13 hình học

HÌNH HỌC PHẲNG 1) TAM GIÁC ABC a,b,c độ dài cạnh A,B,C số đo góc ha,hb,hc độ dài đường cao 2) Tam giác vuông A 900 ABC 1) a2=b2+c2 2) b2=a2-c2=ab, ; c2=a2-b2=ac, 3) bc=aha 4) ha2 b, c, 1 5) h  b  c a 6) *) b=asinB=acosC=ctanB=ccotC *) c=asinC=acosB=btanC=bcotB B) Tam giác: ABC 1) Định lý hàm số sin: 2) Định lý hàm số cô sin: a b c   2 R sin A sin B sin C a2=b2+c2-2bccosA  cos A  b2  c2  a 2bc b2=c2+a2-2cacosB  cos B  c2  a  b2 2ca c2=a2+b2-2abcosC  cos C  a  b2  c 2ab b2  c a m   3) Định lý độ dài trung tuyến: a mb2  mc2  c2  a b2  a  b2 c2  4) Độ dài đường phân giác: *) Phân giác A  AD la  bcp ( p  a ) b c b c *) Phân giác ngoaì AE  2bccos b c bc( p  b)( p  c) 5) Diện tích tam giác 2 S  aha  bhb  chc 2 2 S  ab sin C  bc sin A  ca sin B S  pr ( p  a )ra ( p  b)rb ( p  c)rc S=2R2sinAsinBsinC S  abc 4R xB  x A xC  x A yB  y A yC  y A 6) Diện tích tam giác tạọ 3chân đường phân giác trong:A1,B1,C1 S1 dt (A1 B1C1 ) 2abc   S dt (ABC ) (a  b)(b  c )(c  a ) TỨ GIÁC 1) Tứ giác lồi ABCD cạnh:a,b,c,d Thì: S= ( p  a )( p  b)( p  c )( p  d )  abcd cos BD 2) Tứ giác lồi ABCD nội tiếp đường trịn bán kính R,cạnh:a,b,c,d Thì: *) S= *) R= ( p  a )( p  b)( p  c)( p  d ) p a b c d (ac  bd )(ab  cd )(ad  bc ) 4S *) Nếu góc đường chéo là:  thì: Bài 1: 2S ac  bd Cho tứ giác nội tiếp ABCD có: a=5,32; b=3,45; c=3,96; d=4,68 Tính góc  đường chéo Bài 2: sin    =8208, Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn có bán kính R Biết: a=3,657; b=4,155; c=5,651; d=2,765 Tính bán kính R Bài 3: R=2,9916… Cho tứ giác lồi ABCD có: a=18; b=34; c=56; d=27 & B+D=2100 Tính diện tích S S=842,8189… HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 1) Hình hộp Vkhcn=abc Vlp=a3 1 Vkhn=  R2h Vkhc= Bh VABCD= Vtrụ=Bh=  R2h AB.CD.IJ.sin(AB,CD) với IJ đường vng góc chung AB & CD Vkhcc= h(B+B,+ BB , 4 Vkhc=  R3 S=4  R2 ) Vnc=  h(R2+R,2+RR,) Vchom= h ( R  h ) Schom=2  Rh Măt cầu bán kính r nội tiếp khối đa diện có: thể tích V diện tích tồn phần Stp thì: r 3V S Đa giác, hình trịn: a A * Một số công thức: 1) Đa giác n cạnh, độ dài cạnh a: + Góc tâm:   2 360 o (rad), hoặc: a  (độ) n n  O   n   (rad), A   n  180 (độ) + Góc đỉnh: A n n R na  cot g 2) Hình trịn phần hình trịn: S + Diện tích: + Hình trịn bán kính R: - Chu vi: C = 2R - Diện tích: S = R O + Hình vành khăn: R r - Diện tích: S = (R2 - r2) = (2r + d)d + Hình quạt: O d - Độ dài cung: l = R ; (: rad) - Diện tích: S  R 2  R2a  360 (: rad) R (a: độ) O Bài 9: Ba đường trịn có bán kính cm đơi tiêp xúc ngồi (Hình vẽ) Tính diện tích phần xen ba đường trịn ? H.Dẫn: Sgạch xọc = SO1O2O3 - Squạt O1 Tam giác O1O2O3 đều, cạnh nên: S O1O2O3  6.6 9 2 Squạt = O2 O3  R a  9.60 3   360 360  Sgạch xọc = SO1O2O3 - Squạt =  9 18  9  1, 451290327 2 Bài 10: Cho hình vng ABCD, cạnh a = 5,35 Dựng đường tròn tâm A, B, C, D có bán kính R= a Tính diện tích xen đường trịn H.Dẫn: Sgạch = SABCD - 4Squạt Squạt = A B D C 1 SH.tròn = R2 4  Sgạch = a2 - = a2(1 - 1 R2 = a2 - a2 4 )  6,142441068 Bài 11: Cho đường trịn tâm O, bán kính R = 3,15 cm Từ điểm A đường tròn vẽ hai tiếp tuyến AB AC (B, C hai tiếp điểm thuộc (O) ) Tính diện tích phần giới hạn hai tiếp tuyến cung tròn nhỏ BC Biết OA = a = 7,85 cm H.Dẫn: - Tính : cos   OB R 3,15   OA a 7,85 1   cos B 3,15 7,85  A SOBAC = 2SOBA = aRsin Squạt = C  R 2  R   360 180 Sgạch = SOBAC - Squạt = aRsin - O  R   11,16 (cm2) 180 Bài 12: Tính diện tích phần tơ đậm hình trịn đơn vị (R = 1) (Xem hình 1) Đáp số: Bài 13: Tính tỷ lệ diện tích phần tơ đậm diện tích phần cịn lại hình trịn đơn vị (Xem hình 2) Đáp số: H×nh H×nh PHẦN V ĐA GIÁC VÀ HèNH TRềN Bài (Sở GD & ĐT Đồng Nai, 1998, vòng Tỉnh, cấp PTTH & PTCS) Một ngụi năm cỏnh cú khoảng cỏch hai đỉnh khụng liờn tiếp 9, 651 cm Tỡm bỏn kớnh đường trũn ngoại tiếp (qua đỉnh) Giải: Ta có cơng thức tính khoảng cách hai đỉnh khơng kề ngơi năm cánh (hình vẽ): AC d 2 R cos18o  R 10  B Công thức d 2 R cos18o hiển nhiên A C O Công thức cos18o  10  chứng minh sau: Ta có: D E  cos 36o  sin 54o  3sin18o  4sin 18o  sin 18o cos 18o    2 hay 4sin 18o  2sin 18o  3sin18o 1 0 Suy sin18o nghiệm phương trình: x3  x  x  ( x  1)(4 x  x  1) 0 Vậy sin18o   1 Từ ta có: cos 18o 1  sin 18o 1  (  10  )  16 hay cos18o  10   10  16 Suy d 2 R cos18o  R 10  d 2d R  cos18o  10  Cách giải 1: 9.651   18 o,,, cos  (5.073830963) Cách giải 2:  9.651  [( [( 10   )]  (5.073830963) Bài (Sở GD & ĐT TP Hồ Chí Minh, 1996, vịng 1) Tính khoảng cách hai đỉnh không liên tiếp cánh nội tiếp đường trịn bán kính R 5, 712cm Cách giải 1: Ta có cơng thức tính khoảng cách hai đỉnh không kề năm cánh (xem hình vẽ chứng minh 1): d 2 R cos18o  R 10  Tính: MODE  5.712  18 o,,, cos  (10.86486964) Cách giải 2: 10     5.712    (10,86486964)  Đáp số: 10,86486964 Bài Cho đường tròn tâm O , bán kính R  11, 25 cm Trên đường tròn cho, đặt cung AB  90o , BC  120o cho A C nằm phía BO a) Tính cạnh đường cao AH tam giác ABC b) Tính diện tích tam giác ABC (chính xác đến A 0,01) C Giải: a) Theo hình vẽ: B H O   - sđ AB  = 1200 - 900 = 300 sđ AC = sđ BC   Tính góc nội tiếp ta được: ABC = 150; ACB = 450    Suy ra: BAC = 1200; CAH = 450; BAH = 750 Ta có: AB R ; BC R Vì  AHC vuông cân, nên AH HC (đặt AH  x ) Theo định lí Pitago x  R x  R 0 ta