một số bài toán không chỉnh với dữ liệu nhiễu ngẫu nhiên

ĐẠI HỌC QUOC GIA TP HO CHI MINH TRUONG DAI HOC KHOA HOC TU NHIEN NGUYEN DUC PHUONG MOT SỐ BÀI TỐN KHƠNG CHỈNH VOI DU LIEU NHIEU NGAU NHIÊN LUẬN AN TIEN SĨ TP Hồ Chí Minh — 2023 VIET NAM NATIONAL UNIVERSITY - HO CHI MINH UNIVERSITY OF SCIENCE NGUYEN DUC PHUONG SOME ILL-POSED PROBLEMS ASSOCIATE WITH RANDOM NOISE Doctoral Thesis Ho Chi Minh City — 2023 DAI HOC QUOC GIA TP HO CHI MINH TRUONG DAI HOC KHOA HOC TU NHIEN NGUYEN DUC PHUONG MOT SO BÀI TỐN KHƠNG CHỈNH VOI DU LIEU NHIEU NGAU NHIÊN Ngành: Tốn giải tích Mã số ngành: 9460102 Phản biện 1: PGS T5 Mai Đức Thành Phan bién 2: PGS TS Nguyễn Dinh Huy Phan bién 3: PGS TS Nguyén Bich Huy NGUOI HUONG DAN KHOA HOC TS Nguyễn Anh Triết TS Ơng Thanh Hải TP Hồ Chí Minh - 2023 Loi cam doan Tôi cam đoan luận án tiễn sĩ ngành Tốn giải tích, với để tài “Một số tốn khơng chỉnh với liệu nhiễu ngẫu nhiên” cơng trình khoa học Tơi thực hướng dẫn TS Nguyễn Anh Triết TS Ông Thanh Hải Những kết nghiên cứu luận án hồn tồn trung thực, xác khơng trùng lắp với cơng trình cơng bồ nước Tập thể cán hướng dẫn Nghiên cứu sinh TS Nguyễn Anh Triết Nguyễn Đức Phương TS Ông Thanh Hải Loi cam on Trước tiên với tình cảm sâu sắc chân thành nhất, cho phép bày tỏ lòng biết ơn đến Thầy hướng dẫn TS Nguyễn Anh Triết TS Ông Thanh Hải Hai thầy tận tình hướng dẫn, quan tâm tơi nhiều suốt thời gian học tập Hai thầy động viên giúp đỡ tơi trước khó khăn việc học tập sống Tôi xin chân thành cảm ơn q thầy, Khoa Tốn - Tin, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Thành phố Hỗ Chí Minh tận tình dạy dé, truyền đạt kiến thức quý báu Tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy, cô Phòng, Ban giúp đỡ quy chế học vụ Tôi xin cảm ơn sâu sắc đến Ban Giám hiệu Trường Đại học Cơng nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh, Chủ nhiệm Khoa Khoa học Cơ tạo điều kiện để tơi an tâm học tập hồn thành cơng việc nhà trường Bên cạnh đó, tơi xin chân thành cảm ơn q thấy, cô đẳng nghiệp động viên giúp đỡ Xin tri ân người cha mật tơi, người tận lực già đình Xin cảm ơn gia đình, cảm ơn vợ chỗ dựa vững cho tơi động lực lớn để tơi hồn thành chương trình học luận án tiễn sĩ Xin cảm ơn PGS TS Nguyễn Huy Tuần bạn nhóm nghiên cứu chia nhiều kiến thức bổ ích, hỗ trợ, động viên, giúp đỡ tơi hoàn thành luận án Mặc dù cố gắng luận án khó tránh khỏi thiếu sót, mong nhận bảo quý thầy, cô góp ý chân thành bạn bè, đồng nghiệp Muc luc Lời camđoan ca LOL GAM.GN, se es wee we Ew Eee Em ee Ee Ewe we Ree Mucluc Trang théng tin luan an tiéng Vidt Trang thông tin luận án tiếng Anh Danh muc cackyhiéu 11 1.2 13 So Lydochondétai ee Dédituongnghiénettu Phamvinghiéncttu Ý nghĩa khoa học, thực tiễn để tài eee ee ee - Tổng quan 21 Tìnhhìnhnghiêncứu ee 22_ 2.3 ee ee Mé dau 1.4 2 ee Mục tiêu nghiên cứu cúa luậnán Nội dung nghiên cứu luậnán Phương pháp nghiên cứu 3.1 Phươngpháp nghiên cứu 3.1.1 Các phương pháp nghiên cứu 3.1.2 Tiếp cậnnghincứu cc eee 3.2 Cơsở lýthuyYẾt Q Q Q Q Q Q Q n y yya 3.2.1 Cáchàmsốcơbản c co ee eee 3.2.2 3.2.3 3.2.4 3.2.5 3.2.6 3.2.7 3.2.8 Phânphốichuẩnchặtcụt - Giải ích khơng ngun Bai toan khéng chinh theo nghia Hadamard Mộtsố không gianhàm Xấp xỉ cho hệ số Fourier Xấp xỉhàmgiá trịcuỗối co Một số định lý quan trọng 11 4_ Kết nghiên cứu 4.1 Bài toán giá trị cuối cho phuong trinh Parabolic Kirchhoff véi dir liu nhiéungau nhién rirac 25 Tô 39 411 41.2 4.1.3 4.2 42.5 áWNAẠ ee Nghimmld Tinhkhéngchinh 6.6.6 eee Xapxinghiéms ies ees wet w eee EEG Ew HE mS SuhOitu eee Vidus6O ee Bài toán giá trị đầu cho phương trình sóng phi tuyến với đạo hàm 45 47 49 56 60 43.2 72 82 Tính khơng bàitốn Nghiệm chỉnh hóa sựhộitự Nn :.: a ốc a4 .a.(a Bài toán giả Parabolic Kirchhoff với liệu đầu vào quan sát bị nhiéu tuan theo qui luat Gaussian white noise Nghiémmild 0.0.00 eee eee Tính khôngchỉnh eee Kétquachinh 20.2 0.0 eee ee VidusO HH1 eee Kết luận, kiến nghị 52 43 66 44.1 44.2 44.3 AAA 51 26 28 30 cấp không nguyên với liệu nhiễu ngẫu nhiên rời rạc 4.3.1 5_ ẽ.ẻ phương với liệu đầu vào quan sát bị nhiễu ngẫu nhiên 4.2.1 4.2.2 A23 424 4.4 Nghiệm mild bàitoán Tínhhổnđinhcủanghiệm Tính chỉnh cúanghiệmchỉnhhóa Bài tốn giá trị cuối cho hệ phương trình khuếch tán phi địa TOUTAC 4.3 25 Kếtluận Kiếnnghị ng ng ee *a Tài liệu tham khảo ee es Danh mục báo khoahọc .et 1V 68 85 86 88 89 98 103 103 108 104 116 Trang thong tin luan an Tên để tài luận án: Một số tốn khơng chỉnh với liệu nhiễu ngẫu nhiên Ngành: Tốn giải tích Mã số Ngành: 9460102 Họ tên nghiên cứu sinh: Nguyễn Đức Phương Khóa đào tạo: 2019 Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Anh Triết; TS Ông Thanh Hải Cơ sở đào tạo: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG TP HCM Tóm tắt nội đung luận án Luận án trình kết chỉnh hóa nghiệm tốn cụ thể sau: Bài tốn Chỉnh hóa nghiệm tốn giá trị cuối cho phương trình Parabolic Kirchhoff với liệu nhiễu ngẫu nhiên rời rạc Bài toán Chỉnh hóa nghiệm tốn giá trị cuối cho hệ phương trình khuếch tán phi địa phương với liệu nhiễu ngẫu nhiên rời rạc Bài toán Chỉnh hóa nghiệm tốn giá trị đầu cho phương trình sóng phi tuyến với đạo hàm cấp khơng ngun với liệu bị nhiễu ngẫu nhiên rời rac Bài toán Chỉnh hóa nghiệm tốn giá trị cuối giả Parabolie Kirchhoff với liệu đầu vào quan sát bị nhiễu tuân theo qui luật Gaussian white noise Những kết luận án Luận án chứa đựng số kết công bề tạp chí khoa học uy tín Trong luận án này, đưa kết sau: ® Chỉ khơng chỉnh, để xuất phương pháp chặt cụt chuỗi Fourier kết hợp ước lượng phi tham số chỉnh hóa nghiệm cho phương trình, hệ phương trình khuếch tán phi địa phương với liệu đầu vào bị nhiễu ngẫu nhiên TỜI rạc ® Bài tốn giá trị ban đầu cho phương trình sóng đạo hàm cấp không nguyên œ € (1,2) liệu đầu vào bị nhiễu ngẫu nhiên rời rạc không chỉnh Chúng sử dụng phương pháp chặt cụt chuỗi Fourier ước lượng phi tham số hàm giá trị đầu vào để chỉnh hóa nghiệm Các đánh giá hội tụ thực