Hiện tượng luận của phần vô hướng trong mô hình 3 3 1 với hạt tựa axion

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - VŨ HỊA BÌNH HIỆN TƯỢNG LUẬN CỦA PHẦN VƠ HƯỚNG TRONG MƠ HÌNH 3-3-1 VỚI HẠT TỰA AXION LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ HÀ NỘI - 2023 VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - - - - - - - *** - - - - - - - VŨ HỊA BÌNH HIỆN TƯỢNG LUẬN CỦA PHẦN VƠ HƯỚNG TRONG MƠ HÌNH 3-3-1 VỚI HẠT TỰA AXION LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ Chuyên ngành: Mã số: Vật lý lý thuyết Vật lý toán 44 01 03 Người hướng dẫn 1: PGS.TS Đỗ Thị Hương Người hướng dẫn 2: GS.TS Hoàng Ngọc Long HÀ NỘI - 2023 i LỜI CAM ĐOAN Tơi hồn thành luận án tiến sĩ hướng dẫn PGS TS Đỗ Thị Hương GS.TS Hoàng Ngọc Long cam đoan điều sau: ˆ Tôi tham gia nghiên cứu đồng tác giả để có kết nghiên cứu cơng bố tạp chí thuộc danh mục ISI trước kết trình bày luận án ˆ Nội dung chương trình bày tổng quan vấn đề sở có liên quan đến nội dung luận án ˆ Nội dung chương chương kết mà nghiên cứu với PGS TS Đỗ Thị Hương, GS.TS Hoàng Ngọc Long, TS Đinh Thanh Bình, GS TS Đặng Văn Soa GS TS A E Cárcamo Hernández Các kết trình bày luận án "Hiện tượng luận phần vô hướng mơ hình 3-3-1 với hạt tựa axion" hồn tồn khơng trùng lặp với cơng bố trước Tác giả luận án Vũ Hịa Bình ii LỜI CẢM ƠN Người muốn bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tơi GS TS Hồng Ngọc Long - người đưa tơi đến với vật lý hạt dẫn dắt đường nghiên cứu khoa học Thầy người nghiêm túc công việc, thân thiện sống yêu thương học trò cách động viên chia sẻ khó khăn với học trị Tơi xin cảm ơn PGS TS Đỗ Thị Hương tham gia hướng dẫn tơi hồn thành luận án Tơi xin cảm ơn tất thầy, cô anh, chị, em Trung tâm Vật lý lý thuyết, Viện Vật lý, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam giúp đỡ, động viên, tạo điều kiện hỗ trợ cho bổ sung kiến thức kiến thức chuyên ngành suốt trình tơi làm nghiên cứu sinh Tơi đồng thời muốn cảm ơn GS TS Đặng Văn Soa, PGS TS Võ Văn Viên, TS Lê Thọ Huệ, TS Đinh Thanh Bình số đồng nghiệp cộng tác làm việc đồng ý cho sử dụng công bố có chứa kết liên quan đến nội dung luận án Tôi xin cảm ơn TS Nguyễn Tuấn Duy, NCS Phạm Ngọc Thư, TS Nguyễn Thị Thắm học tập, trao đổi kiến thức giúp đỡ lẫn để tiến Đặc biệt, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới GS TS A E Cárcamo Hernández, người dành nhiều thời gian để giảng giải nhiều kiến thức chuyên môn chia sẻ nhiều vấn đề sống giúp tự tin để bước tiếp đường nghiên cứu khoa học Tôi xin cảm ơn GS.TS Phùng Văn Đồng, PGS.TS Phan Hồng Liên, TS Dương Văn Lợi, TS Đinh Nguyên Dinh, TS Lê Như Thục, TS Đào Thị Nhung TS Nguyễn Huy Thảo có trao đổi góp ý q báu để iii tơi hồn thiện luận án Tơi xin gửi lời cảm ơn tới ban lãnh đạo cán Khoa Vật lý, Học viện Khoa học Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam giúp tơi hồn thành thủ tục hành học tập tơi Cuối cùng, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới gia đình tơi dành điều tốt đẹp cho iv Thành kính dành tặng bố Un, bác ng cô Vân Dành tặng mẹ Thoi, anh Lâm chồng v MỤC LỤC Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục vii Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt viii Danh mục bảng Danh mục hình vẽ, đồ thị xi xiii Mở đầu Chương Tổng quan 1.1 SM số tượng luận phần vô hướng SM 1.1.1 Ý tưởng xây dựng SM 1.1.2 Dao động meson SM 12 1.1.3 Kênh rã Higgs thành hai fermion SM 15 1.1.4 Một số kênh rã quark top SM 17 1.2 Vi phạm CP tương tác mạnh (SCPp) 18 1.3 Mơ hình − − 22 √ 1.3.1 Mơ hình 3-3-1 với β = ± 1.3.2 Mơ hình 3-3-1 với β = ± √13 1.4 Kết luận chương 23 24 27 Chương Phần vơ hướng mơ hình − − với hạt tựa axion 29 2.1 Cách xếp hạt mơ hình ALP331 30 vi 2.2 Lý đưa nhóm đối xứng gián đoạn Z11 ⊗ Z2 vào mơ hình ν331 xuất đối xứng PQ mơ hình A331 32 2.3 Các boson chuẩn 38 2.4 Thế Higgs 41 2.5 Phần vô hướng mang điện 43 2.6 ALP mơ hình ALP331 45 2.7 Phần vơ hướng trung hịa CP chẵn 51 2.8 Phân tích kết chạy số cho phần vơ hướng 60 2.9 Tương tác Yukawa bảo toàn vị cho tương tác SMLHB 63 2.10.Kết luận chương 68 Chương Hiện tượng luận mơ hình ALP331 70 3.1 Một số kênh rã quark top gây FCNC 71 3.1.1 Kênh rã quark top t → ch t → uh gây FCNC 71 3.1.2 Kênh rã quark top t → cγ t → uγ gây FCNC 74 3.2 Một số kênh rã SMLHB h thành hai fermion 3.2.1 SMLHB rã thành hai quark loại d: h → ¯bb 3.2.2 SMLHB rã thành hai lepton mang điện h → ¯ ll 3.3 Dao động meson 76 76 77 79 3.4 Tương tác ALP a trường giả vô hướng A5 với quark ngoại lai 85 3.5 Tương tác SMLHB h với hạt giả vô hướng phần vô hướng trung hòa CP lẻ 86 3.6 Kết luận chương 88 Kết luận 90 Những đóng góp luận án 92 Danh mục công trình cơng bố 93 Tài liệu tham khảo 94 Chương A Mơ hình chuẩn (SM) 106 A.1.Sự xếp hạt SM 106 A.2.Lagrangian toàn phần SM 107 vii A.3.Phá vỡ đối xứng tự phát SM 108 A.4.Phổ khối lượng hạt fermion SM 111 A.5.VEV chọn để phá vỡ đối xứng tự phát SM 112 A.6.Tương tác boson chuẩn với fermion SM 113 Chương B Vi phạm CP 115 B.1 Đối xứng liên hợp điện tích C 115 B.2 Phép nghịch đảo không gian P 119 B.3 Phép đảo ngược thời gian T 122 B.4 Đối xứng CP 122 Chương C Vi phạm CP tương tác mạnh 127 Chương D Cơ chế cầu bập bênh 129 viii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT Viết tắt Tên tiếng Anh/Pháp Tên tiếng Việt A331 The 3-3-1 model with axion Mơ hình 3-3-1 với axion ALP Axion Like Particle Hạt tựa axion ALP331 The 3-3-1 model with axion Mơ hình 3-3-1 với hạt tựa ax- like particle ion A Toroidal LHC ApparatuS Máy va chạm hadron lớn có ATLAS thiết bị hình vịng xuyến BSM Beyond Standard Model Mơ hình chuẩn mở rộng C Charge conjugation Đối xứng liên hợp điện tích CERN Conseil Européen pour la Trung tâm nghiên cứu hạt Recherche Nucléaire nhân Châu Âu CDM Cold Dark Matter Vật chất tối lạnh CDF Collider Detector Facility Máy phát va chạm CKM Cabibbo-Kobayashi-Maskawa CMS Compact Muon Solenoid Ống solenoid chứa muon CP Charge conjugation and Par- Đối xứng liên hợp điện tích ity chẵn - lẻ DFSZ Dine - Fischler - Srednicki Zhitnitski DM Dark Matter Vật chất tối DE Dark Energy Năng lượng tối EDM Electric Dipole Moment Mô-men lưỡng cực điện EW ElectroWeak Điện-yếu E331 Economical 3-3-1 model Mô hình 3-3-1 tiết kiệm 105 [122] David Griffiths, Introduction to elementary particles, 2008 [123] Pankaj Agrawal, Manimala Mitra, Saurabh Niyogi, Sujay Shil, Michael Spannowsky, Probing the type-II seesaw mechanism through the production of Higgs bosons at a lepton collider, Physics Review D 2018, 98, 015024 [124] Saiyad Ashanujjaman, Kirtiman Ghosh, Type-III see-saw: Phenomenological implications of the information lost in decoupling from highenergy to low-energy, Physics Letter B, 2021, Vol 819, 136403 DOI: 10.1016/j.physletb.2021.136403 106 CHƯƠNG A Mơ hình chuẩn (SM) A.1 Sự xếp hạt SM Nhóm đối xứng SM G = SU (3)C ⊗ SU (2)L ⊗ U (1)Y (3 − − 1) [58, 118–121] Trong đó, SU (3)C nhóm đối xứng chuẩn khơng giao hốn mơ tả tương tác mạnh tác động lên quark mang tích màu Có tám hạt truyền tương tác mạnh boson chuẩn không khối lượng (gluon) SU (2)L nhóm spin đồng vị khơng giao hốn tác động lên fermion U (1)Y nhóm chuẩn gắn với số lượng tử siêu tích yếu Y Nhóm đối xứng SU (2)L ⊗ U (1)Y mô tả tương tác điện yếu với bốn hạt truyền tương tác boson chuẩn gồm hai hạt mang điện (W ± ) hạt trung hịa (Z) có khối lượng hạt cịn lại (photon A) hạt trung hịa khơng có khối lượng Trong SM, vật chất thông thường cấu tạo từ lepton quark với hệ xếp theo khối lượng tăng dần: hệ thứ gồm νe , e, u, d; hệ thứ hai gồm νµ , µ, c, s; hệ thứ ba gồm ντ , τ, t, b [7] Do dòng mang điện lepton có dạng V-A nên fermion tách thành fermion phân cực trái fermion phân cực phải Các fermion phân cực trái xếp vào lưỡng tuyến fermion phân cực phải xếp vào đơn tuyến nhóm SU (2)L Khơng có neutrino phân cực phải SM thực nghiệm cho thấy tương tác yếu có xuất neutrino phân cực trái Để dòng tương tác yếu jµlep mang điện phải đưa neutrino vào lưỡng tuyến lepton trái [60] Do đó, hệ lepton neutrino xếp vào lưỡng tuyến nhóm SU (2)L sau: ! νiL ψiL = ∼ (1, 2, −1), liR ∼ (1, 1, −2) liL Còn quark xếp là: !   uiL QiL = ∼ 3, 2, , diL (A.1) 107  uiR ∼  , 3, 1,  diR ∼  3, 1, − , (A.2) i = 1, 2, số hệ Các giá trị ngoặc đơn biểu thị số lượng tử tương ứng với nhóm đối xứng thành phần − − Qui luật biến đổi đa tuyến phép biến đổi SU (3)C ⊗SU (2)L ⊗ U (1)Y sau: ψ(x) → ψ (x) = e−iTα θ(x) e−iTa ω(x) e−iY ω (x) ψ(x) , với α = 1, 2, 3, , 8, (A.3) a = 1, 2, , Tα , Ta , Y vi tử ba nhóm SM, θ, ω, ω số thực [60] A.2 Lagrangian toàn phần SM Bỏ qua số hạng ma FP, Lagrangian toàn phần SM viết dạng [60]: LSM tot = LK + LY uk + LG + LH + Lgf (A.4) Trong (A.4), LK số hạng động năng, cho phép xuất hàm truyền tương tác thông qua việc đưa thêm trường chuẩn vào đạo hàm hiệp biến để chỉnh Lagrangian cho Lagrangian bất biến phép biến đổi nhóm đối xứng G = SU (3)C ⊗ SU (2)L ⊗ U (1)Y Số trường chuẩn đưa vào để chỉnh số vi tử bị phá vỡ nhóm đối xứng G Số hạng động cho phép xác định tương tác dòng (mang điện trung hòa) với hạt Wµ± , Zµ , Aµ Số hạng LG = − 14 Bµ B µ − 14 Fµν F µν số hạng cho phép xác định tự tương tác trường chuẩn W ± , Z, A với Fµν = [Dµ , Dν ] tensor cường độ trường Số hạng LH = (Dµ φ)+ (Dµ φ) mơ tả tương tác hạt Higgs với trường chuẩn (hoặc hạt tổ hợp trường chuẩn boson chuẩn) từ sinh khối lượng cho boson chuẩn W ± , Z thông qua chế Higgs; giải thích xuất hạt Goldstone boson khơng khối lượng hạt Higgs có khối lượng Số hạng LY uk Lagrangian mô tả tương tác Yukawa - tương tác fermion với hạt Higgs để sinh khối lượng cho fermion (lepton quark) 108 Số hạng Lgf Lagragian cố định chuẩn cho số hạng cố định chuẩn có dạng µ 2ξ (∂ Aµ ) số hạng trộn lẫn trường chuẩn với Goldstone boson Số hạng giúp cho mơ hình tái chuẩn hóa [60] A.3 Phá vỡ đối xứng tự phát SM Trong SM, số hạng khối lượng trường chuẩn có dạng m2G Gaµ Gµa + m2A Aaµ Aµa + m2B Bµ B µ khơng bất biến phép biến đổi nhóm SU (3)C ⊗ SU (2)L ⊗ U (1)Y Vì vậy, điều kiện ban đầu để Lagrangian bất biến trường chuẩn phải khơng có khối lượng Trong thực tế, hạt truyền tương tác mạnh gluon Gaµ khơng có khối lượng hạt truyền tương tác điện từ photon khơng có khối lượng; điều phù hợp với lý thuyết Tuy nhiên, hạt truyền tương tác yếu hạt W ± , Z có khối lượng Điều mâu thuẫn với điều kiện ban đầu mà lý thuyết đưa để Lagrangian bất biến Vì cần phải đưa chế phá vỡ đối xứng tự phát (SSB) vào lý thuyết để sinh khối lượng cho hạt Vì tương tác điện yếu mơ tả nhóm Gw = SU (2)L ⊗ U (1)Y nên muốn sinh khối lượng cho hạt truyền tương tác yếu phải SSB nhóm Gw Nhóm Gw có vi tử nên cần phá vỡ vi tử để sinh khối lượng cho trường chuẩn W ± , Z Sau bị phá vỡ, nhóm cịn lại phải tổ hợp vi tử khơng bị phá vỡ Điều có nghĩa phải có đại lượng vật lý bảo tồn, đại lượng điện tích Như vậy, nhóm cịn lại sau SSB nhóm Gw phải nhóm U (1)Q Tương tác mạnh mô tả nhóm đối xứng màu SU (3)C , mà hạt gluon khơng có khối lượng nên khơng có phá vỡ nhóm SU (3)C Để có SSB SM, ta cần phải đưa vào mơ hình lưỡng tuyến ! + ϕ Higgs φ = hạt vô hướng không mang màu (để không phá ϕ0 vỡ SU (3)C ) có qui luật biến đổi a φ → φ = Gw φ = e−igTa θ e−ig YH ω(x) φ , với YH = (A.5) Khi đó, Lagrangian trường Higgs là: LH = (Dµ φ)+ (Dµ φ) − V (φ) , (A.6) với V (φ) vơ hướng Higgs có dạng: V (φ) = −µ2 φ+ φ + λ + (φ φ) , (A.7) 109 đó, µ tham số khối lượng hạt Higgs Và qui luật biến đổi đạo hàm hiệp biến phép biến đổi nhóm Gw [60] là: Dµ = ∂µ − igTa Aaµ − ig Y Bµ ; a = 1, 2, , (A.8) với g số tương tác ứng với nhóm SU (2)L g số tương tác σa ứng với nhóm U (1)Y Vi tử nhóm SU (2)L Ta = trận Pauli Cịn Aaµ với σa ma Bµ trường chuẩn đưa vào để chỉnh cho đạo hàm hiệp biến bất biến qui luật phép biến đổi Gw Điều kiện cực tiểu V (φ) (A.7) cho ta xác định VEV φ Với điều kiện λ > ta có hϕ0 i = nên VEV Higgs chọn là: ! hφi = , v √ √v ứng với phần khơng mang điện  v= với µ2 λ  12 Khi đó, hφ i = Gw hφi = (1 − igTa θa − ig ω(x))hφi hφi − (igTa θa + ig ω(x))hφi = hφi (A.9) ! Như vậy, với cách chọn hφi = nhóm đối xứng SU (2)L ⊗ U (1)Y v = √ σa bị phá vỡ Nhóm SU (2)L ⊗ U (1)Y có vi tử Ta = T0 = Y với a = 1, 2, Khi tác động vi tử lên hφi thì: T1 bị phá vỡ vì: T1 hφi = 1 ! √ ! v ! = √ 2 v = √ 2 −iv ! = √ 2 ! 