(LUẬN văn THẠC sĩ) một số lớp phương trình tích phân dạng chập

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN DẠNG CHẬP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2015 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN DẠNG CHẬP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH : TOÁN GIẢI TÍCH MÃ SỐ : 60 46 01 02 Người thực hiện: NGUYỄN THỊ HỒN Cao học khóa 2013-2015 Người hướng dẫn: TS NCVC NGUYỄN VĂN NGỌC HÀ NỘI - 2015 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mục lục Mở đầu Biến đổi Fourier toán biên Riemann 1.1 Một số kiến thức bổ trợ 1.1.1 Không gian Lp 1.1.2 Các bất đẳng thức định lý tích phân 1.1.3 Tích chập 1.1.4 Biến phân bị chặn 1.2 Biến đổi Fourier L1 (R) 1.2.1 Định nghĩa biến đổi Fourier L1 (R) 1.2.2 Các tính chất biến đổi Fourier 1.2.3 Công thức ngược L1 (R) 1.3 Biến đổi Fourier L2 (R) 1.4 Tích phân Cauchy tích phân Fourier 1.4.1 Lớp hàm Holder C 0,α 1.4.2 Các lớp hàm {0} {{0}} 1.4.3 Giá trị tích phân Cauchy 1.4.4 Hàm 1.4.5 Tích phân Cauchy 1.4.6 Tích phân Fourier 1.5 Bài toán biên Riemann nửa mặt phẳng 1.5.1 Chỉ số 1.5.2 Phát biểu toán 1.5.3 Bài toán bước nhảy 1.5.4 Bài tốn Hàm tắc 1.5.5 Bài tốn khơng ii TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 3 8 12 14 15 15 15 15 16 18 18 19 19 20 20 21 22 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap Một số lớp phương trình 2.1 Phương trình tích chập 2.2 Phương trình tích chập 2.3 Phương trình tích chập tích phân dạng chập trục thực 24 lọai 24 loại hai 26 nửa trục (Wiener- Hopf) 30 Phương trình cặp tích phân dạng chập ứng dụng 3.1 Phương trình cặp tích phân với nhân phụ thuộc vào hiệu biến số 3.2 Phương trình cặp tích phân với nhân phụ thuộc vào hiệu tổng biến số 3.3 Bài toán biên hỗn hợp phương trình đa điều hịa nửa mặt phẳng 3.3.1 Phương trình đa điều hòa 3.3.2 Bài toán 3.3.3 Bài toán 33 33 35 38 38 39 40 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 iii (LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap Mở đầu Phương trình tích phân kỳ dị phương trình tích phân dạng chập xây dựng phát triển mạnh mẽ vòng nửa kỷ, từ năm 1920 đến năm 1970 Các kết gắn liền với tên tuổi nhiều nhà toán học tiếng Noether, Muskhelishvili, Gakhov,Vekua, Cùng song hành tiếp sau đời hàng loạt lý thuyết toán tử kỳ dị trừu tượng khơng gian tuyến tính tổng qt gắn với lý thuyết phương trình tích phân kỳ dị với dịch chuyển liên hợp phức nhiều dạng toán biên khác Tại Việt Nam, từ năm 1980, có nhiều người quan tâm đến lĩnh vực toán biên Riemann, phương trình tích phân kỳ dị Cauchy, phương trình tích phân dạng chập thu số kết định Từ đó, lý thuyết tốn tử phương trình tích phân kỳ dị trở thành mảng lớn hấp dẫn toán học đại Việt Nam Tuy nhiên, tài liệu nghiên cứu sâu lĩnh vực ít, là phương trình tích phân dạng chập đặc biệt, phương trình Wiener-Hopf, phương trình cặp tích phân, v.v Ngồi ra, việc nghiên cứu cịn cho ta thấy phong phú nhiều loại phương trình tích phân nói chung phương trình tích phân dạng chập nói