giải tích 1,cô vy,dhbkhcm TÍCH PHÂN SUY RỘNG CuuDuongThanCong com https //fb com/tailieudientucntt http //cuuduongthancong com?src=pdf https //fb com/tailieudientucntt TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 1 Bài to[.]
TÍCH PHÂN SUY RỘNG CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI Bài tốn: Tìm diện tích S miền vơ hạn giới hạn đường cong y = f(x) >0, trục hoành đường thẳng x = a S a CuuDuongThanCong.com b f ( x) dx lim f ( x) dx b a https://fb.com/tailieudientucntt TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI Ví dụ: t 1 1 Diện tích : A(t ) dx x x t t NX: A(t) < 1 lim A(t ) lim 1 t t t Vậy t diện tích miền vô hạn S = 1, tức t 1 dx 1 x2 dx lim t x CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI Định nghĩa: a Cho f(x) khả tích [a, b], b a b f ( x )dx b a f ( x )dx lim gọi tích phân suy rộng loại f [a, +) Các tích phân sau tích phân suy rộng loại b b f ( x )dx f ( x)dx alim a a f ( x)dx f ( x)dx a CuuDuongThanCong.com f ( x)dx https://fb.com/tailieudientucntt TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI Nếu giới hạn tồn hữu hạn ta nói tích phân hội tụ, ngược lại ta nói tích phân phân kỳ Giới hạn gọi giá trị tích phân suy rộng Dạng tập tích phân suy rộng: Tính tích phân suy rộng Khảo sát hội tụ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ĐỊNH NGHĨA b b f ( x )dx f ( x )dx alim a a f ( x )dx f ( x )dx a f ( x )dx Lưu ý: tích phân vế trái hội tụ vế phải hội tụ (chỉ cần vế phải phân kỳ vế trái phân kỳ, không cần biết cịn lại) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Tính chất tích phân suy rộng f khả tích [a, b], b a Khi > a a f ( x )dx f ( x )dx hội tụ phân kỳ (cùng chất) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Tính chất tích phân suy rộng f khả tích [a, b], b a Khi ≠ a f ( x )dx a f ( x )dx hội tụ phân kỳ (cùng chất) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Tính chất tích phân suy rộng f, g khả tích [a, b], b a * a f ( x )dx a * a a f g dx a f g dx CuuDuongThanCong.com hội tụ hội tụ f ( x )dx hội tụ g ( x )dx a g ( x )dx phân kỳ phân kỳ https://fb.com/tailieudientucntt Cơng thức Newton-Leibnitz f(x) khả tích [a, b], b a, F(x) nguyên hàm f(x) [a, +), a f ( x )dx F (x) a F () F (a) F ( ) lim F ( x ) x Lưu ý: phương pháp tính tích phân xác định sử dụng cho suy rộng CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Công thức Newton-Leibnitz Cho f(x) khả tích [a, b – ], với > đủ nhỏ, kỳ dị b, F(x) nguyên hàm f(x) b a f ( x)dx F (b) F (a) Với F (b) lim F ( x) x b Lưu ý: pp đổi biến số phần dùng xác định CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ 1 ln x 0 x f kỳ dị x = dx 12 0 x.ln x x x dx x 4 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ dx 0 1 x ln x 0 x dx arcsin x kỳ dị x = ln x ln x.d ln x Vậy phân kỳ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 4 I dx x2 dx I x 1 dx I 2 x 1 x CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt TÍCH PHÂN HÀM KHÔNG ÂM Tiêu chuẩn so sánh 1: Cho f(x), g(x) khơng âm khả tích [a, b ), kỳ dị b Nếu f ( x) kg ( x), x, a x b b a g ( x)dx b a f ( x)dx CuuDuongThanCong.com hội tụ b a f ( x)dx phân kỳ hội tụ b a g ( x)dx https://fb.com/tailieudientucntt phân kỳ TÍCH PHÂN HÀM KHÔNG ÂM Tiêu chuẩn so sánh 2: Cho f(x), g(x) tiêu chuẩn so sánh f ( x) Đặt k lim (giới hạn điểm kỳ dị) x b g ( x) b b Cùng hội tụ f ( x ) dx , g ( x ) dx • k a a phân kỳ •k=0 •k= b a g ( x)dx b a b hội tụ f ( x)dx hội tụ a b g ( x)dx phân kỳ f ( x)dx phân kỳ a CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Tích phân 1 1 1 1 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Sự hội tụ tuyệt đối (hàm có dấu tùy ý) Cho f(x) khả tích [a, b - ], 0, b a f hội tụ b a f hội tụ Khi ta nói b a f hội tụ tuyệt đối • Sự hội tụ tuyệt đối hội tụ tích phân |f| • Hội tụ tuyệt đối hội tụ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ Khảo sát hội tụ: x I dx sin x f kỳ dị x = x f ( x) sin x x x x 1/2 ( x 0) 1 dx g ( x)dx I chất với 0 ( x 0)1/2 nên hội tụ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ /2 Khảo sát hội tụ: I 0 dx sin x cos x f(x) ≥ 0, kỳ dị /2 0, tách I thành I /3 /2 dx dx sin x cos x /3 sin x cos x I1 CuuDuongThanCong.com I2 https://fb.com/tailieudientucntt Xét I1: f kỳ dị x = f ( x) sin x cos x I1 chất với CuuDuongThanCong.com , x x dx x nên hội tụ https://fb.com/tailieudientucntt Xét I2: f kỳ dị x = /2 1 f ( x) , sin x cos x sin x sin x 2 ~ , x x I2 chất với /3 I1 hội tụ, I2 phân kỳ I pk CuuDuongThanCong.com dx nên pkỳ x https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ Khảo sát hội tụ I x3/2 x e 1 x dx f kỳ dị x = 0, tách I thành tích phân: I x3/2 e 1 x x dx I1 (do x = định) CuuDuongThanCong.com x3/2 e 1 x x dx I2 (do x = + định) https://fb.com/tailieudientucntt f ( x) x3/2 x x , x x x e 1 x I1 chất với 0 dx nên hội tụ x x3/2 x x f ( x) lim lim x x x e 1 x dx hội tụ nên I2 hội tụ 0x 0( k ) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Khảo sát hội tụ 3x x I1 dx s inx x I3 I2 dx e x cos x x ln(1 x) I1 dx x I3 dx x(2 x) I2 dx x4 ln(1 x2 ) x5 dx x x 1 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt