Thông tin tài liệu
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC VŨ MAI TRANG RÈN LUYỆN TƯ DUY PHẢN BIỆN CHO SINH VIÊN NGÀNH TỐN THƠNG QUA MỘT SỐ PHẢN VÍ DỤ TRONG GIẢI TÍCH VÀ TƠPƠ LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HÀ NỘI - 2017 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ' $ ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC VŨ MAI TRANG RÈN LUYỆN TƯ DUY PHẢN BIỆN CHO SINH VIÊN NGÀNH TỐN THƠNG QUA MỘT SỐ PHẢN VÍ DỤ TRONG GIẢI TÍCH VÀ TƠPƠ LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TỐN Chuyên ngành : LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC (BỘ MƠN TỐN) Mã số: 60 14 01 11 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Nhụy HÀ NỘI - 2017 & TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com % LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành Luận văn tốt nghiệp này, tác giả nhận hướng dẫn, giúp đỡ góp ý nhiệt tình q thầy giáo cán nhân viên trường Đại học Giáo dục Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội trường Đại học Sư phạm Hà Nội Lời cảm ơn chân thành xin chuyển đến quý thầy cô trường Đại học Giáo dục - Đại học Quốc gia Hà Nội, đặc biệt thầy tận tình bảo tác giả suốt thời gian thực Luận văn tốt nghiệp Tác giả xin chân thành cảm ơn PGS.TS Nguyễn Nhụy, người thầy dành nhiều thời gian, tâm huyết để tận tình bảo, giúp đỡ tạo điều kiện trình nghiện cứu hoàn thành Luận văn Đồng thời, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy Vũ Nhật Huy (trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội) giảng viên tồn thể sinh viên khoa Tốn, trường Đại học Giáo dục - Đại học Quốc gia Hà Nội khoa Toán - Tin, trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trình nghiên cứu khảo sát thực nghiệm sư phạm cho đề tài Cuối cùng, lời cảm ơn chân thành xin dành cho gia đình, bạn bè đồng nghiệp động viên, khuyến khích tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Mặc dù có nhiều cố gắng hồn thiện Luận văn tất nhiệt tình khả mình, nhiên Luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót, mong nhận đóng góp quý báu quý thầy cô bạn Xin trân trọng cảm ơn Hà Nội, ngày tháng năm 2017 Tác giả Vũ Mai Trang TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT Tên viết tắt ĐC GV NXB SV TN Tên đầy đủ Đối chứng Giảng viên Nhà xuất Sinh viên Thực nghiệm TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mục lục LỜI CẢM ƠN DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT MỤC LỤC DANH SÁCH BẢNG DANH SÁCH HÌNH VẼ MỞ ĐẦU 1 Cơ sở lý luận thực tiễn 1.1 1.2 1.3 Tổng quan đề tài nghiên cứu 1.1.1 Trên giới 1.1.2 Trong nước Cơ sở lý luận 1.2.1 Tổng quan tư 1.2.2 Tổng quan tư phản biện 12 1.2.3 Tư phản biện giáo dục đại học 17 1.2.4 Phản ví dụ 21 Cơ sở thực tiễn 23 1.3.1 Mục tiêu giáo dục đại học, cao đẳng 23 1.3.2 Yêu cầu đổi phương pháp dạy học đại học 24 1.3.3 Đặc điểm Toán học 24 1.3.4 Nội dung Giải tích cổ điển Tơpơ chương trình đại học 24 1.3.5 Thực tiễn