Luận án Tiến sĩ Đề xuất xây dựng lược đồ chữ ký số dựa trên bài toán khai căn và logarit rời rạc

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ QUỐC PHÒNG VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUÂN SỰ LƯU XUÂN VĂN ĐỀ XUẤT XÂY DỰNG LƯỢC ĐỒ CHỮ KÝ SỐ DỰA TRÊN BÀI TOÁN KHAI CĂN VÀ LOGARIT RỜI RẠC LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – 2023 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ QUỐC PHÒNG VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUÂN SỰ LƯU XUÂN VĂN ĐỀ XUẤT XÂY DỰNG LƯỢC ĐỒ CHỮ KÝ SỐ DỰA TRÊN BÀI TOÁN KHAI CĂN VÀ LOGARIT RỜI RẠC Ngành: Cơ sở toán học cho tin học Mã số: 46 01 10 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Lưu Hồng Dũng TS Đồn Văn Hịa Hà Nội – 2023 i LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu kết trình bày luận án hồn tồn trung thực chưa công bố cơng trình khác Các liệu tham khảo trích dẫn đầy đủ Hà Nội, ngày 20 tháng 02 năm 2023 Tác giả luận án Lưu Xuân Văn ii LỜI CẢM ƠN Trong trình nghiên cứu hoàn thành luận án, nghiên cứu sinh nhận định hướng, giúp đỡ, ý kiến đóng góp quý báu lời động viên nhà khoa học, thầy cô giáo, đồng nghiệp gia đình Nghiên cứu sinh xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy giáo TS Lưu Hồng Dũng, TS Đồn Văn Hịa tận tình hướng dẫn giúp đỡ suốt trình học tập, nghiên cứu để hoàn thành luận án Nghiên cứu sinh xin chân thành cảm ơn Ban Giám đốc, Phòng Đào tạo Viện Khoa học Công nghệ quân tạo điều kiện thuận lợi để nghiên cứu sinh hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu Xin trân trọng cảm ơn nhà khoa học Viện Công nghệ thông tin, Viện Khoa học Công nghệ quân sự, Học viện Kỹ thuật quân sự, Học viện Kỹ thuật mật mã, đóng góp nhiều ý kiến quý báu, chia sẻ kinh nghiệm nghiên cứu khoa học để nghiên cứu sinh hoàn thành luận án Nghiên cứu sinh xin gửi lời cảm ơn tới lãnh đạo Học viện An ninh nhân dân, Bộ Công an, Khoa An ninh thông tin, đồng nghiệp, bạn bè tạo điều kiện, động viên, giúp đỡ công tác để nghiên cứu sinh có thời gian học tập nghiên cứu Cuối cùng, nghiên cứu sinh xin gửi lời cảm ơn chân thành tới người thân gia đình, ln động viên, ủng hộ giúp đỡ nghiên cứu sinh vượt qua khó khăn để hồn thành luận án NCS Lưu Xuân Văn iii MỤC LỤC Trang DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT vi DANH MỤC CÁC BẢNG vii DANH MỤC CÁC THUẬT TOÁN vii MỞ ĐẦU CHƯƠNG TỔNG QUAN VỀ CHỮ KÝ SỐ VÀ ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU CỦA LUẬN ÁN 1.1 Giới thiệu chữ ký số 1.1.1 Khái niệm chữ ký số 1.1.2 Phân loại chữ ký số 1.2 Cơ sở hình thành chữ ký số 10 1.2.1 Mật mã học 10 1.2.2 Hàm băm 13 1.3 Một số chuẩn chữ ký số 15 1.3.1 Chuẩn DSS Mỹ 15 1.3.2 Chuẩn GOST Liên bang Nga 16 1.4 Tổng quan hướng nghiên cứu phát triển lược đồ chữ ký số 17 1.4.1 Nâng cao tính hiệu 17 1.4.2 Nâng cao tính an tồn 19 1.5 Một số vấn đề tồn hướng nghiên cứu luận án 23 1.5.1 Một số vấn đề tồn 23 1.5.2 Hướng nghiên cứu luận án 26 1.6 Kết luận chương 27 CHƯƠNG XÂY DỰNG LƯỢC ĐỒ CHỮ KÝ SỐ DỰA TRÊN TÍNH KHĨ CỦA VIỆC GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN 28 2.1 Một số tốn khó ứng dụng mật mã 28 2.1.1 Bài tốn phân tích số 28 2.1.2 Bài toán logarit rời rạc 32 iv 2.1.3 Bài toán khai 35 2.2 Giải hệ phương trình phi tuyến Zp - Một dạng tốn khó 40 2.2.1 Mơ tả tốn 40 2.2.2 Tính khó việc giải hệ phương trình phi tuyến 40 2.3 Đề xuất xây dựng lược đồ chữ ký số dựa tính khó giải hệ phương trình phi tuyến 41 2.3.1 Thuật tốn sinh khóa 41 2.3.2 Thuật toán ký 42 2.3.3 Thuật toán kiểm tra 44 2.3.4 Tính đắn lược đồ đề xuất 45 2.3.5 Mức độ an toàn lược đồ đề xuất 46 2.4 Kết luận chương 47 CHƯƠNG XÂY DỰNG LƯỢC ĐỒ CHỮ KÝ SỐ DỰA TRÊN TÍNH KHĨ GIẢI CỦA BÀI TOÁN KHAI CĂN KẾT HỢP LOGARIT RỜI RẠC 49 3.1 Một dạng tốn khai khó giải 49 3.1.1 Bài toán khai bậc k Zp 49 3.1.2 Bài toán khai bậc k modulo p = N k s + 51 3.2 Bài toán khai mở rộng toán khai kết hợp logarit rời rạc 54 3.2.1 Bài toán khai mở rộng 54 3.2.2 Bài toán khai kết hợp logarit rời rạc 54 3.3 Đề xuất xây dựng lược đồ chữ ký số tổng quát dựa tính khó giải tốn khai kết hợp tốn logarit rời rạc 57 3.3.1 Lược đồ chữ ký dựa tính khó tốn khai kết hợp toán logarit rời rạc 57 3.3.2 Lược đồ tổng quát dựa việc tính khó giải tốn khai kết hợp toán logarit rời rạc 63 3.3.3 Một số lược đồ chữ ký số phát triển từ lược đồ tổng quát 70 3.4 Kết luận chương 82 CHƯƠNG XÂY DỰNG LƯỢC ĐỒ CHỮ KÝ SỐ MÙ DỰA TRÊN BÀI TOÁN KHAI CĂN KẾT HỢP LOGARIT RỜI RẠC 83 v 4.1 Chữ ký số mù nhược điểm số lược đồ chữ ký số mù 83 4.1.1 Chữ ký số mù 83 4.1.2 Lược đồ chữ ký số mù DSA cải tiến nguy lộ nguồn ký 4.1.3 Lược đồ chữ ký số mù Nyberg-Rueppel nguy lộ nguồn 84 ký 86 4.1.4 Lược đồ chữ ký số mù Moldovyan nguy lộ nguồn ký 87 4.2 Thuật toán chữ ký số mù xây dựng toán khai kết hợp logarit rời rạc 89 4.2.1 Lược đồ chữ ký sở 89 4.2.2 Lược đồ chữ ký số mù 93 4.3 Kết luận chương 103 KẾT LUẬN 104 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC ĐÃ CÔNG BỐ 106 TÀI LIỆU THAM KHẢO 107 PHỤ LỤC A VÍ DỤ LƯỢC ĐỒ CHỮ KÝ SỐ P1 A.1 Sinh tham số khóa (Thuật toán 1): P1 A.2 Sinh chữ ký (Thuật toán 2): P2 A.3 Kiểm tra chữ ký (Thuật toán 3): P2 PHỤ LỤC B VÍ DỤ LƯỢC ĐỒ CHỮ KÝ SỐ P6 B.1 Sinh tham số khóa (Thuật tốn 1): P6 B.2 Sinh chữ ký (Thuật toán 2): P6 B.3 Kiểm tra chữ ký (Thuật toán 3): P7 vi DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT {0, 1}∗ Ký hiệu chuỗi bit có độ dài ACMA Tấn cơng văn lựa chọn thích ứng {0, 1}∞ Ký hiệu chuỗi bit có độ dài vơ tận (Adaptive Chosen Message Attacks) CKS Chữ ký số DLP Bài toán logarit rời rạc (Discrete Logarithm Problem) DSA Thuật toán chữ ký số (Digital Signature Algorithm) EC Đường cong Elliptic (Elliptic Curve) ECC Hệ mật dựa đường cong Elliptic (Elliptic Curve Cryptography) ECDH Thuật toán Elliptic Curve Diffie–Hellman ECDLP Bài toán logarithm rời rạc (Elliptic Curve Logarithm Problem) ECDSA Thuật toán chữ ký số dựa đường cong elliptic (Elliptic Curve Digital Signature Algorithm) gcd Ước số chung lớn (Greatest Common Divisor) H Hàm băm (Hash fuction) IFP Bài toán phân tích số (Integer Factorization Problem) UCLN Ước số chung lớn RP Bài toán khai (Root Problem) vii DANH MỤC CÁC BẢNG Trang Bảng 1.1 So sánh hàm băm chuẩn băm an toàn 14 Bảng 1.2 Các phiên tiêu chuẩn chữ ký số DSS 15 Bảng 1.3 So sánh chuẩn GOST DSS 16 Bảng 3.1 Chi phí thực thuật tốn ký 69 Bảng 3.2 Chi phí thực thuật tốn kiểm tra 70 viii DANH MỤC CÁC THUẬT TỐN Trang Thuật tốn 2.1 Thuật tốn sinh khóa 42 Thuật toán 2.2 Thuật toán ký 44 Thuật toán 2.3 Thuật toán kiểm tra 45 Thuật tốn 3.1 Thuật tốn sinh khóa 57 Thuật toán 3.2 Thuật toán ký 59 Thuật toán 3.3 Thuật toán kiểm tra chữ ký 60 Thuật toán 3.4 Thuật tốn sinh tham số sinh khóa 63 Thuật toán 3.5 Thuật toán ký 65 Thuật toán 3.6 Thuật toán ký 66 Thuật toán 3.7 Thuật toán kiểm tra chữ ký 67 Thuật toán 3.8 Thuật toán sinh tham số khóa lược đồ DVH01 71 Thuật toán 3.9 Thuật toán ký số lược đồ DVH01 73 Thuật toán 3.10 Thuật toán kiểm tra chữ ký số lược đồ DVH01 74 Thuật tốn 3.11 Thuật tốn sinh khóa lược đồ DVH02 77 Thuật toán 3.12 Thuật toán ký lược đồ DVH02 78 Thuật toán 3.13 Thuật toán kiểm tra chữ ký lược đồ DVH02 80 Thuật toán 4.1 Thuật tốn xác định danh tính B 85 Thuật tốn 4.2 Thuật tốn cơng lộ nguồn gốc tin ký 87 Thuật toán 4.3 Thuật tốn cơng làm lộ nguồn 88 Thuật toán 4.4 Thuật tốn sinh tham số khóa 89 Thuật toán 4.5 Thuật toán ký 90 Thuật toán 4.6 Thuật toán kiểm tra chữ ký 90 Thuật toán 4.7 Thuật toán ký chữ ký số mù dạng thứ Thuật toán 4.8 Thuật toán ký chữ ký số mù dạng thứ hai 94 Thuật toán 4.9 Thuật toán kiểm tra chữ ký số mù 94 93 Thuật toán 4.10 Thuật toán xác định nguồn gốc tin A1 97 Thuật toán 4.11 Thuật toán xác định nguồn gốc tin A2 98 Thuật toán 4.12 Thuật toán xác định nguồn gốc tin A3 99 Thuật toán 4.13 Thuật toán xác định nguồn gốc tin B1 100 119 [114] B Schneier (1996), Applied Cryptography, 2rd edition, John Wiley & Sons, Inc New York [115] C.P Schnorr (1990), “Efficient identification and signatures for smart cards”, Advances in Cryptology, Proceeding of Eurocrypt’89, Lecture Notes in Computer Science, 434, pp 688–689 [116] Z Shao (1998), “Signature schemes based on factoring and discrete logarithms”, IEE Proceeding of Computers and Digital Techniques, 145 (1), pp 33–36 [117] Z Shao (2002), “Comment on signature schemes based on factoring and discrete logarithms”, Electronics Letters, 38 (24), pp 1518–1519 [118] Z Shao (2005), “Security of meta-He digital signature scheme based on factoring and discrete logarithm”, Applied Mathematics and Computation, 170, pp 976–984 [119] N Shapuan and E S Ismail (2018), “A new strong designated verifier signature scheme”, AIP Conference Proceedings, 1940 [120] Hong Shu et al (2019), “An Aggregate Signature Scheme Based on a Trapdoor Hash Function for the Internet of Things”, Sensors, 19 (19), p 4239 [121] Robert D Silverman (2007), “Optimal Parameterization of SNFS”, Journal of Mathematical Cryptology, (2), pp 105–124 [122] N Smart (2003), Cryptography: an Introduction, McGraw-Hill Publication, London [123] H.M Sun (2002), “Cryptanalysis of a digital signature scheme based on factoring and discrete logarithms”, Lecture Notes in Computer Science [124] N Tahat, E.S Ismail, and Alomari (2018), “Partially blind signature scheme based on chaotic maps and factoring problems”, Italian journal of pure and applied mathematics, pp 165–177 120 [125] L.V Thai and P.K Hoan (2015), “McEliece cryptosystem based identification and signature scheme using chained BCH codes”, 2015 International Conference on Communications, Management and Telecommunications (ComManTel), pp 122–127 [126] Dhanashree Toradmalle and Jayabhaskar Muthukuru (2017), “Elliptic curve digital signature with forward secrecy”, International Journal of Computer Science and Information Security, 15 (1), pp 121–127 [127] Shailendra Kumar Tripathi and Bhupendra Gupta (2017), “An efficient digital signature scheme by using integer factorization and discrete logarithm problem”, 2017 International Conference on Advances in Computing, Communications and Informatics (ICACCI), pp 1261–1266 [128] Dang Minh Tuan (2017), “MSMS: A Multi-section Multi-signature Model with Distinguished Signing Responsibilities”, International Conference on Machine Learning and Soft Computing, pp 131–135 [129] S.F Tzeng, C.Y Yang, and M.S Hwang (2004), “A new digital signature scheme based on factorings and discrete logarithms”, International Journal of Computer Mathematics, 81, pp 9–14 [130] G.K Verma and B.B Singh (2017), “Efficient identity-based blind message recovery signature scheme from pairings”, The Institution of Engineering and Technology - Information Security, 12 [131] Swati Verma and Birendra Kumar Sharma (2011), “A new digital signature scheme based on two hard problems”, International Journal of Pure and Applied Sciences and Technology, (2), pp 55–59 [132] Sushila Vishnoi and Vishal Shrivastava (2012), “A new digital signature algorithm based on factorization and discrete logarithm problem”, International Journal of Computer Trends and Technology, (4), pp 653–657 121 [133] S Wei (2007), “Digital signature scheme based on two hard problems”, International Journal of Computer Science and Network Security, (12) [134] H.C Williams (1986), “An M3 public-key encryption scheme”, Conference on the Theory and Application of Cryptographic Techniques, Advances in Cryptology - CRYPTO’85 Proceedings, pp 358–368 [135] Qin Yanlin and Wu Xiaoping (2009), “New Digital Signature Scheme Based on both ECDLP and IFP”, 2009 2nd IEEE International Conference on Computer Science and Information Technology, pp 348– 351 [136] A.C Yao (1982), “Theory and applications of trapdoor functions”, Proceeding of the 23th Symposium on the Foundation of Computer Science, pp 80–91 [137] A A Yavuz and M O Ozmen (2019), “Ultra Lightweight Multipletime Digital Signature for the Internet of Things Devices”, IEEE Transactions on Services Computing, 15 (1), pp 215–227 [138] Eun jun Yoon and Kee young Yoo (2006), “Cryptanalysis of Two Multisignature Schemes with Distinguished Signing Authorities”, International Conference on Hybrid Information Technology (ICHIT’06), 2, pp 492–495 [139] J Zheng, S Huang Z Shao, and T Yu (2008), “Security of two signature schemes based on two hard problems”, Proc of the 11th IEEE International Conference on Communication Technology, pp 745– 748 P1 PHỤ LỤC A VÍ DỤ LƯỢC ĐỒ CHỮ KÝ SỐ A.1 Sinh tham số khóa (Thuật tốn 1): - Giá trị p: 5119598402113263619647413046633333105228285000515677 3345891796992407708011131286916215577517194301807126 70366353305678543690093876314500926174034029269201 - Giá trị q : 781808462830405458176129153441979513485392456993 - Giá trị x1 : 2842490911972753945445545799896416929243929107224821 0540697179685356550712316258689469662745492392400458 05503435429351793721944283213959121960755096375518 - Giá trị x2 : 2150489955287383614222854701556275163987322304198611 5695903088948440398640140997180641451996417137177468 58366613043851522532672340735468822509573484417688 - Giá trị y1 : 4752362188846001432451095168838825977504351218822787 2156135092673524614566874265612148011123721693650327 8668969026786609936834063244169724270072075518431 - Giá trị y2 : 3081638004632919571970082331697065656387874785417547 7089658871916833504929753033977280241434450322655451 83583948790216795931358943797379106312175468166564 P2 A.2 Sinh chữ ký (Thuật toán 2): Input: p, y1 , y2 , x1 , x2 , M Output: (R, S) - Bản tin M : M = “THIS IS A NEW DIGITAL SIGNATURE ALGORITHM !” - Giá trị k : 3619181932015181332921654987246100638190279416171216 6706498043773047994970724837799716231416398158863382 62489818819792551921945442629354196112649212826547 - Giá trị E tính được: 765446923420569464858869279161340593924873951250 - Giá trị R tính được: 2578978040546995360931057356885224501796548859040273 1401961917583208431662136642393781509018064659783362 62717423570863122966304174638419711719558730285244 - Giá trị S tính được: 2224380751316613878874711758700910418813066109969658 0234303763780576602789681591315814704305502289832182 02294093687404074195903972620481571752314084294658 A.3 Kiểm tra chữ ký (Thuật toán 3): Input: p, y1 , y2 , (R, S), M + Trường hợp 1: Khi tin không bị kẻ xấu thay đổi - Bản tin M : M = “THIS IS A NEW DIGITAL SIGNATURE ALGORITHM !” - Giá trị R: P3 2578978040546995360931057356885224501796548859040273 1401961917583208431662136642393781509018064659783362 62717423570863122966304174638419711719558730285244 - Giá trị S : 2224380751316613878874711758700910418813066109969658 0234303763780576602789681591315814704305502289832182 02294093687404074195903972620481571752314084294658 - Giá trị E tính được: 765446923420569464858869279161340593924873951250 - Giá trị Z tính được: 2365275623359255232876702232858324517036687506731193 2810490148351027287492493071407835147601988112100871 13971222711956968797566427029467752619495993833742 - Giá trị A tính được: 5009182436092899969432922977146621404462547823386495 2130416636260910800707844525007197587646538712897777 47917389887273902468251921618658597941797697356682 - Giá trị B tính được: 5009182436092899969432922977146621404462547823386495 2130416636260910800707844525007197587646538712897777 47917389887273902468251921618658597941797697356682 Output: (R, S) = T rue + Trường hợp 2: Bản tin M bị kẻ xấu giả mạo - Bản tin M : M = “THIS IS A NEW DIGITAL SIGNATURE ALGORITHM ” P4 - Giá trị R: 2578978040546995360931057356885224501796548859040273 1401961917583208431662136642393781509018064659783362 62717423570863122966304174638419711719558730285244 - Giá trị S : 2224380751316613878874711758700910418813066109969658 0234303763780576602789681591315814704305502289832182 02294093687404074195903972620481571752314084294658 - Giá trị E tính được: 74094010598378196819556769036091466548756606187 - Giá trị Z tính được: 2365275623359255232876702232858324517036687506731193 2810490148351027287492493071407835147601988112100871 13971222711956968797566427029467752619495993833742 - Giá trị A tính được: 5009182436092899969432922977146621404462547823386495 2130416636260910800707844525007197587646538712897777 47917389887273902468251921618658597941797697356682 - Giá trị B tính được: 1488359126273936813243632434469538093103616224220548 5883340288881501193047386184672119125056894895795856 62805761050860949693472937075275922757676168457192 Output:(R, S) = F alse + Trường hợp 3: Thành phần R chữ ký bị giả mạo - Bản tin M : P5 M = “THIS IS A NEW DIGITAL SIGNATURE ALGORITHM !” - Giá trị R tính được: 2578978040546995360931057356885224501796548859040273 1401961917583208431662136642393781509018064659783362 62717423570863122966304174638419711719558730285240 - Giá trị S tính được: 2224380751316613878874711758700910418813066109969658 0234303763780576602789681591315814704305502289832182 02294093687404074195903972620481571752314084294658 - Giá trị E tính được: 765446923420569464858869279161340593924873951250 - Giá trị Z tính được: 3706949422319326956672681291321349052240993067883915 8565058687213536292356029279977007485414367556386396 45527554573697759394138289176543317958307715193512 - Giá trị A tính được: 2103122925751575293927695945461415162983886316746280 2670355262895139055072739744545830008971684943661342 13430890824367120283956832755497130820091415965038 - Giá trị B tính được: 1985222396844154533147613443758246007006163638474614 2197031188902777773259945388763753046398117755822565 10153550569528863364399572239755832733993950686404 Output: (R, S) = F alse P6 PHỤ LỤC B VÍ DỤ LƯỢC ĐỒ CHỮ KÝ SỐ B.1 Sinh tham số khóa (Thuật tốn 1): - Giá trị p: 6298517507071399342681569605858776781065750291435503 1718504813755816478812562948765289742727922357156235 28007543063566218804910548457565663172030650040609 - Giá trị q : 1051099824961743672020069103796798791527704207711 - Giá trị x: 5346624563963424963188060349571818583919165238443406 0259459061348302253124062485998063049396645581327569 9567882718445417869851558404616695436046313610978 - Giá trị y : 5725090522324989128877969450512732164616237529457256 3938502189541726282354778359003150056964746478532769 2302174740671731702996700802052767397715304341956 B.2 Sinh chữ ký (Thuật toán 2): Input: p, y, x, M Output: (R, S) - Bản tin M : M = “THIS IS NEW DIGITAL SIGNATURE ALGORITHM!” - Giá trị k : P7 1991706798937735831601812894333574187470994470886537 1396276382089139461009768950880488504326156781387552 47200422437563410313517732647408863578338890939315 - Giá trị E tính được: 607751757365793065719316186677082555760953220301 - Giá trị R tính được: 2108091496797278423970639624852022546941113551580655 0091693596007171470990160711470870117441913934771739 4839130510493305674827359543166127695058538040169 - Giá trị S tính được: 2172737732046406014614319938363666534603675688226599 9786053746650584461037013602194356217062313927295332 28163760671933209688647946143538614104077071287096 B.3 Kiểm tra chữ ký (Thuật toán 3): Input: p, y, (R, S), M + Trường hợp 1: Khi tin không bị kẻ xấu thay đổi - Bản tin M : M = “THIS IS A NEW DIGITAL SIGNATURE ALGORITHM !” - Giá trị R: 2108091496797278423970639624852022546941113551580655 0091693596007171470990160711470870117441913934771739 4839130510493305674827359543166127695058538040169 - Giá trị S : 2172737732046406014614319938363666534603675688226599 9786053746650584461037013602194356217062313927295332 28163760671933209688647946143538614104077071287096 P8 - Giá trị E tính được: 607751757365793065719316186677082555760953220301 - Giá trị Z tính được: 4633401657405898977721955264669213096488889616956052 3318504651772311704118622609425516959490758979346057 48027100023976465060634175695168117462526777638514 - Giá trị A tính được: 4394444332896707012187186071624164945473093618952024 5260086430393326596521230789892148949108304790352486 30804895844519047958240504642837951942684021748411 - Giá trị B tính được: 4394444332896707012187186071624164945473093618952024 5260086430393326596521230789892148949108304790352486 30804895844519047958240504642837951942684021748411 Output: (R, S) = T rue + Trường hợp 2: Bản tin M bị kẻ xấu giả mạo - Bản tin M : M = “THIS IS A NEW DIGITAL SIGNATURE ALGORITHM.” - Giá trị R: 2108091496797278423970639624852022546941113551580655 0091693596007171470990160711470870117441913934771739 4839130510493305674827359543166127695058538040169 - Giá trị S : 2172737732046406014614319938363666534603675688226599 9786053746650584461037013602194356217062313927295332 28163760671933209688647946143538614104077071287096 P9 - Giá trị E tính được: 1146595001238944332194743467254845816529394996752 - Giá trị Z tính được: 4633401657405898977721955264669213096488889616956052 3318504651772311704118622609425516959490758979346057 48027100023976465060634175695168117462526777638514 - Giá trị A tính được: 9287883133646905589603105105364230362305142656163178 5089201366516626588284108660431527652912481085443350 6257352403317441786826119827119234381585852633995 - Giá trị B tính được: 4394444332896707012187186071624164945473093618952024 5260086430393326596521230789892148949108304790352486 30804895844519047958240504642837951942684021748411 Output:(R, S) = F alse + Trường hợp 3: Thành phần R chữ ký bị giả mạo - Bản tin M : M = “THIS IS A NEW DIGITAL SIGNATURE ALGORITHM !” - Giá trị R: 2108091496797278423970639624852022546941113551580655 0091693596007171470990160711470870117441913934771739 4839130510493305674827359543166127695058538040160 - Giá trị S : 2172737732046406014614319938363666534603675688226599 9786053746650584461037013602194356217062313927295332 28163760671933209688647946143538614104077071287096 P10 - Giá trị E tính được: 607751757365793065719316186677082555760953220301 - Giá trị Z tính được: 3974314590202442874237784636972544628253059297223162 0399535373184500991223189035972180234113700705156772 78575883167276234277534305776017580041925086176477 - Giá trị A tính được: 2054335238122667722690442237125161999921561093521897 5450295034951683555052500664698283174335995778693636 34591497900630108022622266384207709658930421884204 - Giá trị B tính được: 3827306160420039690383431401530590687604625134839151 8899442922427781062035695963742584365752166281112735 08438671778548165274884633586897666560745630499371 Output: (R, S) = F alse + Trường hợp thứ 4: Thành phần S chữ ký số bị giả mạo - Thông điệp M : THIS IS NEW DIGITAL SIGNATURE ALGORITHM! - Giá trị H tính được: 607751757365793065719316186677082555760953220301 - Giá trị R: 2108091496797278423970639624852022546941113551580655 0091693596007171470990160711470870117441913934771739 4839130510493305674827359543166127695058538040169 P11 - Giá trị S : 2172737732046406014614319938363666534603675688226599 9786053746650584461037013602194356217062313927295332 28163760671933209688647946143538614104077071287099 - Giá trị Z tính được: 5265829106445082504913147152124819860571223682430248 8346012730574463145415670822866777994723333159777579 32544491555456382085116254324666500547702391759021 - Giá trị A tính được: 4394444332896707012187186071624164945473093618952024 5260086430393326596521230789892148949108304790352486 30804895844519047958240504642837951942684021748411 - Giá trị B tính được: 3702912233188164154518357838980827867430712276207794 3062801513295381974081223777248212118320950885475693 68834449384260752964844339736557636891588966010068 Kết quả: (R, S) = F alse P12