6= hφi T2 bị phá vỡ vì: T2 hφi = −i ! ! −1 i √ ! v 6= hφi T3 bị phá vỡ vì: T3 hφi = √ v ! −v 6= hφi 110 T0 bị phá vỡ vì: T0 hφi = Y ! 1 √ ! v Y = √ 2 ! 6= hφi v Như vậy, ! vi tử nhóm SU (2)L ⊗ U (1)Y bị SSB chọn hφi = Tuy nhiên, tổ hợp Q = T3 + T0 = T3 + Y2 tốn tử điện tích v √ xác định là: Q= 0 −1 ! Y + 0 ! = + Y − 21 + với hạt Higgs đưa vào có siêu tích YH = Q = Qhφi = 0 ! √v ! 0 , Y ! nên: ! = Điều cho thấy tốn tử điện tích Q = T3 + T0 không bị phá vỡ Đây vi tử nhóm U (1)Q Sơ đồ SSB SM SU (2)L ⊗ U (1)Y → U (1)Q Sau SSB, đối xứng lại SM không bị phá vỡ U (1)Q SU (3)C Sau SSB, lưỡng tuyến Higgs viết theo trạng thái vật lý sau:   T φ = GW √2 (v + h + GZ ) , (A.10) với GW , GZ đồng hạt Goldstone boson bị ăn hạt vector W, Z, cịn h đồng hạt Higgs tìm thấy máy gia tốc lớn (LHC) Vì SU (3)C khơng bị phá vỡ nên gluon khơng có khối lượng; SU (2)L ⊗ U (1)Y → U (1)Q nên trường chuẩn W ± Z trở nên có khối lượng Ta xác định khối lượng trường chuẩn dựa vào số hạng động ! trường Higgs khai triển trường Higgs xung quanh VEV hφi = là: v √ + µ Lgauge mass = (Dµ φ) (D φ) = g v + −µ g2 v2 Wµ W + Zµ Z µ cos θw Các trường chuẩn mang điện W ± có khối lượng m2W ± = trường chuẩn trung hịa Z có khối lượng là: m2Z = 2 g v cos2 θW g2 v2 (A.11) [60] Còn 111 Trong thực nghiệm, góc trộn θW (góc Weinberg) phụ thuộc vào số tương tác g, g sau: g , cos θW = cW = p g + (g )2 sin θW = sW = p g g + (g )2 (A.12) A.4 Phổ khối lượng hạt fermion SM Lagrangian khối lượng fermion SM [60] là: ermion ¯ = m(ψ¯L ψR + ψ¯R ψL ) Lfmass = mψψ (A.13) Trong đó, ( ψ = ψL + ψR ψ L = PL ψ = ψR = PR ψ = 1−γ5 ψ 1+γ5 ψ : ~s ↑↓ p~ : ~s ↑↑ p~ , (A.14) với ψL fermion phân cực trái, ψR fermion phân cực phải, PL , PR toán tử tác động lên fermion làm cho fermion trở thành hạt phân cực trái phân cực phải thỏa mãn PL2 = PL , PR2 = PR , PL PR = 0, PL + PR = tính chất ma trận γ5 là: {γ5 , γµ } = γ52 = = γ5 γ5+ Do đó, ermion Lfmass (A.13) là: ermion Lfmass = m(ψ¯L ψR + ψ¯R ψL ) (A.15) Phân cực trái quark lepton biến đổi lưỡng tuyến nhóm SU (2), phân cực phải quark lepton biến đổi đơn tuyến nhóm SU (2) nên số hạng khối lượng quark lepton khơng bất biến phép biến đổi nhóm SU (3)C ⊗ SU (2)L ⊗ U (1)Y Để Lagrangian bất biến quark lepton SM phải khơng có khối lượng Tuy nhiên, thực thế, fermion có khối lượng nên cần phải xây dựng tương tác để sinh khối lượng cho quark lepton SM Tương tác tương tác Yukawa có dạng: j i ¯ iL φdj + huij Q ¯ iL (iσ2 φ∗ )uj + H.c., − LSM = heij ψ¯L φlR + hdij Q Y R R (A.16) hij số tương tác Khai triển tương tác Yukawa (A.16), ta nhận Mlij = hlij √v2 , Mdij = hdij √v2 , Muij = huij √v2 ma trận trộn khối lượng lepton, quark loại d quark loại u Các ma trận chưa dạng chéo nên để xác định trạng thái vật lý 112 khối lượng tương ứng fermion, ta phải tiến hành chéo hóa ma trận Với quark, ta có d dL,R = VL,R d0L,R , (VLd )† Md VRd = diag(md0 , ms0 , mb0 ) , (A.17) u uL,R = VL,R u0L,R , (VLu )† Mu VRd = diag(mu0 , mc0 , mt0 ), (A.18) d, s, b u, c, t trạng thái chuẩn d0 , s0 , b0 u0 , c0 , t0 trạng thái vật lý với khối lượng tương ứng md0 , ms0 , mb0 mu0 , mc0 , mt0 ; d,u VL,R ma trận chuyển sở Ma trận trộn quark định nghĩa VCKM = (V u )†L VLd ta có nhiều cách để tham số hóa ma trận như: tham số hóa góc Euller, tham số hóa Wolfenstein, Đến nay, yếu tố ma trận khối lượng quark xác định từ thực nghiệm [9] Đối với lepton, ta có: (νa )0L,R = UP N M S (νa )L,R , (A.19) với UP N M S ma trận trộn lepton tham số hóa theo cách: tham số hóa Kobayashi - Maskawa, tham số hóa Chau - Keung, (νa )0L,R trạng thái vật lý lepton (νa )L,R trạng thái chuẩn lepton Các yếu tố ma trận UP N M S độ chênh lệch khối lượng vị lepton thực nghiệm kiểm chứng A.5 VEV chọn để phá vỡ đối xứng tự phát SM Xét trình tán xạ e + ν˜ → e + ν˜ lý thuyết SM lý thuyết Fermi mô tả tương tác yếu (lý thuyết V - A) Trong lý thuyết SM, số hạng động hạt mang điện ig νiL γµ liL Wµ+ + ¯liL γµ νiL Wµ− ) Lcharge kinertic = − √ (¯ (A.20) Nếu lepton electron mang điện ig Lekinertic = − √ (¯ νeL γµ eL Wµ+ + e¯L γµ νeL Wµ− ) (A.21) Biên độ tán xạ trình MfSM i g2 ∼ 8(k − m2W ) (A.22) 113 g Trong giới hạn nhỏ s = k  m2W nên MfSM ∼ − 8m Mặt khác, i W lý thuyết Fermi, Lagrangian mơ tả tương tác yếu có dạng: L= GF (JL γ µ lL )(JL γµ lL )† , (A.23) √F với GF = 1.166 × nên biên độ tán xạ trình MfFiermi ∼ − G 10−5 GeV −2 Để tính tốn phù hợp với thực nghiệm MfSM = MfFiermi ⇔ − i GF g2 = − √ mà m2W = 8mW g2 v2 GF g2 1 ⇒ √ = g2 v2 = ⇒ v = √ = 2462 GeV 2v 2GF (A.24) Như vậy, tham số phá vỡ đối xứng điện - yếu VEV trường Higgs nhận giá trị v = 246GeV Với giá trị VEV này, khối lượng hạt truyền tương tác (boson chuẩn) mW = gv ∼ 80 GeV , mZ = gv ∼ 90 GeV 2cW (A.25) A.6 Tương tác boson chuẩn với fermion SM SM tiên đoán ba hạt boson chuẩn W ± , Z có khối lượng tham gia vào trình truyền tương tác yếu hạt vector A khơng có khối lượng tham gia vào q trình truyền tương tác điện từ Tương tác boson chuẩn với fermion xác định qua việc nghiên cứu số hạng động trường fermion: Lcurrent ¯ iL γµ Dµ QiL , = iψ¯iL γµ Dµ ψiL + iQ +i¯liR γµ Dµ liR + i¯ qiR γµ Dµ qiR , (A.26) với q = ui , di , i = 1, 2, Dµ là đạo hàm hiệp biến có dạng xác định biểu thức (A.8) Để tìm dịng tương tác điện từ tương tác yếu, biến đổi Lagrangian (A.26) thành Lagrangian sau:
g g µ Lint = √ Jµ− W µ+ + Jµ+ W µ− + gsW Jµem Aµ + J Z 2cW µ (A.27) Trong đó, dịng mang điện Jµ− = 1 ν¯i γµ (1 − γ5 ) li + u ¯i γµ (1 − γ5 ) di , 2 Jµ+ = Jµ−
† , (A.28) 114 dịng tương tác điện từ là: Jµem = Q(f )f¯γµ f, (A.29) dịng trung hịa là: Jµ0 i h Zµ Zµ ¯ = f γµ gV (f ) − gA (f )γ5 f, Z (A.30) Z với f fermion li , ui , di gV µ (f ) = T3 (fL ) − 2s2W Q(f ), gAµ (f ) = T3 (fL ) số tương tác dòng yếu trung hòa Ta thấy dịng mang điện có dạng V − A tương tác yếu có fermion phân cực trái tham gia Ở gần cây, dòng mang điện nối fermion fermion lưỡng tuyến nên SM có dịng mang điện thay đổi vị Còn dòng trung hòa dòng điện từ nối fermion loại nên SM khơng có dịng trung hòa thay đổi vị (FCNC) gần 115 CHƯƠNG B Vi phạm CP Các phép đối xứng thường có mối liên quan với đại lượng vật lý Với mục đích tìm hiểu vi phạm CP QCD để nghiên cứu DM axion luận án, ta tập trung vào ba loại đối xứng gián đoạn đối xứng liên hợp điện tích C (Charge conjugation), đối xứng nghịch đảo khơng gian P (Parity transformation) đối xứng đảo ngược thời gian T (Time reversal) Từ đối xứng này, ta nghiên cứu đối xứng CP , P T QCD phần luận án B.1 Đối xứng liên hợp điện tích C Đối xứng liên hợp điện tích cho đối xứng gián đoạn quan trọng Dưới phép biến đổi đối xứng liên hợp điện tích, hạt biến đổi thành phản hạt ngược lại Mặc dù tên đối xứng "liên hợp điện tích" qui luật biến đổi đối xứng C, hạt không biến đổi dấu điện tích mà cịn thay đổi thông số lượng tử khác số baryon B, số lepton L, Tốn tử liên hợp điện tích C định nghĩa là: C|pi = |¯ pi , (B.1) đó, |pi hạt |¯ pi phản hạt Nếu ta tiếp tục tác động toán tử C lên (B.1) có: C(C|pi) = C|¯ pi = |pi ⇒ C = I (B.2) Từ (B.2), ta rút trị riêng toán tử C ±1 Do đó, ta viết sau: C|pi = ±|pi = |¯ pi (B.3) Trong (B.3), ta thấy |pi |¯ pi biểu diễn trạng thái vật lý chúng khác dấu Điều có nghĩa có hạt mà phản hạt 116 chúng trạng trái riêng C [122] hạt gọi hạt Majorana Đối xứng liên hợp điện tích bảo tồn QCD QED lại khơng bảo tồn tương tác yếu (ta phần sau) Vì C tốn tử unitary có tính hermite nên C = C −1 = C † biểu diễn Dirac có dạng tường minh là: C = γ0 γ2 = với γ0 = I ! 0 −I Dirac γ thỏa mãn: , γi = σi σ2 σ2 −σi ! , (B.4) ! , γ5 = −I −I ! Các ma trận Cγµ C −1 = γµT , (B.5) C(γ5 )T C −1 = γ5 , (B.6) C(γ0 γ5 )C −1 = (γ0 γ5 )T (B.7) C(γµ γ5 )C −1 = −γµ γ5 (B.8) Tác động toán tử C lên trường sau: Trường vô hướng φ(x): Cφ(x)C −1 = φ† (x) Trường vector Aµ (x): CAµ (x)C −1 = −A†µ (x) (B.9) (B.10) Trường spinor Dirac ψ(x) : Cψ(x) C −1 = C ψ¯T (x) = Cγ0 ψ ∗ = −γ2 ψ ∗ , C ψ¯(x) C −1 = ψ T (x)C = ψ T (x)γ0 γ2 (B.11) (B.12) Xét phương trình Dirac cho trường ψ có điện tích q có khối lượng m liên kết với trường điện từ ngồi Aµ : iγµ (∂ µ + iqAµ )ψ − mψ = (B.13) Lấy liên hợp phức phương trình (B.13) nhân với −γ2 đặt ψ C = −γ2 ψ ∗ (−γ2 )(−iγµ )∗ (∂ µ − iqAµ )ψ ∗ − m(−γ2 )ψ ∗ = (chú ý rằng: γ0∗ = γ0 ; γ1∗ = γ1 ; γ2∗ = −γ2 ; γ3∗ = γ3 γ2 γµ = −γµ γ2 với µ 6= 2) ⇔ −iγµ (∂ µ − iqAµ )(−γ2 ψ ∗ ) + m(−γ2 ψ ∗ ) = 117 ⇔ iγµ (∂ µ − iqAµ )(−γ2 ψ ∗ ) − m(−γ2 ψ ∗ ) = (B.14) Đặt ψ C = −γ2 ψ ∗ phương trình (B.13) trở thành: iγµ (∂ µ − iqAµ )ψ C − mψ C = (B.15) Phương trình (B.15) gọi phương trình Dirac trường ψ C có khối lượng m mang điện tích −q Trường ψ C cho phản hạt ψ ban đầu hai có khối lượng m mang điện tích trái dấu Bây giờ, ta kiểm tra tính bất biến Lorentz cho Lagrangian tự µ ¯ ¯ trường Dirac LD = iψγµ ∂ ψ − mψψ biến đổi toán tử C D −1 LD → CL0 C = −1 ¯ µ ∂ µ ψ − mψψ)C ¯ C(iψγ ¯ µ ∂ µ ψC −1 − mC ψψC ¯ −1 = iC ψγ = ¯ −1 Cγµ C −1 C∂ µ C −1 CψC −1 − mC ψC ¯ −1 CψC −1 iC ψC ¯ = −ψ ψ; ¯ ψ∂ ¯ µ ψ = −ψ∂ µ ψ) ¯ (Sử dụng (B.11) (B.12) ψψ = = = = = = i(−ψ T C −1 )(−γµT )C∂ µ C −1 C ψ¯T − m(−ψ T C −1 )C ψ¯T ¯ i(ψ T C −1 )α (γµT )αβ (C∂ µ ψ¯T )β − m(−ψ ψ) ¯ β − mψψ ¯ iψα0 (C −1 γC)α0 β (C∂ µ ψ) ¯ β − mψψ ¯ iψα0 (γ T )α0 β (∂ µ ψ) ¯ β − mψψ ¯ = iψ¯β (γ)β α0 (∂ µ ψ)α0 − mψψ ¯ iψα0 (γ)β α0 (∂ µ ψ) ¯ µ ∂ µ ψ − mψψ ¯ = LD iψγ (B.16) Do đó, Lagrangian tự trường spinor Dirac bất biến dưới qui luật biến đổi phép đối xứng C Nếu chọn trị riêng toán tử C biểu diễn Majorana, song tuyến fermion-phản fermion có tính chất biến đổi sau: ¯ −1 C ψψC = Cψα† (γ0 )αβ ψβ C −1 = ψα (γ0 )αβ ψβ† ¯ = −ψβ† (γ0 )αβ ψα = ψβ† (γ0 )Tβα ψα = ψψ (B.17) Trong trường hợp song tuyến khác, ta có kết là: ¯ −1 = ψψ ¯ Trường vô hướng: C ψψC (B.18) ¯ ψC −1 = ψiγ ¯ 5ψ Trường giả vô hướng: C ψiγ (B.19) ¯ µ ψC −1 = −ψγ ¯ µψ Trường vector: C ψγ (B.20) 118 ¯ µ γ5 ψC −1 = ψγ ¯ µ γ5 ψ Trường giả vector: C ψγ (B.21) Với kết này, ta thu hệ là: ˆ Hệ 1: Tương tác điện từ bất biến phép biến đổi liên hợp điện ¯ µ ψ đổi dấu theo C Từ (B.10) tích Aµ dịng điện từ j µ = ψγ V (B.20) ta có: em Sint Z = ¯ µ ψ → S em d4 xeAµ ψγ int (B.22) ˆ Hệ 2: Tương tác mạnh bất biến phép biến đổi liên hợp điện tích Xét dịng tương tác mạnh nhóm SU (3)C jaµ = q¯γµ λ2a q biến đổi phép biến đổi liên hợp điện tích: C q¯γµ λa −1 λa qC = −¯ q γµ ( )T q 2 (B.23) Với λa ma trận Gellmann: λ1 , λ3 , λ4 , λ6 , λ8 đối xứng λ2 , λ5 , λ7 phản đối xứng nên phép biến đổi liên hợp điện tích thì: jaµ → −η(a)jaµ , (B.24) đó, ( η(a) = +1 a = 1, 3, 4, 6, −1 a = 2, 5, (B.25) Trong QCD, Lagragian tương tác có dạng: LQCD = igs q¯γµ Gµa int λa q = igs jaµ Gµa , (B.26) với gluon Gµa đưa vào đạo hàm hiệp biến Dµ = ∂µ + igs ΣGµa Ia Tác động tốn tử liên hợp điện tích C lên (B.68) có: −1 CGµν a C = C(∂ µ Aνa − ∂ ν Aµa + gfabc Aµb Aµc )C −1 = −∂ µ (Aνa )† + ∂ ν (Aµa )† + gfabc (−Aνb )† (−Aµc )† = −η(a)Gµν a (B.27) Tác dụng QCD biến đổi phép liên hợp điện tích C là:     Z 1 µν QCD S = d x −¯ q γµ Dµ + mq q − Ga Gaµν → S QCD (B.28) i 119 Điều dẫn đến biến đổi Gµa tác dụng tốn tử liên hợp điện tích C giống biến đổi dịng tương tác mạnh Gµa phụ thuộc vào ma trận Gellmann: Gµa → CGµa C −1 = −η(a)Gµa (B.29) Thay (B.24) (B.29) vào (B.26) phép biến đổi liên hợp điện tích C có: −1 LQCD → CLQCD int int C = igs [−η(a)jaµ ][−η(a)Gµa ] = igs η (a)jaµ Gµa = LQCD int (B.30) Chứng tỏ QCD bất biến quy luật biến đổi phép đối xứng C ˆ Hệ 3: Tương tác yếu không bất biến quy luật biến đổi phép đối xứng C dịng V-A có dạng jµV jµA biến đổi sau: jµV jµA → CjµV jµA C −1 = CjµV C −1 CjµA C −1 = −jµV jµA (B.31) B.2 Phép nghịch đảo không gian P Phép nghịch đảo khơng gian cịn gọi đối xứng chẵn - lẻ (parity) đối xứng gương (mirror symmetry) Phép nghịch đảo không gian định nghĩa sau: (t, x, y, z) → (t, −x, −y, −z) (B.32) Nếu kí hiệu tốn tử nghịch đảo khơng gian P ta viết là: P |ψ(t,x) i = |ψ(t,−x) i (B.33) Tiếp tục tác động toán tử P lên (B.33) ta thu trạng thái ban đầu: P |ψ(t,x) i = P |ψ(t,−x) i = |ψ(t,x) i (B.34) Điều cho thấy P tốn tử unitary có tính chất hermite với trị riêng ±1 Tác động toán tử P lên trường sau: Trường vô hướng φ(x): P φ(x) P −1 = φ(−x) (B.35) Trường vector Aµ (x): P Aµ (x)P −1 = η(µ) Aµ (−x) , (B.36)