có: Suy ra: x1  AH  AB  HB R 3 R ; x2  R 3R Do đó:  x2  R  x   R  R(  1) R 3R Vì AH  AC  R , nên nghiệm x2  bị loại Suy ra: AC  AH  Gọi diện tích ABC S , ta có: 2 hay 1 R 3 R R (3  S  AH BC   R  2 ấn phím: 11.25 Min   MODE ấn tiếp phím: MR  ấn phím: MR  [(  ấn tiếp phím: MR  [(  Kết quả:19.49  2  (15.91) Vậy AB 15, 91 cm Vậy: BC 19, 49 cm  (5.82)    (4.12) ấn tiếp phím: MR SHIFT x  [(  3) Vậy AC 5,82 cm Vậy: AH 4,12 cm  4  Kết quả: S 40,12 cm2 Bài (Thi trắc nghiệm học sinh giỏi toỏn toàn nước Mỹ, 1972) Cho hỡnh vuụng ABCD cạnh 12 Vẽ đoạn AE với E điểm trờn cạnh CD DE 5 cm Trung trực AE cắt AE , AD BC M , P Q Tỷ số độ dài đoạn PM MQ là: (A) 5:12; (B) 5:13; (C) 5:19; (D) 1:4; (E) 5:21 Giải: Vẽ RS qua M song song với cạnh AB,CD MP MR Ta cú: MQ  MS Vỡ RM đường trung bỡnh tam giỏc ADE nờn DE MS  RS  MR MR  Mà: E D P M C S Q DE MP MR Vậy: MQ  MS  DE RS  DE 5 cm, RS 12 cm : ỏp dụng số với 5 a b / c  Min  [( 12  MR = ( ) 19 Đỏp số (C) đỳng A R B Chỳ ý: Nếu khụng sử dụng phõn số (5 a b / c 2) mà dựng (5  2) thỡ mỏy cho đỏp số dạng số thập phõn Hóy tớnh:   Min  [( 12  MR (0.2631579) So sỏnh: a b / c 19 SHIFT a b / c a b / c Kết quả: 0.2631579 Như vậy, hai kết nhau, kết thực dạng phõn số (khi khai bỏo a b / c 2), cũn kết thực dạng số thập phõn (khi khai bỏo  2) Bài Trờn đường trũn tõm O, bỏn kớnh R 15, 25 cm , người ta đặt cỏc cung liờn tiếp:  = 900, CD   = 600, BC = 1200 AB a) Tứ giỏc ABCD hỡnh gỡ? b) Chứng minh AC  BD c) Tớnh cỏc cạnh đường chộo ABCD theo R chớnh xỏc đến 0,01 d) Tớnh diện tớch tứ giỏc ABCD  +sđ CD  )  = 3600 - (sđ AB  +sđ BC Giải: a) sđ AD 60° = 3600 - (600 + 900 + 1200) = 900 A  , ABD    Suy ra: AD = BC = BDC = 450 (vỡ cựng 900 B ) Từ đú ta cú: AB // CD Vậy ABCD hỡnh thang Mặt khỏc, Vậy   = BCD ADB ABCD (cựng 600 +900 E 90° ) C' hỡnh thang cõn (đpcm) C D 90   b) Vỡ ABD = BAC = 450 (vỡ cựng ) 120°  Suy AEB = 900, AC  BD (đpcm) c) Theo cỏch tớnh cạnh tam giỏc đều, tứ giỏc đều, lục giỏc nội tiếp đường trũn bỏn kớnh R , ta cú: AB R ; AD  BC  R ; DC  R Cỏc tamgiỏc AEB, CED vuụng cõn, suy AE  Vậy: AE  R , CE  R 2 AB Suy AC  AE  EC  , CE  RR CD  R (1  3) R (1  3) R (1  3) R(1  3)  [ ] 2 d) S ABCD  AC DB  AC   Tính: MR  [(  Vậy S ABCD 433,97 cm2    SHIFT x MODE (433.97) ấn tiếp: 15.25 Min   Kết quả: 21.57 Vậy AD  BC 21, 57 cm ấn tiếp phím: MR   (26.41) ấn tiếp phím: MR  [(  Vậy: CD 26, 41 cm  2  (29.46) Vậy AC  BD 29, 46 cm Bài Cho đường tròn tâm O , bán kính R 3,15 cm Từ điểm A ngồi đường trịn vẽ hai tiếp tuyến AB AC ( B , C hai tiếp điểm thuộc ( O )) Tính diện tích phần mặt phẳng giới hạn hai tiếp tuyến cung tròn nhỏ BC biết AO a 7,85 cm (chính xác đến 0,01 cm) B Giải: Ta có: cos   OB R 3,15   OA a 7,85  O S ABOC 2S AOB a.R.sin  S quạt OBC S  A ; C  R 2  R 2  360 180  R 2 = S ABOC - S quạt OBC aR sin   gạch xọc 180   Tính máy: 3.15  7.85  SHIFT cos-1 SHIFT ,,, Min sin  7.85  3.15  SHIFT   3.15 SHIFT x  MR  180  (11.16) Đáp số: S gạch xọc = 11,16 cm2 Bài Tính diện tích hình có cạnh cong(hình gạch sọc) A N B theo cạnh hình vng a = 5,35 xác đến 0,0001cm Giải: Diện tích hình gạch xọc MNPQ (SMNPQ) diện tích hình vng M D P Q C ABCD (SABCD) trừ lần diện tích a hình trịn bán kính R  2 2 S MNPQ  a   R a   a  a (4   )  5,35 (4   ) 4 4 ấn phím: 5.35 SHIFT x  [(      MODE (6.14) Kết luận: S MNPQ  6,14 cm2 Bài Tính diện tích phần hình phẳng (phần gạch xọc) giới hạn cung tròn cạnh A tam giác ABC (xem hình vẽ), biết: Giải: AB  BC CA a 5, 75 cm 2 a R OA OI  IA  AH   3 Suy ra: R  a 3 I B AOI 600 C H Diện tích hình gạch xọc diện tích tam giác ABC trừ diện tích hình hoa (gồm hình viên phân có bán kính R góc tâm 600) S ABC Diện tớch viờn phõn: a2  ; SO1 AI  S gạch xọc  R2 R2 R2    R (2  3)        12 Tính theo a, diện tích viên phân bằng:  R2  a  a2       4 12   a (2  3) 36 a2 a (2  3) a (9  4 )  6  36 12 Bấm tiếp: 5,75 SHIFT x  [(   ; ; S  gạch xọc 5, 752 (9  4 ) 12  SHIFT  )]  12  Kết quả: S gạch xọc  8,33 cm2 Bài Viên gạch cạnh a 30 cm có hoa văn hình vẽ A N M D B P Q C a) Tớnh diện tớch phần gạch xọc hỡnh cho, chớnh xỏc đến 0,01 cm b) Tớnh tỉ số phần trăm diện tớch phần gạch xọc diện tớch viờn gạch Giải: a) Gọi R bỏn kớnh hỡnh trũn Diện tớch S hỡnh viờn phõn bằng: S  R2 R2 R2 a2      2     2 4 16 Vậy diện tớch hỡnh gồm viờn phõn Diện tớch phần gạch xọc bằng: a2  a2    2 a2    2  a2     Tính máy: 30 SHIFT x Min  [(  SHIFT  )]   MODE ấn phím tiếp: (386.28) Vậy S gạch xọc  386,28 cm2 (42.92)  MR SHIFT % Tỉ số diện tớch phần gạch xọc diện tớch viờn gạch 42,92% Đáp số: 386,28 cm2; 42,92 % Bài 10 Nhân dịp kỷ niệm 990 năm Thăng Long, người ta cho lát lại đường ven hồ Hoàn Kiếm viên gạch hình lục giác Dưới viên gạch lục giác có mầu (các hình trịn mầu, phần cịn lại mầu khác) Hãy tính diện tích phần gạch mầu tỉ số diện tích hai phần đó, biết AB a 15 cm Giải: Bán kính đường trịn nội tiếp tam giác a a  là: R   Diện tích hình trịn là:  R  Diện tích hình trịn là: A  a2 12  a2 Tính máy: 15 SHIFT x     Min (353.4291) a 3a  Diện tích tồn viên gạch là:  F B O Diện tích phần gạch xọc là: 3a  a  2 Bấm tiếp phím:  15 SHIFT x     MR  (231.13797) ấn tiếp phím:  MR SHIFT % Kết quả: 65.40 Đáp số: 353,42 cm2 (6 hình trịn); 231,14 cm2 (phần gạch xọc); 65,40 % Bài 11 Viên gạch hình lục giác