Lưu ý về bất đẳng thức kiểu Morrey cho các hàm có giá trị trung bình bằng 0Lưu ý về bất đẳng thức kiểu Morrey cho các hàm có giá trị trung bình bằng 0Lưu ý về bất đẳng thức kiểu Morrey cho các hàm có giá trị trung bình bằng 0Lưu ý về bất đẳng thức kiểu Morrey cho các hàm có giá trị trung bình bằng 0Lưu ý về bất đẳng thức kiểu Morrey cho các hàm có giá trị trung bình bằng 0Lưu ý về bất đẳng thức kiểu Morrey cho các hàm có giá trị trung bình bằng 0Lưu ý về bất đẳng thức kiểu Morrey cho các hàm có giá trị trung bình bằng 0Lưu ý về bất đẳng thức kiểu Morrey cho các hàm có giá trị trung bình bằng 0Lưu ý về bất đẳng thức kiểu Morrey cho các hàm có giá trị trung bình bằng 0Lưu ý về bất đẳng thức kiểu Morrey cho các hàm có giá trị trung bình bằng 0Lưu ý về bất đẳng thức kiểu Morrey cho các hàm có giá trị trung bình bằng 0Lưu ý về bất đẳng thức kiểu Morrey cho các hàm có giá trị trung bình bằng 0Lưu ý về bất đẳng thức kiểu Morrey cho các hàm có giá trị trung bình bằng 0Lưu ý về bất đẳng thức kiểu Morrey cho các hàm có giá trị trung bình bằng 0Lưu ý về bất đẳng thức kiểu Morrey cho các hàm có giá trị trung bình bằng 0Lưu ý về bất đẳng thức kiểu Morrey cho các hàm có giá trị trung bình bằng 0Lưu ý về bất đẳng thức kiểu Morrey cho các hàm có giá trị trung bình bằng 0Lưu ý về bất đẳng thức kiểu Morrey cho các hàm có giá trị trung bình bằng 0Lưu ý về bất đẳng thức kiểu Morrey cho các hàm có giá trị trung bình bằng 0Lưu ý về bất đẳng thức kiểu Morrey cho các hàm có giá trị trung bình bằng 0Lưu ý về bất đẳng thức kiểu Morrey cho các hàm có giá trị trung bình bằng 0Lưu ý về bất đẳng thức kiểu Morrey cho các hàm có giá trị trung bình bằng 0Lưu ý về bất đẳng thức kiểu Morrey cho các hàm có giá trị trung bình bằng 0Lưu ý về bất đẳng thức kiểu Morrey cho các hàm có giá trị trung bình bằng 0Lưu ý về bất đẳng thức kiểu Morrey cho các hàm có giá trị trung bình bằng 0Lưu ý về bất đẳng thức kiểu Morrey cho các hàm có giá trị trung bình bằng 0Lưu ý về bất đẳng thức kiểu Morrey cho các hàm có giá trị trung bình bằng 0Lưu ý về bất đẳng thức kiểu Morrey cho các hàm có giá trị trung bình bằng 0Lưu ý về bất đẳng thức kiểu Morrey cho các hàm có giá trị trung bình bằng 0Lưu ý về bất đẳng thức kiểu Morrey cho các hàm có giá trị trung bình bằng 0Lưu ý về bất đẳng thức kiểu Morrey cho các hàm có giá trị trung bình bằng 0Lưu ý về bất đẳng thức kiểu Morrey cho các hàm có giá trị trung bình bằng 0Lưu ý về bất đẳng thức kiểu Morrey cho các hàm có giá trị trung bình bằng 0Lưu ý về bất đẳng thức kiểu Morrey cho các hàm có giá trị trung bình bằng 0
KHOA HOG TRUONG DAI HOC QUY NHON Bất đẳng thức kiểu Morrey cho hàm * a nx wT ` có giá trị trung bình Nguyễn Văn Thành*, Nguyễn Hữu Thuân, Nguyễn Đặng Thanh Giang, Đỗ Phương Oanh, Nguyễn Thị Hà Tiên, Đồn Khánh Duy Khoa Tốn uà Thông kê, Trường Đại học Quụ Nhơn, Việt Nơm Ngàu nhận bài: 15/06/2022; Ngàu nhận đăng: 01/09/2022; Ngày xuất bản: 28/10/2022 TĨM TẮT Trong báo này, chúng tơi nghiên cứu bất đẳng thức kiểu Morrey cho hàm Sobolev có giá trị trung bình Hằng số dẫn báo tốt so với số có số tài liệu Sau đó, chúng tơi nghiên cứu sâu ứng dụng bất đẳng thức kiểu Morrey hội tụ yếu dãy nghiệm phương trình p-Laplace với điều kiện biên Neumamn p —> oo Từ khóa: Khơng giưn Soboleu, phương trình p-Laplace, bắt đẳng thức kiểu Morreg * Tác giả liên hệ Email: nguyenvanthanh@gqnu.edu.vn https://doi.org/10.52111/qnjs.2022.16504 Tap chi Khoa hoc - Truong Dai hoc Quy Nhon, 2022, 16(5), 49-53 | 49 BEETETTEON SCIENCE QUY NHON UNIVERSITY A note on Morrey-type inequality for functions of mean value zero Van Thanh Nguyen*, Huu Thuan Nguyen, Dang Thanh Giang Nguyen Phuong Oanh Do, Thi Ha Tien Nguyen, Khanh Duy Doan Department of Mathematics and Statistics, Quy Nhon University, Vietnam Received: 15/06/2022; Accepted: 01/09/2022; Published: 28/10/2022 ABSTRACT In the present article, we study a Morrey-type inequality for Sobolev functions of mean value zero The constant in our paper is smaller than the existing one in the literature Then we study further an application of the Morrey-type inequality for the weak convergence of solutions to p-Laplace equations with a Neumann boundary condition as p > oo Key words: Sobolev spaces, p-Laplace equations, Morrey-type inequality INTRODUCTION Let Q be a bounded, smooth domain of R” This paper is concerned with a Morrey-type inequality for Sobolev functions of mean value zero in Sobolev space W1:?(Q) As usual, Sobolev spaces consist of L? functions whose weak derivatives belong to Lebesgue spaces L? These spaces provide one of the most useful settings for the analysis of partial differential equations It is known that Sobolev spaces equipped with the norm IIwllw+.>(œ) = l|w|lp + [|Vullp are Banach spaces, where ||F'llp := (J, |Flfdz)* For more details on Lebesgue and Sobolev spaces, we refer to the books.1£ The well-known Morrey inequality in R” (see, for example,! °°) states that if p > n then for all v € W"?(R”) and all x,y € R” Ce) — | $Epmle— yl"? ( Ê vupaz) , (1 where Cy,n is a positive constant depending only on p and n Now, let dg denote the distance function to the boundary 02), that is do(z) := at lr—y|, rEQ Taking an arbitrary y € O in (1) one arrives at the following pointwise inequality, for all (z,v) € Q x Wo’? (Q), lu()| < Cp„ (da(z))""||Vollp — (2) where ||-||,, stands for the standard norm of L?(Q) Passing to the maximum value in the left-hand side of (2) we arrive at the well-known Morrey-Sobolev inequality Wlloo S Sp,n,allVullp, Vo € Wo'?(Q), where the constant Cyn, depends (8) only on p,n and The above inequality is devoted to Sobolev functions vanishing on the boundary and useful for studying partial differential equations involving a Dirichlet boundary condition The counterpart for the Morrey-Sobolev inequality (3) for Sobolev functions of mean value zero can be written as llwlle < Cp,n,al|Vullp, 4) for all Sobolev function € W!(Q) zero, that is, it satisfies [ udx = Q of mean value In’, the authors make use of this inequality (for a smooth and convex domain 2) in studying limits as p — oo of solutions to p-Laplace equations coupled with a Neumann boundary condition Such a constant Cp n,q has been implicitly mentioned in® and explicitly given in? Lemma *Corresponding author Email: nguyenvanthanh@qnu.edu.vn https://doi.org/10.52111/qnjs.2022.16504 50 | Quy Nhon University Journal of Science, 2022, 16(5), 49-53 B.1.16 BEETETTEON SCIENCE QUY NHON UNIVERSITY (see also°) Finding a smaller constant for the Morrey-type inequality (4) is an interesting issue has d B(0,d) for the Morrey-type inequality (4) compared with the constant given in® Lemma B.1.16 Furthermore, g(rz )dS(z )dr g(z)dz = pro In this short paper, we provide a better estimate (7) 8B(0,1) with a Neumann Now applying (7) with g(z) := f|W(a + tz)||z|dt boundary condition as p —> oo is also considered in on B(0,d) for the second line below, and g(z) := its application in studying the weak convergence of solutions to p-Laplace equations detail |W (a2 + z)||z|!~” on B(0,r) for the fifth, we arrive The article is organized as follows In section 2, we give a new equality constant C of the Morrey-type (4) for Sobolev functions of mean zero Then, in- in section 3, we derive the key bound with a Neumann a consequence, boundary value of the gradients of solutions to p-Laplace equations coupled the following estimate condition As we obtain the weak convergence of [iw d main of R” Let andp>n u € W»?(Q) be a Lipschitz and convex doThen every Sobolev function of mean value zero, i.e f,udx = 0, obeys the following inequality Jullame < pe oo ste (BE) quti-n/p max{n W Rudin Real and Complex Analysis, 3" edition, McGraw-Hill International Edition, Singapore, 1987 G Ercole and G A Pereira An optimal pointwise Morrey-Sobolev inequality, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2020, 489, Art 124143 L C Evans Partial Differential Equations, edition, American Mathematical Society, Providence-Rhode Island, 2010 J Mazon, J Rossi, and J Toledo Mass transport problems obtained as limits of p-Laplacian type problems with spatial dependence, Ad140 [Yup G Leoni A First Course in Sobolev Spaces, 2" edition, American Mathematical Society, Providence-Rhode Island, 2017 vances in Nonlinear Analysis, 2014, 3(3), 133— |Vupllancey { [ IVupl™ax < (/ REFERENCES H Brezis Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations, Springer, New York, 2010 V+pl[rz(oy < CPt for all p>n+1, Proposition Letting m —> oo we obtain ||Vec|| L~ (Q) < 1, which completes the proof 2° edition, Elsevier, Amsterdam, 2012 It follows that 3.2 Weak (16) R A Adams and J.F Fournier Sobolev spaces, < Collfllz1(ay ||Vupll zea) := Ce||flr:(oy for Finally, taking the limit as p - oo WwelÌ>(oy < |9|”> ll#pl[r,>=(œy < Cal|Vupl||ze(qy, for all p>n+1 with Ở > Vttoo oo Obviously, the weak (13) particular, applying for u = uy we get pont+l as p — llulÌr=(œ) < Ca ||Vullrecay of mean value zero, ie., [4 udx = In [vent uy, converges uni- + 1,m}, where C (15) is a con- D McDuff and D Salamon J-holomorphic Curves and Symplectic Topology, edition, American Mathematical Society, ProvidenceRhode Island, 2012 J Weber Introduction to Sobolev Spaces, Lecture Notes, Unicamp, 2018 stant independent of p from Lemma Observe that |0|Z- ?Œz> + |Q|™ as p > oo Hence, the sequence of gradients Vup is bounded in L™(Q) and so is {up} in W4™(Q) (up is of mean value zero) https://doi.org/10.52111/qnjs.2022.16504 Quy Nhon University Journal of Science, 2022, 16(5), 49-53 | 53