dạy học nội dung Giải tích cổ điển Tơpơ đại cương 25 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Kết luận Chương 36 Một số phản ví dụ dạy học Giải tích Tơpơ 37 2.1 Một số phản ví dụ dãy số chuỗi số 37 2.2 Một số phản ví dụ tính liên tục hàm số 43 2.3 Một số phản ví dụ tính khả vi hàm số 49 2.4 Một số phản ví dụ khơng gian metric 60 2.5 Một số phản ví dụ khơng gian tôpô 68 2.6 Định hướng sử dụng phản ví dụ dạy học 81 2.6.1 Sử dụng phản ví dụ dạy học khái niệm Toán học 82 2.6.2 Sử dụng phản ví dụ dạy học mệnh đề Toán học 84 2.6.3 Sử dụng phản ví dụ kiểm tra, đánh giá 85 2.6.4 Sử dụng phản ví dụ hoạt động tự học sinh viên 86 Kết luận Chương 87 Thực nghiệm sư phạm 88 3.1 Mục đích thực nghiệm 88 3.2 Nội dung thực nghiệm 88 3.3 Tổ chức thực nghiệm 89 3.3.1 Công tác chuẩn bị 89 3.3.2 Tiến hành thực nghiệm 89 3.3.3 Kết thực nghiệm xử lí kết thực nghiệm 90 Kết luận Chương 100 KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 101 TÀI LIỆU THAM KHẢO 102 PHỤ LỤC 104 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Danh sách bảng 1.1 Kết khảo sát phương pháp dạy học Giải tích Tôpô 26 3.1 Phân phối tần số điểm kiểm tra 15 phút 92 3.2 Phân phối tần suất điểm kiểm tra 15 phút 92 3.3 Phân phối tần suất hội tụ tiến điểm kiểm tra 15 phút 92 3.4 Các tham số đặc trưng kiểm tra 15 phút 93 3.5 Kết đánh giá tiêu chí lực tư phản biện SV 96 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ren.luyen.tu.duy.phan.bien.cho.sinh.vien.nganh.toan.thong.qua.mot.so.phan.vi.du.trong.giai.tich.va.topo(LUAN.van.THAC.si).ren.luyen.tu.duy.phan.bien.cho.sinh.vien.nganh.toan.thong.qua.mot.so.phan.vi.du.trong.giai.tich.va.topo(LUAN.van.THAC.si).ren.luyen.tu.duy.phan.bien.cho.sinh.vien.nganh.toan.thong.qua.mot.so.phan.vi.du.trong.giai.tich.va.topo(LUAN.van.THAC.si).ren.luyen.tu.duy.phan.bien.cho.sinh.vien.nganh.toan.thong.qua.mot.so.phan.vi.du.trong.giai.tich.va.topo Danh sách hình vẽ 1.1 Các giai đoạn trình tư 1.2 Thang tư Bloom (1956) 10 1.3 Thang tư Bloom cải tiến (Lorin Anderson) 10 1.4 Thang tư Bloom cải tiến (Anderson & Krathwohl) 11 1.5 Kết khảo sát mức độ lĩnh hội khái niệm Toán học sinh viên 27 1.6 Kết khảo sát mức độ lĩnh hội mệnh đề Toán học sinh viên 28 1.7 Kết khảo sát khả giải tập sinh viên 29 1.8 Kết khảo sát mức độ u thích mơn học sinh viên 30 1.9 Kết khảo sát tần suất sử dụng phản ví dụ dạy học GV 31 1.10 Kết khảo sát tần suất sử dụng phản ví dụ học tập SV 32 1.11 Kết khảo sát mức độ xuất phản ví dụ cách lật ngược vấn đề 33 1.12 Kết khảo sát mức độ xuất phản ví dụ cách bỏ giả thiết 34 1.13 Kết khảo sát mức độ xuất phản ví dụ cách thay đổi giả thiết 35 2.1 Đồ thị hàm số g 52 2.2 Đồ thị hàm số un−1 54 2.3 Đồ thị hàm số up 55 2.4 Đồ thị hàm số xn (t) 66 2.5 Tập N (x, y) mặt phẳng tọa độ 76 3.1 Phân phối tần suất hội tụ tiến điểm kiểm tra 15 phút 93 3.2 Kết đánh giá tiêu chí lực tư phản biện SV lớp TN 97 3.3 Kết đánh giá tiêu chí lực tư phản biện SV lớp ĐC 97 (LUAN.van.THAC.si).ren.luyen.tu.duy.phan.bien.cho.sinh.vien.nganh.toan.thong.qua.mot.so.phan.vi.du.trong.giai.tich.va.topo(LUAN.van.THAC.si).ren.luyen.tu.duy.phan.bien.cho.sinh.vien.nganh.toan.thong.qua.mot.so.phan.vi.du.trong.giai.tich.va.topo(LUAN.van.THAC.si).ren.luyen.tu.duy.phan.bien.cho.sinh.vien.nganh.toan.thong.qua.mot.so.phan.vi.du.trong.giai.tich.va.topo(LUAN.van.THAC.si).ren.luyen.tu.duy.phan.bien.cho.sinh.vien.nganh.toan.thong.qua.mot.so.phan.vi.du.trong.giai.tich.va.topo TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ren.luyen.tu.duy.phan.bien.cho.sinh.vien.nganh.toan.thong.qua.mot.so.phan.vi.du.trong.giai.tich.va.topo(LUAN.van.THAC.si).ren.luyen.tu.duy.phan.bien.cho.sinh.vien.nganh.toan.thong.qua.mot.so.phan.vi.du.trong.giai.tich.va.topo(LUAN.van.THAC.si).ren.luyen.tu.duy.phan.bien.cho.sinh.vien.nganh.toan.thong.qua.mot.so.phan.vi.du.trong.giai.tich.va.topo(LUAN.van.THAC.si).ren.luyen.tu.duy.phan.bien.cho.sinh.vien.nganh.toan.thong.qua.mot.so.phan.vi.du.trong.giai.tich.va.topo MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Tư phản biện q trình tư có ý nghĩa quan trọng nghiên cứu khoa học nói chung Tốn học nói riêng Có kĩ tư phản biện vừa giúp người học nắm vững hiểu khái niệm, định lí, mệnh đề Tốn học; vừa tiền đề cho sáng tạo tạo động lực học tập đắn cho người học Đây lực tư cần thiết SV ngành Toán – nhà nghiên cứu Toán học hay người giáo viên dạy Toán tương lai Tuy nhiên, SV ngành Toán nay, đặc biệt SV năm đầu, chưa nói đến việc phát triển tư phản biện, nhìn chung việc tiếp cận Tốn cao cấp cịn gặp nhiều khó khăn Tính trừu tượng tính tổng quát phạm trù Tốn học gây cho SV nhiều bỡ ngỡ Ví mơn Giải tích cổ điển, khái niệm cũ phổ thông “dãy số”, “hàm số”, “liên tục”, “đạo hàm”, “tích phân” xác hóa lại ngơn ngữ Tốn học, cách làm lại gây khó khăn cho SV, vốn quen hiểu khái niệm cách mơ hồ, không chắn Hay môn Tôpô đại cương, việc xuất loạt phạm trù Toán học “khơng gian tơpơ”, “tập đóng, tập mở”, “tính compact”, vừa gây nhiều bỡ ngỡ, lại vừa làm người học dễ có ngộ nhận Tốn học khơng xác Vậy làm để vừa giúp SV ngành Tốn vượt qua khó khăn ban đầu sở rèn luyện tư phản biện cho người học? Xây dựng phản ví dụ dạy học phương pháp quan trọng giúp giải câu hỏi nói Việc sử dụng phản ví dụ dạy học Tốn cho SV ngành Tốn nói chung, mơn Giải tích cổ điển Tơpơ nói riêng, tiền đề cho phát triển tư phản biện người học, đồng thời giúp SV nắm vững, hiểu sâu kiến thức Tốn có thêm niềm hứng thú động lực học tập đắn (LUAN.van.THAC.si).ren.luyen.tu.duy.phan.bien.cho.sinh.vien.nganh.toan.thong.qua.mot.so.phan.vi.du.trong.giai.tich.va.topo(LUAN.van.THAC.si).ren.luyen.tu.duy.phan.bien.cho.sinh.vien.nganh.toan.thong.qua.mot.so.phan.vi.du.trong.giai.tich.va.topo(LUAN.van.THAC.si).ren.luyen.tu.duy.phan.bien.cho.sinh.vien.nganh.toan.thong.qua.mot.so.phan.vi.du.trong.giai.tich.va.topo(LUAN.van.THAC.si).ren.luyen.tu.duy.phan.bien.cho.sinh.vien.nganh.toan.thong.qua.mot.so.phan.vi.du.trong.giai.tich.va.topo TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ren.luyen.tu.duy.phan.bien.cho.sinh.vien.nganh.toan.thong.qua.mot.so.phan.vi.du.trong.giai.tich.va.topo(LUAN.van.THAC.si).ren.luyen.tu.duy.phan.bien.cho.sinh.vien.nganh.toan.thong.qua.mot.so.phan.vi.du.trong.giai.tich.va.topo(LUAN.van.THAC.si).ren.luyen.tu.duy.phan.bien.cho.sinh.vien.nganh.toan.thong.qua.mot.so.phan.vi.du.trong.giai.tich.va.topo(LUAN.van.THAC.si).ren.luyen.tu.duy.phan.bien.cho.sinh.vien.nganh.toan.thong.qua.mot.so.phan.vi.du.trong.giai.tich.va.topo 2 Mục đích nghiên cứu nhiệm vụ nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu hướng đến mục đích sau: - Tìm hiểu vai trị phản ví dụ việc rèn luyện tư phản biện cho SV ngành Toán - Thiết kế số phản ví dụ mơn Giải tích cổ điển Tơpơ đại cương để áp dụng vào dạy học cho SV ngành Toán nhằm phát triển tư phản biện 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu sở lí luận tư phản biện vai trị phản ví dụ rèn luyện tư phản biện - Nghiên cứu nội dung thực trạng dạy học môn Giải tích cổ điển Tơpơ đại cương cho SV ngành Toán Thực khảo sát thực trạng bảng hỏi - Thiết kế số phản ví dụ mơn Giải tích cổ điển Tơpơ đại cương định hướng áp dụng vào giảng dạy - Thực nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm tính khả thi hiệu đề tài Giả thuyết nghiên cứu Các phản ví dụ có vai trị quan trọng phát triển trí tuệ, đặc biệt việc rèn luyện tư phản biện cho SV ngành Toán Việc sử dụng phản ví dụ giảng dạy mơn Giải tích cổ điển Tơpơ đại cương làm cho người học hiểu khái niệm kết Toán học cách sâu sắc Khách thể đối tượng nghiên cứu 4.1 Khách thể nghiên cứu SV ngành Toán năm thứ năm thứ hai 4.2 Đối tượng nghiên cứu Tư phản biện, Phản ví dụ (LUAN.van.THAC.si).ren.luyen.tu.duy.phan.bien.cho.sinh.vien.nganh.toan.thong.qua.mot.so.phan.vi.du.trong.giai.tich.va.topo(LUAN.van.THAC.si).ren.luyen.tu.duy.phan.bien.cho.sinh.vien.nganh.toan.thong.qua.mot.so.phan.vi.du.trong.giai.tich.va.topo(LUAN.van.THAC.si).ren.luyen.tu.duy.phan.bien.cho.sinh.vien.nganh.toan.thong.qua.mot.so.phan.vi.du.trong.giai.tich.va.topo(LUAN.van.THAC.si).ren.luyen.tu.duy.phan.bien.cho.sinh.vien.nganh.toan.thong.qua.mot.so.phan.vi.du.trong.giai.tich.va.topo TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ren.luyen.tu.duy.phan.bien.cho.sinh.vien.nganh.toan.thong.qua.mot.so.phan.vi.du.trong.giai.tich.va.topo(LUAN.van.THAC.si).ren.luyen.tu.duy.phan.bien.cho.sinh.vien.nganh.toan.thong.qua.mot.so.phan.vi.du.trong.giai.tich.va.topo(LUAN.van.THAC.si).ren.luyen.tu.duy.phan.bien.cho.sinh.vien.nganh.toan.thong.qua.mot.so.phan.vi.du.trong.giai.tich.va.topo(LUAN.van.THAC.si).ren.luyen.tu.duy.phan.bien.cho.sinh.vien.nganh.toan.thong.qua.mot.so.phan.vi.du.trong.giai.tich.va.topo 2.3 Một số phản ví dụ tính khả vi hàm số 59 Chứng minh Xét hàm số: ϕ: R −→ R x = 0, x 7−→ ϕ(x) = x sin x 6= x Hiển nhiên, ϕ liên tục điểm x 6= Tại x0 = 0, ≤ ϕ(x) ≤ |x| nên theo Định lý giới hạn kẹp: lim ϕ(x) = = ϕ(0), tức ϕ liên tục Như vậy, hàm số ϕ liên x→0 tục R, kéo theo ϕ khả tích R Xét hàm số: f: R −→ R Zx x 7−→ f (x) = ϕ(t)dt Hàm số f xác định khả vi R f (x) = ϕ(x) ≥ 0, ∀x ∈ R Ta có: " " x=0 x=0 1 f (x) = ⇔ ϕ(x) = ⇔ ⇔ sin = x= , k ∈ Z \ {0} x kπ Vậy f (x) = vô hạn điểm Bây ta chứng minh f tăng ngặt R Thật vậy, giả sử ≤ a < b Xét dãy số {un } : un = → 0, n → ∞ Vì b > nên tồn n0 ∈ N cho un < b nπ với n ≥ n0 Đặt A = {n ∈ N∗ : un < b} = ∅ Vì A 6= ∅ ⊂ N∗ nên tồn phần tử nhỏ p A Ta xét hai trường hợp sau: - Nếu up ≤ a < b ϕ(x) > 0, ∀x ∈ (a, b) Thật vậy, tồn x ∈ (a, b) cho 1 ϕ(x) = sin = ⇒ x = > up = Như vậy, m < p um = x < b, mâu x mπ pπ thuẫn với việc p phần tử nhỏ A Khi đó: f (x) = ϕ(x) > 0, ∀x ∈ (a, b), kéo theo f tăng ngặt [a, b], tức f (a) < f (b) - Nếu a < up < b: + Xét [a, up ] có f (x) = ϕ(x) ≥ 0, ∀x ∈ (a, up ), suy f đơn điệu tăng [a, up ], tức f (a) ≤ f (up ) + Xét [up , b], lập luận tương tự trường hợp ta có f (x) = ϕ(x) > 0, ∀x ∈ (up , b), kéo theo f tăng ngặt [up , b], tức f (up ) < f (b) Kết hợp lại ta được: f (a) ≤ f (up ) < f (b) (LUAN.van.THAC.si).ren.luyen.tu.duy.phan.bien.cho.sinh.vien.nganh.toan.thong.qua.mot.so.phan.vi.du.trong.giai.tich.va.topo(LUAN.van.THAC.si).ren.luyen.tu.duy.phan.bien.cho.sinh.vien.nganh.toan.thong.qua.mot.so.phan.vi.du.trong.giai.tich.va.topo(LUAN.van.THAC.si).ren.luyen.tu.duy.phan.bien.cho.sinh.vien.nganh.toan.thong.qua.mot.so.phan.vi.du.trong.giai.tich.va.topo(LUAN.van.THAC.si).ren.luyen.tu.duy.phan.bien.cho.sinh.vien.nganh.toan.thong.qua.mot.so.phan.vi.du.trong.giai.tich.va.topo TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ren.luyen.tu.duy.phan.bien.cho.sinh.vien.nganh.toan.thong.qua.mot.so.phan.vi.du.trong.giai.tich.va.topo(LUAN.van.THAC.si).ren.luyen.tu.duy.phan.bien.cho.sinh.vien.nganh.toan.thong.qua.mot.so.phan.vi.du.trong.giai.tich.va.topo(LUAN.van.THAC.si).ren.luyen.tu.duy.phan.bien.cho.sinh.vien.nganh.toan.thong.qua.mot.so.phan.vi.du.trong.giai.tich.va.topo(LUAN.van.THAC.si).ren.luyen.tu.duy.phan.bien.cho.sinh.vien.nganh.toan.thong.qua.mot.so.phan.vi.du.trong.giai.tich.va.topo 2.4 Một số phản ví dụ khơng gian metric 60 Vậy f (a) < f (b), ∀0 ≤ a < b Chứng minh tương tự ta có: f (a) < f (b), ∀a < b ≤ Mặt khác, f (0) = nên: f (a) < f (0) < f (b), ∀a < < b Vậy hàm số f tăng ngặt R 2.4 Một số phản ví dụ không gian metric Giả sử X tập khác rỗng Hàm số ρ : X × X → R gọi metric hay khoảng cách X tính chất sau thỏa mãn: M1) ρ(x, y) ≥ với x, y ∈ X ρ(x, y) = ⇔ x = y M2) ρ(x, y) = ρ(y, x) với x, y ∈ X M3) ρ(x, z) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, z) với x, y, z ∈ X Khi ta nói cặp (X, ρ) khơng gian metric Mỗi phần tử X gọi điểm Số ρ(x, y) gọi metric hay khoảng cách hai điểm x y Phản ví dụ 2.24 Giao tùy ý tập mở tập mở, hợp tùy ý tập đóng khơng phải tập đóng Đặt vấn đề Xét khơng gian metric (X, ρ) tập A ⊂ X Tập A gọi tập mở với x ∈ A, tồn r > cho B(x, r) = {y ∈ X : ρ(x, y) < r} ⊂ A Tập A gọi tập đóng X \ A tập mở Ta chứng minh rằng: - Giao hữu hạn tập mở tập mở, hợp tùy ý tập mở tập mở - Hợp hữu hạn tập đóng tập đóng, giao tùy ý tập đóng tập đóng Câu hỏi: Giao tùy ý tập mở có phải tập mở hay không? Và hợp tùy ý tập đóng có phải tập đóng hay khơng? Mệnh đề Tồn giao tùy ý tập mở tập mở, hợp tùy ý tập đóng khơng phải tập đóng (LUAN.van.THAC.si).ren.luyen.tu.duy.phan.bien.cho.sinh.vien.nganh.toan.thong.qua.mot.so.phan.vi.du.trong.giai.tich.va.topo(LUAN.van.THAC.si).ren.luyen.tu.duy.phan.bien.cho.sinh.vien.nganh.toan.thong.qua.mot.so.phan.vi.du.trong.giai.tich.va.topo(LUAN.van.THAC.si).ren.luyen.tu.duy.phan.bien.cho.sinh.vien.nganh.toan.thong.qua.mot.so.phan.vi.du.trong.giai.tich.va.topo(LUAN.van.THAC.si).ren.luyen.tu.duy.phan.bien.cho.sinh.vien.nganh.toan.thong.qua.mot.so.phan.vi.du.trong.giai.tich.va.topo TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ren.luyen.tu.duy.phan.bien.cho.sinh.vien.nganh.toan.thong.qua.mot.so.phan.vi.du.trong.giai.tich.va.topo(LUAN.van.THAC.si).ren.luyen.tu.duy.phan.bien.cho.sinh.vien.nganh.toan.thong.qua.mot.so.phan.vi.du.trong.giai.tich.va.topo(LUAN.van.THAC.si).ren.luyen.tu.duy.phan.bien.cho.sinh.vien.nganh.toan.thong.qua.mot.so.phan.vi.du.trong.giai.tich.va.topo(LUAN.van.THAC.si).ren.luyen.tu.duy.phan.bien.cho.sinh.vien.nganh.toan.thong.qua.mot.so.phan.vi.du.trong.giai.tich.va.topo 2.4 Một số phản ví dụ không gian metric 61 Chứng minh Xét R với metric thông thường: ρ(x, y) = |x − y|, ∀x, y ∈ R Chú ý rằng, với metric này, khoảng (a, b) tập mở R, đoạn [a, b] tập đóng, cịn nửakhoảng[a, b) hay (a, b] tập khơng đóng khơng mở T 1 , n ∈ N∗ tập mở R Gn = {0} tập đóng, Xét Gn = − , n n n≥1 không tập mở S Xét Fn = , , n ∈ N∗ tập đóng R Fn = (0, 1] khơng phải n n≥1 tập đóng Phản ví dụ 2.25 Điểm dính tập hợp điểm tụ Đặt vấn đề Xét không gian metric (X, ρ), tập A ⊂ X điểm x ∈ X Điểm x gọi điểm dính A với r > B(x, r) ∩ A 6= ∅ Điểm x gọi điểm tụ A với r > B(x, r) ∩ A \ {x} = ∅ Hiển nhiên, điểm tụ A điểm dính Câu hỏi: Liệu có tồn điểm dính A mà khơng phải điểm tụ khơng? Mệnh đề Tồn điểm dính tập hợp điểm tụ Chứng minh Xét R với metric thông thường Tập A = (1, 2) ∪ {3} ⊂ R điểm ∈ R Khi đó, điểm dính A với r > B(3, r) ∩ A 6= ∅ ∈ B(3, r) ∩ A Tuy nhiện, với r0 = ta có: B(3, 1) = (2, 4) ∩ A \ {3} = ∅ Vậy điểm tụ A Phản ví dụ 2.26 Một số hệ thức liên quan đến phần bao đóng tập hợp Đặt vấn đề Cho không gian metric (X, ρ) tập A ⊂ X - Điểm x ∈ X gọi điểm A tồn r > cho B(x, r) ⊂ A Tập hợp tất điểm A gọi phần A, kí hiệu IntA - Điểm x ∈ X điểm dính A với r > B(x, r) ∩ A 6= ∅ Tập hợp tất điểm dính A gọi bao đóng A, kí hiệu A Ta có hệ thức sau phần bao đóng tập hợp: (LUAN.van.THAC.si).ren.luyen.tu.duy.phan.bien.cho.sinh.vien.nganh.toan.thong.qua.mot.so.phan.vi.du.trong.giai.tich.va.topo(LUAN.van.THAC.si).ren.luyen.tu.duy.phan.bien.cho.sinh.vien.nganh.toan.thong.qua.mot.so.phan.vi.du.trong.giai.tich.va.topo(LUAN.van.THAC.si).ren.luyen.tu.duy.phan.bien.cho.sinh.vien.nganh.toan.thong.qua.mot.so.phan.vi.du.trong.giai.tich.va.topo(LUAN.van.THAC.si).ren.luyen.tu.duy.phan.bien.cho.sinh.vien.nganh.toan.thong.qua.mot.so.phan.vi.du.trong.giai.tich.va.topo TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ren.luyen.tu.duy.phan.bien.cho.sinh.vien.nganh.toan.thong.qua.mot.so.phan.vi.du.trong.giai.tich.va.topo(LUAN.van.THAC.si).ren.luyen.tu.duy.phan.bien.cho.sinh.vien.nganh.toan.thong.qua.mot.so.phan.vi.du.trong.giai.tich.va.topo(LUAN.van.THAC.si).ren.luyen.tu.duy.phan.bien.cho.sinh.vien.nganh.toan.thong.qua.mot.so.phan.vi.du.trong.giai.tich.va.topo(LUAN.van.THAC.si).ren.luyen.tu.duy.phan.bien.cho.sinh.vien.nganh.toan.thong.qua.mot.so.phan.vi.du.trong.giai.tich.va.topo 2.4 Một số phản ví dụ khơng gian metric 62 (1) A ∩ B ⊂ A ∩ B S S Aα ⊃ (2) Aα α∈I α∈I (3) Int(A ∪ B) ⊃ IntA ∪ IntB T T (4) Int( Aα ) ⊂ IntAα α∈I α∈I Câu hỏi: Chiều ngược lại hệ thức có không? Mệnh đề Chiều ngược lại hệ thức liên quan đến phần bao đóng nói chưa Chứng minh Xét R với metric thông thường Chú ý rằng, với metric này, phần khoảng/ đoạn/ nửa khoảng R khoảng tương ứng, cịn bao đóng đoạn tương ứng (1) Xét A = (0, 1) B = (1, 2) Vì A ∩ B = ∅ nên A ∩ B = ∅ Mặt khác, A = [0, 1] B = [1, 2] nên A ∩ B ={1} Vậy A ∩ B A ∩ B S S , , n ∈ N∗ Vì An = (0, 1) nên (2) Xét An = An = [0, 1] Mặt khác, n ∗ ∗ n∈N n∈N S S S An = , , ∀n ≥ nên An = (0, 1] Vậy An An ! n n∈N∗ n∈N∗ n∈N∗ (3) Xét A = [0, 1] B = [1, 2] Vì A ∪ B = [0, 2] nên Int(A ∪ B) = (0, 2) Mặt khác, IntA = (0, 1) IntB = (1, 2) nên IntA ∪ IntB = (0, 1) ∪ (1, 2) Vậy Int(A ∪ B) ! IntA ∪ IntB T T , , n ∈ N∗ Vì (4) Xét An = R\ An = (−∞, 0]∪[1, +∞) nên Int( An ) = n n∈N∗ n∈N∗ T ∪ (1, +∞), ∀n ≥ nên (−∞, 0) ∪ (1, +∞) Mặt khác, IntAn = −∞, IntAn = n n∈N∗ T T (−∞, 0] ∪ (1, +∞) Vậy Int( An ) IntAn n∈N∗ n∈N∗ Phản ví dụ 2.27 Tập bị chặn khơng hồn tồn bị chặn Đặt vấn đề Cho không gian metric X tập A ⊂ X Tập A gọi bị chặn tồn x ∈ X r > cho A ⊂ B(x, r) Tập A gọi hoàn toàn bị chặn với > 0, tồn tập H ⊂ X hữu hạn cho A⊂ [ B(x, ) x∈H Một tập hồn tồn bị chặn bị chặn Thật vậy, chọn 0 = 1, lấy a ∈ H đặt r = max{ρ(a, x) : x ∈ H} + A ⊂ B(a, r) (LUAN.van.THAC.si).ren.luyen.tu.duy.phan.bien.cho.sinh.vien.nganh.toan.thong.qua.mot.so.phan.vi.du.trong.giai.tich.va.topo(LUAN.van.THAC.si).ren.luyen.tu.duy.phan.bien.cho.sinh.vien.nganh.toan.thong.qua.mot.so.phan.vi.du.trong.giai.tich.va.topo(LUAN.van.THAC.si).ren.luyen.tu.duy.phan.bien.cho.sinh.vien.nganh.toan.thong.qua.mot.so.phan.vi.du.trong.giai.tich.va.topo(LUAN.van.THAC.si).ren.luyen.tu.duy.phan.bien.cho.sinh.vien.nganh.toan.thong.qua.mot.so.phan.vi.du.trong.giai.tich.va.topo TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ren.luyen.tu.duy.phan.bien.cho.sinh.vien.nganh.toan.thong.qua.mot.so.phan.vi.du.trong.giai.tich.va.topo(LUAN.van.THAC.si).ren.luyen.tu.duy.phan.bien.cho.sinh.vien.nganh.toan.thong.qua.mot.so.phan.vi.du.trong.giai.tich.va.topo(LUAN.van.THAC.si).ren.luyen.tu.duy.phan.bien.cho.sinh.vien.nganh.toan.thong.qua.mot.so.phan.vi.du.trong.giai.tich.va.topo(LUAN.van.THAC.si).ren.luyen.tu.duy.phan.bien.cho.sinh.vien.nganh.toan.thong.qua.mot.so.phan.vi.du.trong.giai.tich.va.topo 