TRANGBIA dvi ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THANH LINH MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRONG SỐ HỌC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên 2015 c c c i Mục lục Lời cảm ơn iii Mở đầu 1 1 L[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THANH LINH MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRONG SỐ HỌC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 c c c i Mục lục Lời cảm ơn iii Mở đầu 1 Lớp hàm số học 1.1 Hàm số học 1.1.1 Hàm nhân tính 1.1.2 Hàm nhân tính mạnh 11 Hàm số xác định tập số nguyên 11 1.2.1 Hàm cộng tính tập số nguyên 11 1.2.2 Hàm nhân tính tập số nguyên 11 1.2.3 Lớp hàm tuần hoàn, phản tuần hoàn cộng tính, nhân tính 12 Một số tập áp dụng 14 1.2 1.3 Các phương trình hàm số học 20 2.1 Hàm chuyển đổi phép tính số học 20 2.1.1 Hàm chuyển đổi phép cộng thành phép cộng 20 2.1.2 Hàm chuyển đổi phép cộng thành phép nhân 21 2.1.3 Hàm chuyển đổi phép nhân thành phép cộng 22 2.2 Các dạng toán xác định dãy số liên quan 22 2.3 Các tập áp dụng 27 Các dạng tốn liên quan 33 3.1 33 Phương trình hàm N Z c ii 3.2 3.1.1 Lớp toán áp dụng nguyên lý quy nạp toán học 33 3.1.2 Lớp toán áp dụng nguyên lí cực hạn 42 3.1.3 Lớp toán áp dụng hệ đếm số 46 3.1.4 Lớp tốn áp dụng tính chất số học 53 3.1.5 Lớp tốn áp dụng tính chất dãy số 62 3.1.6 Lớp tốn áp dụng tính chất hàm số 66 Phương trình hàm Q 73 Kết luận Đề nghị 81 Tài liệu tham khảo 82 c iii Lời cảm ơn Luận văn thực hoàn thành Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Đầu tiên em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới người thầy đáng kính GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu - Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc suốt trình xây dựng đề cương, làm hoàn thiện luận văn Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Thầy khoa Tốn, phịng Đào tạo sau Đại học, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Thầy cô giáo tham gia trực tiếp giảng dạy lớp cao học khóa 1/2014 - 1/2016 Đồng thời xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp K7C Cao học Toán - Đại học Khoa học động viên giúp đỡ tơi q trình học tập làm luận văn Em xin chân thành cảm ơn! Phạm Thanh Linh Thái Nguyên, 2015 Học viên Cao học Toán K7C, Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Nguyên c Mở đầu Phương trình hàm lĩnh vực quan trọng giải tích Bài tốn giải phương trình hàm có lẽ tốn lâu đời giải tích Nhu cầu giải phương trình hàm xuất bắt đầu có lí thuyết hàm số Nhiều phương trình hàm xuất phát từ nhu cầu thực tế Toán học ngành khoa học khác Các nhà toán học có cơng nghiên cứu đặt móng cho phương trình hàm phải kể đến: Nicole Oresme, Gregory of Saint-Vincent, Augusstin-Louis Cauchy, Carl Friedrich Gauss, D’Alembert Ngày nước ta phương trình hàm giảng dạy theo chuyên đề trường THPT chuyên Các dạng tốn phương trình hàm số học dạng tốn khó thường xuất kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh, thành phố, cấp quốc gia, khu vực quốc tế Một phương trình hàm bao gồm ba thành phần chính: Tập nguồn, tập đích, phương trình hay hệ phương trình hàm Từ ba thành phần có phân loại tương ứng Phương trình hàm N, phương trình hàm Z, phương trình hàm Q, phương trình hàm R · · · ; phương trình hàm với biến tự do, hai biến tự do, nhiều biến tự do, phương trình hàm chuyển đổi giá trị trung bình · · · ; phương trình hàm lớp hàm khả vi, phương trình hàm lớp hàm liên tục · · · Việc xác định rõ cấu trúc tính chất tập nguồn, tập đích điều kiện ràng buộc định thành công hay thất bại giải phương trình hàm Điều thấy rõ qua phương trình hàm Cauchy Bài tốn tổng qt tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn phương trình f (x + y) = f (x) + f (y) với x, y ∈ R theo nghĩa khơng có lời giải, với giới hạn tập nguồn, tập đích, tính chất hàm số (đơn điệu, liên tục · · · ) phương trình hàm giải trọn vẹn Trong luận văn tơi xin trình bày lớp phương trình hàm mà c tập nguồn xác định N, Z, Q Trên thực tế tìm hiểu lớp phương trình hàm xuất nhiều kì