không gian I2 Hi ® Bài tốn giá trị cuỗi cho phương trình giả Parabolic Kirchhoff với liệu đầu vào bị nhiễu ngẫu nhiên Gaussian white noise la khéng chinh Bang phương pháp chặt cụt chuỗi Fourier để xuất nghiệm chỉnh hóa cho tốn đánh giá hội tụ nghiệm chỉnh hóa nghiệm mild Các kết tổng hợp từ báo cơng bố tạp chí: Computers and Mathematics with Applications (ISI-O1), International Journal of Nonlinear Sciences and Numerical Simulation (I5]-Q2), Mathematical Meth- ods in the Applied Sciences (ISI-Q1), Applied Mathematics and Computation (ISI-Q2), Proceedings of the American Mathematical Society (ISI-Q1) va Chaos, Solitons and Fractals (ISI-Q1) Các ứng dụng/ Khả ứng dụng thực tiễn hay van đề bỏ ngỏ cần tiếp tục nghiên cứu Trong tương lai, mở rộng nghiên cứu theo hướng sau: ® Nghiên cứu ứng dụng phương trình khuếch tán lĩnh vục kỹ thuật, đặc biệt xứ lý ảnh s Nghiên cứu các phương trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên với đạo hàm khơng ngun ® Khảo sát tổn tại, tính qui hóa nghiệm cho tốn giá trị biên, giá tri dau, giá trị cuối, điều kiện phi địa phương với đạo hàm cấp không ngun theo biến thời gian khơng gian ® Nghiên cứu tốn ngược thời gian cho phương trình sóng đạo hàm cấp khơng ngun theo nghĩa khác như: Conformable, Riemamn - Liouville, Atangana - Baleanu, với liệu nhiễu ngẫu nhiên vi Thesis information Thesis title: Some ill-posed problems associate with discrete random noise Speciality: Mathematical Analysis Code: 9460102 Name of PhD Student: Nguyen Duc Phuong Academic year: 2019 Supervisor: Dr Nguyen Anh Triet; Dr Ong Thanh Hai At: VNUHCM - University of Science Summary The thesis presents the results of Regularized the solution of the following four specific problems: Problem Regularized the solution of the terminal value problem for the Parabolic equation Kirchhoff with discrete random noise Problem Regularized the solution of the terminal value problem for a system of nonlocal diffusion equation associate discrete random noise Problem Regularized the initial value problem for nonlinear fractional wave equation associate with discrete random noise Problem Regularized the terminal value problem for pseudo Parabolic Kirchhoff equation associate with Gaussian white noise Novelty of thesis Thesis contains some new results, which have been published on prestigious scientific journals The novelty of thesis can be mentioned as follows: ¢ Showing the ill-posedness and proposing the Fourier truncation method to regularize the nonlocal diffusion equation, system of equations associate with discrete random noise Vii Caputo [54-56] (x,f) định nghĩa sau ful) = Fama Che J, (t2) f —& ) Su (x,c0) deo 32 T(-) hàm Gamma (Định nghĩa 3.2.1) ® Trong trường hợp sai số tất định llp — p£|I + llễ — “|| < # (p°, € la cdc ham qua sát được) có nhiễu cơng trình nghiên cứu tốn chẳng hạn Tuan cộng [23, 38], Nguyen cộng su [57], Tuan cộng [58] s Trong ứng dung, thường khơng có ø,ố mà