2.4 Một số phản ví dụ khơng gian metric 63 Câu hỏi: Điều ngược lại có khơng? Mệnh đề Tồn tập bị chặn khơng hồn tồn bị chặn Chứng minh Xét X không gian vô hạn điểm với metric rời rạc x = y, ρ(x, y) = x 6= y Tập X bị chặn X ⊂ B(x, 2) với x ∈ X Tuy nhiên, X khơng hồn tồn bị chặn Thật vậy, chọn 0 = Chú ý với = {x} Do đó, khơng thể tồn tập H ⊂ X hữu hạn để x ∈ X B x, S A⊂ B x, x∈H Phản ví dụ 2.28 Song ánh liên tục không đồng phôi Đặt vấn đề Cho f : X → Y ánh xạ từ không gian metric (X, ρ) vào không gian metric (Y, d) Ánh xạ f gọi liên tục điểm x0 ∈ X với > 0, tồn δ > cho với x ∈ X mà ρ(x, x0 ) < δ d(f (x), f (x0 )) < Nếu f liên tục điểm X, ta nói f liên tục X Một song ánh f : X → Y gọi đồng phôi f f −1 liên tục Câu hỏi: Một song ánh liên tục có chắn đồng phôi hay không? Mệnh đề Tồn song ánh liên tục không đồng phôi Cách Trên C[0, 1] không gian hàm liên tục đoạn [0, 1], ta xét hai metric, là: - Cs [0, 1] không gian hàm liên tục [0, 1] với metric sup: ρs (x, y) = sup |x(t) − y(t)| t∈[0,1] - CL [0, 1] không gian hàm liên tục [0, 1] với metric tích phân: Z1 |x(t) − y(t)|dt ρL (x, y) = Xét ánh xạ đồng nhất: i: Cs [0, 1] −→ CL [0, 1] x 7−→ x (LUAN.van.THAC.si).ren.luyen.tu.duy.phan.bien.cho.sinh.vien.nganh.toan.thong.qua.mot.so.phan.vi.du.trong.giai.tich.va.topo(LUAN.van.THAC.si).ren.luyen.tu.duy.phan.bien.cho.sinh.vien.nganh.toan.thong.qua.mot.so.phan.vi.du.trong.giai.tich.va.topo(LUAN.van.THAC.si).ren.luyen.tu.duy.phan.bien.cho.sinh.vien.nganh.toan.thong.qua.mot.so.phan.vi.du.trong.giai.tich.va.topo(LUAN.van.THAC.si).ren.luyen.tu.duy.phan.bien.cho.sinh.vien.nganh.toan.thong.qua.mot.so.phan.vi.du.trong.giai.tich.va.topo TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ren.luyen.tu.duy.phan.bien.cho.sinh.vien.nganh.toan.thong.qua.mot.so.phan.vi.du.trong.giai.tich.va.topo(LUAN.van.THAC.si).ren.luyen.tu.duy.phan.bien.cho.sinh.vien.nganh.toan.thong.qua.mot.so.phan.vi.du.trong.giai.tich.va.topo(LUAN.van.THAC.si).ren.luyen.tu.duy.phan.bien.cho.sinh.vien.nganh.toan.thong.qua.mot.so.phan.vi.du.trong.giai.tich.va.topo(LUAN.van.THAC.si).ren.luyen.tu.duy.phan.bien.cho.sinh.vien.nganh.toan.thong.qua.mot.so.phan.vi.du.trong.giai.tich.va.topo 2.4 Một số phản ví dụ khơng gian metric 64 song ánh - Ánh xạ i liên tục Thật vậy, xét x0 ∈ C[0, 1], cho trước > 0, ta chọn δ = Khi đó, với x ∈ C[0, 1] ρs (x, x0 ) = supt∈[0,1] |x(t) − x0 (t)| < δ thì: Z1 Z1 |x(t) − x0 (t)|dt ≤ ρL (x, x0 ) = dt = - Ánh xạ i−1 không liên tục Ta chứng minh i−1 không liên tục ρ ρs L Chú ý rằng, i−1 liên tục với dãy {xn } ⊂ C[0, 1], xn −→ xn −→ Xét dãy {xn } ⊂ C[0, 1], xn (t) = tn , ∀t ∈ [0, 1] Dãy {xn } hội tụ CL [0, 1] vì: Z1 Z1 |xn (t) − 0|dt = 0 tn+1
Ngày đăng: 18/12/2023, 05:21
Xem thêm:
