(LUẬN văn THẠC sĩ) ma trận ngẫu nhiên và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN —————————————– NGUYỄN THỊ THU THẢO MA TRẬN NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Hà Nội - 2014 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN —————————————– NGUYỄN THỊ THU THẢO MA TRẬN NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60 46 0106 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS.TẠ NGỌC ÁNH Hà Nội - 2014 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com LỜI NÓI ĐẦU Các mức lượng hệ hạt nhân mô tả giá trị riêng toán tử Hermit khơng gian Hilbert mà số chiều vơ hạn Do vậy, tính tốn ta phải đối mặt với khơng khó khăn Vào năm 1950, nghiên cứu vấn đề đó, Eugene Wigner thay phải đối mặt với tốn tử không gian vô hạn chiều trên, mơ tả hệ phức tạp hạt nhân nguyên tử ma trận có phần tử biến ngẫu nhiên (ma trận ngẫu nhiên) Với ràng buộc phân bố phần tử, ta tìm phân bố giá trị riêng ma trận ngẫu nhiên, từ mơ tả mức lượng hệ hạt nhân Với ý tưởng vậy, Wigner đồng nghiệp ông nhà vật lý, toán học sau nghiên cứu phát triển lý thuyết ma trận ngẫu nhiên (RMT) thành cơng cụ mạnh có ứng dụng rộng rãi vật lý, toán học nhiều lĩnh vực kinh tế, kỹ thuật khác RMT vấn đề mẻ với học viên cao học, nhiều người quan tâm có nhiều tài liệu tham khảo nên chủ đề hấp dẫn với chúng tơi Vì chúng tơi lựa chọn Ma trận ngẫu nhiên ứng dụng làm đề tài nghiên cứu luận văn Cấu trúc Luận văn gồm chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương đưa số khái niệm, kiến thức lý thuyết ma trận xác suất như: không gian xác suất, biến ngẫu nhiên, bất đẳng thức xác suất, định lí hội tụ, phương pháp moment, mà sử dụng chương Chương 2: Ma trận ngẫu nhiên Đây chương Luận văn, chương chúng tơi trình bày vấn đề sau đây: - Giới thiệu ba lớp ma trận ngẫu nhiên đặc biệt, đưa phân bố xác suất ma trận ngẫu nhiên lớp - Nghiên cứu phân bố giá trị riêng ma trận ngẫu nhiên: phân bố xác giá trị riêng kích thước ma trận nhỏ phân bố giới hạn giá trị riêng ma trận kích thước tiến tới vơ (luật bán nguyệt) Đưa phân bố giá trị riêng lớn (luật Tracy - Widom) - Nghiên cứu ma trận hiệp phương sai, đưa định lí hội tụ phân bố TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com thực nghiệm giá trị riêng ma trận hiệp phương sai (luật Marchenko Pastur) - Đưa định lý tích hai ma trận ngẫu nhiên: phân bố thực nghiệm tích ma trận hiệp phương sai dãy ma trận Hermitian tiến đến giới hạn không ngẫu nhiên - Đánh giá giới hạn xác suất đuôi toán tử chuẩn ma trận ngẫu nhiên sử dụng phương pháp: ε lưới, tập trung độ đo phương pháp moment Chương 3: Ứng dụng Đưa ứng dụng vật lí, truyền thơng khơng dây Trong q trình tìm hiểu tơi nắm bắt số vấn đề lý thuyết ma trận ngẫu nhiên thời gian có hạn kiến thức cịn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi sai sót Vì tơi mong nhận giúp đỡ bảo thầy cô bạn Hà Nội, 2014 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn, bảo tận tình TS Tạ Ngọc Ánh - trường Học viện kĩ thuật quân Thầy dành nhiều thời gian giúp đỡ, giải đáp thắc mắc tơi suốt q trình làm luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến người thầy Qua đây, tơi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo, cô giáo Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội trực tiếp giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt q trình học tập Tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè tất người quan tâm, tạo điều kiện, giúp đỡ tơi hồn thành luận văn TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung Mục lục Lời nói đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Kiến thức xác suất 1.1.1 Biến ngẫu nhiên 1.1.2 Các bất đẳng thức 1.1.3 Sự hội tụ 1.1.4 Tính độc lập 10 1.1.5 Tập trung độ đo 10 Các khái niệm ma trận 14 1.2.1 Các dạng ma trận 14 1.2.2 Vết ma trận 15 Ma trận ngẫu nhiên 2.1 2.2 2.3 16 Mơ hình ma trận ngẫu nhiên 16 2.1.1 Tập hợp ma trận trực giao có phân bố Gauss (GOE) 16 2.1.2 Tập hợp ma trận Unita có phân bố Gauss (GUE) 18 2.1.3 Tập hợp ma trận đối ngẫu có phân bố Gauss (GSE) 20 Phân bố giá trị riêng ma trận ngẫu nhiên 22 2.2.1 Phân bố xác (với n hữu hạn) 22 2.2.2 Định lí Wigner luật bán nguyệt (với n lớn) 24 2.2.3 Luật Tracy Widom 32 Ma trận hiệp phương sai 34 2.3.1 Luật Marchenko-Pastur 35 2.3.2 Luật Marchenko-Pastur trường hợp độc lập phân bố 37 (LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung 2.3.3 Luật Marchenko-Pastur trường hợp độc lập phân bố 39 2.4 Tích hai ma trận ngẫu nhiên 43 2.5 Toán tử chuẩn ma trận ngẫu nhiên 50 2.5.1 Phương pháp ε lưới 50 2.5.2 Phương pháp đối số đối xứng (tùy chọn) 53 2.5.3 Phương pháp tập trung độ đo 56 2.5.4 Phương pháp moment 57 Ứng dụng 3.1 3.2 62 Trong vật lí 62 3.1.1 Định nghĩa kết liên quan 62 3.1.2 Vật lý hạt nhân 65 Truyền thông không dây 68 3.2.1 Mơ hình kênh 68 3.2.2 Kênh ma trận ngẫu nhiên 70 3.2.3 Hệ thống tiền mã hóa tuyến tính 3.2.4 Mơ hình chung DS-CDMA 74 71 Kết luận 77 Phụ lục 78 Tài liệu tham khảo 79 (LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung Chương Kiến thức chuẩn bị Lý thuyết ma trận ngẫu nhiên nghiên cứu ma trận có phần tử biến ngẫu nhiên (hay nghiên cứu biến ngẫu nhiên lấy giá trị không gian ma trận) Vì vậy, chương chúng tơi trình bày số kiến thức lý thuyết xác suất ma trận mà dùng chương sau luận văn 1.1 Kiến thức xác suất Xét không gian xác suất sở (Ω, F, P), đó: Ω khơng gian mẫu gồm tất kết xảy phép thử ngẫu nhiên Mỗi kết w ∈ Ω gọi điểm mẫu biến cố sơ cấp Ta cịn gọi Ω không gian biến cố sơ cấp F σ - đại số (σ - trường) biến cố Tức F họ tập Ω thỏa mãn điều kiện: • Ω∈F • Nếu E ∈ F Ω \ E = E c = E ∈ F • Nếu E1 , E2 , ∈ F Ei ∩ Ej = ∅(i 6= j) S∞ n=1 En ∈F Mỗi tập E ∈ F gọi biến cố P độ đo xác suất xác định F Tức ánh xạ P : F → R thỏa mãn điều kiện sau: • P(E) ≥ với E ∈ F • P(Ω) = (LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung S∞ • Nếu E1 , E2 , ∈ F Ei ∩ Ej = ∅(i 6= j) P( 1.1.1 n=1 En ) = P∞ n=1 P(En ) Biến ngẫu nhiên Định nghĩa 1.1 (Biến ngẫu nhiên) Cho (R, R) không gian đo (tập R trang bị σ - đại số tập R) Biến ngẫu nhiên lấy giá trị R (biến ngẫu nhiên R - giá trị) ánh xạ X đo từ không gian mẫu đến R, tức hàm X : Ω → R cho X −1 (S) biến cố với S ∈ R Chúng ta xét vài ví dụ biến ngẫu nhiên: • Biến ngẫu nhiên rời rạc, R tập đếm R = 2R σ -đại số rời rạc gồm tất tập R Ví dụ điển hình R tập đếm số thực phức Nếu R = {0, 1}, nói biến ngẫu nhiên Boolean, R = {c} nói biến ngẫu nhiên tất định • Các biến ngẫu nhiên có giá trị thực, R đường thẳng thực R σ -đại số Borel, tạo tập