có giá trị đo chúng Việc đo đạc tìm ấn sai số dụng cụ đo nguồn đo Do chúng tơi gia str rang ham p(x), (x) dugc tai điểm roi rac x, = n1 với k = 1, ,n tuân theo mô hình nhiễu ngẫu nhiên: y —= P(Ấk) + T2€1 s ốy — Š(Xy) z ck x so ` TA TA 2.12 E2 Ss ¿12 A kes & iid biên ngâu nhiên e¡ x, €2% la ddc lap va cung phan phoi xac suat € x, €2% a N(0,1) va %, v% la số dương thỏa < 1¿ < Mz vad < 1% < My Đạo hàm cấp không nguyên kiểm chứng linh hoạt đạo hàm số nguyên truyền thống việc mô tả tượng thực tế Do đó, thập kỷ gần đây, đạo hàm cap không nguyên đạt nhiễu thành công nhiều lĩnh vực khoa học, ví dụ, vật lý [59-62], xử lý ảnh [63, 64], khoa học môi trường [65, 66], lý thuyết điều khiển [67, 68], Theo tìm hiểu chúng tơi có kết tốn œ € (1,2) Gần Tuan cộng [23] nghiên cứu toán (2.10) cho trường hợp tất định chưa có kết tốn cho trường hợp liệu bị nhiễu ngẫu nhiên |; 18x VI) Chỉnh hóa nghiệm tốn giá trị cuối cho phương trình giả Parabolic Kirchhoff với liệu đầu vào quan sát bị nhiễu tuân theo qui luật Gaussian white noise Cho T la hang s6 duong vaQ c R4,d > 1, 1a mién liên thơng có biên trơn dQ Xét bai todn tim nghiém u(x,t) cia phuong trinh gia Parabolic (Ting [69], Showalter va Ting [70]) véi sé hang Kirchhoff phi dia phuong th — 8Ä + G (IIYs(.2)Ilze) (—A)Pu = f (x,t), u(x,T) =€(x), x EO, 11 (2.13) voi (x,t) € O x (0,T); diéu kién bién Dirichlet thuan nhat u(x,t) = 0, (x,f) € dO x (0,T); hang sda > 0,8 > 1,¢ € L?(O); vahamnguén f € C(([0,#], L2(0)) Chúng ta có giả dinh cho sé hang Kirchhoff G(-): K1 Ham G € C!(IR) va G; < G(r) < Gy, G¡ G¿ số duong; K2 G(r) Lipschitz liên tục, nghĩa có L > độc lập với Tị, rạ thỏa |G(u) — G(%)| < LÌm —1¿|, „1€ Bài toán quan tâm nhiều nhà nghiờn cu C th: ôđ G(-) = 1v 8= toán thuận (2.13) nghiên cứu tác gia Ting [69], Showalter va Ting [70], Rao va Ting [71] nghién cttu vé su tén nghiệm; Cao cộng [72] nghiên cứu dáng điệu nghiệm £ —› eo cho trường hợp phi tuyến, ƒ(x,f,w) = u?,p > ® x =0, = 1, Triet cộng [73] nghiên cứu tính ổn định nghiệm cho tốn ngược với liệu bị nhiễu ngẫu nhiên rời rạc * Dac biét G(-) = 1, a = va B = 1, phương trình nhiệt quen thuộc nghiên cứu nhiễu cơng trình Crank Nicolson [74], Unsworth va Duarte [75], Cheng va Liu [76], Qian va céng su [77], Phương trình có nhiễu ứng dụng khoa học, kỹ thuật, đặc biệt tượng vật lý tượng thấm chất lỏng đồng qua lớp đá nứt nẻ (Barenblatt cộng [78]) Khi này, số ø có vai trị đặc trưng cho nứt đá, giảm giá trị tương ứng với tảng mức độ nứt vỡ đá Ngồi cịn có ứng dụng khác mơt tả truyễn sóng dài phi tuyến đơn hướng (Benjamin cộng [79]), Gần đây, có nhiều tác giả quan tâm đến tính chất đáng điệu tiệm cận Bai todn (2.13) voi diéu kién ban dau u(x,0) = h(x) (tiêu biếu cơng trình Cao va cộng su [72], Zhu va céng su [80], Zheng va Fang [81], Antontsev va Shmarev [82]) Tuy nhiên, theo tìm hiểu chúng tơi chưa có kết liên quan đến toán giá trị cuối tốn (2.13) Trong ứng dụng, khơng có hàm giá trị cuối Thay vào chúng