thi Olympic tốn nước, khu vực quốc tế Xuất phát từ thực tế đó, định hướng hướng dẫn nhiệt tình GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu, tiến hành nghiên cứu đề tài "Một số lớp phương trình hàm số học" nhằm mục đích học tập nghiên cứu sâu chun đề khó tốn sơ cấp Cấu trúc luận văn gồm chương Chương Lớp hàm số học Trong chương trình bày định nghĩa, tính chất hàm số học số ứng dụng chúng vào việc giải toán sơ cấp Chương Các phương trình hàm số học Trong chương trình bày hàm chuyển đổi phép tính số học, dạng toán xác định dãy số liên quan tập áp dụng Chương Các dạng tốn liên quan Trong chương trình bày dạng toán từ đề thi Olympic nước quốc tế liên quan đến tính tốn, ước lượng tính chất số học (nguyên tố, phương, tính đơn điệu, tính tuần hồn ) hàm số tập số tự nhiên, tập số nguyên tập số hữu tỷ Dù nghiêm túc nghiên cứu cố gắng thực luận văn, lực thân nhiều lý khác, luận văn chắn không tránh khỏi thiếu sót Kính mong góp ý Thầy cô, bạn anh chị đồng nghiệp để luận văn hồn chỉnh có nhiều ý nghĩa Thái Nguyên, ngày 28 tháng 11 năm 2015 Phạm Thanh Linh Học viên Cao học Toán lớp C, khóa 01/2014 - 01/2016 Chun ngành phương pháp Tốn sơ cấp Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Email: bobaki2010@gmail.com c Chương Lớp hàm số học Trong chương trình phổ thơng, tốn số học đóng vai trị quan trọng việc hình thành tư tốn học Việc tìm hiểu sử dụng hàm số học giải lớp toán toán sơ cấp lớp tốn phương trình hàm số học Trong chương trình bày định nghĩa, tính chất hàm số học số ứng dụng chúng vào việc giải toán sơ cấp 1.1 Hàm số học Định nghĩa 1.1 ([9]) Hàm số học tức hàm xác định tập số nguyên dương 1.1.1 Hàm nhân tính Định nghĩa 1.2 ([9]) Một hàm số học f gọi nhân tính với m, n nguyên tố nhau, ta có đẳng thức f (mn) = f (m)f (n) Những ví dụ đơn giản hàm nhân tính f (n) = n f (n) = Ngồi hàm nhân tính đơn giản kể ta phải kể đến hàm nhân tính quan trọng khác : Phi-hàm Euler, hàm sinh ước, hàm tổng ước số, hàm số ước số, hàm Mobius Trong hàm số học, hàm Euler mà ta định nghĩa sau có vai trị quan trọng c Định nghĩa 1.3 ([9]) Giả sử n số nguyên dương Phi-hàm Euler ϕ(n) hàm số học có giá trị n số số không vượt n nguyên tố với n Ví dụ 1.1 Từ định nghĩa ta có ϕ(1) = 1, ϕ(2) = 1, ϕ(3) = 2, ϕ(4) = 2, ϕ(5) = 4, ϕ(6) = 2, ϕ(7) = 6, ϕ(8) = 4, ϕ(9) = 6, ϕ(10) = Từ định nghĩa đây, ta có hệ trực tiếp Hệ 1.1 ([9]) Số p nguyên tố ϕ(p) = p − Chứng minh Nếu p số nguyên tố với số nguyên dương nhỏ p nguyên tố với p Do có p − số nguyên dương nên ϕ(p) = p − Ngược lại, p hợp số p có ước d, < d < p Tất nhiên p d không nguyên tố Như số 1, 2, · · · , p − phải có số khơng nguyên tố với p, nên ϕ(p) < p − Điều trái với giả thiết ϕ(p) = p − Định nghĩa 1.4 ([2]) Một tập hợp A gọi hệ thặng dư đầy đủ (mod n) n số mà khơng có hai số đồng dư theo (mod n) Ví dụ 1.2 Ta có A = {0, 1, 2, · · · , n − 1} hệ thặng dư đầy đủ theo (mod n) Hay đơn giản tập B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} C = {2, 3, 4, 5, 6, −7, 8} hệ thặng dư đầy đủ theo (mod 8) Định nghĩa 1.5 ([2]) Một hệ thặng dư thu gọn môđulô n tập hợp gồm ϕ(n) số nguyên cho phần tử tập hợp ngun tố với n khơng có hai phần tử khác đồng dư mơđulơ n Ví dụ 1.3 Tập hợp {1, 3, 5, 7} tập {3, −7, 5, 7} hệ thặng dư thu gọn (mod 8) Định lí 1.1 ([2]) Giả sử r1 , r2 , , rϕ(n) hệ thặng dư thu gọn (mod n), a số nguyên dương (a, n) = Khi tập ar1 , ar2 , · · · , arϕ(n) hệ thặng dư thu gọn (mod n) c ... dụng hàm số học giải lớp toán toán sơ cấp lớp tốn phương trình hàm số học Trong chương trình bày định nghĩa, tính chất hàm số học số ứng dụng chúng vào việc giải toán sơ cấp 1.1 Hàm số học Định... phương trình hàm Q, phương trình hàm R · · · ; phương trình hàm với biến tự do, hai biến tự do, nhiều biến tự do, phương trình hàm chuyển đổi giá trị trung bình · · · ; phương trình hàm lớp hàm. .. chất hàm số (đơn điệu, liên tục · · · ) phương trình hàm giải trọn vẹn Trong luận văn tơi xin trình bày lớp phương trình hàm mà c tập nguồn xác định N, Z, Q Trên thực tế tìm hiểu lớp phương trình