mở R • Các biến ngẫu nhiên có giá trị phức, nhận giá trị mặt phẳng phức với σ - đại số Borel Khi xét biến ngẫu nhiên có giá trị phức, biến cố {|X − z| < r} với số phức z r > (nhỏ) có vai trị quan trọng • Biến ngẫu nhiên giá trị vector không gian vector hữu hạn chiều, có giá trị Rn Cn với σ -đại số Borel Ta xem biến ngẫu nhiên giá trị vector X = (X1 , , Xn ) biến ngẫu nhiên đồng thời biến ngẫu nhiên vô hướng thành phần X1 , , Xn • Biến ngẫu nhiên có giá trị ma trận ma trận ngẫu nhiên, nhận giá trị khơng gian Mn×p (R) Mn×p (C) ma trận có giá trị thực phức cấp n × p, với σ -đại số Borel, n, p ≥ số nguyên (thường tập trung vào trường hợp n = p) Ta xem biến ngẫu nhiên có giá trị ma trận X = (Xij )1≤i≤n;1≤j≤p biến ngẫu nhiên đồng thời biến vô hướng thành phần Xij Có thể áp dụng tất phép tốn ma trận thơng thường (ví dụ tổng, tích, định thức, vết, nghịch đảo, vv) ma trận ngẫu nhiên để có biến ngẫu nhiên (LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung Định nghĩa 1.2 (Ký hiệu tiệm cận) Kí hiệu X = O(Y ), Y = Ω(X), X  Y , Y  X để biểu thị |X| ≤ CY với C không phụ thuộc n n ≥ C Kí hiệu X = o(Y ) |X| ≤ c(n)Y với c → n → ∞ Nếu X  Y  X kí hiệu X ∼ Y hay X = Θ(Y ) Cho biến cố E = En phụ thuộc vào tham số n, Ta có: • Biến cố E chắn (hay đúng) biến cố Ω, ∅ • Biến cố E hầu chắn (hoặc với xác suất đầy đủ) xảy với xác suất 1, P(E) = • Biến cố E có xác suất áp đảo (Overwhelming probabitily) với A > cố định, xảy với xác suất − OA (n−A ) (tức P(E) ≥ − CA n−A với CA độc lập với n) • Biến cố E có xác suất cao (Hight probabitily) có xác suất − O(n−c ) với c > độc lập với n (tức P(E) ≥ − Cn−c với C độc lập với n) • Biến cố E tiệm cận hầu chắn có xác suất − o(1), xác suất tiến đến n → ∞ 1.1.2 Các bất đẳng thức Với X biến ngẫu nhiên, có số khái niệm: • X bị chặn chắn tồn M > cho |X| ≤ M chắn • X bị chặn hầu chắn tồn M > cho |X| ≤ M hầu chắn • X Gauss (Subgaussian) tồn C, c > cho P(|X| ≥ λ) ≤ C exp(−cλ2 ) với λ > • X có mũ (Sub-exponential tail) tồn C, c, a > cho P(|X| ≥ λ) ≤ C exp(−cλa ) với λ > • X có moment cấp k hữu hạn với k ≥ tồn C cho E|X|k ≤ C • X khả tích tuyệt đối E|X| < ∞ • X hữu hạn hầu chắn |X| < ∞ hầu chắn (LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung Ví dụ 2.1 Nếu g ≡ N (0, 1)R E|g| = p 2/π Từ ví dụ thấy E(M.E.|G||M, E) = p 2/πM.E Do bất đẳng thức Jensen: E(||M.E.|G|||op |M, E) ≥ p 2/π||M.E||op Lấy kì vọng hai vế áp dụng (2.47), ta có bất đẳng thức Gauss đối xứng E||M ||op ≤ √ 2π E||M.G||op (2.48) Do đó, chứng minh định lý 2.14, ta chèn Gauss ngẫu nhiên phía trước hệ số Điều khiến việc chứng minh định lý 2.13 đơn giản chút (bởi ta tính tốn trực tiếp với Gauss sử dụng kết tập trung độ đo) cải thiện khơng đáng kể Trong tình khác, bổ sung dấu ngẫu nhiên thừa số Gauss ngẫu nhiên Ví dụ, có kết sau Latala: Định lý 2.16 ([8], p.233) Cho M = (Mij )1≤i,j≤n ma trận với phần tử độc lập trung bình 0, tuân theo giới hạn moment cấp hai sup i sup j n X E|Mij |2 ≤ K n j=1 n X E|Mij |2 ≤ K n i=1 giới hạn moment cấp bốn n X n X E|Mij |4 ≤ K n2 i=1 j=1 √ với K > Thì E||M ||op = O(k n) Chứng minh Thông tin chi tiết phức tạp, xem [8] Như hệ định lý 2.16, ta thấy ma trận độc lập phân bố (hoặc ma trận Wigner) trung bình mà phần tử có moment cấp bốn √ O(1) kỳ vọng tốn tử chuẩn O( n) (Giả sử moment cấp bốn xác định) 55 (LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung Để thấy điều này, xét toán tử chuẩn ma trận M = (Mij )1≤i,j≤n với độ lớn bị chặn hệ số thì: sup |Mij | ≤ ||M ||op 1≤i,j≤n P(||M ||op ≤ λ) ≤ P( _ |Mij | ≤ λ) 1≤i,j≤n √ Trong trường hợp Mij ≡ M độc lập phân bố, đặt λ = A n, A cố định độc lập với n: √ √ P(||M ||op ≤ A n) ≤ P(|M | ≤ A n)n (2.49) Với giả thiết moment cấp bốn hội tụ trội ta có √ P(|M | ≤ A n) ≥ − oA (1/n2 ) Do đó, vế phải (2.49) tiệm cận tầm thường Nhưng giả thiết yếu so √ với giả thuyết moment cấp bốn, tốc độ hội tụ P(|Mij | ≤ A n) tới chậm Nhận xét 2.3 ([8], 2.35) Bất đẳng thức đối xứng có hiệu lực tốn tử chuẩn thay tập lồi chuẩn không gian ma trận Các kết có giá trị cho ma trận vuông 2.5.3 Phương pháp tập trung độ đo Xét ma trận ngẫu nhiên M định lý 2.14 (ví dụ ma trận ngẫu nhiên √ có dấu) Chúng ta biết tốn tử chuẩn ||M ||op có kích thước O( n) với xác suất áp đảo Hơn thế, cách sử dụng tính chất lồi Lipschitz ||M ||op , ta có ứng dụng nhanh từ bất đẳng thức Talagrand (Định lý 1.7): Định lý 2.17 ([8], p.135) Cho M định lý 2.14 Thì với λ > ta có: P(|||M ||op − M||M ||op | ≥ λ) ≤ C exp(−cλ2 ) với số C, c > 0, M||M ||op trung vị ||M ||op Tương tự M||M ||op thay kỳ vọng E||M ||op Chứng minh Ta xem ||M ||op hàm F ((Mij )1 ≤ i, j ≤ n) biến phức độc 56 (LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung lập Mij F : Cn → R Theo tính chất lồi toán tử chuẩn suy F lồi Áp dụng bất đẳng thức tam giác giới hạn ta có: ||M ||op ≤ ||M ||F (2.50) (chứng minh Cauchy-Schwarz), mà n X n X ||M ||F := ( |Mij |2 )1/2 (2.51) i=1 j=1 chuẩn Frobenius (còn gọi chuẩn Hilbert-Schmidt), F Lipschitz với số Điều cần chứng minh suy trực tiếp từ bất đẳng thức Talagrand (Định lý 1.7) √ Từ định lý 2.14 ta biết trung vị (kỳ vọng) ||M ||op có kích thước O( n), ta lại biết ||M ||op tập trung xung quanh trung vị với độ rộng tối đa O(1) Song chúng không cho ta biết giá trị trung vị (kỳ vọng) ||M ||op thực Nên ta cần sử dụng phương pháp khác, chẳng hạn phương pháp moment sau đây: 2.5.4 Phương pháp moment Chúng ta bắt đầu với moment đơn giản sau moment phức tạp hơn, xét trường hợp M đối xứng Hermit Xuất phát điểm cho phương pháp moment toán tử chuẩn ||M ||op chuẩn l∞ kM kop = max |λi | (2.52) 1≤i≤n với giá trị riêng λ1 , , λn ∈ R M Mặt khác, ta có tr(M ) = quát tr(M k ) = n P i=1 n P λi tổng i=1 λki Đặc biệt, có k = 2, 4, số nguyên chẵn tr(M k )1/k chuẩn lk giá trị riêng có bất đẳng thức: ||M ||kop ≤ tr(M k ) ≤ n||M ||kop (2.53) Nhận xét 2.4 ([8], p.137) Trong hầu hết trường hợp ta hy vọng giá trị riêng phân bố cách hợp lý, (2.53) giới hạn gần với xác giới hạn 57 (LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung Xét trường hợp moment cấp hai tr(M ): n X n X tr(M ) = |Mij |2 = kM k2F i=1 j=1 Biểu thức n P n P |Mij |2 dễ dàng tính tốn thực tế Ví dụ với tập hợp i=1 j=1 Bernoulli đối xứng biểu thức xác n2 Tổng quát, có ma trận Wigner với phần tử ngồi đường chéo có trung bình khơng phương sai đơn vị, phần tử đường chéo có trung bình khơng phương sai bị chặn (đây trường hợp ví dụ cho GOE) từ luật số lớn ta thấy biểu thức tiệm cận hầu chắn n2 Từ luật yếu số lớn: n X n X |Mij |2 = (1 + o(1))2 (2.54) i=1 j=1 tiệm cận