ABCDEF có hoa văn hình hình vẽ, đỉnh hình M , N , P, Q, R, S trung điểm cạnh lục giác A Viên gạch tô hai mầu (mầu M B S hình mầu phần lại) N F Biết cạnh lục giác a = 16,5 cm C O R P + Tính diện tích phần (chính xác đến 0,01) Q D + Tính tỉ số phần trăm hai diện tích a 3a Giải: Diện tích lục giác ABCDEF bằng: S1=6  = a a Lục giác nhỏ có cạnh b  , cánh tam giác có cạnh b  Từ 3b 3a suy ra: diện tích lục giác cạnh b S2 bằng: S2 = = , diện tích tam giác 3a cạnh b S3: S3 = Tính máy:  16.5 SHIFT x  ấn tiếp phím:  16,5 SHIFT x     MODE 2   (353.66) Min MR  (353.66) ấn tiếp phím:  MR SHIFT % Kết quả: 100 Vậy diện tích hai phần Lời bình: Có thể chứng minh phần có 12 tam giác nhau, diện tích hai phần Từ cần tính diện tích lục giác chia đôi Bài 12 Cho lục giác cấp ABCDEF có cạnh AB a 36 mm Từ trung điểm cạnh dựng lục giác A ' B ' C ' D ' E ' F ' hình cánh có đỉnh trung điểm A ', B ', C ', D ', E ', F ' (xem hình vẽ) Phần trung tâm hình lục giác cấp MNPQRS Với lục giác ta lại làm tương tự A' A B lục giác ban đầu ABCDEF M F' F hình lục giác cấp Đối với lục giác cấp 3, ta lại làm tương tự N P S R E' E lục giác cấp Đến ta dừng lại B' C' Q D' c D Các cánh hình tơ mầu (gạch xọc), cịn hình thoi hình chia thành tam giác tơ hai mầu: mầu gạch xọc mầu "trắng" Riêng lục giác cấp tô mầu trắng a) Tính diện tích phần tơ mầu "trắng" theo a b) Tớnh tỉ số phần trăm diện tớch phần "trắng" diện tớch hỡnh lục giỏc ban đầu Giải: a) Chia lục giác thành tam giác có cạnh a đường chéo qua đỉnh đối xứng qua tâm, từ ta có có cạnh a a2 S = 6 Mỗi tam giác cạnh = 3a a Chia lục giác ABCDEF thành 24 tam giác có diện tích diện tích tam giác "trắng" A ' NB ' (xem hình vẽ) Suy diện tích tam giác trắng vịng ngồi ABCDEF  24 3a  Vậy diện tích tam giác trắng vịng ngồi là: a (1) b b) Tương tự với cách tính ta có: MN b  ; c  3b Diện tích tam giác trắng lục giác cấp MNPQRS là:  (2) Diện tích tam giác trắng lục giác cấp là: 3c  (3) diện tích lục giác cấp 3d c Diện tích lục giác trắng (với d  ): (4) Tóm lại ta có: 3a = 3c  = S1 =  S3 = 3a 23 ; S2 = 3a  42 Strắng =S1+S2+S3+S4 = 3a ( ấn phím:  36 SHIFT x  = 3b  3a 27 3a  22 = ; S4 = 1   23 25 27 )= 3d = = 3a 25 3a 82 3a   2   MODE ; = 3a 27 (3367.11) Min Vậy SABCDEF = 3367,11 mm2 ấn tiếp phím: SHIFT x y  SHIFT x    SHIFT xy  MR  (1157.44) ấn tiếp phím: Vậy Strắng 1157,44 mm2  MR SHIFT % S trang 34,38% (34.38) Vậy S ABCDEF Đáp số: 1157,44 mm2 34,38% Bài 13 Cho hình vng cấp ABCD với độ dài cạnh AB  a  40 cm Lấy A, B, C , D làm tâm, thứ tự vẽ cung trịn bán kính a, bốn cung tròn cắt M , N , P, Q Tứ giác MNPQ hình vng, gọi hình vng cấp