riêng lý thuyết ứng dụng Xuất phát từ lý nêu trên, chọn đề tài "Một số lớp phương trình tích phân dạng chập " làm luận văn cao học với hy vọng tìm hiểu sâu lý thuyết ứng dụng phương trình tích phân dạng chập Cấu trúc luận văn Luận văn gồm phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo chương Chương trình bày số kiến thức bổ trợ, tích chập, biến đổi Fourier L1 (R) L2 (R), tích phân Cauchy, tích phân Fourier tốn biên Riemann nửa mặt phẳng Chương trình bày số lớp phương trình tích phân dạng chập trục (LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap thực: phương trình tích chập loại một, loại hai phương trình tích chập nửa trục (phương trình Wiener-Hopf) Đối với lớp phương trình đưa ví dụ minh họa Chương trình bày phương trình cặp tích phân dạng chập ứng dụng Đã xét phương trình cặp tích phân với nhân phụ thuộc vào hiệu biến số, phụ thuộc vào hiệu tổng biến số Trình bày ứng dụng phương trình cặp nói giải tốn biến hỗn hợp phương trình đa điều hịa nửa mặt phẳng Bản luận văn thực hướng dẫn TS Nguyễn Văn Ngọc Tôi bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy dành nhiều công sức thời gian để hướng dẫn, kiểm tra, giúp đỡ tơi việc hồn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến lãnh đạo thầy, khoa Tốn - Cơ Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Hà Nội kiến thức điều tốt đẹp mang lại cho thời gian học tập trường Tơi xin cảm ơn tới Phịng Sau Đại học điều kiện thuận lợi dành cho việc hoàn thành thủ tục học tập bảo vệ luận văn Cuối tơi bày tỏ lịng biết ơn gia đình, người thân chỗ dựa tinh thần vật chất cho sống học tập Hà Nội, tháng 11 năm 2015 Nguyễn Thị Hoàn (LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap Chương Biến đổi Fourier toán biên Riemann Chương trình bày số kiến thức bổ trợ, tích chập, biến đổi Fourier L1 (R) L2 (R), tích phân Cauchy, tích phân Fourier toán biên Riemann nửa mặt phẳng Nội dung chương hình thành chủ yếu từ tài liệu [1] [3] 1.1 1.1.1 Một số kiến thức bổ trợ Không gian Lp Với p số thực: p < ∞, Ω ∈ Rn ta định nghĩa Lp (Ω) lớp hàm f (x) xác định Ω, cho Z kf kp = p  p1 |f (x)| dx < ∞, dx = dx1 dx2 dxn Ω Số kf kp gọi chuẩn hàm f (x) Lp (Ω) không gian Banach Đặc biệt, L2 (Ω) khơng gian Hilbert với tích vơ hướng Z (f, g) = f (x)g(x)dx, Ω g(x) liên hợp phức g(x) Hàm xác định Ω gọi chủ yếu bị chặn Ω, tồn số dương C , cho |f (x)| C hầu khắp nơi Ω Cận lớn f (x) ký hiệu ess supx∈Ω |f (x)| Ta ký hiệu L∞ (Ω) không gian tất hàm chủ yếu bị chặn Ω (LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap Chuẩn L∞ (Ω) xác định theo công thức kf k∞ = esssupx∈Ω |f (x)| , sup lấy tất phân hoạch đơn vị [a, b] Dưới mệnh đề quan trọng trù mật Lp Định lý 1.1 (về trù mật) (i) Nếu khoảng (a, b) hữu hạn lớp hàm sau trù mật khắp nơi Lp (a, b): M −lớp hàm bị chặn, C−lớp hàm liên tục, S−lớp hàm bậc thang, P −lớp đa thức đại số, T −lớp đa thức lượng giác trù mật khắp nơi Lp (−π, π) (ii)Lớp Sc tất hàm bậc thang trù mật Lp (−∞, ∞), (p > 1) 1.1.2 Các bất đẳng thức định lý tích phân Định lý 1.2 (bất ng thc Hoălder) Nu f Lp , g Lq , p, q > 1, kf gk1 kf kp kgkq , 1 + = p q Định lý 1.3 (bất đẳng thức Minkowski) Nếu p > 1, kf + gkp kf kp + kgkp Định lý 1.4 (Định lý Lebesgue) Giả sử Ω cho dãy hàm khả tổng {fk (x)}∞ hội tụ hầu khắp nơi đến hàm f (x) Nếu tồn hàm thực F (x) > 0, F (x) ∈ L1 (Ω), cho |fk (x)| F (x), x ∈ Ω, ∀k f (x) ∈ L1 (Ω) R lim fk (x)dx = k→∞ Ω f (x) dx Định lý 1.5 (Định lý Fubini) Cho F (x, y) khả tích Ω1 × Ω2 Khi x → R R F (x, y)dy khả tích Ω , y → F (x, y)dx khả tích Ω2 Ngồi Ω2 Ω1 Z Z Z Z Z dx Ω1 F (x, y) dy = Ω2 dy Ω2 F (x, y) dx = F (x, y) dxdy Ω1 ×Ω2 Ω1 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap 1.1.3 Tích chập Giả sử f,g hàm xác định R Hàm số h(x) = (f ∗ g)(x) xác định công thức Z (f ∗ g)(x) = f (x − y)g(y)dy, (1.1) R với giả thiết tích phân tồn hầu khắp nơi với x ∈ R gọi tích chập f g Từ (1.1) dễ dàng suy f ∗ g = g ∗ f Định lý 1.6 Nếu f, g ∈ L1 (R) f ∗ g tồn hầu khắp nơi f ∗ g ∈ L1 (R) Ngoài ||f ∗ g|| ≤ ||f ||1 ||g||1 Chứng minh Theo Định lý Fubini ta có Z Z Z |f ∗ g|dx ≤ |f (x − y)g(y)|dydx = R R R Z Z Z Z |f (x − y)|dx|g(y)|dy = = R |f (x)|dx R R |g(y)|dy = ||f ||1 ||g||1 R Từ suy đpcm Định lý 1.7 Giả sử ≤ p ≤ ∞ Nếu f ∈ Lp (R), g ∈ L1 (R) f ∗ g ∈ Lp (R) ||f ∗ g||p ≤ ||f ||p ||g||1 (1.2) Chứng minh Trường hợp p=1 chứng minh định lý 1.6 Xét trường hợp < p < ∞ 1/p+1/p’=1 Ta có Z |(f ∗ g)(x)| ≤ |f (x − y)||g(y)|dy (1.3) R Vì |g(y)| = g(y)1/p+1/p , theo bất đẳng thức Holder ta có Z Z Z |f (x − y)|p |g(y)|dy)1/p ( |f (x − y)||g(y)|dy ≤ ( R Do R Z p R Z Z p/p0 |f (x − y)|p |g(y)|dydx||g||1 |f ∗ g| dx ≤ R R Sử dụng định lý Fubini, ta có Z ||f ∗ g||pp p R R Z Z |f ∗ g| dx ≤ = |g(y)|dy)1/p R p/p0 |f (x − y)|p |g(y)|dydx||g||1 R (LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap Z Z p p/p0 |f (x − y)| dx = |g(y)|dy||g||1 R = ||f ||pp ||g||p1 R Từ suy (1.2) Nếu p = ∞, theo (1.3), ta có Z |f ∗ g(x)| ≤ ||f ||∞ |g(y)|dy = ||f ||∞ ||g||1 R Như ||f ∗ g||∞ ≤ ||f ||∞ ||g||1 Định lý chứng minh Ta cần định lý sau Định lý 1.8 Giả sử f (x) ∈ L1/(1−λ) (E), g(x) ∈ L1/(1−µ) (E) λ > 0, µ > 0, λ + µ < Khi Z Z | |f |1/(1−λ) |g|1−(1−µ) dx)1−µ−λ f gdx| ≤ ( E ZE 1/(1−λ) µ |f | ( Z ) ( E |g|1/(1−µ) )λ Chứng minh Bất đẳng thức Holder cho ba hàm Z Z Z Z | |φ|1/α dx)α ( ΦψXdx| ≤ ( E (1.4) E E |ψ|1/β dx)β ( E |X|1/γ dx)γ , E α + β + γ = 1, α > 0, β > 0, γ > Để có bất đẳng thức ta đặt β = µ, γ = λ, α = − (µ + λ) |φ| = |f |α/(α+β) g γ/(γ+α) , |ψ| = |f |β/(β+α) , |X| = |g|γ/γ+α Rõ ràng α + β + γ = 1, |φψX| = |f g| Từ suy điều phải chứng minh Định lý 1.9 (Bất đẳng thức Young tích chập) Giả sử f g thỏa mãn điều kiện Định lý 1.7 Khi ||f ∗ g||1/1−λ−µ ≤ ||f ||1/(1−λ) ||g||1/(1−µ) (1.5) Chứng minh: Theo bất đẳng thức Young tích phân ta có Z  |f (x − y)|1/(1−λ) |g(y)|1/(1−µ) dy |(f ∗ g)(x)| ≤ Rd  × ||f ||1/(1−λ) µ/(1−λ)  ||g||1/(1−µ) λ/(1−µ) (LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap • Trường hợp χ > Nghiệm toán (1.47) h F ± (z) = X ± (z) Ψ± (z) + Pχ−1 (z) i (z + i)χ (1.48) • Trường hợp χ ≤ Nghiệm toán (1.47) F ± (z) = X ± (z)Ψ± (z), (1.49) ngồi χ < phải có điều kiện Z R dt H(t) = 0, k = 1, 2, , |χ| + X (t) (t + i)k (1.50) • Các cơng thức cần sử dụng: + X + (z) = eΓ (z) , X − (z) =  z − i −χ z+i − eΓ (z) , (1.51) Z ±1 Γ± (x) = √ γ(t)eizt dt, 2π R± Z h x−i i −χ γ(t) = √ ln ( ) D(x) e−ixt dx, x+i 2π R Z ±1 ± Ψ (x) = √ ψ(t)eizt dt, 2π R± Z H(x) −ixt e dx ψ(t) = √ 2π R X + (x) (1.52) (1.53) (1.54) (1.55) 23 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap Chương Một số lớp phương trình tích phân dạng chập trục thực Chương trình bày số lớp phương trình tích phân dạng chập trục thực: phương trình tích chập loại một, loại hai phương trình tích chập nửa trục (phương trình Wiener-Hopf) Nội dung chương hình thành chủ yếu từ tài liệu [1] [3] 2.1 Phương trình tích chập lọai Xét phương trình tích chập sau Z∞ k (x − y)f (y)dy, g(x) = (2.1) −∞ f(x) hàm cần tìm (ẩn hàn), g(x) k(x) hàm cho Hàm k(x) gọi nhân, hay hạch phương trình tích chập loại (2.1) Trước hết, giả thiết tồn biến đổi Fourier F(u), G(u) K(u) hàm f(x), g(x) k(x) tương ứng thực biến đổi hình thức phương trình cho Tác động biến đổi Fourier hai vế phương trình (2.1), ta 24 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap Z∞ G(u) = √ 2π =√ 2π Z∞ eixu dx −∞ Z∞ k (x − y)f (y)dy −∞ Z∞ f (y)dy −∞ Z∞ k (x − y) eixu dx −∞ Z∞ =√ f (y)dy k (t) ei(t+y)u dt 2π −∞ −∞ √ = 2πF (u)K(u) (2.2) Giả sử K(u) 6= 0, ∀u ∈ R,, từ (2.2), ta có G(u) F (u) = √ 2π K(u) (2.3) Lấy biến đổi Fourier ngược công thức (2.3) ta cơng thức nghiệm hình thức phương trình (2.3): f (x) = √ 2π Z∞ G(u) −ixu e du K(u) (2.4) −∞ Để viết công thức nghiệm (2.4) dạng tích chập, chứa g(x) ta đặt L(u) = 1/K(u) ký hiệu l(x) = F −1 [L(u)](x) Theo tính chất tích chập, ta có f (x) = √ 2π Z∞ −∞ G(u) −ixu e du = √ K(u) 2π Z∞ G(u)L(u)e −ixu Z ∞ g(y)l(x − y)dy du = −∞ −∞ (2.5) Bây phát biểu kết hình thức cách chặt chẽ dạng định lý sau Định lý 2.1 Cho g(x) thuộc L2 (−∞, ∞) k(x) thuộc L1 (−∞, ∞) Để phương trình (2.1) có nghiệm f(x) thuộc L2 (−∞, ∞), điều kiện cần đủ G(u)/K(u) thuộc L2 (−∞, ∞) , với K(u) 6= Chứng minh Giả sử g, k, f thuộc lớp tương ứng cho, (2.1) thỏa mãn Khi ta có (2.2) Vì F ∈ L2 (−∞, ∞), nên G/K ∈ L2 (−∞, ∞) 25 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap Ngược lại, G/K L2 f, xác định công thức (2.4) hàm L2 √ G(u) F (u) = √ ⇔ G(u) = 2πK(u)F (u) 2π K(u) (2.6) Theo Định lý tích chập (2.6) Z ∞ k(x − y)f (y)dy, g(x) = −∞ tức phương trình (2.1) thỏa mãn Định lý chứng minh Ví dụ 2.1 Xét phương trình tích chập loại Z +∞ e−|x−t| f (t)dt g(x) = (2.7) −∞ Ta có cơng thức r −|t| F [e ](u) = π u2 + Vận dụng Định lý tích chập, ta 1 F (u) = G(u) + u2 G(u) 2 Từ suy công thức nghiệm phương trình cho 1 f (x) = g(x) − g 00 (t) 2 (2.8) với giả thiết g(x) g (x) khả vi liên tục khả tổng tuyệt đối khoảng (−∞, +∞), chúng bị triệt tiêu t → ±∞, g 00 (t) liên tục khúc khả tổng tuyệt đối khoảng (−∞, +∞) 2.2 Phương trình tích chập loại hai Xét phương trình tích phân loại hai dạng Z∞ f (x) = g(x) + k(x − y)f (y)dy (−∞ < x < ∞), (2.9) −∞ f(x) hàm cần tìm (ẩn hàm), k(x) g(x) hàm biết, tương ứng gọi nhân (hạch) số hạng tự Ký hiệu F (u), G(u) K(u) biến đổi Fourier hàm f (x), g(x) k(x), tương ứng Tác động biến đổi 26 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap Fourier vào hai vế phương trình (2.9) biến đổi hình thức phương trình sau F (u) = √ 2π  Z∞  Z∞  −∞ k(x − y)f (y)dy g(x) + −∞ = G(u) + √ 2π   eixu dx  Z∞ Z∞ f (y)dy + −∞ Z∞ k(x − y)eixu dx −∞ Z∞ f (y)dy + k(t)ei(y+t)u dt = G(u) + √ 2π −∞ −∞ √ = G(u) + 2πF (u)K(u) (2.10) Suy F (u) = với giả thiết 1− G(u) √ , − 2πK(u) (2.11) √ 2πK(u) 6= Lấy biến đổi Fourier ngược hai vế (2.11), ta f (x) = √ 2π Z∞ G(u) √ e−ixu du − 2πK(u) (2.12) −∞ Tiếp theo biến đổi công thức nghiệm (2.12) dạng chứa hàm cho ảnh Fourier chúng Ta có f (x) − g(x) = √ 2π Z∞   G(u) √ − G(u) e−ixu du − 2πK(u) −∞ Z∞ = (2.13) K(u) √ e−ixu du G(u) − 2πK(u) −∞ Đặt M (u) = K(u) √ 1− 2πK(u) ký hiệu m(x) biến đổi Fourier ngược M(u) Ta có f (x) − g(x) = √ 2π Z ∞ G(u)M (u)e−iux du = ∞ Z∞ g(t)m(x − t)dt (11.1.5) −∞ 27 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap theo tính chất biến đổi Fourier tích chập Từ suy cơng thức nghiệm phương trình (2.9) theo hàm cho dạng hiển Z∞ g(t)m(x − t)dt f (x) = g(x) + (2.14) −∞ Bây phát biểu kết hình thức cách chặt chẽ dạng định lý sau Định lý 2.2 Giả sử g(x) ∈ L2 (−∞, ∞), k(x) ∈ L1 (−∞, ∞) cho |K(u)| ≤ √ 2π Khi phương trình (2.9) có nghiệm L2 (−∞, ∞) (các nghiệm trùng hầu khắp nơi)  √ Chứng minh Rõ ràng G(u) − 2πK(u) thuộc L2 , nên (2.12) tồn L2 , xác định hàm f(x) L2 Vì f ∈ L2 , k ∈ L1 , nên theo Định lý 1.7, tích chập Z∞ k(x − y)f (y)dy, h(x) = −∞ tồn với x, thuộc ứng, ta có H(u) = L2 Ký hiệu F, H, K biến đổi f, h, k tương √ 2πF (u)K(u) = G(u)K(u) √ − 2πK(u) Do biến đổi g(x)+h(x)là √ 2πG(u)K(u) G(u) √ √ G(u) + = = F (u) − 2πK(u) − 2πK(u) Vì g(x) + h(x) = f (x) tồn hầu khăp nơi, nghĩa phương trình (2.9) thỏa mãn Ngược lại, f g thuộc L2 , k thuộc L1 (2.9) tồn tại, theo Định lý (2.9) ta có cơng thức (2.10), (2.11) có cơng thức nghiệm (2.12) Định lý chứng minh Ví dụ 2.2 Xét phương trình tích phân loại hai (2.9) với g(x) = e−|x| , k(x) = λex (x < 0), Ta có G(u) = √ 2π Z∞ r e−|x|+ixu dx = (x > 0) π + u2 −∞ 28 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap K(u) = √ 2π Z0 λ λex+ixu dx = √ 2π + iu −∞ Do nghiệm L2 f (x) = π Z∞ e−ixu du (1 − iu)(1 − λ + iu) −∞ Giả sử, ví dụ < λ < Vậy f (x) = −x e 2−λ (x ≥ 0), = (1−λ)x e 2−λ (x < 0) Đây nghiệm nghiệm L2 Nghiệm tương tự cho giá trị khác λ Ví dụ 2.3 Phương trình tích phân không đồng loại hai Z+∞ e−|x−t| φ(t)dt, φ(x) = f (x) + λ −∞ giải biến đổi Fourier Cho ví dụ mục đích, ta giả thiết < λ < 21 để < − 2λ < Sau ứng dụng biến đổi Fourier đơn giản hóa kết ta có: φ(s) = F (s) + 2λ φ(s) +1 s2 Có thể xếp lại sau φ(s) = F (s) + λ( )F (s) √ s2 + ( − 2λ) Chú ý giới hạn thứ hai bên phải phương trình kết hai biến đổi Fourier Do đó, Sau ứng dụng biến đổi Fourier Inverse, nghiệm phương trình tích phân viết dạng tích chập λ φ(x) = f (x) + √ − 2λ Z+∞ √ e− 1−2λ|x−t| f (t)dt −∞ 29 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap 2.3 Phương trình tích chập nửa trục (WienerHopf) Trong ứng dụng thường gặp phương trình dạng f (t) + √ 2π Z∞ k(t − s)f (s)ds = g(t), < t < ∞ (2.15) Phương trình (2.15) cho nửa trục gọi phương trình WiernerHopf Trong (2.15) ta đưa vào ký hiệu   f (t), t > 0, g(t), t > 0, f+ (t) = , g+ (t) = , f− (t) = (t > 0) (2.16) 0, t < 0, t < Khi đó, phương trình (2.15) viết lại dạng f+ (t) + √ 2π Z+∞ k(t − s)f+ (s)ds = f− (t) + g+ (t), −∞ < t < +∞, (2.17) −∞ Z ∞ k(t − s)f+ (s)ds, t < 0, f− (t) = hàm chưa biết Ký hiệu K(x), F ± (x), G+ (x) biến đổi Fourier, tương ứng hàm k(t), f± (t) g+ (t) Giả thiết k(t), g+ (t) hàm thuộc lớp {0}, ∈ {{0}}, + K(x) + K(x) 6= 0, ∀x ∈ R (2.18) Các hàm f± (t) tìm lớp {0}, tức ảnh Fourier F ± (x) lớp {{0}} Tác động biến đổi Fourier vào hai vế phương trình (2.17), ta toán biên Riemann F + (x) = 1 F − (x) + G+ (x), + K(x) + K(x) −∞ < x < ∞, (2.19) xác định hàm F ± (x) Từ ta cơng thức nghiệm phương trình (2.15) f (t) = f+ (t) = √ 2π Z+∞ F + (x)e−ixt dx, t > (2.20) −∞ 30 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap Chỉ số số toán biên Riemann (2.19) xác định χ = −Ind [1 + K(x)] (2.21) Ví dụ 2.4 Xét phương trình Wiener- Hopf Z∞ f (t) + (a + b |t − s|) e−|t−s| f (s)ds = g(t), t > 0, (2.22) a b số Ta có k(t) = √ 2π (a + b |t|) e−|t| , Z+∞ (a + b |t|) e−|t|+ixt dt = K(x) = −∞ + K(x) = P (x) (x2 + 1) x2 (a − b) + a + b (x2 + 1) P (x) = x4 + 2(a − b + 1)x2 + 2a + 2b + , Để đơn giản, giả thiết rằng, số a, b cho đa thức P(x) khơng có nghiệm thực Giả sử α + iβ nghiệm phương trình trùng phương P(x)=0, α > 0, β > Các nghiệm cịn lại phương trình α − iβ, −α + iβ, −α − iβ Chúng ta biểu diễn + K(x) dạng + K(x) = X − (x) , X + (x) (x + i)2 , (x + α + iβ)(x − α + iβ) (x − α − iβ)(x + α − iβ) X − (x) = (x − i)2 X + (x) = Sử dụng phân tích đây, chúng biến đổi toán biên Riemann (2.19) trường hợp dạng F + (x) (x − i)2 G+ (x) F − (x) − = , X + (x) (x − α − iβ)(x + α − iβ) X − (x) −∞ < x < ∞ (2.23) 31 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap Từ tìm (x − i)2 G+ (x) C1 C2 + + F (x) = X (x) , (x − α − iβ)(x + α − iβ) x − α − iβ x + α − iβ +  +  (2.24) (−α + iβ − i)2 G+ (−α + iβ) (α + iβ − i)2 G+ (α + iβ) , C2 = − , C1 = − 2α −2α (2.25) Từ đây, bỏ qua nhiều tính tốn phức tạp, tìm nghiệm phương trình (2.22) dạng f (t) = f1 (t) + f2 (t), Z∞ f1 (t) = g(t) + ρ e−β|t−s| cos(θ + α |t − s|)g(s)ds, (2.26) α + (β − 1)2 f2 (t) = 4α2 β  2 Z∞ e−β(t+s) cos α(t − s)g(s)ds + R 4α2 Z∞ e−β(t+s) cos[ψ + α(t + s)]g(s)ds, (2.27) (α + iβ)2 (a − b) + a + b µ (β − − iα)4 iψ iθ µ=i , ρe = , Re = 2αβ β − iα 8α2 (β − iα) (2.28) 32 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap Chương Phương trình cặp tích phân dạng chập ứng dụng Chương trình bày lớp phương trình cặp tích phân dạng chập ứng dụng Đã xét phương trình cặp tích phân với nhân phụ thuộc vào hiệu biến số, phụ thuộc vào hiệu tổng biến số Trình bày ứng dụng phương trình cặp nói giải tốn biến hỗn hợp phương trình đa điều hịa nửa mặt phẳng Nội dung chương hình thành chủ yếu từ tài liệu [1] [2] 3.1 Phương trình cặp tích phân với nhân phụ thuộc vào hiệu biến số Xét phương trình cặp tích phân hai nửa trục sau [1]: Z ∞ ϕ(τ )k1 (t − τ )dτ = g(t), t > 0, ϕ(t) + √ 2π −∞ Z ∞ ϕ(t) + √ ϕ(τ )k2 (t − τ )dτ = g(t), t < 2π −∞ (3.1) Phương trình (3.1) gọi phương trình cặp ( dual equations, pair of equations) ẩn hàm ϕ(t), t ∈ (−∞, ∞) Hàm chứa hai phương trình khác hai khoảng R+ (t > 0) R− (t < 0) khơng giao có hợp khoảng tích phân Ở ϕ(t) hàm chưa biết, k1 (t), k2 (t), g(t) hàm thuộc {0} Phương trình cặp (3.1) đươc viết lại dạng 33 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap Z ∞ ϕ(t) + √ ϕ(τ )k1 (t − τ )dτ = g(t) + f− (t), t ∈ R, 2π −∞ Z ∞ ϕ(t) + √ ϕ(τ )k2 (t − τ )dτ = g(t) + f+ (t), t ∈ R, 2π −∞ (3.2) f± (t) hàm phía chưa biết lớp {0} Tác động biến đổi Fourier vào hai vế phương trình (3.2), ta [1 + K1 (x)]Φ(x) = G(x) + F − (x), (3.3) [1 + K2 (x)]Φ(x) = G(x) + F + (x) (3.4) Φ(x), G(x), F ± (x), K1 (x), K2 (x) tương ứng biến đổi Fourier ϕ(t), g(t), f± (t), k1 (t), k2 (t) Giả sử có điều kiện sau + K1 (x) 6= 0, + K2 (x) 6= (3.5) Khi đó, từ (3.3)(3.4) suy Φ(x) = G(x) + F − (x) G(x) + F + (x) = + K1 (x) + K2 (x) (3.6) Các hàm F ± (x) xác định từ toán biên Riemann sau F + (x) = + K2 (x) − k2 (x) − K1 (x) F (x) + G(x) − G(x), x ∈ R + K1 (x) + K1 (x) (3.7) Chỉ số tốn biên Riemann (3.7) xác địnhtheo cơng thứ χ = Ind + K2 (x) + K1 (x) (3.8) Giải toán biên Riemann (3.7), theo cơng thức (2.12), lấy biến đổi Fourier ngược, ta tìm nghiệm phương trình cặp (3.1): G(x) + F − (x) −ixt ϕ(t) = √ e dx, 2π R + K1 (x) Z G(x) + F + (x) −ixt =√ e dx 2π R + K2 (x) Z (3.9) (3.10) Điều kiện giải ứng với số âm Z R K2 (x) − K1 (x) G(x) dx = 0, k = 1, 2, , −χ, X + (x)[1 + K1 (x)] (x + i)k (3.11) 34 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap 3.2 Phương trình cặp tích phân với nhân phụ thuộc vào hiệu tổng biến số Xét phương trình cặp tích phân hai nửa trục sau [2]: Z ∞ ϕ(t) + √ ϕ(τ ) [k1 (t − τ ) + mk1 (t + τ )]dτ = f1 (t), t > 0, 2π −∞ Z ∞ ϕ(t) + √ ϕ(τ ) [k2 (t − τ ) + mk2 (t + τ )]dτ = f2 (t), t < 2π −∞ (3.12) Phương trình (3.12) gọi phương trình cặp ( dual equations, pair of equations) ẩn hàm ϕ(t), t ∈ (−∞, ∞), hàm chứa hai phương trình khác hai khoảng (hệ khoảng)khơng giao có hợp khoảng tích phân Ở m 6= số thực, ϕ(t) hàm chưa biết, k1, k2 , f1 , f2 hàm thuộc lớp {0} Khi m=0 phương trình cặp tích phân (3.12) có hạch phụ thuộc vào hiệu biến số (tích chập Fourier) trở thành phương trình cặp (3.1) Với m 6= phương trình cặp tích phân (3.12) có nhân phụ thuộc vào hiệu tổng biến số (dạng chập Fourier) Chúng ta luôn giả thiết m 6= 0, k1 6= k2 (3.13) ∧ Ngoài ra, giả sử m2 = Ký hiệu f biến đổi Fourier f (x) ∈ {0}: Z ∧ f ≡ F [f (τ )] = √ f (τ )eitτ dτ, t ∈ R (3.14) 2π R Chúng ta ký hiệu f+ (t) = 0(t < 0),  g+ (t) = f1 (t), t > 0, 0, t < 