp với mục đích đã đề ra
- Có thể hành động có hiệu quả trong những điều kiện khác nhau
- Có thể qua bắt chước, rèn luyện để hình thành kĩ năng nhưng phải trải qua thời gian đủ dài
1.1.3 Các mức độ của kĩ năng giải toán
Kĩ năng giải bài tập toán học cú thể chia thành ba mức độ khác nhau:
Để thành thạo trong việc giải các bài tập cơ bản, người học cần vận dụng lý thuyết một cách hiệu quả Điều này bao gồm việc viết các đại lượng bằng ngôn ngữ toán học, sử dụng chính xác công thức và ký hiệu, cũng như tính giá trị dựa trên công thức đã học Hơn nữa, việc nắm vững quy trình giải quyết một dạng toán tương tự như bài mẫu là rất quan trọng để nâng cao khả năng giải toán.
Thành thạo trong việc giải toán là khả năng giải nhanh, ngắn gọn và chính xác các bài toán đã biết, ngay cả trong những hoàn cảnh và điều kiện mới tương tự Người thành thạo có thể giải quyết các bài tập tổng hợp, phức tạp và đa dạng một cách hiệu quả.
- Mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo: đ-a ra đ-ợc những cách giải ngắn gọn, cỏch chuyển húa vấn đề khộo lộo, cỏch giải quyết vấn đề độc đáo
1.2 Nhiệm vụ rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh
1.2.1 Mục tiêu dạy học môn toán
Mục tiêu dạy học môn Toán nằm trong mục tiêu giáo dục nói chung
Mục tiêu của giáo dục phổ thông là phát triển toàn diện cho học sinh, bao gồm đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kỹ năng cơ bản Giáo dục còn giúp phát triển năng lực cá nhân, tính năng động, sáng tạo, và hình thành nhân cách con người Việt Nam XHCN Đồng thời, nó cũng xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân, chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học tập hoặc tham gia lao động, góp phần vào việc xây dựng và bảo vệ Tổ quốc.
- Trang bị cho HS những tri thức, kĩ năng, phương pháp toán học phổ thông, cơ bản, thiết thực
- Góp phần phát triển năng lực trí tuệ, bồi dưỡng phẩm chất trí tuệ cho HS
Góp phần hình thành và phát triển các phẩm chất lao động khoa học, người lao động cần biết hợp tác, có ý chí kiên định và thói quen tự học thường xuyên.
- Tạo cơ sở để HS tiếp tục học CĐ, ĐH, TCCN, học nghề hoặc đi vào cuộc sống lao động
Các mục tiêu thể hiện sự toàn diện và thống nhất, hỗ trợ lẫn nhau; tri thức là nền tảng cho việc đạt được các mục tiêu khác Trong số đó, mục tiêu phát triển trí tuệ được coi là quan trọng nhất Qua các hoạt động, chúng ta không chỉ rèn luyện kỹ năng mà còn củng cố tri thức.
1.2.2 Yêu cầu rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh ở trường THPT
Việc rèn luyện kĩ năng giải toán nhằm đạt được các yêu cầu cần thiết sau:
+ Giúp học sinh hình thành và nắm vững những mạch kiến thức cơ bản trong chương trình
+ Giúp học sinh phát triển các năng lực trí tuệ Cụ thể là phát triển:
- Tư duy lôgic và ngôn ngữ chính xác
- Khả năng suy đoán, tư duy trừu tượng và trí tưởng tượng trong không gian
- Những thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp khái quát hóa
- Các phẩm chất trí tuệ như tư duy độc lập, tư duy linh hoạt và sáng tạo
1.3 Giải bài tập toán học
1.3.1 Vai trò của bài tập toán học
Bài tập đóng vai trò quan trọng trong môn toán, giúp học sinh thực hiện các hoạt động như nhận dạng và thể hiện định nghĩa, cũng như các hoạt động trí tuệ phức hợp Chúng không chỉ hình thành và củng cố kiến thức, kỹ năng mà còn phát triển năng lực trí tuệ và kỹ năng ứng dụng toán học vào thực tiễn Qua bài tập, giáo viên có thể bổ sung kiến thức đã học và rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh, đồng thời bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng.
Để giúp học sinh phát triển kỹ năng giải toán, cần đặt ra những câu hỏi gợi ý phù hợp với từng tình huống Những câu hỏi này sẽ là công cụ hữu ích kích thích sự tìm tòi và khám phá, giúp học sinh thực hiện từng bước của phương pháp giải toán một cách hiệu quả.
1.3.2.Ý nghĩa của việc giải bài toán theo nhiều cách
Việc khám phá nhiều phương pháp giải quyết một bài toán không chỉ giúp học sinh rèn luyện kỹ năng và củng cố kiến thức, mà còn phát triển trí thông minh và khả năng sáng tạo Những lợi ích này thể hiện rõ ràng qua việc học sinh có thể tiếp cận vấn đề từ nhiều góc độ khác nhau, từ đó nâng cao khả năng tư duy và giải quyết vấn đề.
Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận văn gồm 3 chương:
KĨ NĂNG GIẢI TOÁN
Quan niệm về kĩ năng, kĩ năng giải toán
1.1.1 Quan niệm về kĩ năng, kĩ năng giải toán
Kỹ năng có thể được định nghĩa khác nhau tùy thuộc vào các khía cạnh như tâm lý, hành vi, năng lực vận dụng và giáo dục Mỗi phương diện này mang đến một cách nhìn nhận riêng về bản chất và vai trò của kỹ năng trong cuộc sống.
Kỹ năng được định nghĩa là năng lực sử dụng dữ kiện, tri thức và khái niệm đã có để phát hiện thuộc tính bản chất của sự vật và giải quyết nhiệm vụ lý luận hay thực hành Nó còn được hiểu là khả năng áp dụng kiến thức vào thực tế trong một lĩnh vực cụ thể Hơn nữa, kỹ năng được xem như một nghệ thuật, thể hiện khả năng vận dụng hiểu biết để đạt được mục đích cá nhân, đồng thời còn bao gồm các thói quen nhất định và khả năng làm việc có phương pháp.
Trong luận văn này, chúng tôi quan niệm:
Kỹ năng là khả năng áp dụng kiến thức, bao gồm khái niệm, định lý, thuật giải và phương pháp, để giải quyết các nhiệm vụ cụ thể Do đó, kiến thức, bao gồm cả hiểu biết về sự vật và phương pháp, là nền tảng thiết yếu cho việc phát triển kỹ năng.
Từ quan niệm về kĩ năng, chúng tôi quan niệm về kĩ năng giải toán như sau:
Kỹ năng trong Toán học bao gồm khả năng giải quyết bài toán, thực hiện chứng minh và phân tích phê phán các lời giải cũng như chứng minh đã được đưa ra Kỹ năng giải bài tập toán của học sinh thể hiện ở việc sử dụng một cách sáng tạo và có mục đích những kiến thức toán học đã học để giải quyết các bài toán.
1.1.2 Điều kiện để có kĩ năng
Muốn có kĩ năng về hành động nào đó chủ thể cần phải:
- Có kiến thức để hiểu được mục đích của hành động, biết được điều kiện, cách thức để đi đến kết quả, để thực hiện hành động
- Tiến hành hành động đó với yêu cầu của nó
- Đạt được kết quả phù hợp với mục đích đã đề ra
- Có thể hành động có hiệu quả trong những điều kiện khác nhau
- Có thể qua bắt chước, rèn luyện để hình thành kĩ năng nhưng phải trải qua thời gian đủ dài
1.1.3 Các mức độ của kĩ năng giải toán
Kĩ năng giải bài tập toán học cú thể chia thành ba mức độ khác nhau:
Để thành thạo trong việc giải quyết các bài tập cơ bản, người học cần vận dụng lý thuyết một cách hiệu quả Điều này bao gồm việc viết các đại lượng bằng ngôn ngữ toán học, ghi nhớ và sử dụng chính xác công thức cũng như ký hiệu Hơn nữa, việc tính giá trị dựa trên công thức đã học và nắm vững quy trình giải quyết các dạng toán tương tự như bài mẫu là rất quan trọng.
