tổng hợp bộ lọc số fir và mô phỏng bằng matlab

MỤC LỤC Chương 1. KHÁI NIỆM TỔNG HỢP BỘ LỌC SỐ FIR 1.1 Khái niệm tổng hợp bộ lọc số FIR • Một hệ thống dùng làm biến dạng sự phân bố tần số của các thành phần của một tín hiệu theo các chỉ tiêu đã cho được gọi là bộ lọc số. • Các thao tác của xử lý dùng để biến dạng sự phân bố tần số của các thành phần của một tín hiệu theo các chỉ tiêu đã cho nhờ một hệ thống số được gọi là sự lọc số. Các giai đoạn của quá trình tổng hợp lọc số: - Xác định h(n) sao cho thỏa mãn các chỉ tiêu kỹ thuật đề ra - Lượng tử hóa các thông số bộ lọc - Kiểm tra, chạy thử trên máy tính • Trong chương trình Tổng hợp Lọc số chỉ xét đến giai đọan đầu, tức là xác định h(n) sao cho thỏa mãn các chỉ tiêu kỹ thuật đề ra, thông thường các chỉ tiêu cho trước là các thông số của Đáp ứng tần số. 1.2. Các tính chất tổng quát của bộ lọc số FIR Bộ lọc số FIR luôn ổn định Do độ dài L[h(n)]=N: Nếu h(n) không nhân quả, dịch h(n) sang phải n 0 đơn vị thành h(n-n 0 ), nhưng đáp ứng biên độ vẫn không đổi: 1.3 Các đặc trưng cơ bản của bộ lọc số FIR Ta có khi bộ lọc số FIR có đáp ứng xung có chiều dài hữu hạn nghĩa là: (1.1) Nếu biểu diễn trong miền z ta có hàm truyền đạt của bộ lọc số pha tuyến tính theo định nghĩa biến đổi z sẽ có dạng: (1.2) Nếu biểu diễn trong miền tần số ω theo biến đổi Fourier ta có đáp ứng tần số: (1.3) Mặt khác trong miền tần số ω khi biểu diễn đáp ứng tần số theo độ lớn và pha ta có: (1.4) Do pha θ(ω) tuyến tính nên ta giả sử pha có dạng theo phương trình tuyến tính như sau: (1.5) Bây giờ chúng ta sẽ đi tổng hợp bộ lọc số FIR pha tuyến tính có nghĩa là xác định đáp ứng biên độ tần số của bộ lọc số và xét xem với đáp ứng biên độ tần số tìm được có thỏa mãn các chỉ tiêu kỹ thuật bộ lọc số đặt ra hay không. Cần nhắc lại là các chỉ tiêu kỹ thuật của bộ lọc số thực tế đã được đề ra trong chương 3 với 4 tham số chính + Tần số giới hạn dải thông ω p + Độ gợn sóng dải thông δ 1 + Tần số giới hạn dải thông ω s + Độ gợn sóng dải thông δ 2 Đối với bộ lọc số FIR pha tuyến tính, căn cứ vào dạng pha đã cho ở (1.5) ta sẽ nghiên cứu hai trường hợp: 1. Trường hợp 1. β=0 ⇒ θ(ω) =− αω − π ω π 2.Trường hợp 2. β ≠0 ⇒ θ(ω)= β − αω − π ω π Trường hợp 1. β=0 ⇒ θ(ω) =− αω − π ω π (1.6) Mặt khác theo sự biểu diễn (1.4) và thay θ(ω) =− αω ta có: (1.7) Đồng nhất (1.6) và (1.7) ta thấy đây là 2 số phức, muốn bằng nhau thì phần thực phải bằng phần thực và phần ảo phải bằng phần ảo: (1.8) Từ (1.8) ta chia hai biểu thức cho nhau khử rồi áp dụng các biến đổi lượng giác rút ra được kết luận: Trong trường hợp bộ lọc số FIR pha tuyến tính có pha