(LUẬN văn THẠC sĩ) giải tích ngẫu nhiên và ứng dụng trong thị trường tài chính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ ĐỨC THẮNG GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG TRONG THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Hà Nội, 2014 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ ĐỨC THẮNG GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG TRONG THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH Chuyên ngành: Mã số: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC 60.46.01.06 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS PHAN VIẾT THƯ Hà Nội, 2014 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Lời cảm ơn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới PGS.TS Phan Viết Thư, người thầy tận tình giúp đỡ, bảo, định hướng nghiên cứu cho tơi để hồn thành luận văn Qua đây, xin chân thành cám ơn giúp đỡ thầy giáo, cô giáo Khoa Tốn - Cơ - Tin học, Bộ mơn Xác suất thống kê trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học quốc gia Hà Nội, người giúp đỡ, giảng dạy truyền đạt kiến thức cho tác giả suốt trình học tập nghiên cứu trường Mặc dù có nhiều cố gắng, hạn chế thời gian thực nên luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tác giả kính mong nhận ý kiến đóng góp q báu quý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn! Hà Nội,tháng 11 năm 2014 Vũ Đức Thắng TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mục lục BẢNG KÝ HIỆU MỞ ĐẦU QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN 1.1 Những khái niệm chung 1.1.1 Quá trình ngẫu nhiên 1.1.2 Q trình ngẫu nhiên thích nghi với lọc 1.1.3 Thời điểm Markov thời điểm dừng 1.1.4 Kỳ vọng có điều kiện lấy σ -trường 1.1.5 Xác suất có điều kiện 1.1.6 Martingale 1.2 Quá trình Gauss 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Định lý 1.3 Quá trình Wiener hay chuyển động Brown 1.3.1 Các định nghĩa 1.3.2 Vài tính chất quan trọng 1.3.3 Các martingale tạo thành từ chuyển động Brown 1.3.4 Đặc trưng Lévy chuyển động Brown 1.4 Quá trình Poisson 1.4.1 Quá trình đếm 1.4.2 Quá trình Poisson 1.4.3 Đặc trưng Watanabe trình Poisson 1.5 Quá trình Markov 1.5.1 Định nghĩa 1.5.2 Phương trình Chapman-Kolmogorov 8 10 10 12 13 17 17 17 18 18 19 19 20 20 20 20 21 21 21 22 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh MỤC LỤC 1.5.3 Chú ý 22 TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN Phần I TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN 2.1 Tích phân Ito 2.1.1 Mục đích 2.1.2 Định nghĩa tích phân Itơ 2.1.3 Vi phân ngẫu nhiên Itô Công thức Itô 2.1.4 Các thí dụ 2.2 Tích phân ngẫu nhiên Stratonovich 2.2.1 Khái niệm định nghĩa 2.2.2 Biến phân bậc hai hai trình ngẫu nhiên Phần II PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN 2.3 Định nghĩa phương trình lời giải 2.4 Định lý tồn 2.4.1 Sự 2.4.2 Sự tồn 2.5 Tính Markov lời giải VÀI ỨNG DỤNG TRONG THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH Phần I Q TRÌNH NGẪU NHIÊN VÀ THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH 3.1 Phương án đầu tư 3.1.1 Phương án đầu tư, Phương án mua bán 3.1.2 Cân đối lại phương án tự tài trợ (Self-financial portfolio) 3.2 Cơ hội có độ chênh thị giá nguyên lý AAO 3.2.1 Định nghĩa 3.2.2 Nguyên lý AAO 3.2.3 Phái sinh kiểu Châu Âu Châu Mỹ 3.3 Nguyên lý đáp ứng thị trường đầy đủ 3.3.1 Chiến lược đáp ứng (Replicating Strategy) 3.3.2 Phái sinh đạt thị trường M 3.3.3 Thị trường đầy đủ (Complete Market) 3.4 Định giá phương pháp độ chênh thị giá (Arbitage Pricing) 3.4.1 Đáp ứng trình sở hữu 23 23 23 23 24 26 28 29 29 30 32 32 33 33 35 39 41 41 41 42 42 44 44 45 45 45 45 46 46 46 46 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh (LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh MỤC LỤC 3.4.2 Ý tưởng việc định giá phương pháp độ chênh thị giá 3.4.3 Xác suất trung hòa rủi ro hay độ đo martingale 3.5 Các tài sản phái sinh (Derivatives) 3.5.1 Quyền chọn mua (Call) 3.5.2 Quyền chọn bán (Put) Phần II MƠ HÌNH BLACK-SCHOLES 3.6 Mơ hình Black-Scholes 3.6.1 Định nghĩa mơ hình 3.6.2 Giá cổ phiếu mơ hình Black-Scholes 3.6.3 Các giả thiết mô hình Black-Scholes 3.6.4 Hiện giá quyền chọn mua 3.7 Xây dựng công thức Black-Scholes để tính giá quyền chon kiểu châu Âu 3.7.1 Cách xây dựng 3.7.2 Công thức Black-Scholes 3.8 Những mơ hình quyền chọn liên quan 47 49 50 51 51 52 52 52 53 53 54 55 55 56 57 KẾT LUẬN 59 TÀI LIỆU THAM KHẢO 60 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh (LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh BẢNG KÝ HIỆU N Tập số tự nhiên Q Tập số hữu tỷ R Tập số thực R+ Tập số thực không âm R Tập số thực −∞, ∞ Z Tập số nguyên C Tập số phức R⋉ Không gian n− chiều ∅ Tập rỗng (xn ) = {xn } Dãy số (hoặc dãy phần tử) |x| Giá trị tuyệt đối x kxk Chuẩn x f := g Định nghĩa f g lim = lim sup Giới hạn n→∞ n→∞ lim = lim inf Giới hạn n→∞ R Ω Rt n→∞ f (ω) dµ Tích phân Lebesgue f (s, ω) dWs Tích phân Wiener TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh (LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh MỞ ĐẦU Giải tích ngẫu nhiên bắt đầu hình thành từ đầu kỷ XX Đầu tiên phải kể đến đời khái niệm toán học chuyển động Brown hay trình Wiener đưa Louis Bachelier (1900) Albert Einstein (1905) Đặc biệt sáng tạo tích phân ngẫu nhiên Itơ (1944) giúp giải nhiều tốn ngẫu nhiên kinh tế, vật lý, mà Giải tích tất định cổ điển khơng sử lý Giải tích ngẫu nhiên bao gồm ba phận : Lý thuyết trình ngẫu nhiên Lý thuyết tích phân ngẫu nhiên Phương trình vi phân ngẫu nhiên Trong kỷ qua , nội dung phát triển mạnh mẽ công cụ thiếu nghiên cứu tài Lý thân giá chứng khốn giá tài sản tài biến động cách ngẫu nhiên nên xem chúng q trình ngẫu nhiên Giải tích ngẫu nhiên làm sở cho việc mơ hình hóa biến động giá thị trường tài Một số khái niệm giải tích ngẫu nhiên, có martingale, chuyển động Brown, tích phân Itơ, tích phân Stratonovich, Phương trình vi phân ngẫu nhiên ứng dụng rộng rãi việc nghiên cứu thị trường tài Các mơ hình định giá , chẳng hạn mơ hình Black – Scholes, dựa kiến thức Giải tích ngẫu nhiên Luận văn gồm chương : Chương I Quá trình ngẫu nhiên Chương trình bày khái niệm trình ngẫu nhiên dùng TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh (LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh MỤC LỤC MỤC LỤC nghiên cứu tài Ngồi khái niệm chung, trình Gauss, trình Markov, chuyển động Brown trình Poisson đề cập Chương II Tích phân ngẫu nhiên Phương trình vi phân ngẫu nhiên Tích phân ngẫu nhiên Phương trình vi phân ngẫu nhiên yếu tố cấu thành mơn Giải tích ngẫu nhiên Chương nói tích phân ngẫu nhiên Itơ tích phân ngẫu nhiên Stratonovich, định nghĩa Phương trình vi phân ngẫu nhiên lời giải, định lý tồn lời giải vài ví dụ minh họa Chương III Vài ứng dụng thị trường tài Chương trình bày trình giá tài sản tài q trình ngẫu nhiên, khái niệm độ chênh thị giá, thị trường đầy đủ phương pháp định giá phương pháp độ chênh thị giá, hợp đồng tài đặc biệt đề cập đến mơ hình quyền chọn Black - Scholes TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh (LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh Chương Q TRÌNH NGẪU NHIÊN Chương trình bày khái niệm trình ngẫu nhiên dùng nghiên cứu tài Ngồi khái niệm chung, trình Gauss, trình Markov, chuyển động Brown trình Poisson đề cập 1.1 Những khái niệm chung Cho (Ω, F , P) không gian xác suất, tức ba gồm • Ω tập hợp sở mà phần tử ω ∈ Ω đại diện cho yếu tố ngẫu nhiên Mỗi tập Ω gồm số yếu tố ngẫu nhiên • F họ tập Ω, chứa Ω đóng phép hợp đếm phép lấy phần bù; nói cách khác F σ -trường tập Ω Mỗi tập hợp A ∈ F gọi biến cố ngẫu nhiên • P độ đo xác suất xác định không gian đo (Ω, F) 1.1.1 Quá trình ngẫu nhiên Một trình ngẫu nhiên X họ biến ngẫu nhiên X = (Xt (ω), t ∈ T ) T tập số thực, T ⊆ R T hữu hạn, đếm vô hạn không đếm Đôi ta kí hiệu Xt (ω) = X(t, ω) Vậy với (a) TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).giai.tich.ngau.nhien.va.ung.dung.trong.thi.truong.tai.chinh = E b + ads + γdWs E X t − X Z −Z 0 " " 2 # 2 #   t t R R b + 3E ads γdWs ≤ 3E Z − Z + 3E 0 (do bất đẳng thức Cauchy)   Rt b