0, f− (t) = 0(t > 0)  , g− (t) = f2 (t), t < 0, 0, t > (3.15) (3.16) viết lại phương trình cặp (3.12) dạng Z ϕ(t) + √ ϕ(τ ) [k1 (t − τ ) + mk1 (t + τ )]dτ = g+ (t) + f− (t), t ∈ R, 2π R Z ϕ(τ ) [k2 (t − τ ) + mk2 (t + τ )]dτ = g− (t) + f+ (t), t ∈ R, ϕ(t) + √ 2π R (3.17) (3.18) 35 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap Z f+ (t) = ϕ(t) + √ ϕ(τ ) [k2 (t − τ ) + mk2 (t + τ )]dτ, t > 0, 2π R Z ϕ(τ ) [k1 (t − τ ) + mk1 (t + τ )]dτ, t < f− (t) = ϕ(t) + √ 2π R (3.19) (3.20) hàm chưa biết nửa trục ±t > Ký hiệu F [f+ (t)] = F + (x), F [f− (t)] = F − (x), x ∈ R (3.21) Dễ thấy hàm F ± (x) thác triển giải tích thành hàm F ± (z)(z = x + iy) nửa mặt phẳng ±y > Lấy biến đổi Fourier theo biến t hai vế phương trình (3.17) , (3.18) ta ∧ ∧ nhận hệ thóng phương trình ϕ(x), ϕ(−x), x ∈ R :  ∧ ∧ ∧ ∧ ∧  [1 + k1 (x)] ϕ(x) + m k1 (x) ϕ(−x) = g+ (x) + F − (x) (3.22) ∧ ∧ ∧ ∧  [1 + k2 (x)] ϕ(x) + m k2 (x) ϕ(−x) = g∧− (x) + F + (x) Cùng với điều kiện (3.13), giả thiết thêm định thức hệ (3.22) khác không với x, tức   ∧ ∧ D(x) := m k2 (x) − k (x) 6= 0, ∀x ∈ R (3.23) ∧ ∧ Như từ hệ (3.22) xác định ϕ(x) ϕ(−x) Ta có   ∧ ϕ(x) = ∧ ∧ m − + k (x)F (x) − k (x)F (x) D(x)   ∧ ∧ m ∧ ∧ + k (x) g+ (x) − k (x) g− (x) , D(x) (3.24)   ∧ ∧ ϕ(−x) = (1 + k (x))F + (x) − (1 + k (x))F − (x) D(x) ∧   ∧ ∧ ∧ ∧ + (1 + k (x)) g− (x) − (1 + k (x)) g+ (x) D(x) (3.25) Trong (3.24) thay x -x đồng biểu thức nhận với (3.23), ta   ∧ ∧ m − + k (x)F (x) − k (x)F (x) D(x)   ∧ ∧ (1 + k (−x))F + (−x) − (1 + k (−x))F − (−x) + g1 (x), = D(−x) (3.26) 36 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap   ∧ ∧ ∧ ∧ g1 (x) = (1 + k (x)) g− (x) − (1 + k (x)) g+ (x) D(x)   ∧ ∧ m ∧ ∧ − k (x) g+ (x) − k (x) g− (x) , D(x) (3.27) Ký hiệu F1 + (x) = F + (x), F1 − (x) = F + (−x), (3.28) F2 + (x) = F − (−x), F2 − (x) = F − (x) (3.29) Các hàm Fj ± (x) có thác triển giải tích tương ứng vào nửa mặt phẳng {y > 0} {y < 0} Sử dụng ký hiệu trog (3.27) (3.28), viết lại đồng thức (3.25) đồng thức nhận từ (3.25) cách thay x −x ở dạng ∧ ∧ ∧ m k1 (x) + m k2 (−x) + + k1 (−x) − F (x) − F (x) = − F1 (x) D(x) D(−x) D(−x) ∧ m k2 (x) − F (x) − g1 (x), x ∈ R, + D(x) ∧ ∧ (3.30) ∧ + k1 (x) + m k2 (−x) − m k1 (−x) − F1 (x) − F2 (x) = − F (x) D(x) D(−x) D(−x) ∧ + k2 (x) − + F2 (x) − g1 (−x), x ∈ R D(x) (3.31) Do có tốn Riemann hai hàm chỉnh hình mảnh F1 (x) F2 (x) Phương pháp phương pháp chung để giải cách hiệu Nhưng may mắn, m2 = làm Chúng ta xét trường hợp Giả sử điều kiện sau thỏa mãn ∧ ∧ + k1 (x) + k2 (−x) D1 (x) ≡ 0, x ∈ R = D(x)D(−x) (3.32) Giải hệ (3.29)-(3.30) theo Fj± (j = 1, 2) ta hệ phương trình dạng ∧ ∧ F1+ (x) 1 + k2 (x) + k2 (−x) − = F − (x) + F2 (x) + d1 (x), x ∈ R, (3.33) D1 (x) D(−x) D(x)D(−x) F2+ (x) 1 + k1 (−x) + k1 (x) − = F1 (x) − F − (x) + d2 (x), x ∈ R, D1 (x) D(x)D(−x) D(x) h i ∧ ∧ h i (3.34) 37 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap(LUAN.van.THAC.si).mot.so.lop.phuong.trinh.tich.phan.dang.chap TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com