ở dạng θ(ω) =− αω bộ lọc sẽ có quan hệ sau: - Ở đây được gọi là tâm đối xứng của bộ lọc FIR. - Khi θ(ω) =− αω và N lẻ, ta có bộ lọc số FIR loại I, h(n) đối xứng. - Khi θ(ω) =− αω và N chẵn, ta có bộ lọc số FIR loại II, h(n) đối xứng. Trường hợp 2. β ≠0 ⇒ θ(ω)= β − αω − π ω π Tiến hành phân tích tương tự như trường hợp 1 ta rút ra được kết luận: Trong trường hợp bộ lọc số FIR pha tuyến tính có pha ở dạng θ(ω)= β − αω bộ lọc sẽ có quan hệ sau: - Ở đây được gọi là tâm phản đối xứng của bộ lọc FIR - Khi θ(ω)= β − αω và N lẻ, ta có bộ lọc số FIR loại III, h(n) phản đối xứng - Khi θ(ω)= β − αω và N chẵn, ta có bộ lọc số FIR loại IV, h(n) phản đối xứng. Tóm lại Bộ lọc loại 1: h(n) đối xứng, N lẽ Bộ lọc loại 2: h(n) đối xứng, N chẵn Bộ lọc loại 3: h(n) phản đối xứng, N lẽ Bộ lọc loại 4: h(n) phản đối xứng, N chẵn Chương 2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TỔNG HỢP MẠCH LỌC FIR Các khái niệm về tâm đối xứng, tâm phản đối xứng, chiều dài bộ lọc số FIR N chẵn hay lẻ sẽ hình thành nên các đặc điểm của bộ lọc số. Căn cứ vào các đặc điểm của bộ lọc, chúng ta sẽ đitổng hợp các bộ lọc số FIR. Thông thường có 3 phương pháp chính như sau: - Phương pháp cửa sổ: Dùng các cửa sổ để hạn chế chiều dài đáp ứng xung của bộ lọc số lý tưởng và đưa về nhân quả. - Phương pháp mẫu tần số: Trong vòng tròn tần số lấy các điểm khác nhau để tổng hợp bộ lọc. - Phương pháp lặp tối ưu (phương pháp tối ưu - MINIMAX): phương pháp gần đúng Tchebyshef, tìm sai số cực đại Emax của bộ lọc thiết kế với bộ lọc lý tưởng, rồi làm cực tiểu hoá đi sai số này: min|Emax|. Các bước cực tiểu sẽ được máy tính lặp đi lặp lại. 2.1 Phương pháp cửa sổ Phương pháp cửa sổ là một phương pháp đơn giản nhất. Mục tiêu chính của phương pháp này là dùng các hàm cửa sổ cho sẵn để tổng hợp bộ lọc số FIR sao cho thực hiện được về mặt vật lý, nghĩa là các đáp ứng xung phải có chiều dài hữu hạn và nhân quả Các thủ tục thiết kế bộ lọc số FIR được thực hiện qua các bước sau: - Đưa ra chỉ tiêu kỹ thuật δ 1 , δ 2 , ω P , ω S trong miền tần số ω . - Chọn loại cửa sổ và chiều dài cửa sổ N, nghĩa là xác định w( n ) N . - Chọn loại bộ lọc số lý tưởng( thông thấp, thông cao, thông dải, chắn dải) tức là chọn h(n). - Để hạn chế chiều dài thì nhân cửa sổ với h(n): w(n) N . h (n) = h d (n) Chiều dài L N , L , nên L N. Sau bước này tìm được ( ) d h n tức là hệ số của bộ lọc số thực tế, nhưng hệ số này có đáp ứng được các chỉ tiêu kỹ thuật đặt ra hay không thì phải thử lại. - Thử lại xem có thỏa mãn δ 1 , δ 2 , ω P , ω S hay không bằng cách chuyển sang miền tần số H d = W N H = d (2.11) Nếu không thoả mãn ta sẽ tăng chiều dài N của cửa sổ. Lưu ý: - Trong miền tần số ω , cửa sổ và bộ lọc phải có pha trùng nhau, tâm đối xứng của cửa sổ và bộ lọc cũng phải trùng nhau. - Khi dùng cửa sổ thao tác vào bộ lọc số lý tưởng, do vậy đáp ứng xung h(n) bị cắt bớt chiều dài cho nên ở miền tần số ω , đáp ứng của bộ lọc số FIR H () vừa thiết kế sẽ có hiện tượng gợn sóng tức là hiện tượng Gibbs, làm cho chất lượng của bộ lọc bị ảnh hưởng. Sau đây chúng ta sẽ nghiên cứu các loại cửa sổ và các bước thiết kế. 2.1.2 Phương pháp cửa sổ chữ nhật Cửa sổ chữ nhật là cửa sổ đơn giản nhất. Định nghĩa: Trong miền n, cửa sổ chữ nhật được định nghĩa như sau: W R (n) N = (2.12) Nhận xét: w R (n) N = rect N (n) Xét cửa sổ chữ nhật trong miền tần số ta có: W RN = PT = = = = = A R () Vì có dạng nên ta biến đổi tiếp: A R () = = N (2.13) Hình 2.1 Biểu diễn A R () Có hai tham số đánh giá cửa sổ là: - Bề rộng đỉnh trung tâm Δω . - Tỷ số giữa biên độ đỉnh thứ cấp thứ nhất trên biên độ đỉnh trung tâm: λ= 20 lg Hai chỉ tiêu đánh giá chất lượng của cửa sổ. Đối với cửa sổ chữ nhật ta có: - Bề rộng đỉnh trung tâm Δω R = - Tỷ số giữa biên độ đỉnh thứ cấp thứ nhất trên biên độ đỉnh trung tâm: λ R = 20 lg (dB) - 13dB. Các thông số được minh hoạ trên hình vẽ 5.1. Lưu ý: - Chất lượng của cửa sổ sẽ được đánh giá là tốt nếu 2 tham số bề rộng đỉnh trung tâm Δω và tỷ số biên độ đỉnh thứ cấp thứ nhất trên đỉnh trung tâm λ cùng nhỏ. - Bề rộng đỉnh trung tâm Δω nhỏ thì dải quá độ giữa dải thông và dải chắn của bộ lọc sẽ nhỏ, nghĩa là tần số ω p và ω s gần nhau. - Tỷ số biên độ đỉnh thứ cấp thứ nhất trên đỉnh trung tâm λ nhỏ dẫn đến độ gợn sóng δ 1 , δ 2 nhỏ. - Nhưng đây là 2 tham số nghịch nhau, bề rộng đỉnh trung tâm muốn nhỏ thì tỷ số λ sẽ lớn và ngược lại. Do vậy tuỳ từng điều kiện bài toán chúng ta sẽ đưa ra các tiêu chuẩn kỹ thuật riêng để chọn loại cửa sổ. Để đánh giá cửa sổ có tính đến thông số chiều dài N của cửa sổ thì người ta còn dùng tham số sau: G () = 20 lg (dB) Ví dụ về tham số này sẽ được thể hiện trong hình 2.5 Ví dụ 2.1 Vẽ cửa sổ chữ nhật với N = 7 Giải: Ta có w 7 (n) 7 = Hình 2.2 cửa sổ hình chữ nhật Ví dụ 2.2 Hãy thiết kế bộ lọc số thông thấp FIR pha tuyến tính dùng phương pháp cửa sổ chữ nhật: = ; N=7 Giải: Trong chương 3, ta đã xác định đáp ứng xung h(n) của bộ lọc thông thấp lý tưởng pha ()=0 như sau: h LP (n) = ( tâm đối xứng: n=0) 9 n 5 6 7 8 9 Nhưng trong ví dụ này ta có pha tuyến tính ()= - , do vậy ta phải dịch chuyển h(n) sang phải mẫu : h LP (n) = ( tâm đối xứng: n=) Thay = ; N=7 ta được : Sau đó ta thực hiện nhân h(n) với cửa sổ chữ nhật N=7 như ở