để xuất nhà nghiên cứu thông qua kinh nghiệm họ tiến hành môt khảo sát để đo đạt Tuy nhiên việc quan trắc tổn sai số Sai số thiết bị đo nguồn đo Gần đây, Tuan cộng [83, 84] khảo sát toán với sai số nhiễu ngẫu nhiên rời rạc tuân theo phân phối chuẩn Kết có giới hạn chỗ đữ liệu phải quan sát điểm cách thuộc khoảng (0, 7z) Để mở rộng kết trên, giả định sai số tuân theo mơ hình Gaussian white noise 6°) = 6) +eW(x), 12 (2.14) e gọi biên độ nhiéu va W(x) 1a qua trinh Gaussian white noise Ta khơng có quan sát trực tiếp từ (2.14), thay vào ta quan sát gián tiếp qua về, Pp) = tế, Pp) +e(W, Pp), P = Dye seg My (2.15) {øp} sở trực chuẩn khơng gian khơng gian L^(O); (.,-) tích không gian L^2(O); Wpy := (W, øp) biến ngẫu nhiên độc lập phân bố xác suất N;(0, 1) 13 Chuong Phương pháp nghiên cứu Trong chương chúng tơi phân tích phương pháp, cách tiếp cận vân để nghiên cứu cho tốn trình bày luận án Cũng sở lý thuyết, lý luận tổng hợp trình bày cách hợp lý để sử dụng cho luận án 3.1 Phương pháp nghiên cứu 3.1.1 Các phương pháp nghiên cứu Phương pháp tra cứu kế thừa kết quả: Chúng tơi thu thập, phân tích, xử lý kết có nghiên cứu liên quan đến để tài Từ chọn lọc nội dung kết có giá trị giúp định hướng xây dựng kết nghiên cứu Phương pháp phân loại cơng trình lý thuyết đưa nghiên cứu đề tài nghiệm 3.1.2 tổng hợp lý thuyết: Từ kết nghiên cứu trước liên quan đến để tài, chúng tơi thực hệ thống hố giả thuyết dự đốn nghiệm cho toán Phát triển phương pháp việc chỉnh hóa Tiếp cận nghiên cứu Trên sở lý thuyết, lý luận biết phương pháp nghiên cứu nêu trên, luận án tiếp cận việc nghiên cứu cho để sau: Vẫn đề (Tính chỉnh cho tốn) Chúng tơi thiết lập nghiệm mild cho phương trình/hệ phương trình đạo hàm riêng cấp ngun /khơng ngun cách sử dụng khai triển chuỗi fourier, hàm số ham Gamma, ham Mittag-Leffler để tìm dạng nghiệm tích phân cho tốn Sử dụng cơng cụ khơng gian Hilbert để khảo sát tính chỉnh chỉnh toán 14 Vẫn đề thứ hai (Thiết lập xấp xỉ cho liệu đầu vào) Với liệu quan sát rời rạc bị nhiễu, phương pháp phi tham số thiết lập ước lượng cho liệu Vẫn đề thứ ba (Thiết lập nghiệm chỉnh hóa) Bằng phương pháp chặt cụt, chúng tơi thiết lập nghiệm chỉnh hóa Sử dụng điểm bất động Banach để chứng minh tổn nghiệm Từ đó, xây dựng nghiệm chỉnh hóa dựa việc phát triển phương pháp chỉnh hóa Dựa vào bất đẳng thức quan trọng, chẳng hạn bất đẳng thức Grönwall đưa đánh giá sai số nghiệm chỉnh hóa nghiệm xác khơng gian phù hợp 3.2 Cơ sở lý thuyết 3.2.1 Các hàm số Ham Gamma Ham gamma lần Euler (1707- 1783) nhằm mục thừa số không nguyên Về sau, nghiên cứu Adrien-Marie giới thiệu nhà tốn hoc Thuy Si Leon hard đích tổng qt giai thừa số nguyên thành giai tằm quan trọng mà nhà Legendre (1752 - 1833), Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855), Christoph Gudermann (1798 - 1852), Joseph Liouville (1809 - 1882), Karl Weierstrass (1815 - 1897), Charles Hermite (1822 - 1901), quan tam Trong năm 1729 1730 [85, 86], Euler