(Luận văn thạc sĩ) phủ của vành hữu hạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH —————————————– DƯƠNG THÁI BẢO PHỦ CỦA VÀNH HỮU HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC TP HỒ CHÍ MINH - 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH —————————————– DƯƠNG THÁI BẢO PHỦ CỦA VÀNH HỮU HẠN Chuyên ngành: Đại số lí thuyết số Mã số LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS MỴ VINH QUANG TP HỒ CHÍ MINH – 2019 : 8460104 Lời cam đoan Tơi xin cam đoan luận văn tơi thực hướng dẫn PGS.TS Mỵ Vinh Quang Nội dung luận văn có tham khảo sử dụng số kết quả, nội dung từ báo, sách liệt kê danh mục tài liệu tham khảo Tơi xin chịu hồn tồn trách nhiệm luận văn Tác giả luận văn Dương Thái Bảo Lời cám ơn Trong trình học tập, nghiên cứu đề tài ``Phủ vành hữu hạn'' nhận giúp đỡ, bảo nhiệt tình thầy, cô giáo trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh để hồn thành luận văn Với tình cảm chân thành, tơi bày tỏ lịng biết ơn Ban giám hiệu, phòng Sau Đại học, Khoa Toán Tin– Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh, thầy giáo, giáo tham gia quản lý, giảng dạy giúp đỡ suốt q trình học tập, nghiên cứu Tơi xin bày tỏ biết ơn đặc biệt đến PGS TS Mỵ Vinh Quang – người trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ kiến thức, tài liệu phương pháp để hồn thành đề tài nghiên cứu khoa học Tơi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp động viên, cổ vũ, khích lệ giúp đỡ suốt thời gian qua Mặc dù có nhiều cố gắng suốt q trình thực đề tài, song cịn có mặt hạn chế, thiếu sót Tơi mong nhận ý kiến đóng góp dẫn thầy giáo bạn đồng nghiệp Dương Thái Bảo Mục lục Trang Lời cam đoan Lời cám ơn Mục lục Mở đầu …………………………………………………………… Chương Vành hữu hạn trường hữu hạn …………………… 1.1 Trường hữu hạn ……………………………………………… 1.2 Vành sinh phần tử ……………………………… Chương Phủ vành hữu hạn ……………………………… 10 2.1 Vành tối đại tích trực tiếp trường hữu hạn ……… 10 2.2 Phủ tích vành hữu hạn ……………………………… 18 2.3 Phủ tích trực tiếp trường hữu hạn …………………… 22 2.4 Số phủ tích trực tiếp trường hữu hạn ………………… 25 2.5 Ví dụ phủ vành giao hốn địa phương ………………… 28 Kết luận …………………………………………………………… 30 Tài liệu tham khảo ………………………………………………… 31 Mở đầu Phủ nhóm G họ nhóm thực G mà hợp chúng G Dễ thấy, G phủ gồm nhóm thực Tuy nhiên, nhóm hữu hạn khơng xyclic có phủ hữu hạn Vấn đề đặt tương tự vành Phủ vành A họ vành thực A mà hợp chúng A Tất nhiên, vành A khơng có phủ gồm vành thực Bởi vậy, câu hỏi vành hữu hạn A có phủ gồm hữu hạn vành thực câu hỏi thú vị, thu hút quan tâm nhiều nhà toán học đến nhiều vấn đề mở cần tiếp tục tìm tịi, nghiên cứu Chính vậy, tơi định chọn đề tài “phủ vành hữu hạn” làm đề tài cho luận văn thạc sĩ toán với mong muốn tìm hiểu vấn đề thú vị tốn học Mục tiêu đề tài là: nghiên cứu vành con, vành tối đại vành hữu hạn, nghiên cứu tích trực tiếp vành hữu hạn ứng dụng kết phần để tìm điều kiện cần đủ để vành hữu hạn có phủ hữu hạn Trong trường hợp có phủ hữu hạn, tìm số bé phần tử phủ Số gọi số phủ vành Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Vành hữu hạn, vành con, vành tối đại vành hữu hạn - Tích trực tiếp hữu hạn vành hữu hạn trường hữu hạn - Các phủ vành hữu hạn điều kiện cần đủ để có phủ - Số phủ vành hữu hạn Chương Vành hữu hạn trường hữu hạn Trong luận văn này, khái niệm vành hiểu vành có đơn vị Tập S khác rỗng vành R gọi vành R S với phép tốn cộng R lập thành nhóm Abel đóng với phép tốn nhân R (vành không  R ,R hẳn chứa phần tử đơn vị) Bên cạnh đó, kí hiệu  cho nhóm cộng R , nhóm nhân phần tử khả nghịch R (phần tử đơn vị kí hiệu e 1) 1.1 Trường hữu hạn Trong mục nhắc lại số kết mở rộng trường trường hữu hạn Đầu tiên khái niệm đặc số vành: số nguyên dương p gọi đặc số vành R p số bé thỏa px  với x  R Nếu không tồn số ngun dương p ta nói vành R có đặc số khơng Định lí 1.1.1 Cho F trường bất kì, đặc số F là số nguyên tố p Chứng minh Gọi F trường có đặc số p  Giả sử p không số nguyên tố, tồn  thỏa mãn  p , e p , p p  p p  p p Ta có  pe  ( p p )e , mà e 2 2 nên ( p e )( p e)  Do F trường nên p e  p e  hay p p đặc số F Điều mâu thuẫn với  p1 , p2   p □ 2 Phần tử đơn vị e với đặc số p trường F tạo nên trường p Định lí 1.1.2 Cho F trường có phần tử đơn vị e , đặc số F p  đặt  {0, e, 2e,3e,,( p 1)e}, p F có đặc số đặt 1  {( me )( ne ) | m, n  , n  0} p Khi p F trường bé F gọi trường nguyên tố Chứng minh Nếu p trường trường nên trường F chứa p F chứa phần tử đơn vị e p  le  ( p  l )e  pe  , suy Xét F có đặc số Lấy le, ke  p ke  le  ke  ( p  l )e  ( k  p  l )e p Nếu le le  ( p  l )e  0 Vì p ( p, l)  ( pu  lv )e  pu  lv 1 1, nên tồn u , v cho Do e hay (lv )e  e 1 , kéo theo (le)(ve)  e Điều có nghĩa (le)  ve , lúc ( ke )(le )  p 1 p  ( kv ) e  p Vậy p trường F dễ dàng nhận thấy Xét F có đặc số 0, dễ dàng nhận thấy: với m, n  ( me)( ne) 1   m e n e  1  mn  nm (*) , n  (me )(ne ) 1   m  e n  e  1    mn   nm  e    m e n  e      mm  e nn  e1 (me )(ne ) 1    1     nn  e1 Vậy (  me )( ne) đóng với hai phép tốn F Mặt khác ( me )( ne)1  p  1 p Ngoài ( me)( ne) p  p  m  , ( ne )( me) (me )(ne ) (ne )(me )   e 1 Vậy xạ ( me)( ne) p 1 1 trường F Bên cạnh (*) nên p  thông qua ánh m n Hệ 1.1.3 Nếu F trường hữu hạn đặc số F số nguyên tố Chứng minh Theo định lí 1.1.1 đặc số p số nguyên tố Giả sử F có đặc số 0, theo định lí trường nguyên tố    p Suy p có vơ hạn phần tử (mâu thuẫn với tính hữu hạn F ) Kế đến nói đến đặc điểm số phần tử trường hữu trường Định lí 1.1.4 Cho F F có q m trường hữu hạn chứa trường K có q phần tử Khi phần tử m [ F : K] Chứng minh Lúc ta xem F không gian vectơ trường K , F hữu hạn nên khơng gian vectơ hữu hạn chiều K Nếu m [ F : K] F có sở K gồm m phần tử, kí hiệu b1 , b2 , ,bm Khi phần tử F a , , biểu diễn qua dạng a b  a b  a b , a K 1 2 Tuy nhiên có q lựa chọn nên F có q Định lí 1.1.5 Cho F trường hữu hạn Khi nguyên tố p đặc số F n [ F : p ] m m m m phần tử n F c p phần tử, số ó