Thành thạo trong giải toán có nghĩa là giải quyết nhanh chóng, ngắn gọn và chính xác các bài toán theo phương pháp đã học, ngay cả trong những hoàn cảnh và điều kiện mới tương tự Điều này bao gồm khả năng giải quyết các bài tập tổng hợp, phức tạp và đa dạng.
- Mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo: đ-a ra đ-ợc những cách giải ngắn gọn, cỏch chuyển húa vấn đề khộo lộo, cỏch giải quyết vấn đề độc đáo.
Nhiệm vụ rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh
1.2.1 Mục tiêu dạy học môn toán
Mục tiêu dạy học môn Toán nằm trong mục tiêu giáo dục nói chung
Mục tiêu của giáo dục phổ thông là phát triển toàn diện cho học sinh, bao gồm đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kỹ năng cơ bản Điều này nhằm phát triển năng lực cá nhân, tính năng động, sáng tạo và hình thành nhân cách con người Việt Nam XHCN Bên cạnh đó, giáo dục phổ thông còn giúp học sinh xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân, chuẩn bị cho việc học tiếp hoặc tham gia vào cuộc sống lao động, cũng như góp phần vào việc xây dựng và bảo vệ Tổ quốc.
- Trang bị cho HS những tri thức, kĩ năng, phương pháp toán học phổ thông, cơ bản, thiết thực
- Góp phần phát triển năng lực trí tuệ, bồi dưỡng phẩm chất trí tuệ cho HS
Góp phần hình thành và phát triển các phẩm chất lao động khoa học, người lao động cần biết hợp tác hiệu quả, đồng thời rèn luyện ý chí và thói quen tự học thường xuyên.
- Tạo cơ sở để HS tiếp tục học CĐ, ĐH, TCCN, học nghề hoặc đi vào cuộc sống lao động
Các mục tiêu cần thể hiện sự toàn diện, thống nhất và mối quan hệ hỗ trợ lẫn nhau Tri thức là nền tảng cho việc đạt được các mục tiêu khác, trong đó mục tiêu phát triển trí tuệ đóng vai trò quan trọng nhất Thông qua các hoạt động, chúng ta có thể rèn luyện kỹ năng và củng cố tri thức.
1.2.2 Yêu cầu rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh ở trường THPT
Việc rèn luyện kĩ năng giải toán nhằm đạt được các yêu cầu cần thiết sau:
+ Giúp học sinh hình thành và nắm vững những mạch kiến thức cơ bản trong chương trình
+ Giúp học sinh phát triển các năng lực trí tuệ Cụ thể là phát triển:
- Tư duy lôgic và ngôn ngữ chính xác
- Khả năng suy đoán, tư duy trừu tượng và trí tưởng tượng trong không gian
- Những thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp khái quát hóa
- Các phẩm chất trí tuệ như tư duy độc lập, tư duy linh hoạt và sáng tạo.
Giải bài tập toán học
1.3.1 Vai trò của bài tập toán học
Bài tập có vai trò quan trọng trong môn toán, giúp học sinh thực hiện các hoạt động như nhận dạng và thể hiện định nghĩa, cũng như các hoạt động trí tuệ phức hợp Những bài tập này không chỉ củng cố kiến thức và kỹ năng mà còn phát triển năng lực trí tuệ, đồng thời bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng Thông qua bài tập, giáo viên có thể hoàn thiện hoặc bổ sung kiến thức đã học, đồng thời rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh, hướng tới việc ứng dụng toán học vào thực tiễn.
Để giúp học sinh phát triển khả năng giải toán, cần đặt ra những câu hỏi gợi ý phù hợp với tình huống Những câu hỏi này sẽ kích thích sự tìm tòi và khám phá, giúp học sinh từng bước áp dụng phương pháp giải toán hiệu quả.
1.3.2.Ý nghĩa của việc giải bài toán theo nhiều cách
Việc khám phá nhiều phương pháp giải quyết một bài toán không chỉ giúp học sinh rèn luyện kỹ năng và củng cố kiến thức, mà còn phát triển trí thông minh và khả năng sáng tạo Những lợi ích này thể hiện rõ nét qua các tác động tích cực đến quá trình học tập của học sinh.
Các phương pháp giải khác nhau cho một bài toán không chỉ giúp học sinh hiểu rõ hơn về tính chất của các phép tính số học, mà còn làm nổi bật mối quan hệ giữa chúng Việc khám phá nhiều cách giải giúp củng cố kiến thức và phát triển tư duy logic cho học sinh.
Trong quá trình khám phá nhiều phương pháp giải khác nhau, học sinh có cơ hội suy nghĩ về nhiều khía cạnh của bài toán, giúp họ hiểu sâu hơn về các mối quan hệ trong bài toán Điều này không chỉ củng cố kiến thức mà còn nâng cao khả năng tư duy và phân tích của học sinh.
Việc khám phá nhiều phương pháp giải toán khác nhau không chỉ giúp học sinh so sánh các cách giải, mà còn cho phép họ lựa chọn phương pháp tối ưu hơn Qua đó, học sinh tích lũy được nhiều kinh nghiệm quý báu trong việc giải quyết các bài toán.
Việc khám phá nhiều phương pháp giải quyết vấn đề không chỉ giúp học sinh phát triển tính kiên trì mà còn khuyến khích sự tiết kiệm trong tư duy Từ những cách giải khác nhau, học sinh có thể lựa chọn con đường ngắn nhất để đạt được mục tiêu, thay vì chỉ bằng lòng với giải pháp đầu tiên mà họ tìm ra.
- Quá trình tìm tòi những cách giải khác nhau của bài toán cũng là quá trình rèn
Tóm tắt chương 1
KĨ NĂNG GIẢI TOÁN 1.1 Quan niệm về kĩ năng, kĩ năng giải toán
1.1.1 Quan niệm về kĩ năng, kĩ năng giải toán
Kỹ năng có thể được định nghĩa khác nhau tùy thuộc vào các khía cạnh như tâm lý, hành vi, năng lực vận dụng hay giáo dục Mỗi phương diện này mang đến một cái nhìn riêng về bản chất và vai trò của kỹ năng trong cuộc sống.
Theo giáo trình Tâm lý học đại cương, kĩ năng được định nghĩa là năng lực sử dụng các dữ kiện và tri thức đã có để phát hiện thuộc tính bản chất của sự vật và giải quyết nhiệm vụ Kĩ năng còn là khả năng vận dụng kiến thức thu nhận được vào thực tế, thể hiện nghệ thuật trong việc đạt được mục đích cá nhân Ngoài ra, kĩ năng cũng được xem như toàn bộ thói quen nhất định và khả năng làm việc có phương pháp.
Trong luận văn này, chúng tôi quan niệm:
Kỹ năng là khả năng áp dụng tri thức, bao gồm khái niệm, định lý, thuật giải và phương pháp, để hoàn thành các nhiệm vụ cụ thể Do đó, tri thức, bao gồm cả hiểu biết về sự vật và phương pháp, là nền tảng thiết yếu cho việc phát triển kỹ năng.
Từ quan niệm về kĩ năng, chúng tôi quan niệm về kĩ năng giải toán như sau:
Trong Toán học, kĩ năng bao gồm khả năng giải quyết bài toán, thực hiện chứng minh và phân tích phê phán các lời giải Kĩ năng giải bài tập của học sinh thể hiện ở việc sử dụng một cách sáng tạo và có mục đích các kiến thức toán học đã học để hoàn thành bài tập.