giới thiệu hàm giải tích có thuộc tính để nội suy giai thừa đối số hàm số nguyên Trong thư ngày tháng năm 1730 cho Christian Goldbach ông để xuất định nghĩa sau: Định nghĩa 3.2.1 (Hàm Gamma) Cho x > = [ plete, (3.1) Hàm số thác triển [87] miễn {x|x€ (Tn—1;—n),n © N}URT Đề thị hình 3.1 Trên khoảng (0,1), hàm Gamma nghịch biến giá trị hàm giảm từ -+-eo đến Trên khoảng (1,2), hàm Gamma đạt giá trị cực tiểu xo — 1.4616 giá trị T(xo) = 0.8856 Với x > 0, ta có xI(+) = T(3 +1) Thật vậy, việc lấy tích phân phan ta T(z+1)—= — f£>+œ lim otk te | —1e~fdt = xT (x) 15 Véin € IN", công thức trở thành [{(#) = (øz — 1)! Các tính chất khác hàm Gamma tham khảo tài liệu [54, 87, 88] 5.01 51 ~~ 2.54 04 Tey 0.01 a —51 -4 —| đ =” ï{zj ® —2.51 Tứœ-I) _ s4 —4 (a) = 22 ®) Hình 3.1: Đồ thị hàm Gamma nghịch đảo Hàm Mittag-Leffler Hàm Mittag-Leffler giới thiệu Mittag-Leffler năm 1903 [89], liên quan đến phương pháp ơng để tổng qt hóa số chuỗi phân kỳ Trong thời gian đầu, người takhông quan nhiều đến hàm Tuy nhiên, sau nghiên cứu tích phân cap khơng ngun, đạo hàm cấp khơng ngun phương trình vi phân câp khơng ngun người ta thấy có tổn hàm Mittag-Leffler dạng nghiệm Hàm Mittag-Leffler định nghĩa chuỗi lũy thừa sau: Định nghĩa 3.2.2 (Ham Mittag-Leffler tham số) Với œ > 0, hàm MittagLeffler định nghĩa co E,(z) k Zz b;rúa+1 = zecC, (3.2) Trong báo năm 1903, 1905 ơng cơng bố số tính chất hàm Mittag-Leffler [90-92] Có khái quát đơn giản hàm Mittag-Leffler cổ điển thu cách thay số “1” đối số hàm Gamma Định nghĩa 3.2 tham số thực Ö tùy ý Định nghĩa 3.2.3 (hàm Mittag-Leffler hai tham số) Với x > Mittag-Leffler duoc dinh nghia nhu sau co Eup (2) = k Z Xu T (ku + By’ 0, B € R, ham zZEC (3.3) Ham Mittag-Leffler duge dinh nghia nhu (3.3) lan dau tién duoc gidi thiéu cơng trình Wiman [93] Sau nghiên cứu nhiều tác 1ó gia nhu la Agarwal [94], Humbert [95], Humbert va Agarwal [96] Cac tinh chất quan trọng hàm trình bày đủ sách Erdélyi cộng [97] Nhận xét 3.2.1 Với a, đặc biệt uà z > 0, hàm MliHag-Leffler hầm quen thudc nhu sau: ® F;1(z) = cosh /2 s bi) = ° Ey 2(z) = ° E¿›(z) = ae Mệnh đề 3.2.1 Cho số thuc A > 0, v8 < a < 1, Cac ham 86 t => E„i(—A†*) vat C> Eyx(—À†*)) khả liên tục dới † > dới O¢Ey 1(—AE*) = —At* Ew a(—At*), O¢(t° Eww (—At")) = "7 Ey (—AE*) (3.4) (3.5) Chứng trinh, Chứng Tính chât tìm mục 1.2.3 Podlubny [54] mục 4.3 Gorenflo cộng [87] LÏ Tính chất 3.2.1 Cho số rực A > 0à œ © [Ai,aa] cho < wị < &¿ < Luôn tồn số thực cy, cf cho bất đẳng thức sau thỏa tới tọi t > 0: a Cy exp (yt) < Eyi(Apt") < cf exp Gy"), b tEy2(Apt*) < ef We exp (A1), CE Ey alhel™) © ct Ay? * exp (4%) Chitng minh Xem cac tai liéu Tuan cộng [23], Trong cộng [98] 3.2.2 LÌ Phân phối chuẩn chặt cụt Đặt p W)= ex PA (2) a hàm mật độ biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn, ø(-) hàm phân phối xác suất 17 Định nghĩa 3.2.4 (Phân bố chuẩn chặt cụt hai phía) Giả sử X¿ ~ (0,02) có miễn giá trị (—ee,ee), Biển ngẫu nhiên Xạ uới điều