hình 2.2 để tìm h d (n) Hình 2.3 Xác định w R (n) N .h(n) = h d (n) với N=7 h d (n) đối xứng tại tâm đối xứng n=3 nên ta có các giá trị sau: h d (0)= = h d (6) h d (1)= 0 = h d (5) h d (2)= = h d (4) h d (3)= Hàm truyền đạt của bộ lọc: H d (z) == + ++ - Hay y(n) = x(n)+ ++ - Kết quả được sơ đồ bộ lọc FIR như sau: Hình 2.4 sơ đồ bộ lọc FIR thông thấp với N = 7 trong ví dụ 2.2 Sau đây chúng ta sẽ xem xét đồ thị biểu diễn G = 20lg (dB) của cửa sổ chữ nhật với cácchiều dài N khác nhau: [...]... sai số cực đại giữa đáp ứng tần số của bộ lọc thực tế và đáp ứng tần số củat bộ lọc lý tưởng Trước tiên, ta đưa hàm độ lớn của đáp ứng tần số của 4 loại bộ lọc FIR về dạng sau: A()= P() Q() với P(ω) là hàm có dạng: P()= Bảng sau đây đưa ra giá trị R, các hàm P(ω) và Q(ω) cho 4 loại bộ lọc: Loại bộ lọc Q(ω) FIR loại 1 R P(ω) 1 FIR loại 1 FIR loại 1 -1 FIR loại 1 Hàm sai số giữa bộ lọc lý tưởng và bộ lọc. .. loại 1: (k)= *Đối với bộ lọc FIR loại 2: (k)= *Đối với bộ lọc FIR loại 3: (k)= *Đối với bộ lọc FIR loại 4: (k)= Nếu coi hàm sai số xấp xỉ được tính bằng độ sai lệch giữa đáp ứng tần số của bộ lọc lý tưởng với đáp ứng tần số của bộ lọc thực tế , ta có các nhận xét sau: • Hàm sai số xấp xỉ bằng không tại các tần số được lấy mẫu • Hàm sai số xấp xỉ tại các tần số khác phụ thuộc vào mức độ dốc hay độ biến... δ1 và δ2 (hay As và Rp) thì thôi Về mặt kinh nghiệm, một số tài liệu đưa ra công thức lựa chọn ban đầu cho chiều dài N của dãy đáp ứng xung là: = với = Trong MATLAB, việc tìm ra dãy đáp ứng xung của bộ lọc tối ưu với giá trị N và hàm đáp ứng tần số lý tưởng cho trước được thực hiện bởi hàm firpm Chương 3 MÔ PHỎNG MẠCH LỌC FIR TRÊN MATLAB 3.1 Đáp ứng biên độ của bộ lọc FIR bằng các phương pháp tổng hợp. .. chỉ là phần dải thông và dải chắn, mà không xác định tại dải chuyển tiếp *Hàm W(ω) được gọi là hàm trọng số có tác dụng trải đều sai số giữa bộ lọc thực tế và bộ lọc lý tưởng trên cả dải thông và dải chắn Nếu ta lựa chọn hàm trọng số trong trường hợp δ 1 > δ2, với δ1 và δ2 lần lượt là độ độ gợn sóng của dải thông và dải chắn, là: ở dải thông ở dải chắn thì hàm sai số ở cả dải thông và dải chắn đều không... đổi tham số để thay đổi tỷ lệ giữa và 2.2 Phương pháp lấy mẫu tần số Tư tưởng của phương pháp này là xây dựng một bộ lọc có đáp ứng xung chiều dài N và có đáp ứng tần số xấp xỉ với đáp ứng tần số của bộ lọc lý tưởng Cụ thể, ta có thể xét tại N mẫu rời rạc cách đều nhau trong khoảng từ 0 đến 2π, hàm đáp ứng tần số của bộ lọc thực tế bằng đúng với hàm đáp ứng xung của bộ lọc lý tưởng Nếu như ta đã biết... cả dải thông và dải chắn Điều này có nghĩa nếu như ta tối thiểu hoá cực đại của hàm sai số E(ω) là δ2 ta tự động có luôn cực đại của sai số giữa bộ lọc thực tể và bộ lọc lý tưởng ở dải chắn là δ2 và ở dải thông là δ1 Chúng ta nhận thấy là hàm Q(ω) ở 4 loại bộ lọc là khác nhau, để triệt tiêu hàm này, hàm sai số được biến đổi như sau: Ở đây nếu như định nghĩa các hàm trọng số biến dạng và hàm độ lớn... tự như ví dụ 2.2 ta có bộ lọc thông cao cần thiết như sau: Hình 2.8 Sơ đồ bộ lọc FIR thông cao với N=7 trong ví dụ 5.4 2.1.3 Cửa sổ Hanning và Hamming Định nghĩa: Trong miền n, cửa sổ Hanning và Hamming được định nghĩa như sau: (5.13) Phân loại khác nhau theo hệ số ta được: : Cửa sổ Hanning (5.14) : Cửa sổ Hamming (5.16) Ta có các tham số bộ lọc Hanning: + + Các tham số của bộ lọc Hamming: + + Như vậy,... cho trước, bằng thuật toán trao đổi Remez để tìm ra dãy đáp ứng xung sao cho cực đại của hàm sai số giữa đáp ứng tần số của bộ lọc lý tưởng và đáp ứng tần số của bộ lọc thực tế là nhỏ nhất Nếu như hàm đáp ứng tần số ứng với dãy đáp ứng xung tìm được nói trên vẫn chưa thoả mãn điều kiện yêu cầu của thiết kế, giá trị N cần phải tăng Quá trình này được lặp đi lặp lại đến khi tìm ra được bộ lọc thoả mãn... hàm trọng số biến dạng và hàm độ lớn của đáp ứng tần số bộ lọc lý tưởng biến dạng là: (= W(Q( và (= thì hàm sai số của cả 4 loại bộ lọc có cùng dạng chung: E( = ( Bài toán Chebyshev đặt ra là: Tìm các hệ số (n), hoặc(n),(n), hoặc (n) nhằm tối thiểu hoá cực đại của trị tuyệt đối hàm sai số trên dải thông và dải chắn, tức là tìm ra: trong tập các dãy số min Định lý xoay chiều: S là một khoảng đóng bất... tần số được viết dưới dạng độ lớn và pha: H()= A() , với A(),() là các hàm thực Ảnh của h(n) qua phép biến đổi Fourier rời rạc cũng được viết dưới dạng độ lớn và pha: H(k)= A(k) , với A(k),(k) là các dãy thực thì độ lớn và pha của dãy H(k) sẽ được tính theo công thức: A(k) = A () , với (k)= () Do H() và H(k) đều có tính chất đối xứng Hermit nên: A(k) = A(N-k) với k = 1,…,N-1 và: *Đối với bộ lọc FIR . phản đối xứng, chiều dài bộ lọc số FIR N chẵn hay lẻ sẽ hình thành nên các đặc điểm của bộ lọc số. Căn cứ vào các đặc điểm của bộ lọc, chúng ta sẽ đitổng hợp các bộ lọc số FIR. Thông thường có 3 phương. đi tổng hợp bộ lọc số FIR pha tuyến tính có nghĩa là xác định đáp ứng biên độ tần số của bộ lọc số và xét xem với đáp ứng biên độ tần số tìm được có thỏa mãn các chỉ tiêu kỹ thuật bộ lọc số đặt. bộ lọc sẽ có quan hệ sau: - Ở đây được gọi là tâm đối xứng của bộ lọc FIR. - Khi θ(ω) =− αω và N lẻ, ta có bộ lọc số FIR loại I, h(n) đối xứng. - Khi θ(ω) =− αω và N chẵn, ta có bộ lọc số FIR