1.1.2 Điều kiện để có kĩ năng
Muốn có kĩ năng về hành động nào đó chủ thể cần phải:
GIẢI PHÁP RÈN LUYỆN KĨ NĂNG TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC CHO HỌC SINH
Dạng tìm GTLN, GTNN của hàm số
Ví dụ 1 Tìm GTLN, GTNN của f x x 3 3 x 2 2 trên mỗi tập hợp D cho dưới đây: a D 1;4 b D 1;4 c D 1;4 d D 1;4
Lời giải: a TXĐ: R D , 1;4 R D , là khoảng đóng
1;4 max max 1 , 2 , 4 max 4;6; 14 6 2 min min 1 , 2 , 4 min 4;6; 14 14 4 x x f x f f f f f x f f f f
TXĐ: D 1;4 ; 1;4 ; 1;4 - là khoảng không đóng
Ví dụ 2 Tìm GTLN, GTNN của
Cách 1: Dựa vào định nghĩa tập giá trị của hàm số
Tìm GTLN, GTNN của y: a Trên 0;1 b Trên TXĐ c Trên 0;1 , 0;1 0;1
b TXĐ: D R (do x 2 1 0 x ); c.Tập khảo sát là các khoảng không đóng lim 1; lim 1 x y x y
Lưu ý: Khi xét GTLN, GTNN của hàm số f x ( ) trên một tập D ta cần chú ý xem tập hợp D đóng hay không đóng:
- Trường hợp 1: D không đóng thì lập bảng biến thiên của hàm số
( ) f x trên tập hợp D Dựa vào bảng biến thiên đó kết luận
Trong trường hợp hàm số f(x) liên tục trên khoảng đóng [a; b], việc lập bảng biến thiên có thể không cần thiết Chúng ta chỉ cần xác định tập hợp điểm tới hạn trong đoạn [a; b] Giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trên đoạn này sẽ tương ứng với GTLN và GTNN trong tập hợp các giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn.
; ; a b các điểm tới hạn thuộc đoạn [ ; ] a b
Dạng biểu thức chỉ chứa một biến
Nếu biểu thức chỉ chứa một biến số, ta có thể áp dụng phương pháp khảo sát hàm số như đã đề cập ở mục 2.1 Tuy nhiên, không phải tất cả các hàm số đều dễ dàng khảo sát, vì vậy mục này sẽ chủ yếu trình bày các phương pháp khác ngoài phương pháp khảo sát hàm số.
2.2.1 Sử dụng các bất đẳng thức đã biết
Ví dụ 4 Tìm GTNN của hàm số 2 1 y 1 x x
Cách 1:Xét biểu thức phụ 2 1 2 2
Cách 2: Theo BĐT Bu-nhi-a-cốp-ski ta có:
2.2.2 Xét biểu thức có liên quan
Ví dụ 5 Tìm GTLN, GTNN của hàm số y x 2 4 x
2.2.3 Đặt ẩn phụ 2.2.3.1 Một số hàm đa thức thường gặp
Ví dụ 6 Xét y x 2 4 x x 2 4 a, Tìm GTNN của y b, Tìm GTLN, GTNN của y trên 0;3
b Đặt t x 1 2 Tìm điều kiện t với x 0;3 , thấy t 0; 4 x 0 1 3 t
Xét f t ( ) : TXĐ: ; 0; 4 ; 0; 4 là khoảng đóng
0;4 max max (0); (4) max 9; 15 9 0 min min (0); (4) min 9; 15 15 4 t t f t f f f f t f f f
2.2.3.2 Hàm chứa biểu thức mũ
Ví dụ 7 Tìm GTNN của hàm số:
Sai lầm: (học sinh dễ mắc phải) Đặt t 2 3 x 2 3 x
Phân tích: Phải chú ý tìm điều kiện của t và chuyển sang bài toán mới tìm GTNN của hàm số biến t trong điều kiện của t
+ Đặt t 2 3 x 2 3 x y t 2 3 t 2 t 3 2 2 17 4 f t ( ) + Tìm điều kiện của t :
Lập bảng biến thiên của hàm số t : có t 2;
Dấu " " xảy ra t 2 x 0 +KL: min y 4 x 0
2.2.3.3 Hàm thuận nghịch; tựa thuận nghịch Đặt t x 1
Ví dụ 8 Tính GTLN của
Cách 2: Tìm t để phương trình: x 2 tx 1 0 có nghiệm
x Lập bảng biến thiên của t ' 1 1 2
Ví dụ 9 Tìm GTNN của hàm số
Cách 1: Phương trình ẩn x x : 2 tx 1 0 luôn có nghiệm t
x , hàm số đồng biến trên ;0 ; 0;
+Có: min y min f t 6 f 1 (Qua bảng biến thiên của hàm số f t ( ) )
Ví dụ 10: Tìm GTNN của hàm số 3 1 3 2 1 2 1
2.2.3.4 Hàm vô tỷ dạng y n x a b x m x a b x p Đặt t x a b x y , f t
-Tìm điều kiện t ta được t D -Chuyển sang f t t , D
Ví dụ 11 Tìm GTLN, GTNN của hàm số
Qua bảng biến thiên ta có t 2;2 Cách 2: t 2 2 x 2 4 x
2 ;2 max max 2 , 2 max 2;3 3 2 min min 2 , 2 min 2;3 2 2 t t f t f f f f t f f f
2;4 max max max 2 , 3 , 4 max 2;3; 2 3 3 min min min 2 , 3 , 4 min 2;3; 2 2 2 4 x x y y y y y y y y y y y y y
2.2.4 Sử dụng điểm thuộc đồ thị hàm số
Tìm trên (C) điểm M để tổng khoảng cách từ M tới hai đường tiệm cận xiên của (C) đạt giá trị nhỏ nhất
Tiệm cận đứng: x 1 ; tiệm cận xiên y x x y 0
+Chứng minh: tích khoảng cách từ mỗi điểm M bất kỳ thuộc (C) tới 2 đường tiệm cận bằng hằng số
+ Đa thức Trê-bư-sep bậc n n ; ; n 2 : f x n ( ) cos n arccos x có tập xác định D 1;1 n 2 : f x 2 ( ) 2 x 2 1 cos 2t với t 0; ;cos t x t arccos x n 3: f x 3 ( ) 4 x 3 3 x c os3 t với t 0; ;cos t x t arccos x n 4 : f x 4 ( ) 8 x 4 8 x 2 1 cos 4 t với t 0; ;cos t x t arccos x
Ví dụ 13 : Tìm GTLN của hàm số f x ( ) 1 x x 2 2 x 2 1 8 x 4 8 x 2 1 trên
Khi đó có: 1 x 2 sin ; 2 t x 2 1 cos 2 ; 8 t x 4 8 x 2 1 cos 4 t
( ) sin cos cos 2 cos 4 1 sin 8 f x t t t t 8 t g t ( )
Ví dụ 14 : Tìm GTLN; GTNN của hàm số : y x 3 1 x 2 3 4 x 1 x 2
+TXĐ: 1;1 Đặt x cos ( t t 0; ) 1 x 2 sin t sin t
3 3 cos sin 4sin cos y t t t t Đặt u sin t cos t 2 sin t 4
Bài toán đưa về tìm GTLN; GTNN của hàm số f u ( ) trên 1; 2
x x y x Tìm A, B 2 nhánh khác nhau của (C) mà AB đạt GTNN Đáp số:
Bài 2: Cho n N *, n 2 Tìm GTLN của f x 1 x n 1 x n trên
; f x ( ) 2 n sin 2 t n c os 2 t n g t ( ) Đáp số: m ax 1;1 ( ) 2 n (1) ( 1) x f x f f
Bài 3: Tìm GTLN; GTNN của y 1 1 x 2 1 x 3 1 x 3 8 8 x 2
Hướng dẫn: Đặt x cos ; t t 0; y sin cos t t 2 sin t cos t
Dạng biểu thức lượng giác
Chương trình này tập trung vào việc rèn luyện kỹ năng tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các biểu thức cho học sinh, phân chia theo từng dạng khác nhau Mỗi dạng sẽ áp dụng những phương pháp cụ thể đã được xác định trong mục 1.4 của chương 1.
Chúng tôi thiết kế cấu trúc bài viết nhằm hỗ trợ học sinh rèn luyện kỹ năng theo từng bài học, đồng thời mỗi dạng bài có thể áp dụng nhiều phương pháp giải khác nhau Mỗi phần nhỏ sẽ được trình bày theo ba bước như đã nêu ở mục 1.6 chương 1.
2.1 Dạng tìm GTLN, GTNN của hàm số
Ví dụ 1 Tìm GTLN, GTNN của f x x 3 3 x 2 2 trên mỗi tập hợp D cho dưới đây: a D 1;4 b D 1;4 c D 1;4 d D 1;4
Lời giải: a TXĐ: R D , 1;4 R D , là khoảng đóng
1;4 max max 1 , 2 , 4 max 4;6; 14 6 2 min min 1 , 2 , 4 min 4;6; 14 14 4 x x f x f f f f f x f f f f
TXĐ: D 1;4 ; 1;4 ; 1;4 - là khoảng không đóng
Ví dụ 2 Tìm GTLN, GTNN của
Cách 1: Dựa vào định nghĩa tập giá trị của hàm số
Tìm GTLN, GTNN của y: a Trên 0;1 b Trên TXĐ c Trên 0;1 , 0;1 0;1
b TXĐ: D R (do x 2 1 0 x ); c.Tập khảo sát là các khoảng không đóng lim 1; lim 1 x y x y
Lưu ý: Khi xét GTLN, GTNN của hàm số f x ( ) trên một tập D ta cần chú ý xem tập hợp D đóng hay không đóng:
- Trường hợp 1: D không đóng thì lập bảng biến thiên của hàm số
( ) f x trên tập hợp D Dựa vào bảng biến thiên đó kết luận
Trong trường hợp 2, khi D = [a; b] và hàm số f(x) liên tục trên khoảng đóng [a; b], ta không cần lập bảng biến thiên của hàm số Chúng ta chỉ cần xác định tập hợp các điểm tới hạn trong đoạn [a; b] Giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trên đoạn [a; b] sẽ tương ứng với GTLN và GTNN trong tập hợp các giá trị của hàm số tại các điểm này.
; ; a b các điểm tới hạn thuộc đoạn [ ; ] a b
2.2 Dạng biểu thức chỉ chứa một biến
Khi biểu thức chỉ chứa một biến số, chúng ta có thể áp dụng phương pháp khảo sát hàm số như đã đề cập ở mục 2.1 Tuy nhiên, không phải tất cả các hàm số đều dễ dàng để khảo sát, vì vậy mục này sẽ giới thiệu các phương pháp khác ngoài phương pháp khảo sát hàm số.
2.2.1 Sử dụng các bất đẳng thức đã biết
Ví dụ 4 Tìm GTNN của hàm số 2 1 y 1 x x
Cách 1:Xét biểu thức phụ 2 1 2 2
Cách 2: Theo BĐT Bu-nhi-a-cốp-ski ta có:
2.2.2 Xét biểu thức có liên quan
Ví dụ 5 Tìm GTLN, GTNN của hàm số y x 2 4 x
2.2.3 Đặt ẩn phụ 2.2.3.1 Một số hàm đa thức thường gặp
Ví dụ 6 Xét y x 2 4 x x 2 4 a, Tìm GTNN của y b, Tìm GTLN, GTNN của y trên 0;3
b Đặt t x 1 2 Tìm điều kiện t với x 0;3 , thấy t 0; 4 x 0 1 3 t
Xét f t ( ) : TXĐ: ; 0; 4 ; 0; 4 là khoảng đóng
0;4 max max (0); (4) max 9; 15 9 0 min min (0); (4) min 9; 15 15 4 t t f t f f f f t f f f
2.2.3.2 Hàm chứa biểu thức mũ
Ví dụ 7 Tìm GTNN của hàm số:
Sai lầm: (học sinh dễ mắc phải) Đặt t 2 3 x 2 3 x
Phân tích: Phải chú ý tìm điều kiện của t và chuyển sang bài toán mới tìm GTNN của hàm số biến t trong điều kiện của t
+ Đặt t 2 3 x 2 3 x y t 2 3 t 2 t 3 2 2 17 4 f t ( ) + Tìm điều kiện của t :
Lập bảng biến thiên của hàm số t : có t 2;
Dấu " " xảy ra t 2 x 0 +KL: min y 4 x 0
2.2.3.3 Hàm thuận nghịch; tựa thuận nghịch Đặt t x 1
Ví dụ 8 Tính GTLN của
Cách 2: Tìm t để phương trình: x 2 tx 1 0 có nghiệm
x Lập bảng biến thiên của t ' 1 1 2
Ví dụ 9 Tìm GTNN của hàm số
Cách 1: Phương trình ẩn x x : 2 tx 1 0 luôn có nghiệm t
x , hàm số đồng biến trên ;0 ; 0;
+Có: min y min f t 6 f 1 (Qua bảng biến thiên của hàm số f t ( ) )
Ví dụ 10: Tìm GTNN của hàm số 3 1 3 2 1 2 1
2.2.3.4 Hàm vô tỷ dạng y n x a b x m x a b x p Đặt t x a b x y , f t
-Tìm điều kiện t ta được t D -Chuyển sang f t t , D
Ví dụ 11 Tìm GTLN, GTNN của hàm số
Qua bảng biến thiên ta có t 2;2 Cách 2: t 2 2 x 2 4 x
2 ;2 max max 2 , 2 max 2;3 3 2 min min 2 , 2 min 2;3 2 2 t t f t f f f f t f f f
2;4 max max max 2 , 3 , 4 max 2;3; 2 3 3 min min min 2 , 3 , 4 min 2;3; 2 2 2 4 x x y y y y y y y y y y y y y
2.2.4 Sử dụng điểm thuộc đồ thị hàm số
Tìm trên (C) điểm M để tổng khoảng cách từ M tới hai đường tiệm cận xiên của (C) đạt giá trị nhỏ nhất
Tiệm cận đứng: x 1 ; tiệm cận xiên y x x y 0
+Chứng minh: tích khoảng cách từ mỗi điểm M bất kỳ thuộc (C) tới 2 đường tiệm cận bằng hằng số
+ Đa thức Trê-bư-sep bậc n n ; ; n 2 : f x n ( ) cos n arccos x có tập xác định D 1;1 n 2 : f x 2 ( ) 2 x 2 1 cos 2t với t 0; ;cos t x t arccos x n 3: f x 3 ( ) 4 x 3 3 x c os3 t với t 0; ;cos t x t arccos x n 4 : f x 4 ( ) 8 x 4 8 x 2 1 cos 4 t với t 0; ;cos t x t arccos x
Ví dụ 13 : Tìm GTLN của hàm số f x ( ) 1 x x 2 2 x 2 1 8 x 4 8 x 2 1 trên
Khi đó có: 1 x 2 sin ; 2 t x 2 1 cos 2 ; 8 t x 4 8 x 2 1 cos 4 t
( ) sin cos cos 2 cos 4 1 sin 8 f x t t t t 8 t g t ( )
Ví dụ 14 : Tìm GTLN; GTNN của hàm số : y x 3 1 x 2 3 4 x 1 x 2
+TXĐ: 1;1 Đặt x cos ( t t 0; ) 1 x 2 sin t sin t
3 3 cos sin 4sin cos y t t t t Đặt u sin t cos t 2 sin t 4
Bài toán đưa về tìm GTLN; GTNN của hàm số f u ( ) trên 1; 2
x x y x Tìm A, B 2 nhánh khác nhau của (C) mà AB đạt GTNN Đáp số:
Bài 2: Cho n N *, n 2 Tìm GTLN của f x 1 x n 1 x n trên
; f x ( ) 2 n sin 2 t n c os 2 t n g t ( ) Đáp số: m ax 1;1 ( ) 2 n (1) ( 1) x f x f f
Bài 3: Tìm GTLN; GTNN của y 1 1 x 2 1 x 3 1 x 3 8 8 x 2
Hướng dẫn: Đặt x cos ; t t 0; y sin cos t t 2 sin t cos t
2.3 Dạng biểu thức chứa hai biến
Khi giải các bài toán có điều kiện ràng buộc giữa hai biến ở bậc nhất, việc rút gọn ẩn này theo ẩn kia để khảo sát hàm số một biến trở nên rõ ràng Tuy nhiên, giáo viên nên khuyến khích học sinh tìm kiếm các phương pháp giải nhanh hơn, nhờ vào những nhận xét và chiến lược tốt hơn.
Phần trình bày dưới đây chủ yếu quan tâm tới những phương pháp khác với phương pháp quy về một ẩn
2.3.1 Dựa vào trường hợp xảy ra đẳng thức khi sử dụng BĐT Cô-si
- Đoán nhận điểm xảy ra dấu bằng
- Trong mỗi bước đánh giá phải chú ý để cho có dấu bằng xảy ra
Hướng dẫn: Do vai trò bình đẳng giữa x và y , ta dự đoán đẳng thức xảy ra khi x y Khi đó xét hệ 0; 0 ;
Từ đó nghĩ đến BĐT Cô-si
Phân tích: Với cách đánh giá như vậy thì dấu bằng không thể xảy ra Hướng dẫn:
+ Do vai trò bình đẳng của x y , nên ta dự đoán dấu " " xảy ra khi x y
; suy ra cách phân tích P (như phần giải)
2.3.2 Dựa vào tính đối xứng của hai biến 2.3.2.1 Quy về đánh giá các đơn thức, đa thức đối xứng x y ; xy x ; 2 y 2
Ví dụ 17 Cho x y 1 Tìm GTNN của A : A x 3 y 3 xy
Hướng dẫn: A là biểu thức đối xứng với x và y nên biến đổi A về dạng biểu thức chỉ chứa x y và xy Mà x y 1 nên đưa A về biểu thức đối với xy
Cách 1: Đánh giá xy, từ đó đánh giá A
Cách 2: Rút về 1 biến y 1 x Biến đổi A về hàm số đối với biến x
Cách 3: Đưa về biến mới Đặt
Biến đổi A về hàm số đối với biến t
Bất đẳng thức Bu-nhia-côp-ski có thể được sử dụng để đánh giá các biểu thức toán học, trong khi bất đẳng thức Cô-si có thể áp dụng khi có thêm các biến x và y, với điều kiện chúng là số dương hoặc không âm.
Ta có: A x y 3 3 xy x y xy 1 3 xy xy 1 2 xy
Cách 1: Đánh giá xy từ đó đánh giá A
Cách 2: Rút về một biến:
Cách 3: Đưa về biến mới: Đặt x t y t
Dấu "=" xảy ra t 0 1 x y 2 KL: min 1 1
Chú ý: sai lầm thường gặp: 2 1 2 x y 4 1 4 x y 8
Phân tích: Chưa chú ý xét dấu đẳng thức xảy ra
Hướng dẫn: Dự đoán dấu đẳng thức xảy ra khi 1 x y 2
Cách 3: Theo BĐT Bu-nhia-cốp-ski:
2 Dấu "=" xảy ra a b Áp dụng có 2 2
Cách 4: Theo BĐT Cô-si: a 2 b 2 2 ab a b ; 0
P x y xy xy x y xy y x xy y x xy xy x y xy y x
Loại 1: Loại 2: Đặt t x y Đặt t xy Đặt
Tìm đk của t t : D Từ GT ràng buộc S , P (1) Đưa về xét hàm số f t ( ) , t D Đưa về xét F S P ( ; ) trong điều kiện (1)
Ví dụ 19: Cho x 2 y 2 2 Tìm GTLN, GTNN của P: P 2 x 3 y 3 3 xy
Ví dụ 20: Cho x , y 0 : x y 1 Tìm GTLN; GTNN của S:
Cách 2: Tìm t để hệ (ẩn x y ; ):
PT (ẩn u ): u 2 u t 0 có 2 nghiệm cùng không âm
Ví dụ 21: Cho xy 0; xy x y x 2 y 2 xy
2.3.2.3 Đánh giá tổng nghịch đảo Đặt x y t y x thì n n n n x y y x
Ví dụ 22: Tìm GTNN của P:
2.3.3 Dựa vào dấu hiệu ràng buộc của hai biến trong giả thiết 2.3.3.1 Bài toán có giả thiết x y k ( k là hằng số)
Chú ý: GTNN thường đặt ra cho những biểu thức dạng:
GTLN thường đặt ra cho những biểu thức dạng: xy ; x a y b
Bài toán đưa về :Tìm GTLN;GTNN của hàm số g t ( ) trên đoạn 1 1 ;
Cách 2: Tìm t : Hệ (ẩn x y ; ): CN x y t y x y x ;
phương trình (ẩn z ): z 2 z t 0 có hai nghiệm cùng không âm
Cách3: t xy x 1 x xét trên 0;1 được 0; 1 t 4
Bài toán đưa về: Tìm GTLN;GTNN của hàm số g t ( ) trên 0; 1
+ Suy ra: P 2 2 2 2 Dấu "=" xảy ra
Bài toán đưa về: Tìm GTNN của hàm số f t ( ) trên 1; 2 + KL: min P 2
Ví dụ 25: Cho x 2 y 2 1 Tìm GTLN, GTNN của P: 2
+Có: min P min f ( t ); max P max f ( t )
Cách 2: Lượng giác hóa Do 2 2 1 : sin cos x t x y t y t
Ví dụ 26: Cho xy 1; x y Tìm GTNN của A: y x y
Lập bảng biến thiên của f t t ( ); 2; có:
Tìm GTNN của P Đáp sô: min P 2 x y 1
Bài 5: Cho x y 2 Tìm GTNN của A: A x 4 y 4 Đáp số: min A 2 x y 1
1 y x y x Tìm GTLN, GTNN của A: A x 3 y 3 xy Đáp số: max A 1 x y ; 0;1 min 1 1
A x y x y x Tìm GTLN, GTNN của A Đáp số: ; max 1
A x y B x y C x y Đáp số: min 1 ; min 1 ; min 1
Tìm GTNN của P Đáp số: min P 1 x y ; 0;1
Tìm GTLN của A: A x 1 y 1 Đấp số: ax 6 1 m A x y 2
Hướng dẫn: Theo BĐT Bu-nhia-côp-ski
Tìm GTNN của P Đáp số: min 7 1
Tìm GTNN của P Đáp số: min 20 1
2.3.4 Khảo sát theo từng biến
Ví dụ 27: Cho x 0;1 ; y 0; 2 Tìm GTNN của P: P 1 x 2 y 4 x 2 y
+ Xét hàm số f u ( ) 2 vu 2 v u u 2 ; 0;1 ; với tham số v 0; 2
; 0 ( c : Qua a 0 , '( ) f a đổi dấu từ dương sang âm
Trên 0; , '( ) g c đổi dấu từ dương sang âm khi qua
tan tan tan 1 tan tan
+ Khi a ; b ; c 0 ; 1 ; ab bc ca 1 thì tồn tại tam giác ABC nhọn sao cho: tan 2
Ví dụ 29: Tìm GTLN, GTNN của A:
Khi đó: 1 y 2 1 sin 2 t cos t cos t do
1 x 2 cos u (tương tự) Vậy A sin u cos t cos u sin t 3 sin u sin t cos u cos t
Ví dụ 30: Cho x 2 y 2 2 x 2 y 1 0 Tìm GTLN, GTNN của P:
Bài 16: Cho x 2 y 2 1 Tìm GTLN, GTNN của P; Q; S:
S 8 x 4 8 x 2 4 xy x 2 y 2 Đáp số: max P 2 ; min P 2 max Q 3; min Q 6 max S 1 2; min S 1 2
Bài 17: Cho đường tròn C : x 2 y 2 1 M N ; là các điểm giao của tia Oy, Ox' với C Tìm A B ; sao cho đường thẳng : Ax By 1 0 là tiếp tuyến của C mà tổng khoảng cách từ M N ; tới đạt: a GTNN b GTLN
M di động trên C Tìm M C để tam giác MAB có diện tích a Đạt GTLN và tính GTLN đó b Đạt GTNN và tính GTNN đó
Bài 19: Tìm GTLN, GTNN của A:
Hướng dẫn:Đặt x tan u , y tan t
Bài 20: Tìm GTLN, GTNN của A: ab b
A sin u cos t sin t cos u 2 u 2 t sin 2 t cos 2 u
2.3.6 Hình học hóa Trong mặt phẳng Oxy:
0 đường tròn tâm I x y 0 ; 0 ;bán kính R ax 0 by 0 c 0 M x 0 y 0 đường thẳng: ax by c 0 x 1 x 2 2 y 1 y 2 2 M 1 M 2 với M 1 (x 1 ; y 1 ); M 2 (x 2 ; y 2 )
với M x y 0 ; 0 ;( ) : ax by c 0 k b a : hệ số góc đường thẳng OM với O 0;0 ; M a b ;
Ví dụ 31: Cho a 2 b 2 0 Tìm GTNN của P:
+Xét trong mp Oxy: GT M a b ; : x 2 y 2 0
Bài toán quy về :Tìm GTNN của MA MB với M ; A , B cho trước thuộc cùng 1 nửa mp bờ
Có MA MB MA ' MB A ' B const M 0 A ' M 0 B M 0 A M 0 B
Ví dụ 32: Cho p q Tìm GTNN của hàm số: f x x 2 2 px 2 p 2 x 2 2 qx 9 q 2
A thuộc hai nửa mp khác nhau, bờ trục hoành nên A B ; thuộc hai nửa mp khác nhau, bờ trục hoành + Có f x OA OB AB = const
+ Dấu "=" xảy ra O đoạn AB
Ví dụ 33: Cho a 2 b 2 4 Tìm GTLN, GTNN của P: P 3 a 2 8 ab 3 b 2
+Trong mp Oxy, xét M a 2 b 2 ; 2 ab ; : 3 x 4 y 3 a 2 8 ab 3 b 2 0
y z a d x Tìm M d : a MA MB đạt GTNN b MA MB đạt GTLN
+Có: MA MB 3 3 t 2 2 at a 2 3 t 2 4 at 4 a 2
Thấy M 1 thuộc trục hoành, A B 1 ; 1 thuộc hai nửa mp khác nhau bờ là trục hoành (do
A B 9 y y a a ) đoạn A 1 B 1 cắt trục hoành tại một điểm
A cùng thuộc một nửa mp bờ là trục hoành; M 2 thuộc trục hoành, nên đoạn A 2 B 2 không có điểm chung với trục hoành nhưng đường thẳng
Bài 21: Cho a 2 b 2 16 8 a 6 b a Tìm GTLN, GTNN của P 4 a 3 b b Tìm GTNN, GTLN của
P : 4 cos 2 cos 2 sin 2 4 sin 2 sin 2 sin 2 Đáp số: min P = 2
Tìm GTLN của P : P x 2 y 2 Đáp số: min P 2 x y 1
Bài 25: Cho a 2 b 2 8 a 4 b 16 0 Tìm GTLN, GTNN của
2.4 Dạng biểu thức có từ 3 biến số trở lên
2.4.1.Dạng biểu thức đối xứng hoặc xoay vòng đối với các biến theo điều kiện ràng buộc biến
2.4.1.1.Dạng có ràng buộc biến: 1 2 1 2
+ Đoán nhận vị trí xảy ra GTLN hoặc GTNN
Dựa trên các bất đẳng thức liên quan đến các biểu thức trong bài, cần lưu ý rằng trong mỗi đánh giá, phải có dấu đẳng thức xảy ra tại các giá trị x1, x2, , xn đã được xác định trước đó.
Các BĐT thường dùng: Cô-si, Bu-nhia-côp-ski; Trê-bư-sep (đã trình bày ở chương 1).BĐT Trê-bư-sep khi dùng phải CM lại
Một số hệ quả của BĐT Cô-si:
Một số hệ quả của BĐT Bu-nhia-côp-ski:
1 a 2 b 2 c 2 d 2 a c 2 b d 2 Dấu "="xảy ra ad bc
Ví dụ 35 : Cho a b c ; ; 0; abc 1 Tìm GTNN của P; Q: b a c c a b c b
+ P đạt GTNN khi và chỉ khi: 0
1 Dựa vào BĐT Cô-si
1 Dựa vào BĐT Bu-nhia-côp-ski
1 dựa vào BĐT Cô-si –Svac
Cách 4: Dựa vào BĐT Trê-bư-sep
+CM :Với 2 dãy số cùng tăng: a b c và x y z luôn có:
a b c x y z 3 ax by cz Dấu " " xảy ra a b c x y z
+Không giảm tính tổng quát, giả sử a b c ,ta có: a b c b c c a a b
Áp dụng BĐT vừa CM: a b c a b c 3 a 2 b 2 c 2 b c c a a b b c c a a b
Q: Giải tương tự P Đáp số: Q a b c min Q 3
S a b ab b c bc c a ca (Với 0 cho trước)
x 0; y 0 Dấu “=”xảy ra x y 0 Áp dụng với 3 hạng tử của P, suy ra: P a b c
Tương tự … cộng vế (1) đúng:
+ P; Q đạt GTNN a b c 1 + Tìm , , thoả: Ma 2 Nab Eb 2 a b 2 a b 2
Cộng vế: 2 4 2 (do ; 0) Trừ vế (1) cho (2): 2 2 1
1 1 1 c b a ca bc ab ca bc ab c b a ca bc ab b a c a c b c b a c b a
( Theo BĐT Cô-si –Svac )
a b c 1 + Khi đó dùng BĐT Cô-si đánh giá:
Cách 1: Theo BĐT Cô-si
Cách 2: Theo BĐT Cô-si –Svac
2 ab bc ca a b c c b a c b a ca bc ab a c c b b a
Bài 26 : Cho a 1 , a 2 , a n 0 Tìm GTNN của A ; B ; C
Bài 27: Cho a 0; b 0; c 0 Tìm GTNN của P; Q; R: b a c a c b c b
( Với 0; 0 cho trước ) Đáp số: min 3
Hướng dẫn: Đoán vị trí xảy ra dấu " " :
1 theo BĐT Bu-nhia-côp-ski:
1 dựa vào BĐT Cô-si –Svac
Tổng quát: Cho x i 0 i 1; ; n n * thỏa mãn:
Tìm GTLN của P: abc a c abc c b abc b
Hướng dẫn: CM: x 3 y 3 xy x y x , y 0 Dấu "=" x = y > 0 Suy ra: P 1
( do a 3 2 b 3 a 3 b 3 b 3 3 3 a b b 3 3 3 3 ab 2 a b ; 0 ) Đáp số: min P 2 a b c 1
( do a 3 2 b 3 a 3 b 3 b 3 3 3 a b b 3 3 3 3 ab 2 a b ; 0 ) Đáp số : min P 2 a b c 1
Tương tự ví dụ trên tìm được 1; 2; 80
Tìm GTLN của A: ac a c bc c b ab b a
Tương tự ví dụ tìm được 5 ; 1 ; 3
0 , , ca bc ab c b a Tìm GTNN của P:
2 2 2 3 3 3 c b ca a bc ab c b a ca c bc b ab a a c c b b a
Hướng dẫn: CM: ca bc
Cách 1: Theo BĐT Cô-si:
Cách 2: Theo BĐT Cô-si –Svac: Có:
(Do a b ; 0 a 2 b 2 c 2 ab bc ca 0 ).Vậy: 1
Cách 3: Theo BĐT Trê-bư-sep
Hướng dẫn : Đoán dấu "=" đạt được 0 1
+ Dấu "=" xảy ra a b c 1 KL: min 3 1
*S: Theo BĐT Cô-si –Svac :
+ Dấu "=" xảy ra x y z 3 Đáp số:
P c) Cho thêm abc 1 Tìm GTNN của P
Hướng dẫn Cách 1: Theo BĐT Cô-si b) + Có: 4 1 2 2 2
(Theo BĐT Cô-si) a) Do 2 2 2 1 2 1 2
Bài 42: Cho a 0; b 0; c 0 Tìm GTNN của P; Q: ab b a c ca a c b bc c b
a bc ca b b ca ab c c ab bc
2 Đáp số: min P min Q 1 a b c 0 ( Theo BĐT Cô-si – Svac)
Bài 43 : Cho a 0; b 0; c 0 Tìm GTNN của P:
a b Tìm GTLN của P: P ab b) Cho a 0; b 0; c 0; 2
Bài 45: Tìm GTLN của S ; T: a) Cho a 0; b 0; c 0; d 0; 3
Tương tự bài trên Đáp số:
Bài 47: Cho x y z ; ; 0, xyz 1 Tìm GTNN của P:
Hướng dẫn: Có x 2 y z 2 x 2 yz 2 x x 2 yz 2 x x ( do xyz 1 )
Bài 48: Cho x y z ; ; 0, xyz 1 Tìm GTNN của P: x z z y y x 3 3 1 3 3 1 3 3
Hướng dẫn: Có xy xy y xy x y x y x 1 3
Bài 49: Cho x y z ; ; 0, x y z 1 Tìm GTNN của P:
Hướng dẫn: có P đạt GTNN
Cách 1:+ Theo BĐT Bu-nhia-côp-ski: 1 1 2 9 2 2 1 2
2.4.1.2.Dạng có ràng buộc ba biến liên quan đến biểu thức lượng giác
Bổ đề: a).Cho 3 số dương x y z xy ; ; : yz zx 1 ; luôn tồn tại một tam giác
ABC sao cho : tan ; tan ; z tan
A B C x y b).Nếu thêm GT 3 số x y z ; ; cùng nhỏ hơn 1 thì tồn tại một tam giác nhọn thỏa mãn tính chất trên
Ví dụ 40: Cho 3 số dương cùng nhỏ hơn 1 là x y z xy ; ; : yz zx 1 ; x y z
+Theo bổ đề trên; tồn tại tam giác ABC nhọn và 1 tan tan tan
P 2 A B C +CM: tan A tan B tan C tan A tan B tan C
+Kết hợp với BĐT Cô-si ta CM: tan tan tan 3 3 3 3
+Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều, tức 1 x y z 3
Bài 50: Cho 3 số dương x y z xy ; ; : yz zx 1 Tìm GTLN của P; Q; S:
Hướng dẫn: 2 P sin A sin B sin ; 2 C Q 3 co A co B co C s s s
8 S sin sin sin A B C ; Đáp số: m ax 3 3 ; m axQ 9 ; m axS 3 3
Bài 51: Cho 3 số dương x y z xy ; ; : yz zx 1 Tìm GTNN của T:
Hướng dẫn: 1 1 1 sin sin sin
Bài 52: Cho 3 số dương cùng nhỏ hơn 1 là x y z xy ; ; : yz zx 1 ; Tìm GTNN của Q:
Hướng dẫn: Q 1 1 1 Đáp số: min Q 6
2.4.1.3.Dạng có ràng buộc ba biến liên quan đến biểu thức hình học
x x 0 2 y y 0 2 z z 0 2 R 2 M x y z ; ; mặt cầu tâm I x y z 0 ; 0 ; 0 ; bán kính R
Ví dụ 41 : Cho a , b , c 0 ; 2 , a b c 3 Tìm GTLN, GTNN của T:
+ Trong không gian toạ độ Oxyz xét M a b c ; ; a , b , c 0 ; 2 M a ; b ; c khối lập phương 0 x 2 ; 0 y 2 ; 0 z 2 Đó là khối lập phương có 4 đỉnh: O 0 ; 0 ; 0 ; A 2 ; 0 ; 0 ; B 0 ; 2 ; 0 ; C 0 ; 0 ; 2
Điểm M(a, b, c) thỏa mãn hai điều kiện khi và chỉ khi M nằm trong thiết diện được tạo bởi mặt phẳng (IJK) cắt khối lập phương Thiết diện này là lục giác EFPQRS, trong đó các điểm E, F, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh khối lập phương.
+ Thấy: M lục giác đều EFPQRS có:
OG OM OE OF OP OQ OR OS
+ Làm tương tự ví dụ trên:
T trong đó G 1 ; 1 ; 1 chính là tâm hình lập phương + M lục giác đều EFPQRS có: z
GS GR GQ GP GF GE GM
2.4.2 Dạng biểu thức khác (không đối xứng, không xoay vòng) 2.4.2.1.Đánh giá dựa vào các bất đẳng thức thông dụng
Ví dụ 43: Cho a b c ; ; 0 Tìm GTNN của P: b a c a c b c b
Ví dụ 44:Cho 0 x y z 1 Tìm GTLN của P:
Lời giải: (Đánh giá dựa bđt Côsi, khử dần từng biến)
Ví dụ 45: Cho 3 số dương x y z xy ; ; : yz zx 1 Tìm GTLN của M:
+ Tồn tại tam giác ABC sao cho: tan ; tan ; z tan
M 3 Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC cân tại C và có sin 1
Bổ đề: Với 3 số dương cho trước x y z ; ; , luôn tồn tại 1 tam giác ABC có độ dài các cạnh đối diện A B C ; ; lần lượt là a b c ; ; sao cho: a y z ; b z x ; c x y
Ví dụ 46 : Cho x , y , z 0 : xyz x y z 1 Tìm GTNN của P : P x y y z
+Xét ABC có: AB x y ; BC y z ; CA z x
( x y z ; ; là độ dài các tiếp tuyến kẻ từ A , B , C tới đường tròn nội tiếp
ABC ) Đặt BC a ; CA b ; AB c
Mà S ABC AB BC B AB BC
Dấu " " xảy ra sin B 1 ABC vuông ở B
2 2 z y x z y x xyz zx z y x y z y x z y x xyz zx y yz xy
2 c 3 2 d 3 2 1 N c ; d ( C 2 ) : tâm I 2 3;3 ,bán kính R 2 1 +Có: P MN
+Có C 1 , C 2 ngoài nhau C 1 C 2 Gọi A, B, C, D lần lượt là giao điểm I 1 I 2 với C 1 , C 2
Bài 53 : Cho 0;1 ; 0;1 ; 0;1 ; 3 a b c a b c 2 Tìm GTLN, GTNN của A:
Bài 54: Cho tam giác ABC Tìm GTLN của M:
M 3 cos B 3 cos A cos C Đáp số: P ABC
Bài 55: Cho tam giác ABC Tìm GTLN của P: sin 2 sin 2 sin 2 A B C
Bài 56: Cho tam giác ABC Tìm GTNN của M:
Bài 57: Cho a 2 b 2 c 2 2 a 2 b 2 c 1 0 Tìm GTLN, GTNN củaQ;T:
2.5 Dạng biểu thức lƣợng giác
2.5.1 Sử dụng bất đẳng thức lượng giác
Những BĐT lượng giác thường dùng: sin 1; cos 1 n * : sin n sin ; co s n co s tan cot 2 ; tan 2 cot 2 2 k 2
Ví dụ 48: Tìm GTNN của
Có u 2 v 2 2 vu u v , Dấu bằng xảy ra u v
2 sin cos 1 tan cot sin cos
- Quên cách xét dấu bằng xảy ra
- Với cách đánh giá trên, dấu bằng không bao giờ xảy ra
+ Có 2 2 1 2 , u v 2 u v u v Dấu bằng xảy ra u v
1 1 cos sin cos 2 0 cos sin
Ví dụ 49: Tìm GTNN của hàm số 1 1 1 1 sin cos y x x
+CM: 1 u 1 v 1 uv 2 u v , 0 Dấu " " xảy ra u v 0 Áp dụng có: 1 1 2 1 2 2 1 2 2 sin cos sin 2 y x x x
+Có: 1 1 1 1 1 sin cos 1 1 sin cos sin cos sin cos y x x x x x x x x
* 0; 2 sin cos min : , cos sin n n n n x x x y y n x x
Có sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 0 0;
2 2 tan cot sin cos 0 tan sin cot cos tan cos cot sin sin cos
2 tan cot sin cos cos sin n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
Bài 58 : Tìm 1 2 1 2 min : 1 1 sin cos y y x x
4 4 2 y x k x k (Dùng BĐT: u 2 v 2 2 vu u v , Dấu " " xảy ra u v )
Bài 60: Tìm min : sin cos 3 2 1 2 sin cos y y x x x x
Bài 61: Tìm GTNN của hàm số y trên 0;
Bài 62: Tìm GTNN của 1 1 sin s y x co x Đáp số: min 2 2
Bài 63: Tìm GTNN của y cos 2 x 7sin 2 x sin 2 x 7 co s 2 x
Hướng dẫn:Xét y 2 Đáp số: max 4 sin 2 2 1
2.5.2 Đưa về tổng các số không âm, không dương
Ví dụ 51: Tìm GTNN của y 4sin 3 x cos 2 x cos 6 x 6
Dấu " " xảy ra sin 3 1 sin 1 2 cos 2 1 2 x x x k x
Ví dụ 52: Tìm GTLN của sin sin 3 2 1 sin 3 2 sin 2 y x x 4 x x
1 1 1 sin sin 3 sin sin 3 sin 3 sin 3
Dấu " " xảy ra sin 1 sin 3
Bài 64: Tìm GTLN của y 4sin 2 x 2 3 tan x 3tan 2 x 4sin x Đáp số: max 2 2 y x 6 k
Bài 65: Tìm min : 4sin 2 3 2 4 3 cos 2 3 tan y y x cos x x
Bài 66: Tìm GTLN của y cos 4 x cos 6 x 4cos3 x Đáp số: max y 4 x k 2
2.5.3 Quy về một hàm số lượng giác
Biểu thức lượng giác chứa một hàm số lượng giác của biến
- Dạng chứa cos ,cos 2 ,cos3 x x x Đặt t cos x , t 1;1
- Dạng chứa 1 , tan cos x x Đặt 1 , ; 1 1; t cos t
- Dạng chứa 1 2 , tan cos x x Đặt t tan x
- Dạng bậc chẵn đối với sin ,cos x x
Cách 1: Đặt t sin 2 x hoặc t cos 2 x , t 0;1
Để giải quyết bài toán lượng giác, nếu có tính chất đối xứng với sin và cos, ta có thể chuyển đổi về dạng sin 2x hoặc cos 4x Đặt t = sin²(x) hoặc t = cos²(x) để đơn giản hóa biểu thức Tính chất đối xứng của sin và cos cho phép ta sử dụng công thức t = sin²(x) + cos²(x) = 1, với t nằm trong khoảng [-1, 1].
Hệ quả: y a sin x cos x b sin cos x x c Đặt sin cos 2 sin , 2; 2 t x x x 4 t y a sin x cos x b sin cos x x c Đặt sin cos 2 sin , 0; 2 t x x x 4 t
Biểu thức lượng giác đối xứng đối với tanx và cotx: Đặt t = 2
Ví dụ 53: Tìm GTLN, GTNN của
t t t t t t t f t t y 2 2 1 2 2 3 4 3 4 4 4 3 3 2 2 2 ; +Bài toán đưa về tìm GTLN ; GTNN của hàm số f t ( ) trên 1;1
Ví dụ 54: Tìm GTNN của y: x y x cos
+Bài toán đưa về tìm GTNN của hàm số f t ( ) trên 1; 2
Ví dụ 55: Tìm GTLN, GTNN của hàm số sau trên
x x x x x x y 3 cot 6 tan 6 cot cos cot 3 tan 3 3 2 2
t x x x t tan 2 x cot 2 x t 2 2 tan 3 x cot 3 x tan x cot x 3 3 tan x cot x tan x cot x = t 3 3 t
+Bài toán đưa về tìm GTLN ; GTNN của hàm số f t ( ) trên 4 ; 4
Bài 67: Tìm GTLN, GTNN của y: y cos 2 2 x 2 sin x cos x 3 3 sin 2 x Đáp số:
Bài 68: Tìm GTLN, GTNN của y: x x y x tan 1 cos
Hướng dẫn: Đặt t tan x ( 0; 3 0; t x 3 Đáp sô:
Bài 69: Tìm GTLN, GTNN của y: y sin 20 x cos 20 x
Hướng dẫn: Đặt t sin 2 x t 0 ; 1 Đáp số:
Bài 70 Tìm GTLN, GTNN: y 4 sin x cos x
Hướng dẫn: Đặt t sin x t 0 ; 1 Đáp số:
Bài 71: Tìm GTLN, GTNN của y: a y cos 2 x sin 4 x cos 2 x b y 2 sin 8 x cos 4 2 x Hướng dẫn: a Đặt t sin 2 x t 0 ; 1 Đáp số: max y 1 sin 2 x 0 x k min 1 sin 2 1 y x x 2 k b Đặt t cos 2 x t 1 ; 1 Đápsố: 1 1
Bài 72: Tìm GTLN, GTNN của y: x x x y 4 x 2
Cách 1: Đặt t sin 2 x ( t 0 ; 1 ) Cách 2: Đặt
2.5.4.Sử dụng bất đẳng thức phụ
Ví dụ 56: Tìm GTNN của 1 1 1 1 sin cos y x x
+ CM: 1 u 1 v 1 uv 2 u v , 0 Dấu bằng xảy ra u v 0 Áp dụng ta có: 1 1 2 1 2 2 1 2 2 sin cos sin 2 y x x x
Cách 2: Đặt sin cos 2 sin t x x x 4 ; t 1; 2 Có y 1 t 2 1 Đáp số:
Tóm tắt chương 2
Chương trình này hướng dẫn học sinh rèn luyện kỹ năng tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các biểu thức qua nhiều dạng khác nhau Mỗi dạng sẽ áp dụng các phương pháp đã được xác định trong mục 1.4 của chương 1.
Chúng tôi tổ chức nội dung theo cấu trúc giúp học sinh rèn luyện kỹ năng từng bài một, đồng thời mỗi dạng bài có thể áp dụng nhiều phương pháp giải khác nhau Mỗi phần nhỏ sẽ được trình bày theo ba bước như đã nêu trong mục 1.6 chương 1.
2.1 Dạng tìm GTLN, GTNN của hàm số
Ví dụ 1 Tìm GTLN, GTNN của f x x 3 3 x 2 2 trên mỗi tập hợp D cho dưới đây: a D 1;4 b D 1;4 c D 1;4 d D 1;4
Lời giải: a TXĐ: R D , 1;4 R D , là khoảng đóng
1;4 max max 1 , 2 , 4 max 4;6; 14 6 2 min min 1 , 2 , 4 min 4;6; 14 14 4 x x f x f f f f f x f f f f
TXĐ: D 1;4 ; 1;4 ; 1;4 - là khoảng không đóng