Tương tự trên, lấy M , N , P, Q làm tâm vẽ cung trịn bán kính MN , giao điểm E , F , G, H hình vng cấp Tương tự làm tiếp hình vng cấp XYZT dừng lại (xem hình vẽ) a) Tính diện tích phần hình khơng bị tơ mầu (phần để trắng theo a) b) Tìm tỉ số phần trăm hai diện tích tơ mầu khơng tơ mầu Giải: a) Tính diện tích cánh hoa trắng cấp (bằng viên phân trừ lần diện tích hình vng cấp 2)  a2 a2 -  2b S1 =  ( b cạnh hình vng cấp 2) Tương tự, tính diện tích cánh hoa trắng cấp cấp 3: S 4( S3 (  b2 b2 - )  2c ( c cạnh hình vng cấp 3)  c2 c2 - )  2d ( d cạnh hình vng cấp 4) Rút gọn: S1 = a2(  - 2) - 2b2; S2 = b2(  - 2) - 2c2; S3 = c2(  - 2) - 2d2 ; Strắng=S1+S2+S3 =  (a2 + b2 + c2)-4(b2 + c2)-2 (a2 + d2)  b) Ta có: MCQ = 300; b = QM = 2MK = 2a.sin150 = a(2sin150) Tương tự: c = 2b.sin150 = a(2sin150)2; d = 2c.sin150 = a(2sin150)3 Ký hiệu x = 2sin150, ta có: b = a.x; c = ax2; d = ax3 Thay vào cơng thức tính diện tích Strắng ta được: Strắng =  (a2 + a2 x2 + a2 x4) - 4(a2 x2 + a2 x4) - 2(a2 + a2 x6) =  a (1 + x2 + x4) - 4a2(x2 + x4) - 2a2(1 + x6) ấn phím: 15 o,,, sin   Min SHIFT x y  MR SHIFT x    SHIFT   40 SHIFT x   40 SHIFT x  [( MR SHIFT x  MR SHIFT x y [( )]   40 SHIFT x   MR SHIFT x y  MODE (1298.36) Min Vậy Strắng 1298,36 cm2 Bấm tiếp phím: 40 SHIFT x  MR  (301.64) Vậy Sgạch xọc 301,64 cm2 Bấm tiếp phím:  MR SHIFT % (23.23) Sgach xoc Vậy S trang 23,23% Đáp số: 1298,36 cm2; 23,23% Bài 14 Cho tam giác ABC có cạnh a  33,33 cm tâm O Vẽ cung tròn qua hai đỉnh trọng tâm O tam giác hình Gọi A ', B ', C ' trung điểm cạnh BC, CA AB A Ta lại vẽ cung tròn qua hai trung điểm điểm O, ta hình nhỏ B' O a) Tính diện tích phần cắt bỏ (hình gạch xọc) B tam giác ABC để hình cịn lại A' C b) Tính tỉ số phần trăm phần cắt bỏ diện tích tam giác ABC Giải: A ' B ' C' tam giác nhận O làm tâm (vì AA ', BB ', CC ' đường cao, đường trung tuyến  A ' B ' C' ) có điểm chung O, nghĩa khơng có phần diện tích chung Mỗi viên phân có góc tâm 600, bán kính tích viên phân Khi S1 = đường cao tam giác Gọi S1 diện  OA2 OA2 OA2 = (2  -3 ) 12 a a Ta có: OA  = 3 Gọi S diện tích lớn, S' diện tích nhỏ Khi ấy: S =6S1 = OA2 (2  -3 )= a2 (2  -3 ) Gọi cạnh tam giác A ' B ' C' b, tương tự ta có: S' = b2 (2  -3 ) = a2 24 (2  -3 ) Tổng diện tích là: S + S' = (2  -3 )( a2 a2  24 ) Diện tích phần gạch xọc (phần cắt bỏ) S'' S''= SABC -(S + S')= Tính SABC : 33.33 SHIFT x  Tính S'' :  8  a2 - (2  -3 )( a2 a2  ) (   )a 24 12   (481.0290040) Min  12     33.33 SHIFT x  (229.4513446) Vậy S'' 229,45 cm2 S'' ấn tiếp phím để tính S ABC :  MR SHIFT % Kết quả: 47.70 S'' 47,70 % Đáp số: S'' 229,45 cm2; S ABC