Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM INTHAVICHIT PADAPHET VỀ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN THỨ HAI KIỂU CARTAN CHO HÀM ĐẾM RÚT GỌN VÀ VẤN ĐỀ DUY NHẤT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2023 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM INTHAVICHIT PADAPHET VỀ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN THỨ HAI KIỂU CARTAN CHO HÀM ĐẾM RÚT GỌN VÀ VẤN ĐỀ DUY NHẤT Ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 9460102 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS HÀ TRẦN PHƯƠNG TS NGUYỄN VĂN THÌN THÁI NGUYÊN 2023 i Lời cam đoan Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu hướng dẫn PGS.TS Hà Trần Phương TS Nguyễn Văn Thìn Các kết viết chung với tác giả khác trí đồng tác giả đưa vào luận án Các kết luận án chưa công bố công trình khoa học khác Thái Nguyên, tháng 11 năm 2023 Tác giả INTHAVICHIT Padaphet ii Lời cảm ơn Luận án thực hoàn thành hướng dẫn tận tình PGS.TS Hà Trần Phương TS Nguyễn Văn Thìn Tác giả luận án xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến thầy Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám đốc Đại học Thái Nguyên, Ban Đào tạo Đại học Thái Nguyên, Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo, Ban chủ nghiệm khoa Tốn phịng Ban chức Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ tác giả q trình học tập nghiên cứu hồn thành luận án Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy, cô, bạn bè Seminar Bộ mơn Giải tích Tốn ứng dụng, Khoa Tốn Trường Đại hoc Sư phạm - Đại học Thái Nguyên giúp đỡ, động viên tác giả nghiên cứu khoa học Tác giả xin chân thành cảm ơn Trường Cao đẳng Sư phạm Luangprabang nước CHDCND Lào đồng nghiệp tạo điều kiện giúp đỡ mặt q trình học tập hồn thành luận án Cuối tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn người thân gia đình, người chịu nhiều khó khăn, vất vả dành hết tình cảm u thương, động viên, chia sẻ, khích lệ để tác giả hoàn thành luận án Thái Nguyên, tháng 11 năm 2023 Tác giả INTHAVICHIT Padaphet Möc löc M Ưu Chữỡng nh lỵ cỡ bÊn thự hai vợi hm ám rút gồn cho ữớng cong chnh hẳnh trản trữớng khổng Acsimet 14 1.1 Mởt số kián thùc cì sð 14 1.2 nh lỵ cỡ bÊn thự hai kiºu Cartan 22 Kát luên 35 Chữỡng Mởt số dÔng nh lỵ cỡ bÊn thự hai cho ữớng cong chnh hẳnh 36 2.1 nh lỵ kiu Cartan-Nochka cho ữớng cong trản trữớng khổng Acsimet 2.2 nh lỵ cho ữớng cong trản hẳnh vnh khuyản 36 49 Kát luên 63 Chữỡng nh lỵ nhĐt cho ữớng cong chnh hẳnh trản hẳnh vnh khuyản 64 3.1 nh lỵ nhĐt kiu Chen-Yan 64 3.2 nh lỵ nhĐt kiu Fujimoto 74 Kát luên 82 Kát luên 83 Danh mửc Cổng trẳnh cừa tĂc giÊ liản quan án luên Ăn 84 Ti liằu tham khÊo 85 M Ưu Lch sỷ nghiản cựu v lỵ chồn à ti Trong nhỳng nôm gƯn Ơy, Lỵ thuyát phƠn bố giĂ tr cho ữớng cong chnh hẳnh, hay cỏn gồi l Lỵ thuyát Nevanlinna-Cartan  thu hút ữủc sỹ quan tƠm nghiản cựu cừa nhiÃu nh toĂn hồc v ngoi nữợc ữủc xem nhữ bưt Ưu bi cĂc cổng trẳnh cừa H Cartan vo nôm 1933 ặng xƠy dỹng cĂc dÔng nh lỵ cỡ bÊn thự nhĐt v thự hai cho ữớng cong chnh hẳnh, Lỵ thuyát Nevanlinna-Cartan ữủc Ănh giĂ l mởt nhỳng thnh tỹu sƠu sưc, àp v cõ nhi·u ùng dưng c¡c l¾nh vüc kh¡c cõa ToĂn hồc nhữ vĐn à nhĐt cho ữớng cong chnh hẳnh, tẵnh suy bián cừa ữớng cong Ôi số, lỵ thuyát hằ ởng lỹc, phữỡng trẳnh vi phƠn phực v mởt số lắnh khĂc Kẵ hiằu K trữớng õng Ôi số, cõ c số khổng, Ưy ừ vợi chuân sinh bi giĂ tr tuyằt ối khổng Acsimet, gian xÔ £nh n chi·u tr¶n W W l C ho°c K v Vợi ữớng cong chnh hẳnh Pn (W) l khổng f : C −→ Pn (C) (f0 , , fn ), h m Z 2π Tf (r) = log kf (reiθ )kdθ 2π câ mët biºu diạn tối giÊn l ữủc gồi l õ hm c trững Nevanlinna-Cartan cừa ữớng cong f, l mởt dÔng tuyán tẵnh xĂc nh H v kf (z)k = max{|f0 (z)|, , |fn (z)|} Cho H l mởt siảu phng, L l mởt số nguyản dữỡng Ta gåi iºm cõa M nf (r, H) v nM f (r, H) lƯn lữủt l số khổng L(f )(z) ắa {|z| r}, tữỡng ựng k cÊ hay bëi ct cöt bði M H m Z r Nf (r, H) = Nf (r, L) = ÷đc gåi l h m ¸m kº c£ bëi Z r NfM (r, H) = NfM (r, L) = ÷đc gåi l ph¯ng nf (t, H) − nf (0, H) dt + nf (0, H) log r t v h m M nM f (t, H) − nf (0, H) dt + nM f (0, H) log r t h m ¸m bëi ct cửt bi M cừa ữớng cong f kát hủp vợi siảu H Nôm 1933, H Cartan  chựng minh mởt dÔng nh lỵ cỡ bÊn thự hai cho ữớng cong chnh hẳnh trản mt phng phực nhữ sau: nh lỵ A ([6]) Cho ữớng cong chnh hẳnh khổng suy bián tuyán tẵnh f : C Pn (C) v q si¶u ph¯ng H1 , , Hq ð v trẵ tờng quĂt Pn (C) Khi õ bĐt ¯ng thùc (q − n − 1)Tf (r) q X Nfn (r, Hj ) + o(Tf (r)) j=1 óng vợi mồi r > ừ lợn nơm ngoi mởt têp cõ ở o Lebesgue hỳu hÔn nh lỵ A cho ta mët quan h» giúa h m °c tr÷ng cõa ữớng cong chnh hẳnh khổng suy bián tuyán tẵnh vợi cĂc hm ám cưt cửt vợi mửc tiảu l cĂc siảu phng v trẵ tờng quĂt Cổng trẳnh ny cừa H Cartan ữủc Ănh giĂ hát sực quan trồng, m mởt hữợng nghiản cựu mợi cho viằc phĂt trin lỵ thuyát Nevanlinna - nghiản cựu cĂc dÔng nh lỵ cỡ bÊn thự hai cho Ănh xÔ phƠn h¼nh, ch¿nh h¼nh v c¡c ùng dưng cõa nâ C¡c kát quÊ nghiản cựu theo hữợng ny thới gian gƯn Ơy têp trung vo hai vĐn Ã: XƠy dỹng cĂc dÔng cừa nh lỵ cỡ bÊn thự hai cho ữớng cong chnh hẳnh tứ Wp Ênh hoc mët mi·n Wp v o Pn (W) ho°c mët a tÔp Ôi số xÔ Pn (W) vợi mửc tiảu l c¡c si¶u ph¯ng, si¶u m°t cè ành ho°c di ëng, bơng cĂch thiát lêp quan hằ giỳa hm c trững Nevanlinna-Cartan vợi cĂc hm xĐp x hoc cĂc dÔng hm ám khĂc Nghiản cựu cĂc ựng dửng cừa cĂc dÔng cừa nh lỵ cỡ bÊn thự hai c¡c l¾nh vüc kh¡c cõa to¡n håc, chng hÔn, tẵnh chĐt cừa số khuyát, vĐn à nhĐt cho hm hay ữớng cong chnh hẳnh, sỹ suy bián cừa cĂc ữớng cong Ôi số v mởt số lắnh vỹc khĂc Theo hữợng nghiản cựu thự nhĐt, tiáp nối cổng trẳnh cừa H Cartan,  cõ nhiÃu tĂc giÊ xƠy dỹng cĂc dÔng nh lỵ cỡ bÊn thự hai bơng cĂch thiát lêp cĂc quan hằ bĐt ng thùc giúa h m °c tr÷ng cõa mët ÷íng cong ch¿nh hẳnh vợi cĂc xĐp x v hm ám khổng k hay hm ám cưt cửt Cử th, nôm 1983, E I Nochka ([33]) ¢ chùng minh mët mð rởng cừa nh lỵ A cho trữớng hủp hồ cĂc siảu phng v trẵ dữợi tờng quĂt khổng gian xÔ Ênh phực Pn (C) Nôm 1995, H H Khoai v M V Tu  nghiản cựu nh lỵ A cho trữớng hủp ữớng cong chnh hẳnh trản trữớng nh lỵ B K v thu ữủc kát quÊ: ([26]) Cho f : K → Pn (K) l mët ÷íng cong khổng suy bián tuyán tẵnh v H1 , , Hq cĂc siảu phng phƠn biằt Pn (K) ð tr½ têng qu¡t Khi â (q − n − 1)Tf (r) q X Nfn (r, Hj ) − j=1 n(n + 1) log r + O(1) Trong [21], P C Hu v C C Yang  m rởng kát quÊ cừa H H Khoai v M V Tu cho trữớng hủp hồ siảu phng v trẵ dữợi tờng quĂt Trong nhỳng nôm gƯn Ơy, cõ rĐt nhiÃu tĂc giÊ v ngoi nữợc  nghiản cựu cĂc dÔng nh lỵ cỡ bÊn thự hai cho ữớng cong chnh hẳnh tứ hay mởt miÃn trản W, Wm vo Pn (W) Wm hay mởt a tÔp Ôi số xÔ Ênh trong cĂc trữớng hủp mửc ti¶u l c¡c si¶u ph¯ng hay si¶u m°t cè ành hay di ởng, vợi cĂc dÔng hm ám khĂc Chng hÔn M Ru ([42], [43]), Q M Yan v Z H Chen ([51]), G Dethloff, T V Tan, D D Thai ([12]), D D Thai, S D Quang ([48]), L Shi ([45]), T T H An v H T Phuong ([2]), H T Phuong v N V Thin ([39]), H T Phuong v L Vilaisavanh ([41]), P C Hu, N V Thin ([23]) v nhi·u t¡c gi£ kh¡c Nôm 2014, dỹa trản cĂc nghiản cựu và khổng im cừa cĂc tờ hủp tuyán tẵnh khổng tƯm thữớng cừa mởt hồ hỳu hÔn cĂc hm chnh hẳnh trản mt phng phực tÔi mởt im, J M Anderson v A Hinkkanen ([4])  ữa mởt khĂi niằm mợi và hm ám, ữủc gồi l hm ám rút gồn v chựng minh mởt dÔng nh lỵ cỡ bÊn thự hai vợi hm ám rút gồn ny cho trữớng hủp mưc ti¶u l c¡c si¶u ph¯ng cè ành Cư thº nh÷ sau: Cho f : W −→ Pn (W) l mởt ữớng cong chnh hẳnh v mởt biu diạn tối gi£n cõa f K½ hi»u L = L(f0 , , fn ) hm thuởc L tÔi z0 z0 W, l l têp hủp tĐt cÊ cĂc tờ hủp tuyán tẵnh khổng tƯm thữớng cừa cĂc hm Bờ à 1.4 ta thĐy, vợi mội (f0 , , fn ) f0 , , f n Tø c¡c bëi khæng iºm câ th cõ cừa cĂc tÔo nản mởt dÂy thọa mÂn = d0 (z0 ) < d1 (z0 ) < à à à < dn (z0 ) Vợi siảu phng nản tỗn tÔi H xĂc nh bi dÔng tuyán tẵnh j ∈ {0, , n} L, hiºn nhiản cho bêc khổng im cừa L(f ) dj (z0 ), tùc l ordL(f ) (z0 ) = dj (z0 ) Ta k½ hi»u ν(H, z0 ) = j gồn tÔi khổng im cừa hủp vợi siảu phng tÔi z0 H L(f ) tÔi z0 tÔi Ta gồi hay cỏn gồi l cừa nh nghắa ([4]) Vợi mội Z r ữủc gồi l f z0 v gåi l bëi rót hay cán gåi l bëi rót gån cõa ε(H, z0 ) = dj − j l bơng cừa f kát L(f ) H tÔi z0 P f (r, H) = (H, z) kát hủp vợi siảu phng r > 0, ta k½ hi»u V νf (t, H) − νf (0, H) dt + νf (0, H) log r t h m ¸m rút gồn Tứ nh nghắa ta thĐy cừa hm f kát hủp vợi siảu phng (H, z0 ) min{dj , n} Nf (r, H) Nfn (r, H) Cho tÔi |z|6r hm Nf (r, H) = z0 , L(f ) ∈ L H = {H1 , , Hq } n¶n H νf (r, H) nnf (r, H) (1) l mët hå c¡c si¶u ph¯ng ð tr½ têng qu¡t Pn (W) v Lj l dÔng tuyán tẵnh nh nghắa H= õ z0 W °t L1 (f )L2 (f ) Lq (f ) , W l ành thùc Wronskian cõa tũy ỵ ta luổn cõ Hj , j = 1, 2, , q Pq j=1 ε(Hj , z0 ) f0 , , f n ordW (z0 ) V(H, z) = ordW (z0 ) − q X Tø Bê · 1.6, vỵi méi °t ε(Hj , z) > j=1 V k½ hi»u Vf (r, H) = ành ngh¾a ([4]) H m Z r Vf (t, H) − Vf (0, H) dt − Vf (0, H) log r t h m ¸m cĂc siảu phng V(H, z) |z|6r Uf (r, H) = ữủc gồi l X tÔi cĂc khổng im cừa hm f kát hủp vợi hồ H Nôm 2014, J M Anderson v A Hinkkanen ¢ chùng minh ành lỵ C ([4])Cho f : C Pn (C) l mởt ữớng cong chnh hẳnh khổng suy bián tuyán tẵnh v H = {H1 , , Hq } l mởt hồ gỗm q > n + siảu phng Pn (C) v trẵ tờng quĂt Khi â ta câ (q − n − 1)Tf (r) q X Nf (r, Hj ) − Uf (r, H) − N (r, H) j=1 + O(log r) + O(log Tf (f )), (2) r −→ ∞ n¬m ngoi mởt têp cõ ở o tuyán tẵnh hỳu hÔn Chú ỵ rơng, tứ (1) ta thĐy hm ám rút gồn Nf (r, Hj ) nh lỵ C nhọ hỡn so vợi hm ám cưt cửt cổng trẳnh cừa H Cartan nản nõ l mởt cÊi tián kát quÊ cừa H Cartan Cổng trẳnh ny s gủi ỵ cho mởt vĐn à nghiản cựu mợi lỵ thuyát Nevanlinna-Cartan: xem xt cĂc dÔng nh lỵ cỡ bÊn thự hai vợi hm ám rút gồn n n (j) (j) Y X (Lσ(αj ) (f )) (Lσ(αj ) (f )) log |G|r max log log = max