kiện —a < Xự < a gọi có phân phối chuẩn chặt cụt hai phía Tù ký hiệu biển ngẫu nhiên e„ :—= (Xy| — a < Xy < 8) ~ Na(0,ơ2) Hàm mật độ xúc suất có dang s(ä) f(%, 08) = T+, #*€|—“,ä], %|r (4) — #0) (3.6) 0à ƒ(%,ơy,a) — khix # [—a,a| Bổ để 3.2.1 Nếu biến ngẫu nhiên ey ~- Nạ(0,ơ2) Ee; = 0à Vare, _= Var(X, | E(X; _ | “ASX K< a) =0, 20965) -a< X Tích phân cấp khong nguyén Riemann-Liouville I* dugc dinh nghĩa I*ƒŒ) := "in n t> 0, (3.10) Đạo hàm cấp không nguyền Năm 1695, thư [101] Guillaume de [Hơpital (1661-1704) gửi cho Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), ơng có hỏi ý nghĩa d!⁄2/d+1⁄2, Khoảng thời gian sau đó, nhiễu khái niệm đạo hàm cấp khơng ngun giới thiệu, chẳng hạn đạo hàm Riemamn-Liouville, Caputo, Hadamard, Grunwald-Letnikov, Khoảng 20 năm gần khái niệm đạo hàm cấp không nguyên ứng dụng rộng rãi, hiệu nhiều lĩnh vực khoa học xử lý ảnh, sinh học, điều khiển tối ưu, tài chính, Định nghĩa 3.2.6 (Đạo hàm Riemamn-Liouville [54]) Cho sé thuc « > 0, vi số nguyen n = [ax] +1 Todn tir att) = et T(n — a) dé" [estas Jo í G41), uới q < † < b, sợi đạo hàm Riemann-Liouville cấp Ø, Trong trường hợp ƒŒ) — € với C số với £ € [ø,b], ø > 0, tính tốn cụ thể ra fÐZƒŒ) Qua ví dụ ta thấy, đạo hàm rlạ#C Cự* ==———v =Em=ny với † > 00 Đây tính chất khác biệt đạo hàm cấp không nguyên Riemamn-Liouville với đạo hàm cấp nguyên thông thường Trong định nghĩa tiếp theo, ta giới thiệu khái niệm đạo hàm cấp không nguyên Caputo °3*, với đạo hàm °9*C = Định nghĩa 3.2.7 (Đạo hàm Caputo [54]) Cho sé thuc « > Ư, pà số ngun n = |x] + Toán tử °9* định nghĩa arf) =~ reT(n—2«) Can ft Jo LÊds’ /(s)ds , G12) l 0ới q < † < b, sọi đạo hầm Caputo cấp w không nguyên Ta ý rằng, thứ tự tích phân đạo hàm hai cơng thức (3.11), (3.12) ngược Điều này, tất nhiên dẫn đến nhiều tính chất khác hai loại đạo hàm Riemamn-Liouville Caputo Về bản, toán tử đạo hàm rau “9# khác nhau, liên hệ với qua công thức "2*Ƒ(Đ) = "2(ƒ() ~ ƒ(0)) với điều kiện hai xác định hữu hạn, xem mục 3.1 [102] 19 3.2.4 Bai tốn khơng chỉnh theo nghĩa Hadamard Trong luận án này, khái niệm tốn khơng chỉnh hiểu theo nghĩa Hadamard qua dinh nghia sau: Định nghĩa 3.2.8 (Bài toán chỉnh, [103]) Một mơ hình tốn học sợi chỉnh theo nghia Hadamard néu ba diéu kién sau đồng thời thỏa * Mé hinh cé nghiém, ® Nghiệm du nhất, s Nghiệm phụ tuuộc liên tục va dir lieu Nếu ba điều kiện khơng xảy ra, ta nói tơ hình tốn học không chinh theo nghia Hadamard Sự không chỉnh định nghĩa sử dụng chương sau Trong khơng chỉnh nghiệm khơng phụ thuộc liên tục vào liệu Cụ thể, ta cho X,Y không gian Banach Cho toán tử E : X — Y g € Y Xét bai todn tim u € X théa Fu = g Déi với toán này, @ € Y gợi liệu đầu vào, # € X gọi nghiệm Giả sử liệu đầu vào bị nhiễu s° ta tìm nghiệm z°, néu llg — lly + Okhie — 0, |l — #Ê||x z2 khie — 0, ta nói nghiệm không phụ thuộc liên tục vào liệu 3.2.5 Một số không gian ham Định nghĩa 3.2.9 Không gian L2(O) khơng gian Leheseue hầm đo đượcƒ : Ư —> R, | 04x