hầu chắn Áp dụng (2.53), ta có giới hạn: √ (1 + o(1)) n ≤ kM kop ≤ (1 + o(1))n (2.55) tiệm cận hầu chắn Điều đủ để thấy trung vị kM kop √ (1 + o(1)) n Nhưng giới hạn tồi nên ta chuyển đến moment cao để cải thiện Xét moment cấp bốn Để đơn giản, giả sử phần tử Mij có trung bình không, phương sai đơn vị bị giới hạn độ lớn K Khống chế moment vượt moment cấp hai ta có : tr(M ) = X Mi1 i2 Mi2 i3 Mi3 i4 Mi4 i1 1≤i1 ,i2 ,i3 ,i4 ≤n Lấy kỳ vọng: Etr(M ) = X EMi1 i2 Mi2 i3 Mi3 i4 Mi4 i1 1≤i1 ,i2 ,i3 ,i4 ≤n Có thể xem đồ thị tổng này, tổng chiều dài bốn chu kỳ tập đỉnh {1, , n}; lưu ý bốn cạnh {i1 , i2 }, {i2 , i3 }, {i3 , i4 }, {i4 , i1 } phép suy biến hai lân cận Mi Giá trị số hạng tổng phụ thuộc vào chu kỳ chúng EMi1 i2 Mi2 i3 Mi3 i4 Mi4 i1 (2.56) 58 (LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung Thứ nhất, tất bốn cạnh {i1 , i2 }, {i2 , i3 }, {i3 , i4 }, {i4 , i1 } khác biệt Thì Mi1 i2 , , Mi4 i1 độc lập, giả thiết trung bình 0, nên số hạng Thật vậy, lập luận tương tự cho thấy số hạng khác không những số hạng mà cạnh lặp lặp lại hai lần Chúng thuộc kiểu sau đây: i1 = i3 , i2 , i4 phân biệt với khác với i1 i1 = i3 i2 = i4 i1 = i2 = i3 , i4 khác biệt với i1 i1 = i2 = i3 = i4 , Trong trường hợp đầu tiên, giả thiết phương sai độc lập đơn vị nên (2.56) 1, có O(n3 ) số hạng, tổng nhiều O(n3 ) Trong trường hợp thứ hai, phương sai bị chặn K nên (2.56) O(K ) có O(n2 ) số hạng, tổng O(n2 K ) Tương tự, kiểu thứ ba có tổng O(n2 ) kiểu thứ tư O(nK ), tóm lại: Etr(M ) ≤ O(n3 ) + O(n2 K ) √ Đặc biệt, có K = O( n) Etr(M ) ≤ O(n3 ) Do bất đẳng thức Markov (1.1), với ε > 0, tr(M ) ≤ Oε (n3 ) có xác suất − ε Áp dụng (2.53) dẫn đến giới hạn kM kop ≤ Oε (n3/4 ) có xác suất − ε; tương tự với ε cố định, ta có: kM kop ≤ n3/4+ε với xác suất cao Điều tốt so với giới hạn có từ phương pháp moment cấp hai, chưa tối ưu Bây xét moment cấp sáu, giả sử ma trận Wigner có phần tử trung bình 0, phương sai giới hạn độ lớn K có: X Etr(M ) = EMi1 i2 , , Mi6 i1 1≤i1 , ,i6 ≤n 59 (LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung tổng chu kỳ có độ dài {1, , n} Một lần nữa, hầu hết số hạng 0, ngoại trừ chu kỳ với cạnh xuất hai lần (tức có ba cạnh khác nhau) Chúng thuộc kiểu sau đây: Chu kỳ, có ba cạnh riêng biệt, cạnh xuất hai lần Chu kỳ, có hai cạnh riêng biệt, cạnh xuất hai lần cạnh xuất bốn lần Chu kỳ, có hai cạnh riêng biệt, cạnh xuất hiên ba lần Chu kỳ, cạnh xuất sáu lần Ta thấy số hạng đến từ kiểu chu kỳ 1, có O(n4 ) số hạng Tương tự, kiểu thứ hai thứ ba chu kỳ O(K ) có O(n3 ) số hạng, kiểu thứ tư chu kỳ O(K ) với O(n2 ) số hạng Tóm lại: Etr(M ) ≤ O(n4 ) + O(n3 K ) + O(n2 K ) √ Đặc biệt giả sử K = O( n) có: Etr(M ) ≤ O(n4 ) Do (2.53) nên: kM kop ≤ Oε (n2/3 ) có xác suất − ε với ε Bây ta xét moment cấp k với giả thiết trước, k số ngun chẵn ta có: Etr(M k ) = X EMi1 i2 , , Mik i1 (2.57) 1≤i1 , ,ik ≤n với tổng chu kỳ có độ dài k Thấy kỳ vọng khác khơng với chu kì mà cạnh xuất hai lần nên có nhiều k/2 cạnh có nhiều k/2 + đỉnh Chúng ta chia chu kỳ vào lớp khác phụ thuộc số cạnh chu kì (một lớp quan hệ tương đương ∼ tập hợp k nhãn {1, , k} mà lớp tương đương chứa hai phần tử chu kỳ k cạnh {i1 , i2 } , , {ik , i1 } nằm lớp quan hệ ≡ ta có {ij , ij+1 } = {ij , ij +1 } j ∼ j , ik+1 := i1 ) 60 (LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung Có thể có lớp khác vậy? Ta phải gán k/2 nhãn cho k cạnh giới hạn thơ (k/2)k Bây xét lớp chu kỳ cho trước Có j cạnh e1 , , ej với số ≤ j ≤ k/2 với vô số a1 , , aj mà a1 , , aj lên đến k , j cạnh có tối đa j + đỉnh Thực sự, đỉnh i1 , ta xác định tất đỉnh khác cách xét xuất j cạnh e1 , , ej đường từ i1 đến ik ghi lại đỉnh cuối cạnh Từ đó, thấy tổng số chu kỳ lớp đặc biệt tối đa nj+1 Mặt khác, Mij có trung bình 0, phương sai đơn vị giới hạn K , moment cấp a phần tử lớn K a−2 với a ≥ Vì vậy, số hạng (2.57) xuất phát từ chu kỳ lớp có độ lớn tối đa là: K a1 −2 K aj −2 = K a1 + +aj −2j = K k−2j Như tổng đóng góp lớp (2.57) nj+1 K k−2j , bị giới hạn bởi: √ max(nk/2+1 , n2 K k−2 ) = nk/2+1 max(1, K/ n)k−2 Vậy ta có giới hạn (hơi thô): √ Etr(M k ) ≤ (k/2)k nk/2+1 max(1, K/ n)k−2 Vì (2.53) nên: √ EkM kkop ≤ (k/2)k nk/2+1 max(1, K/ n)k−2 Sử dụng bất đẳng thức Markov (1.1) ta có: √ P(kM kop ≥ λ) ≤ λ−k (k/2)k nk/2+1 max(1, K/ n)k−2 √ √ với λ > Ví dụ đặt trung vị kM kop O(n1/k k n max(1, K/ n)) Chúng ta tối ưu hóa theo k cách chọn k so sánh log n) có giới √ √ hạn O( n log n max(1, K/ n))> Thực sự, điều chỉnh số √ √ kM kop = O( n log n max(1, K/ n)) với xác suất cao Mệnh đề 2.1 (Giới hạn yếu [8], p.143) Cho M = (Mij )n×n ma trận ngẫu nhiên Hermit với phần tử tam giác độc lập, trung bình 0, phương sai √ √ nhiều bị giới hạn độ lớn K Thì kM kop = O( n log n max(1, K/ n)) với xác suất cao Khi K ≤ √ √ n, giới hạn O( n log n) 61 (LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung Chương Ứng dụng Những năm gần đây, lý thuyết ma trận ngẫn nhiên ứng dụng nhiều lĩnh vực: vật lý (mô tả thống kê mức lượng hệ thống lượng tử hỗn loạn; ứng dụng cho cộng hưởng âm thanh, ví dụ dao động tinh thể thạch anh kim loại hình kỳ quặc), tài chính, lý thuyết đồ thị, mạng khơng dây, lý thuyết số tổ hợp, phân tích thống kê nhiều chiều phân tích thành phần Trong luận văn chúng tơi trình bày số ứng dụng góc độ xây dựng mơ hình liên quan đến ma trận ngẫu nhiên 3.1 3.1.1 Trong vật lí Định nghĩa kết liên quan Dãy mức độ (Sequence of levels) ([10], p.11): Có câu hỏi nhiều ngành khoa học làm để xếp không gian, thời gian, đại lượng trừu tượng khác theo số chiều Để trả lời câu hỏi này, ta sử dụng ánh xạ chiếu dãy vào đường thẳng thực, vd: {x1 , x2 , , xN } RMT khơng nghiên cứu phân bố trung bình dãy mức độ mà nghiên cứu dao động trung bình cá nhân so với phân bố trung bình chúng Mức độ thống kê A Phân bố khoảng trống lân cận gần (Nearest neighbour spacing) (phân bố NNS) ([10], p.12): Thấy mật độ trung bình trường hợp hình 3.1 xây dựng giống Nên để thấy khác biệt ta phải xét phân bố, khoảng cách mức liên tiếp Xét dãy {x1 ≤ x2 ≤ x3 ≤ ≤ xn }, dãy {s1 , s2 , , sn−1 } dãy chuẩn hóa hiệu 62 (LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung Hình 3.1: Ánh xạ chiếu đường thẳng thực số trường hợp mức liên tiếp: si = xi+1 − xi D với D khoảng trống trung bình dãy Thực tế, làm việc với khoảng trống chuẩn hóa đơn giản Định nghĩa 3.1 Hàm mật độ xác suất NNS ρ(x) cho bởi: ρ(s)ds đưa xác suất tìm si khoảng (s, s + ds) nghĩa xác suất tìm mật độ xi mức độ nằm khoảng s s + ds Đối với dãy phân bố (cột bên phải hình 3.1) phân bố NNS đưa ra: ρ(s)ds = δ(s − 1)ds (3.1) với δ hàm delta Dirac Phân bố NNS dãy ngẫu nhiên: ρ(s)ds = e−s ds (3.2) Đây phân bố Poisson Wigner đoán với dãy đơn giản (dãy đơn giản dãy mức độ với tính quay trịn chẵn lẻ giống nhau), xác suất tìm mức xi+1 từ mức xi biết với khoảng cách s s + ds, tỉ lệ với khoảng cách từ s so với xi Hàm phân phối NNS cho sau: ρ(s)ds = πs − πs2 e ds (3.3) 63 (LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung Đối với GOE, GUE, GSE, đoán Wigner cung cấp xấp xỉ tốt: GOE : pw1 (s) = π −πs2 s exp( ) 218 −4s2 ) s exp( 36 π π 32 −64s2 GSE : pw4 (s) = s2 exp( ) π 9π GU E : pw2 (s) = với s khoảng cách hai mức độ liên tiếp B Hàm tương quan hai mức độ (Two level correlation function) ([10], p.14): X2 (α, β) đưa xác suất tìm hai mức độ dãy {x1 , , xN } khoảng nhỏ (α, α + dα) (β, β + dβ) Gọi r khoảng cách α β Với dãy phân bố thì: X2 (r) = X δ(r − 1) C (3.4) i>0 C Phương sai ([10], p.15): Cho nL (x) số mức khoảng độ dài L x Phương sai cho bởi: NV (L) =< nL (x)2 >x − < nL (x) >2x (3.5) với < >x trung bình vị trí x = xi Nếu dãy mức độ chuẩn hóa cho khoảng trống trung bình mức độ liên tiếp 1, < n(x) >x p L Thì khoảng độ dài L, ta kì vọng tìm L+ − NV (L) D Số liệu thống kê 43 ([10], p.15) đưa Dyson mehta, có tên phổ cứng Mật độ xác suất mật độ phổ cho tổng hàm delta Dyrac: N X ρ(x) = δ(x − xi ) N (3.6) i=1 với xi mức độ dãy mức độ {x1 ≤ x2 ≤ ≤ xN } Định nghĩa 3.2 Hàm bước nhảy (Step function): Z x ρ(x0 )dx0 n(x) = (3.7) −∞ Nếu dãy mức độ chuẩn hóa hàm bước nhảy giống đường thẳng Định nghĩa 3.3 Số liệu thống kê 43 định nghĩa bởi: 43 = < mina,b (n(x0 ) − ax0 − b)2 )dx0 >x L (3.8) 64 (LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung Giả sử [x, x + L] nằm dãy phụ k mức {x1 , , xk } Kết hợp với xk+1 = x + L, viết (3.8) số hạng: x+L Z I1 = n(x )dx = x k 1X x n(x )dx = j(x2j+1 − x2j ) I2 = x 0 j=1 x+L Z j(xj+1 − xj ) j=1 x+L Z k X k 1X n (x )dx = j (xj+1 − xj ) 2 I3 = x j=1 x+L Z I4 = x x+L Z I5 = x x0 dx0 = L2 − xL (x0 )2 dx0 = ((x + L)3 − x3 ) Do min(I3 − 2aI2 − 2bI1 + 2abI4 + a2 I5 + bL2 ) L LI − I1 I4 I1 − aI4 với a = ,b = L LI5 − I4 Vậy để tìm 43 (L) ta tính 43 (L, x) với điểm xuất phát x trung 43 (L, x) = bình Đối với GOE, GUE, GSE 43GOE = π2 (log(2πL) + γ − − ) π2 (log(2πL) + γ − ) 2π π2 = (log(4πL) + γ − + ) 4π 43GOE = 43GSE 3.1.2 (3.9) (3.10) (3.11) Vật lý hạt nhân Lĩnh vực vật lý hạt nhân nơi mà RMT đời Dữ liệu thử nghiệm trở thành chi tiết để kiểm tra ý nghĩa thống kê dự đoán RMT, với đỉnh cao tâp liệu hạt nhân (Nuclear data ensemble) (NDE) mức lượng phổ hạt nhân rộng Một số ví dụ ứng dụng lĩnh vực ([10], p.91): 65 (LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung Hình 3.2: Sự so sánh NNS mức lượng hạt nhân nặng với dự đoán NNS tập GOE RMT Hình 3.2 biểu đồ NNS mức lượng hạt nhân nặng lấy từ tập liệu hạt nhân (NDE) so sánh với dự đoán NNS tập GOE RMT Hình 3.3, so sánh mức độ thống kê NDE với dự đoán RMT, với số liệu thống kê 43 Có thể thấy, số liệu thống kê 43 NDE khớp với số liệu thống kê 43 GOE Để so sánh, số liệu thống kê 43 cho phân bố Poisson GUE đưa Hình 3.3: Sự so sánh số liệu thống kê 43 NDE với số liệu thống kê 43 dự đoán tập GOE, GUE, Poisson RMT Hình 3.4 so sánh nhiều liệu mức độ lượng hạt nhân đưa Porter Rosenzweig Hình 3.4 (a), (b) (c ) biểu đồ NNS số dãy mức lượng hạt nhân Trong ba đồ thị, dãy mức độ nhóm lại 66 (LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung theo kích thước hạt nhân: (a) nhỏ , (b) trung bình (c) lớn Trong (a), biểu đồ NNS mức lượng tiệm cận phân bố Poisson so với phân bố NNS GOE Tuy nhiên kích thước hạt nhân tăng lên, biểu đồ NNS tiệm cận phân bố NNS GOE Rõ ràng, ứng dụng RMT phụ thuộc vào phức tạp hệ thống Hình 3.4: Sự so sánh NNS mức lượng trường hợp kích thước hạt nhân : nhỏ, vừa lớn với NNS GOE RMT 67 (LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung 3.2 Truyền thông không dây Trong năm gần đây, RMT ứng dụng phổ biến vô tuyến truyền thông Ma trận ngẫu nhiên dùng để mô tả đường truyền sóng hai hệ thống thơng tin vơ tuyến quan trọng hệ thống ăngten đa đầu vào đa đầu (Multiple - input Multiple - output antenna system) (MIMO) hệ thống truy cập trực tiếp đa dãy mã phân (Direct - sequence code - division system) (DS-CDMA): • Trong hệ thống ăngten MIMO, nhiều ăngten sử dụng để máy phát đồng thời truyền liệu máy thu đồng thời nhận liệu Trong môi trường nhiều đường dẫn kênh trả lời ăngten phát ăngten thu đơn giản mơ hình biến ngẫu nhiên độc lập phân bố Vì kênh vô tuyến coi đường truyền mô tả ma trận ngẫu nhiên • DS-CDMA hệ thống đa truy cập (Multiple - access system) hỗ trợ nhiều người dùng với trạm phát dùng thời điểm tần số mã đường truyền khác Trong dải tần số phẳng, DS-CDMA đồng đưa lên hệ thống mã đường truyền khác nhau, mơ tả ma trận ngẫu nhiên Mục tiêu phần đưa đa kênh khơng dây, vấn đề mơ hình hóa ma trận ngẫu nhiên xét số ứng dụng điển hình RMT vơ tuyến truyền thơng Hy vọng phần giúp người đọc hiểu biết toán học kỹ thuật, thấy liên kết hai ngành khác nhau, vấn đề để làm việc thúc đẩy hợp tác liên ngành 3.2.1 Mơ hình kênh Khái niệm hệ thống vô tuyến truyền thông ([3], p.435) Nguyên tắc làm việc minh họa hình 3.5 Sơ đồ khối có ba phần bản: máy phát, trạm người nhận Mục tiêu việc thiết kế máy phát chuyển đổi bit thông tin thành định dạng tín hiệu để truyền phù hợp với kênh khơng dây Khi tín hiệu qua trạm, cường độ tín hiệu bị suy yếu hao tổn, bị giảm biến đổi cường độ dạng sóng tín hiệu thu 68 (LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung khác nhiều lý Cuối phía người nhận bit thông tin truyền phục hồi thông qua cân bằng, tách sóng giải mã Hình 3.5: Sơ đồ khối hệ thống vô tuyến truyền thông Sự trình bày xác tốn học trạm ma trận ([3], p.435) Chúng tơi xây dựng mơ hình đầu vào-đầu phát sinh từ hệ thống vô tuyến truyền thông sau: x= n X hi si + u = Hs + u (3.12) i=1 với s = [s1 , s2 , , sn ] biểu thị vector tín hiệu truyền n × chiều; hi biểu thị vector kênh p × chiều tương ứng với si ; x = [x1 , x2 , , xn ]0 u = [u1 , u2 , , un ]0 biểu thị vector tín hiệu vector tiếng ồn thu có p × chiều; H = [h1 , h2 , , hn ]0 ma trận kênh cấp p × n Trong (3.12), n p tương ứng số chiều tín hiệu số chiều quan sát Mơ hình ma trận (3.12) mơ tả thời gian, tần số, không gian, tên miền Sau chúng tơi đưa hai mơ hình phổ biến vô tuyến truyền thông: kênh ma trận ngẫu nhiên kênh tuyến tính tiền mã hóa 69 (LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).ma.tran.ngau.nhien.va.ung.dung TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com